xây dựng phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp có lưới

Hiện nay do sự xâm nhập của công nghệ thông tin vào mọi ngành, mọi lĩnh vực của đời sống và sự cần thiết của việc giải quyết các bài toán biên trong thực tế nên đề tài của em nghiên cứu

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 3

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.2 Không gian véc tơ và các khái niệm cơ bản 3

1.3 Không gian Banach và không gian Hilbert 5

1.4 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 6

1.4.2 Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình với ma trận ba đường chéo 8

1.4.3 Phương pháp lặp Jacobi 9

1.4.4 Phương pháp lặp Gauss-Seidel 9

1.5 Phương trình đạo hàm riêng và bài toán biên 10

1.5.1 Phương trình đạo hàm riêng 10

1.5.2 Một số bài toán thực tế dẫn đến phương trình đạo hàm riêng 11

1.5.3 Khái niệm bài toán biên 17

1.5.4 Một số bài toán thực tế giải bằng phương pháp sai phân và phương pháp phần tử hữu hạn 19

CHƯƠNG 2 21

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET VỚI PHƯƠNG TRÌNH POISSON 21

2.1 Phương pháp sai phân 21

2.1.1 Bài toán truyền nhiệt dừng trong miền chữ nhật 21

2.1.2 Lưới sai phân và hàm lưới 22

2.1.3 Bài toán sai phân 23

2.1.4 Giải bài toán sai phân bằng phương pháp lặp Seidel co dãn 26

2.1.5 Bài toán truyền nhiệt dừng trong trường hợp miền Ω không là hình chữ nhật 27

2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn 31

2.2.1 Bài toán Dirichlet với phương trình Poisson 31

2.2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn trong trường hợp Ω là hình chữ nhật 34

2.2.3 Phương pháp phần tử hữu hạn trong trường hợp Ω không là hình chữ nhật .39

2.2.4 Phương pháp phần tử hữu hạn trong trường hợp Ω có đường biên cong 43

CHƯƠNG 3 45

MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM THU ĐƯỢC 45

3.1 Cài đặt chương trình 45

3.1.1 Giao diện chương trình 45

3.1.2 Ví dụ 46

PHỤ LỤC 59

KẾT LUẬN 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Error! Bookmark not defined.

LỜI NÓI ĐẦU

Trong thực tế đời sống có rất nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phương trình vật lý toán Giải các bài toán đó đến đáp

số bằng số là một yêu cầu quan trọng trong thực tế Trong một số ít trường hợp các phép toán là đơn giản để đi đến đáp số Còn đại đa số các trường hợp khác, đặc biệt là với bài toán có hệ số biến thiên, bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ….thì nghiệm tường minh của chúng là không có hoặc ở dạng phức tạp Trong những trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào nghiệm gần đúng

Đến nay có hai phương pháp gần đúng quan trọng được nghiên cứu là phương pháp sai phân và phương pháp phần tử hữu hạn Cả hai phương pháp đều tìm cách đưa bài toán biên của vật lý toán về một bài toán đại số, thường là một

hệ đại số tuyến tính Hai phương pháp làm khác nhau nên chúng dẫn đến những kết quả khác nhau Với bài toán này thì phương pháp này tỏ ra ưu việt nhưng lại kém ưu việt hơn phương pháp kia ở bài toán khác

Hiện nay do sự xâm nhập của công nghệ thông tin vào mọi ngành, mọi lĩnh vực của đời sống và sự cần thiết của việc giải quyết các bài toán biên trong thực tế nên đề tài của em nghiên cứu hai phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng: phương pháp sai phân và phương pháp phần tử hữu hạn

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Các khái niệm cơ bản về ma trận

Khi ta có n × m số ta có thể xếp thành một bảng chữ nhật chứa m hàng n cột Một bảng số như thế gọi là một ma trận

A=

























mn m

m

n n

a a a

a a a

a a a

.

2 1

2 22 21

1 12 11

với aij là một phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của hàng thứ i cột thứ j

+ Ma trận vuông là ma trận có số hàng bằng số cột hay m = n

+ Ma trận đường chéo là ma trận có các phần tử nằm trên đường chéo chính khác 0, các phần tử còn lại bằng 0

+ Ma trận đơn vị là ma trận mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, các phàn tử còn lại bằng 0

+ Ma trận nghịch đảo: Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A nếu tích AB = BA = I Trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận

A

+ Ma trận tam giác trên: Ma trận A được gọi là ma trận tam giác trên nếu các phần tử bên trên đường chéo chính khác 0, tất cả các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0

1.2 Không gian véc tơ và các khái niệm cơ bản

* Khái niệm không gian véc tơ

Không gian véc tơ V trên trường vô hướng K là một tập các đối tượng, thường gọi là các véc tơ, trong đó xác định hai phép toán:

1) Phép cộng: ứng với mỗi cặp phần tử x và ycủa V có xác định một phần tử của V, viết là x + y

2) Phép nhân với vô hướng: Ứng với mỗi phần tử x  V và mỗi số k K

có cách xác định một phần tử thuộc V, viết là kx hoặc ( x k), sao cho 8 tính chất sau được thỏa mãn:

1) x + y = y + x ;

2) x + ( y + z) = ( x + y) + z,  x , y,z V

3) Tồn tại   V sao cho  + x = x + ,  x  V Phần tử 

gọi là phần tử trung hoà của V

4) Với mỗi x  V tồn tại - x  V sao cho x + - x = - x + x =  Phần tử x gọi là phần tử đối của x

5) k(xy)kxky, x,yV,k K

6) (kl)xkxlx, x V,  l k,  K

7) k(lx)(kl)x, x V,  l k,  K

8) 1x  x, x V

Tám tính chất trên gọi là tám tiên đề của không gian véc tơ

* Định nghĩa không gian chuẩn

Không gian chuẩn, còn gọi là không gian định chuẩn, là một không gian véc tơ V trong đó ứng với mỗi phần tử x V có cách xác định một số thực ký hiệu là x và gọi là chuẩn của x, thoả mãn ba tính chất:

1) x  0, x V; x = 0  x 2) kx  k.x , x V, k R

3) xy  x  y ,  y x,  V

Ba tính chất này gọi là ba tiên đề của không gian chuẩn

Tập các phần tử của không gian véc tơ V gọi là tập nền của không gian chuẩn V

Khi đó ta viết x n x khi n , hay đơn giản là x n x

Nói dãy x n hội tụ trong V hay dãy x n hội tụ nếu tồn tại xV để x n x

* Sự trù mật

Cho S  T  V Nói S trù mật trong T nếu đối với mỗi phần tử y T đều tồn tại một dãy y nS để y n  y

Khi T = V ta nói tập S trù mật trong V

* Chuẩn tương đương

Trong một không gian véc tơ làm nền có thể có nhiều cách định nghĩa chuẩn cho mỗi phần tử xV Khi đó ta có nhiều không gian chuẩn khác nhau trên cùng một không gian

Trong không gian chuẩn V mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy Nhưng không phải dãy Cauchy nào cũng hội tụ

* Không gian Banach

Một không gian chuẩn V trong đó mọi dãy Cauchy đều hội tụ gọi là không gian chuẩn Banach hay không gian đầy

* Không gian có tích vô hướng

Trong một không gian véc tơ V trên trường số thực R, nếu tồn tại một ánh

xạ:

V ×V → R, tức là ứng với mỗi cặp (u,v)  V ×V, có cách xác định một số thực kí hiệu là (u,v)V sao cho:

(i) (u,v)V = (v,u)V u,v  V

(ii) (u + w,v)V = (u,v)V + (w,v)V u,v,w  V

(iii) (ku,v)V = k(u,v)V u,v  V, k R

v

u, ) ( , ) ( , )

* Không gian Hilbert

Trong không gian có tích vô hướng V ta đưa vào định nghĩa chuẩn:

Nếu không gian tiền Hilbert là một không gian chuẩn đầy thì nó được gọi

là không gian Hilbert

Trong không gian Hilbert nếu:

u,vV 0 v V thì u= 0

Chú ý: Khi đó ta viết bất đẳng thức Cauchy-Shwart là:

V V

Ý tưởng của phương pháp là khử dần các ẩn để đưa hệ ban đầu về hệ với

ma trận tam giác trên bằng các phép biến đổi tương tự như:

- Nhân một phương trình bất kỳ với một số khác không

- Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính của một số phương trình khác

Như vậy phương pháp Gauss gồm hai quá trình:

+ Quá trình thuận: Đưa hệ về dạng tam giác trên

+ Quá trình ngược: Giải hệ tam giác từ dưới lên

Bước 1: Dùng phương trình đầu tiên để khử x1 trong n-1 phương trình còn lại:

Giả sử a11 ≠ 0 (ta luôn có điều đó do có thể đổi chỗ hai phương trình )

* Chia cả hai vế phương trình thứ nhất cho a11 ta được phương trình:

x1 + b12x2 +… + b1nxn = b1n+1 (**) với b1j = a1j(0) / a11(0) ( j = 2,…, n+1)

* Cộng vào phương trình thứ i của hệ (*) với (**) sau khi đã nhân với -ai1(0) ( j = 2, 2 n) ta được hệ:

a22(1)x2 + a23(1)x3 +… + a2n (1)xn = a2n+1(1)

a32(1)x2 + a33(1)x3 +… + a3n (1)xn = a3n+1(1)

……… (***)

an2(1)x2 + an3(1)x3 +… + ann (1)xn = ann+1(1)với aij(1) = aij(0) + ai1(0)b1j

Như vậy sau bước 1 ta thu được phương trình (**) và hệ (***)

Bước 2: Dùng phương trình đầu tiên trong (***) khử x2 tương tự như ở bước 1

Quá trình đó tiếp tục với các xi cho tới bước n ta thu được hệ phương trình:

x1 + b12x2 +… + b1n xn = b1n+1

x2 +… + b2n xn = b2n+1

……… (****)

xn = bnn+1 các hệ số tính được theo công thức: bmj = amj(m-1) / amm(m-1) m = 1, 2, …n; j = m + 1, ., n+1 aij(m) = aij(m-1) – aim(m-1)bmj i = m + 1, …n; j = m + 1, ., n+1 Các phần tử amm(m-1) được gọi là các phần tử trụ hay các phần tử chủ đạo b) Quá trình ngược Giải hệ (****) ta áp dụng công thức: xn = bn,m+1 xk = bk,n+1 -    n k j j j k x b 1 , (k = n-1, …, 1) 1.4.2 Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình với ma trận ba đường chéo Xét các ma trận có dạng:                     n n n n n i i i i i i i f x c x a f x b x c x a f x b x c 1 1 1 1 2 1 1 1

Để giải phương trình bằng phương pháp truy đuổi ba đường chéo ta đặt: 1 1 1 c b   ,

1 1 1 c f   Ta lần lượt tính: * Quá trình truy đuổi xuôi:   i i a c b   ,  1





 i i i i

a c

f







 (i = 2, … , n)

B = (bij)n,n

G = ( g1, g1,… gn )TChọn vectơ:

X = ( x1(0), x2(0),…., xn(0))TLàm xấp xỉ thứ 0 của nghiệm đúng và xây dựng xấp xỉ đó:

X(m+1) = BX(m) + G ( m = 0,1,….) Người ta chứng minh được rằng nếu phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất và một trong ba chuẩn của ma trận B nhỏ hơn 1 thì dãy xấp xỉ hội tụ về nghiệm duy nhất đó Cho ma trận B, chuẩn của ma trận B là một trong ba số sau:







n j

b B

(Chuẩn của ma trận quan hệ tới sự hội tụ của phương pháp lặp)

1.4.4 Phương pháp lặp Gauss-Seidel

Ý tưởng của phương pháp được cải tiến từ phương pháp lặp Jacobi, tức là

ta đưa bài toán về dạng X = BX+G Nội dung cơ bản của phương pháp là ở chỗ khi tính nghiệm xấp xỉ thứ (k+1) của ẩn xi ta sử dụng các xấp xỉ thứ ( k+1) của các ẩn x1, x2,…,xi-1 Giả sử đã cho hệ [A][X] = [B] thì ta có nghiệm:

x i = β i +



n j j

ij x

1

 i = 1, ,n

Lấy xấp xỉ ban đầu tùy ý x1(0), x1(2),… x1(n) và tất nhiên ta lấy chúng càng tương ứng với x1, x2, … ,xn càng tốt Tiếp theo ta giả sử rằng đã biết xấp

xỉ thứ k xi(k) Theo Seidel ta sẽ tìm xấp xỉ thứ (k+1) của nghiệm theo các công thức sau:

x 1 (k+1) = β 1 +



n j

k j

ij x

1

) (



x 2 (k+1) = β 2 + ( 1 )

1 21

k j

ij x

2

) (

1

) 1 (

i j

k j

ij x

 + 



n i

k j

1

) 1 (

n j

k j

ij x

 +  nn x n (k)

Phương pháp Gauss – Seidel hội tụ nhanh hơn phương pháp lặp Jacobi nhưng tính toán phức tạp hơn

1.5 Phương trình đạo hàm riêng và bài toán biên

1.5.1 Phương trình đạo hàm riêng

Với hàm số một biến số y = y(x) ta có khái niệm đạo hàm y’(x):







 ) ( )(

Khái niệm phương trình vi phân y’ = f(x,y) và khái niệm bài toán Cauchy: Tìm hàm số y = y(x) xác định tại x  [ x0, X] sao cho:

y’ = f(x,y), x0 < x < X, y(x0) = 

trong đó f(x,y) là hàm số cho trước; x0, X là những số cho trước

Với hàm số nhiều biến ta cũng gặp những khái niệm và những bài toán tương tự

Xét hàm số hai biến số u = u(x,y), ta có đạo hàm riêng cấp một đối với x:







 , ) ( , ) (





 ) ( , ),

(

Và các đạo hàm riêng cấp hai:

2 2

là bậc nhất đối với u và các đạo hàm của u

1.5.2 Một số bài toán thực tế dẫn đến phương trình đạo hàm riêng

Trong thực tế có rất nhiều hiện tượng mà những biến đổi của nó theo thời gian, không gian hay cả thời gian và không gian được mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng, sau đây là một vài thí dụ:

1 Bài toán truyền nhiệt trong thanh vật chất

Trước khi đi vào bài toán ta xét định luật truyền nhiệt của Fourier:

Luồng nhiệt q( cal/(cm2

.s)) theo phương x (tức là nhiệt lượng khuyếch tán qua một đơn vị diện tích của thiết diện thẳng nhỏ S trong một đơn vị thời gian.) tỉ lệ với tốc độ biến thiên của nhiệt độ u dọc theo phương x, tức là tỉ lệ

Ta xét một thanh đồng chất, dài L(cm), có thiết diện thẳng nhỏ không đổi

là S(cm2

), có khối lượng riêng là (g/cm2), có nhiệt dung là C(cal/g.o C) Xét

/s)

Bây giời ta giả sử thanh vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trường xung quanh, trừ tại hai đầu nút Hãy xét diễn biến theo thời gian của phân bố nhiệt độ trong thanh

Ta tưởng tượng thanh vật chất đặt trên trục OX từ x = 0 đến x = a + L = b (hình 1.1)

Hình 1.1

Gọi u(x,t) là nhiệt độ của thanh tại điểm x và tại thời gian t Sự lan truyền nhiệt diễn ra dọc theo trục x của thanh vật chất Nó tuân theo định luật Fourier (đã trình bày ở trên) Do có luật bảo toàn nhiệt lượng nên có sự cân bằng nhiệt ở mỗi phân tố nhiệt nhỏ Sx của thanh từ x đến x + x trong thời gian t Sự cân bằng này mô tả theo công thức:

Nhiệt truyền vào phân tố - Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích luỹ trong phân tố

Trong đó:

Nhiệt truyền vào phân tố là q(x,t)St;

Nhiệt ra khỏi phân tố là q(x+x,t)St;

Nhiệt tích luỹ trong phân tố là Sx Cu, trong đó u là biến thiên của

=

t

u C

đồng chất gọi là phương trình truyền nhiệt của thanh, còn gọi là phương trình

truyền nhiệt một chiều

2 Bài toán truyền nhiệt trong miền phẳng

Nay ta thay thanh vật chất bằng một bản mỏng vật chất  Có đường biên

là một đường cong khép kín T, đặt trong mặt phẳng Oxy

u x

u u t y x k

(x,y)  , t > 0 (1.5) hay khi k không phụ thuộc vào u ta có phương trình tuyến tính:

u t y x k

x 1 , , 2 , , - q(x,y,t)u + f(x,y,t),

(x,y)  , t > 0 (1.6) Vậy các phương trình (1.4), (1.5), (1.6) là các phưong trình truyền nhiệt hai chiều

3 Bài toán truyền nhiệt trong không gian ba chiều

Tương tự khi ta thay bản mỏng vật chất bằng một khối vật chất V có mặt biên khép kín là , đặt trong không gian Oxyz Khi đó ta có phương trình truyền nhiệt trong môi trường không gian đồng chất là:

y

u x

Trong trường hợp tổng quát khi k phụ thuộc vào x,y,t,u ta có phương trình:

u u t z y x k

u t z y x k

z 3 , , , -

q(x,y,z,t)u + f(x,y,z,t), (x,y,z)  V, t > 0, (1.9)

4 Phương trình truyền nhiệt dừng

Tại một thời điểm nào đó sự phân bố nhiệt độ trên thanh vật chất, bản

mỏng vật chất, khối vật chất đã ổn định, không còn thay đổi theo thời gian thì ta

gọi đó là hiện tượng truyền nhiệt dừng Lúc đó nhiệt độ không thay đổi theo thời

gian nữa hay

t

u





= 0, và do đó ta có phương trình truyền nhiệt dừng như sau:

Trong môi trường một chiều:

, 0

a < b (1.10) hay:

d

- q( x )u = f( x ), a < x < b; (1.12)

Trong trường hợp hai chiều:

2 2 2 2

y

u x

u u y x k

x 1 , , 2 , , = f(x,y,u), (x,y)   (1.14)

Hay với hàm tuyến tính ta có phương trình dạng:

u y x k

x 1 , 2 , - q(x,y)u = f(x,y,u), (x,y)   (1.15)

Trong trường hợp ba chiều:

2 2 2

2

y

u x

u u z y x k y x

u u z y x k

(x,y,z)  V (1.17) hay khi k không phụ thuộc vào u ta có phương trình tuyến tính:

u z y x k y x

u z y x k

2

y

u x

2

y

u x

Người ta gọi chúng là phương trình Poisson hai chiều và ba chiều

5 Phương trình dây rung

Xét một dây đàn bằng kim loại đồng chất, căng, thẳng, có độ dài L, cố

định hai đầu mút Khi gẩy dây đàn tách ra khỏi vị trí cân bằng một chút rồi buông

ra, dây đàn sẽ rung lên và phát ra âm thanh Để mô tả hiện tượng rung của dây

đàn ta tưởng tượng dây đàn đặt trên một trục Ox từ x = a đến x =b = a+L, và vẽ

trục Ou vuông góc với Ox để biểu diễn độ lệch của dây đàn

Hình 1.4

Gọi u(x,t) là độ lệch vuông góc với Ox của dây tại điểm x ở thời điểm t Khi đó người ta chứng minh được hàm số u(x,t) thoả mãn phương trình đạo hàm riêng:

2

2 2 2

x

u c t

Phương trình này mô tả hiện tượng rung động của dây đàn, nên được gọi là phương trình dây rung hay phương trình truyền sóng một chiều

1.5.3 Khái niệm bài toán biên

Như ta đã biết một phương trình vi phân thường có vô số nghiệm Ta phải thêm một số diều kiện phụ nữa thì bài toán mới có nghiệm duy nhất

Một phương trình vi phân thường cấp một kèm thêm một điều kiện phụ tại một điểm:

X x x y x f

y' ( , ), 0   , y(x0) tạo nên một bài toán hoàn chỉnh, có tên là bài toán Cauchy hay bài toán trị ban đầu

Một phương trình vi phân thường cấp hai kèm thêm hai điều kiện phụ tại hai điểm khác nhau:

),,('' f x y

y  axb, y(a),y(b)

x U(x,o)

U(x,t)

x

tạo nên một bài toán hoàn chỉnh có tên là bài toán biên loại một, điều kiện

y gọi là điều kiện biên (loại một)

Đối với phương trình đạo hàm riêng cũng tương tự Muốn có nghiệm duy

nhất thì phương trình đạo hàm riêng phải kèm theo một điều kiện phụ Mỗi cách

cho điều kiện phụ xác định một lớp bài toán riêng biệt

Thí dụ:

Đối với phương trình Poisson hai chiều:

2 2 2

2

y

u x

u  (x,y)T (1.21) gọi là điều kiện biên loại một hay điều kiện Dirichlet

Bài toán tìm hàm số u = u(x,y) thoả mãn phương trình (1.18) và điều kiện

biên (1.21) gọi là bài toán biên loại một hay bài toán biên Dirichlet đối với

phương trình Poisson (1.18)

Ý nghĩa vật lý của bài toán này là:

Nó mô tả sự phân bố nhiệt độ đã ổn định trong miền phẳng  khi phân bố

nhiệt độ tại biên T đã ổn định là g(x,y)

Điều kiện phụ:

T y T

u y x n

,

) , (

 (1.22)

T là biên của  trong đó n là pháp tuyến (hướng ra) ngoài của biên T, gọi

là điều kiện biên loại ba

Về mặt vật lý điều kiện biên này mô tả quan hệ giữa luồng nhiệt và nhiệt

độ ở biên của bản mỏng vật chất 

Bài toán tìm u = u(x,y) thoả mãn phương trình đạo hàm riêng (1.18)

và điều kiện biên (1.22) gọi là bài toán biên loại ba đối với phương trình

Poisson

1.5.4 Một số bài toán thực tế giải bằng phương pháp sai phân và phương pháp phần tử hữu hạn

Ngoài những ứng dụng cơ bản trên trong thực tế còn rất nhiều bài toán để giải chúng ta phải đưa chúng về bài toán vi phân như:

+ Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong phân tích động của

cầu dây văng: Cầu dây văng thường được thiết kế và xây dựng vượt nhịp rất dài

với kết cấu rất thanh mảnh, độ cứng nhỏ nên rất nhạy cảm với tải trọng tác động

có chu kỳ, vì vậy hiệu ứng động lực học lên cầu dây văng thường rất lớn, trong nhiều trường hợp có tính quyết định đến việc xác định kích thước kết cấu và sơ

đồ cầu Ta xây dựng mô hình tính toán và ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào phân tích động cầu dây văng có xét đến biến dạng hình học của dây

+ Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để mô phỏng thời tiết trên trái đất và dự báo thời tiết trên đất liền: Thời tiết trên trái đất diễn biến rất

phức tạp và thất thường, ta dựa trên từng miền và từng khu vực và điều kiện cụ thể của vùng đó để xây dựng hàm toán học mô phỏng diễn biến và dự đoán sự biến đổi trong một khoảng thời gian xác định

+ Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán kết cấu công trình ngầm: Tùy thuộc địa hình và điều kiện khác nhau mà ta tính toán để

đưa ra hàm thích hợp nhằm đánh giá chính xác các khả năng như: sức chịu lực nén, độ sâu cần thiết, kháng lực đàn hồi…giúp cho việc thi công đạt hiệu quả

+ Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn phân tích mạng lưới quan

trắc động thái nước ngầm: Phân tích mối tương quan giữa các nhân tố hình

thành cân bằng và yếu tố cân bằng nước ngầm để phục vụ cho việc khai thác mang lợi ích kinh tế

+ Ứng dụng phương pháp sai phân hữu hạn mô phỏng quá trình truyền nhiệt dừng của vật chất: Nhằm mô phỏng chính xác nhiệt độ của vật

chất cần tính tại một thời điểm nào đó để phục vụ cho viêc chế tạo ra những sản phẩm chịu nhiệt thích hợp

+ Ứng dụng phương pháp sai phân hữu hạn trong bài toán truyền sóng biển: Tính toán biên độ và lực tác động của sóng biển, để đưa ra phương

pháp hợp lý nhằm giảm thiểu tác hại mà sóng biển gây ra

+ Ngoài ra phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn còn rất nhiều ứng dụng trong các bài toán về cơ học, nhiệt học, và trong những ngành điện tử vĩ mô khác

Kết Luận

Trong chương này chúng ta đã tìm hiểu những khái niệm, định nghĩa về

ma trận, không gian véc tơ, phương trình đạo hàm riêng, cùng một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính Chương hai chúng ta sẽ nghiên cứu

về hai phương pháp: phương pháp sai phân và phương pháp phần tử hữu hạn giải phương trình Poisson với điều kiện Dirichlet

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN

TỬ HỮU HẠN GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET VỚI

PHƯƠNG TRÌNH POISSON

2.1 Phương pháp sai phân

2.1.1 Bài toán truyền nhiệt dừng trong miền chữ nhật

Cho các số a, b, c, d với a < b, c < d Xét trong mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy một miền chữ nhật  có các cạnh song song các trục toạ độ Ox và Oy (hình 2.1)

Hình 2.1

Tìm hàm số u(x,y) thoả mãn phương trình Poisson:

) , (

2 2 2

2

y x f y

u x

c

o

Đây là phương trình loại elip hay gọi là phương trình Poisson với điều kiện

(2.2) là điều kiện Dirichlet

Ta giả sử bài toán (2.1) – (2.2) có nghiệm duy nhất đủ trơn trong

 =  T

2.1.2 Lưới sai phân và hàm lưới

* Lưới sai phân

Để xây dựng lưới sai phân ta chia  thành các ô nhỏ

Chon trước hai số nguyên N > 1 và M > 1, đặt h = (b-a)/ N gọi là bước đi

theo x và

k = (d-c)/M gọi là bước đi theo y Đặt:

ih a

x i   , y j c jk (2.3)

Mỗi điểm (x i,y j) gọi là một nút lưới, còn ký hiệu là (i,j) Nút ở trong 

gọi là nút trong, tập tất cả các nút trong kí hiệu là hk Nút ở trên T gọi là nút

biên, tập tất cả các nút biên ký hiệu là Thk, tập hk = hk Thk gọi là một lưới sai

* Hàm lưới

Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới Giá trị của hàm lưới v tại nút (x , i y j) viết là vij Mỗi hàm u(x, y) xác định tại mọi (x,y)  

tạo ra hàm lưới u xác định bởi u ij = u( x , i y j )

Ta sẽ tính gần đúng giá trị của nghiệm u(x, y) tại các nút (xi, yj) và kí hiệu giá trị gần đúng đó là vij:

ij

v u(x i,y j)

2.1.3 Bài toán sai phân

* Công thức Taylor

Trước khi đi vào xây dựng bài toán sai phân ta xét công thức Taylor

Giả sử F(x) là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m 1 trong khoảng (,) chứa x và x + ∆x, ∆x có thể dương hay âm Khi đó người ta chứng minh được công thức Taylor sau:

) ( )!

1 (

) ( ) (

!

) (

) ( ''

! 2

) ( ) ( ' ) ( )

1 2

c F m

x x F m

x x

F

x x xF x F x x

m m

1

x

F m M = const, x  ,

Khi đó số hạng cuối cùng ở công thức (2.4) là một vô cùng bé khi ∆x0

và công thức Taylor viết lại là:

) ) ((

) (

!

) (

) ( ''

! 2

) ( ) ( ' ) ( )

x x

F

x x xF x

F x

x

F

(2.5)

* Xây dựng bài toán

Ta ký hiệu Cm() là tập các hàm số hai biến x, y có các đạo hàm riêng đến cấp mliên tục trong  =  T

Giả sử bài toán (2.1)-(2.2) có nghiệm u  C4 (  ), khi đó:

max) , ( y 







) , (

4

4

y x x

u

C1 = const

max) , ( y 







) , (

4

4

y x y

u

C2 = const

Áp dụng công thức Taylor ta có:

) , ( )

, (x i1 y j u x i h y j

!3

!2)

,

3 3 2

2 2

h O x

u h x

u h x

u h y

, (x i1 y j u x i h y j

!3

!2)

,

3

3 3 2

2 2

h O x

u h x

u h x

u h y

,(),(2),

2 2 2

1 1

h O x

u h

y x u y x u y x

) , ( )

! 2 )

,

3 3 2

2 2

k O y

u k y

u k y

u k y x

! 2 )

,

3 3 2

2 2

k O y

u k y

u k y

u k y x

1 1

k O y

u k

y x u y x u y

x

u i j  i j  i j

= ∆u +

2 2

Gọi v là một hàm lưới nào đó xác định tại mọi nút của lưới hk, ta đặt:

∆hkv

2 1 , 1

, 2

, 1 ,

k

v v v

h

v v

),,(2

2

2 1 , 1

, 2

, 1 ,

1

j i j

ij j j

i ij j i

y x f k

v v v

h

v v v

u u

K

kh

) , (

max

Với K là một hằng số

- Xét sự hội tụ và sai số của bài toán:

Với hàm lưới w xác định trên kh ta định nghĩa chuẩn:

áp dụng hệ quả trên vào sai số của bài toán ta có:

) (h2 k2O

u v

Đó là sự hội tụ của nghiệm đúng v của bài toán sai phân và nó cũng là

đánh giá sai số của phương pháp

2.1.4 Giải bài toán sai phân bằng phương pháp lặp Seidel co dãn

Ta có thể giải hệ (2.9)-(2.10) bằng các phương pháp truyền thống như phương pháp Gauss, phương pháp Jacobi, phương pháp Gauss-Seidel … hay phương pháp tiết kiệm khối lượng tính Nhưng do dặc thù của bài toán như số mắt lưới trong thực tế là rất cao, yêu cầu tính chính xác ( phương pháp Seidel-co dãn

có quá trình tăng cường tốc độ hội tụ ), và đảm bảo về tốc độ tính toán nên phương pháp lặp Seidel-co dãn tỏ ra ưu việt hơn

Nội dung phương pháp lặp Seidel như sau:

) (

k h



 phương trình (2.10) viết:

j i j

v1,  1, + (v,j1 v,j1)- 2(1+)v ij= h2 f ij

Do đó:

v v i 1j v i1j (v ij1 v ij1) h2f ij

)1(2

) 1 ( ) (

ij m ij m ij m m

v

v v

(2.13)

trong đó  là mức độ chính xác tương đối định trước

Mặc dù vậy phương pháp còn chứa những nhược điểm như: Khối lượng tính nghiều hơn phương pháp tiết kiệm khối lượng tính, tính chính xác trong một

số trường hợp cụ thể có thể kém hơn phương pháp Gauss hay phương pháp Jacobi

2.1.5 Bài toán truyền nhiệt dừng trong trường hợp miền Ω không là hình chữ nhật

* Bài toán vi phân

Xét trong mặt phẳng Oxy một miền bất kỳ Ω có đường biên khép kín kí hiệu là T (như hình 2.3)

u x

u(x,y) = g(x,y), (x,y)  T (2.15)

trong đó f(x,y) và g(x,y) là các hàm số cho trước

Giả sử bài toán (2.14)-(2.15) có nghiệm đủ trơn trong 

* Lưới sai phân

Tương tự, ta chia miền Ω như sau:

kề biên là nút có ít nhất một nút lân cận có độ dài nhỏ hơn một bước đi

Tập các nút trong kí hiệu là Ωhk Tập các nút kề biên ký hiệu là Ωhk* Tập các nút biên ký hiệu là Thk Tập hợp:

= Ω hk  Ω hk

*

 T hk

gọi là một lưới trên 

* Bài toán sai phân

Bây giờ giả sử M(xi,yj) là một nút kề biên Bốn nút lân cận của nó là: Nút cận đông D cách nó một khoảng là  h, nút cận tây T cách nó một khoảng là  h, nút cạnh bắc B cách nó một khoảng là  k, nút cạnh nam N cách nó một khoảng là

1)()(

!2

1)()()()

3 3 2

2 2

h O M x

u h M

x

u h M

x

u h M u D

!3

1)()(

!2

1)()()()

3 3 2

2 2

h O M x

u h M

x

u h M

x

u h M u T

! 3

1 ) ( ) (

! 2

1 ) ( ) ( ) ( )

3

3 3 2

2

y

u k M

y

u k M

y

u k M u B

! 3

1 ) ( ) (

! 2

1 ) ( ) ( ) ( )

3

3 3 2

2

y

u k M

y

u k M

y

u k M u n

( )

( ) ( ) ( ) ( ) (

1

2

2

h O M x

u h

T u M u h

M u D u

) ( ) )(

( )

( ) ( ) ( ) ( ) (

1

2

2

k O M y

u k

N u M u k

M u B u

u





+ 0(h  k)

vậy thay cho phương trình (2.1) tại các nút kề biên M ta viết phương trình

sai phân sau:

k       = f (M) (2.16)

Như vậy bài toán sai phân trong trường hợp miền không phải là chữ nhật

bao gồm:

Các phương trình (2.10) tại các nút trong, phương trình (2.16) tại các nút

kề biên và phương trình (2.11) tại các nút biên

* Cách giải bài toán sai phân

Sau khi đã xấp xỉ bài toán bởi các công thức (2.10)-(2.11)-(2.16), chúng là

một hệ đại số tuyến tính mà số phương trình bằng số ẩn ( bằng tổng các nút trong

và các nút kề biên) Ta cũng có thể giải chúng bằng công thức lặp Seidel như đã

trình bày ở trên

2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn

2.2.1 Bài toán Dirichlet với phương trình Poisson

Ω là một miền không rỗng, mở và hữu hạn của mặt phẳng (x,y) có biên là

đường cong khép kín trơn từng khúc

Cho hàm số f(x,y) L2(Ω)

f y

u x

Nghiệm này gọi là nghiệm cổ điển của bài toán (2.17)-(2.18)

Như vậy bài toán (2.17)-(2.18) là mô tả hiện tượng truyền nhiệt dừng của bản mỏng vật chất Ω mà nhiệt độ tại biên T ấn định bằng 0

b) Bài toán yếu

Giả sử bài toán (2.17)-(2.18) có nghiệm duy nhất u W02(Ω) Khi đó ∆u

y

u x

u

2 2 2

u v dxdy

y y

v u x x

v u vdxdy

y

u x

trong đó v là pháp tuyến ngoài của đường biên T, còn ds là vi phân cung trên T

Vì v  W01(Ω) thỏa mãn điều kiện biên (2.18) nên (2.19) cho:

fvdxdy dxdy

y y

v u x x

v u