Bài toán biên thứ nhất đối với phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính với dạng đặc trưng không âm

Khæng gian H1Ω.. Khæng gian H1 locΩ.. Khæng gian H01Ω.. B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic.. B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic têng qu¡t.. B i to¡n bi¶

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

MEUNGKHAM KEOPHOUVONG

B€I TON BI–N THÙ NH‡T ÈI VÎI

PH×ÌNG TRœNH „O H€M RI–NG C‡P HAITUY˜N TNH VÎI D„NG C TR×NG KHÆNG …M

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Th¡i Nguy¶n - N«m 2017

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC S×PH„M

MEUNGKHAM KEOPHOUVONG

B€I TON BI–N THÙ NH‡T ÈI VÎI

PH×ÌNG TRœNH „O H€M RI–NG C‡P HAITUY˜N TNH VÎI D„NG C TR×NG KHÆNG …M

Chuy¶n ng nh: TON GIƒI TCH

LÍI CAM OANTæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l  trungthüc v  khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c Tæi công xin cam oan r¬ng måi

sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v  c¡c thængtin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2017

Ng÷íi vi¸t luªn v«n

Meungkham KEOPHOUVONG

LÍI CƒM ÌNLuªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v  sü ch¿b£o nghi¶m kh­c cõa TS Nguy¹n Thà Ng¥n em xin gûi líi c£m ìnch¥n th nh v  s¥u s­c ¸n cæ.

Tæi công xin k½nh gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡otrong tr÷íng ¤i håc S÷ Ph¤m  ¤i håc Th¡i Nguy¶n công nh÷ c¡c th¦y

cæ gi¡o tham gia gi£ng d¤y khâa håc 2015-2017 nhúng ng÷íi ¢ em h¸tt¥m huy¸t v  sü nhi»t t¼nh º gi£ng d¤y v  trang bà cho chóng tæi nhi·uki¸n thùc v  kinh nghi»m

V  cuèi còng, xin gûi líi bi¸t ìn bè mµ, c£m ìn gia ¼nh, c£m ìn c¡c

çng nghi»p, b¤n b± ¢ luæn çng h nh gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nhhåc tªp nghi¶n cùu công nh÷ trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n luªn v«n n y

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2017

Ng÷íi vi¸t luªn v«n

Meungkham KEOPHOUVONG

Möc löc

Líi cam oan i

Líi c£m ìn ii

Möc löc iii

Mð ¦u 1

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 3

1.1 Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai 3

1.2 Khæng gian H1(Ω) 5

1.3 Khæng gian H1 loc(Ω) 8

1.4 Khæng gian H01(Ω) 8

1.5 Khæng gian H1,0(QT) 10

1.6 Khæng gian H01,0(QT) 11

1.7 B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic 11

1.7.1 B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic têng qu¡t 11

1.7.2 B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace 20

1.8 B i to¡n bi¶n hén hñp thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh parabolic 24

1.8.1 B i to¡n bi¶n hén hñp thù nh§t v  nghi»m suy rëng 25

1.8.2 B i to¡n bi¶n hén hñp thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t thu¦n nh§t vîi h» sè l  h¬ng sè 27

Ch÷ìng 2 B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh ¤o h m

ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m 30

2.1 Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m 30

2.2 B i to¡n bi¶n thù nh§t 31

2.2.1 Ph¥n lo¤i c¡c iºm tr¶n bi¶n 31

2.2.2 Ph¡t biºu b i to¡n bi¶n thù nh§t 31

2.3 C¡c m»nh · bê trñ 32

2.4 Cæng thùc Green cho to¡n tû L(u) 34

2.5 Sü tçn t¤i nghi»m suy rëng cõa b i to¡n bi¶n thù nh§t 36

2.5.1 ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m trong Lp(Ω) 36

2.5.2 Sü tçn t¤i nghi»m suy rëng cõa b i to¡n bi¶n thù nh§t trong khæng gian Lp(Ω) 41

K¸t luªn 47

T i li»u tham kh£o 48

MÐ †U

Bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng hay ph÷ìng tr¼nh Vªt lþ to¡n l mët bë mæn to¡n håc cì b£n vøa mang t½nh lþ thuy¸t cao vøa mangt½nh ùng döng rëng Ng nh to¡n håc n y ¢ gâp ph¦n x¥y düng lþ thuy¸tchung cho c¡c ng nh to¡n håc v  c¡c khoa håc kh¡c Ph÷ìng tr¼nh ellipticxu§t hi»n khi nghi¶n cùu c¡c qu¡ tr¼nh khæng thay êi v· thíi gian (qu¡tr¼nh døng), ph÷ìng tr¼nh hyperbolic v  parabolic xu§t hi»n khi nghi¶ncùu c¡c qu¡ tr¼nh câ thay êi v· thíi gian (qu¡ tr¼nh khæng døng) ºx¡c ành nghi»m cõa c¡c lo¤i ph÷ìng tr¼nh n y ng÷íi ta ph£i x¥y düngc¡c i·u ki»n ban ¦u, i·u ki»n bi¶n i·u ki»n ban ¦u cho bi¸t tr¤ngth¡i t¤i thíi iºm t = 0, i·u ki»n bi¶n cho bi¸t qu¡ tr¼nh x£y ra ð c¡cbi¸n khæng gian B i to¡n t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh èi vîi i·u ki»nbi¶n ¢ cho ÷ñc gåi l  b i to¡n bi¶n

Tø ché th§y ÷ñc vai trá r§t quan trång v  c¦n thi¸t cõa lþ thuy¸tph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng v  mong muèn ÷ñc hiºu s¥u, hiºu kÿ v·ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng °c bi»t l  ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§phai tuy¸n t½nh n¶n em chån · t  i "B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìngtr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m"

º nh¬m möc ½ch nghi¶n cùu v· kh¡i ni»m mët sè t½nh ch§t cì b£n cõaph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng v  tr¼nh b y têng quan lþ thuy¸t c¡c v§n ·v· b i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p haituy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m Luªn v«n gçm câ hai ch÷ìngvîi nëi dung cö thº nh÷ sau:

Ch÷ìng1: Tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n c¡c khæng gian Sobolevnh÷ H1(Ω) , Hloc1 (Ω) ,

Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y v· b i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh

¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m, sü tçnt¤i nghi»m suy rëng cõa b i to¡n bi¶n n y B i to¡n bi¶n thù nh§t cõaph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng

¥m chùa b i to¡n bi¶n cõa ph÷ìng tr¼nh elliptic v  parabolic nh÷ nhúng

tr÷íng hñp °c bi»t.

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khæng gianSobolev, b i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic v  b i to¡nbi¶n hén hñp thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh parabolic Nëi dung chõ y¸ucõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [2] , [3] , [4]

1.1 Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai

Ta k½ hi»u Ω l  mët mi·n bà ch°n trong khæng gian Euclid n chi·u Rn

vîi ∂Ω l  bi¶n cõa mi·n n y

x = (x1, x2, , xn) l  mët iºm cõa khæng gian Rn

Dxi = ∂

∂xi l  to¡n tû l§y ¤o h m ri¶ng theo bi¸n xi

Gi£ sû α = (α1, α2, , αn) l  tªp hñp c¡c ch¿ sè, trong â αi l  c¡c sènguy¶n khæng ¥m v  |α| = Pn

∂xi∂xj º ch¿ ¤o h m ri¶ng c§p hai cõa h m u

ành ngh¾a 1.1 Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai l ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng:

trong â f l  mët h m (ho°c mët v²ctì h m) ¢ bi¸t trong mi·n Ω ⊂ Rn, u

l  h m ©n, L l  mët to¡n tû vi ph¥n tuy¸n t½nh trong Ω, [aij(x)] l  matrªn gçm c¡c h» sè cõa ¤o h m c§p hai cõa to¡n tû L thäa m¢n:

aij(x) = aji(x) , i, j = 1, n

Ph¥n lo¤i ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p haiKhi nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh ¤o h m ri¶ng nâichung v  ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh nâi ri¶ng ng÷íi

ta chia l m ba lo¤i ph÷ìng tr¼nh cì b£n: ph÷ìng tr¼nh elliptic, ph÷ìngtr¼nh hyperbolic v  ph÷ìng tr¼nh parabolic X²t ph÷ìng tr¼nh ¤o h mri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai (1.1)

°t A (x) = [aij(x)] , aij(x) ÷ñc coi l  thüc i, j = 1, n

Gi£ sû x0 ∈ Ω l  mët iºm tòy þ, λ1(x0) , λ2(x0) , , λn(x0) l  c¡c gi¡trà ri¶ng thüc cõa ma trªn A (x0)

Ta k½ hi»u n+ = n+(x0) l  sè c¡c gi¡ trà ri¶ng d÷ìng n− = n−(x0) l 

sè c¡c gi¡ trà ri¶ng ¥m v  n0 = n0(x0) l  sè c¡c gi¡ trà ri¶ng b¬ng khæng,

n = n++ n−+ n0.Khi â:

∗ Ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh elliptic t¤i iºm x0

(ho°c elliptic t¤i iºm x0) n¸u n+ = n ho°c n− = n

∗ Ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh hyperbolic t¤i iºm x0

(ho°c hyperbolic t¤i iºm x0) n¸u n+ = n − 1 v  n− = 1 ho°c n+ = 1 v 

n− = n − 1

∗ Ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh parabolic t¤i iºm x0

(ho°c parabolic t¤i iºm x0) n¸u n0 > 0

∗ Ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh elliptic, hyperbolic v parabolic tr¶n tªp Ω n¸u t÷ìng ùng nâ elliptic, hyperbolic v  parabolict¤i méi iºm cõa mi·n Ω

trong â a(x1) > 0 vîi x1 > 0; a(x1) < 0 vîi x1 < 0 v  a(x1) = 0 khi

x1 = 0 Ph÷ìng tr¼nh n y l  elliptic vîi x1 > 0, hyperbolic vîi x1 < 0;parabolic vîi x1 = 0

tr¶n m°t Σ cè ành ÷ñc x¡c ành khæng ìn trà v¼ mesΣ = 0 n¶n h m utr¶n Σ câ thº câ gi¡ trà tòy þ Song vîi mët þ ngh¾a x¡c ành ta câ thº nâiv· c¡c gi¡ trà cõa mët h m ÷ñc x¡c ành h¦u kh­p tr¶n mët m°t (n-1)chi·u Rã r ng h¤n ch¸ tr¶n Σ cõa mët h m li¶n töc trong Ω l  h m li¶ntöc trong Σ.

Gi£ sû Σ l  mët m°t (n-1) chi·u thuëc lîp C1 n¬m trong Ω v  Σ1

l  mët m©u cõa nâ ÷ñc chi¸u ìn trà l¶n mët mi·n D cõa m°t ph¯ng{xn = 0} v  câ ph÷ìng tr¼nh:

u (x)|Σ

1

∂u (x0, ξn)

∂ξn

∂u (x0, ξn)

∂ξn

∂u (x0, s)

∂xn

∂u (x0, s)

∂xn

ành lþ 1.2 (T½nh compact) Tªp bà ch°n trong H1(Ω) l  compact trong

L2(Ω)

1.5 Khæng gian H1,0 (QT)

Gi£ sû Ω l  mët mi·n bà ch°n trong Rn v  QT = Ω × [0, T ] l  h¼nh trö

câ ë cao T > 0 trong Rn+1 = Rn × (−∞, +∞)

ành ngh¾a 1.6 Khæng gian H1,0(QT) l  khæng gian gçm c¡c lîp h m

u (x, t) ∈ L2(QT) câ ¤o h m ri¶ng suy rëng ux i ∈ L2(QT) , i = 1, n.Hay ta câ thº vi¸t:

∗ N¸u ∂Ω ∈ C1 th¼ C∞ QT
trò mªt kh­p nìi trong H1,0(QT)

∗ Gi£ sû Σ l  mët m°t (n-1) chi·u lîp C1 trong Ω (Σ câ thº tròng vîi

L§y t½ch ph¥n (1.11) vîi t ∈ [0, T ] , ta câ:

kuk − uskL

2 (Σ T ) ≤ Ckuk − uskH1,0 (Q T ), k, s = 1, 2,

Do d¢y uk, k = 1, 2, l  d¢y cì b£n trong H1,0(QT) n¶n d¢y

uk|(x,t) ∈ ΣT, k = 1, 2, l  d¢y cì b£n trong L2(ΣT) V¼ vªy tçn t¤i

h m uΣ T ∈ L2(ΣT) m  d¢y uk|(x,t) ∈ ΣT, k = 1, 2, hëi tö ¸n nâ trong

L2(ΣT) , h m n y khæng phö thuëc v o vi»c chån d¢y uk, k = 1, 2, x§px¿ h m u

H m uΣT công ÷ñc gåi l  v¸t cõa h m u ∈ H1,0(QT) tr¶n m°t trö ΣT

1.6 Khæng gian H01,0 (QT)

ành ngh¾a 1.7 Khæng gian H01,0(QT) l  khæng gian gçm nhúng lîp

h m u (x, t) ∈ H1,0(QT) sao cho v¸t u|Γ T cõa u(x,t) b¬ng 0 vîi

T½nh elliptic cõa ph÷ìng tr¼nh (1.12) t÷ìng ÷ìng vîi i·u ki»n:

n

X

i=1

ξi2

B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic l  b i to¡n i t¼m

h m u(x) li¶n töc trong Ω, nhªn gi¡ trà bi¶n l  ϕ(x) cho tr÷îc v  thäam¢n ph÷ìng tr¼nh (1.12), tùc l  u thäa m¢n:

Nghi»m cê iºn, nghi»m suy rëng cõa b i to¡n bi¶n thù nh§t

ành ngh¾a 1.8 H m u(x) ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) ÷ñc gåi l  nghi»m cê iºncõa b i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh (1.12) n¸u u(x) thäa m¢n(1.12) v  (1.13)

ành ngh¾a 1.9 H m u(x) ∈ H01(Ω) ÷ñc gåi l  nghi»m suy rëng cõa

b i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh (1.12), n¸u u(x) thäa m¢n(1.13) v  vîi ∀v ∈ H01(Ω) ·u thäa m¢n çng nh§t thùc t½ch ph¥n sau

B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi i·u ki»n bi¶n thu¦n nh§t

Trong mi·n bà ch°n Ω ⊂ Rn x²t b i to¡n bi¶n thù nh§t vîi i·u ki»nbi¶n thu¦n nh§t:

Bê · 1.4 Gi£ sû b0(x), b1(x), , bn(x) l  c¡c h m li¶n töc tòy þ trong

Ω, khi â, tçn t¤i to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n A tø L2(Ω) v o H01(Ω) x¡c

ành tr¶n to n L2(Ω) sao cho

H1(Ω) th¼ A ho n to n li¶n töc

Chùng minh Tr÷îc h¸t ta chùng minh tçn t¤i to¡n tû bà ch°n

A : L2(Ω) →

0

H1(Ω),vîi u ∈ L2(Ω), x²t phi¸m h m x¡c ành tr¶n H01(Ω)

Do vªy, theo ành lþ Rietz tçn t¤i duy nh§t h m F ∈ H01(Ω) sao chol(v) = [F, v] 0

0

H1(Ω), tacâ: "

N¸u A ÷ñc coi nh÷ to¡n tû tø H01(Ω) th¼ A l  to¡n tû li¶n töc.

Thªt vªy, ta l§y tªp bà ch°n tòy þ trong H01(Ω)suy ra tªp n y compacttrong H01(Ω) Khi â tø d¢y væ h¤n b§t ký c¡c ph¦n tû cõa nâ ta câ thºrót ra mët d¢y con cì b£n trong H01(Ω) V¼ A : L2(Ω) →

0

H1(Ω) bà ch°nn¶n to¡n tû A li¶n töc

Do â A bi¸n d¢y con n y th nh d¢y cì b£n trong H01(Ω) Vªy to¡n tû

[f, v]L

2 (Ω)