phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

Với đề tài "Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá trịban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai", luận văn trìnhbày phương pháp sai phân để đưa bài toán biên-gi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ THU HÀ

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN GIÁ TRỊ-BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ THU HÀ

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN GIÁ TRỊ-BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình

1.1 Không gian W21,0(QT) và W˚21,0(QT) 5

1.1.1 Không gian L 2 (Ω) 5

1.1.2 Đạo hàm suy rộng 10

1.1.3 Không gian W21,0(QT) và W˚21,0(QT) 12

1.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát 14

1.2.1 Phương trình parabolic 14

1.2.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát 17

2 Một số sơ đồ sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá trị ban đầu 26 2.1 Hàm lưới Tỉ số sai phân 26

2.2 Nội suy của hàm lưới Các định lý nhúng 31

2.3 Một số sơ đồ sai phân 39

2.3.1 Sơ đồ sai phân ẩn thứ nhất 40

2.3.2 Sơ đồ sai phân ẩn thứ hai 44

2.3.3 Sơ đồ hiện 50

Mở đầu

Trong thực tế, nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bàitoán biên của phương trình vật lý-toán Một số ít trường hợp có thể tìm đượcngay nghiệm của bài toán Còn đại đa số trường hợp thì việc tìm nghiệm củabài toán là hết sức khó khăn Khi đó, việc tìm nghiệm phải dựa vào các phươngpháp giải gần đúng

Với đề tài "Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá trịban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai", luận văn trìnhbày phương pháp sai phân để đưa bài toán biên-giá trị ban đầu cho phươngtrình parabolic tuyến tính cấp hai về một bài toán đại số gồm nhiều phươngtrình đại số tuyến tính Bài toán đại số này có phương pháp giải và có thể tìmđược nghiệm gần đúng cho bài toán ban đầu

Luận văn chủ yếu trình bày các kết quả đã được đưa ra ở các chương III, VIcủa [9] Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chiathành hai chương:

Chương 1: Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phươngtrình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát

Trong chương này, luận văn trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản

về một số không gian: L2(Ω), W21,0(QT), W˚21,0(QT) và đạo hàm suy rộng Đây là

các kiến thức cơ bản để nghiên cứu nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trịban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát.Bài toán này sẽ có nghiệm suy rộng duy nhất trongW21,0(QT) Ngoài các kết quảcủa [9], luận văn đã sử dụng thêm các kết quả của [4] và [6].

Chương 2: Một số sơ đồ sai phân giải gần đúng bài toán biên-giátrị ban đầu

Để tiếp cận với các sơ đồ sai phân, luận văn sẽ trình bày về hàm lưới, cáchàm nội suy của hàm lưới và mối quan hệ giữa giữa hàm lưới và các nội suy củachúng Xét hai sự thay thế cho đạo hàm ∂u/∂tlà: ut và ut Sự thay thế thứ nhấtcho ta hai sơ đồ ẩn: sơ đồ sai phân ẩn thứ nhất và thứ hai, sự thay thế thứ haicho ta sơ đồ hiện Luận văn sẽ nghiên cứu sự ổn định và tính duy nhất nghiệmcủa các sơ đồ sai phân Cả ba sơ đồ sai phân nhận được sẽ có duy nhất nghiệm

và ổn định, nhưng sự hội ở sơ đồ ẩn thứ hai xảy ra với chuẩn yếu hơn so với sơ

đồ ẩn thứ nhất Các kết quả này dựa vào [9].

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình củaPGS.TS Hà Tiến Ngoạn (Viện Toán học Việt Nam) Thầy đã dành nhiềuthời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trìnhlàm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người Thầy của mình

Qua đây, tôi xin gửi tới Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán

-Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nộilời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dụcđào tạo của Nhà trường

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Chương 1

Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát

1.1 Không gian W21,0(QT) và ˚ W21,0(QT)

Định nghĩa 1.1.1 [9]Một tập E các phần tử trừu tượng được gọi là một khônggian tuyến tính định chuẩn thực (hoặc phức) nếu:

1 E là một không gian tuyến tính với phép nhân với các số thực (hoặc phức);

2 Với mọi phần tử u ∈ E có một số thực (được gọi là chuẩn của phần tử và

kí hiệu là kuk) thỏa mãn các tiên đề sau:

(a) kuk ≥ 0, kuk = 0 chỉ với phần tử không;

(b) ku + vk ≤ kuk + kvk, bất đẳng thức tam giác;

(c) kλuk ≤ |λ| · kuk

Ta đưa vào không gian như vậy một metric tự nhiên: khoảng cáchρ(u, v)giữahai phần tử u và v được xác định bởi ρ(u, v) = ku − vk

Định nghĩa 1.1.2 [9] Dãy {un} các phần tử của E gọi là hội tụ tới u ∈ E (hay,hội tụ mạnh trong E) nếu kun− uk → 0 khi n → ∞, và kí hiệu là un → u.

Định nghĩa 1.1.3 [9] Tập E0 ⊂ E được gọi là trù mật khắp nơi trong E nếubất kì phần tử nào của E cũng là giới hạn theo chuẩnE của các phần tử củaE0.Nếu E chứa một tập hợp đếm được trù mật khắp nơi thì E được gọi là táchđược

Định nghĩa 1.1.4 [9] Dãy {un}∞n=1 gọi là hội tụ (hay dãy Cauchy, dãy cơ bản)nếu ku p − u q k → 0 khi p, q → ∞

Định nghĩa 1.1.5 [9]Nếu mọi dãy Cauchy {u n }∞n=1có giới hạn là phần tử u ∈ E

thì E gọi là không gian đủ (trong trường hợp này kun− uk → 0 khi n → ∞).Một không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach,

ta kí hiệu là B Mọi không gian ta xét từ đây trở đi là đầy đủ và trù mật

Về cơ bản chúng ta sẽ nghiên cứu một trường hợp cụ thể của các không gianBanach: không gian Hilbert, ta kí hiệu là H

Định nghĩa 1.1.6 [6] Không gian tuyến tính X xác định trên trường số thựcđược gọi là không gian tiền Hilbert nếu với mọi u, v ∈ X xác định một số gọi làtích vô hướng của u và v) thỏa mãn các tiên đề sau:

1 (u, v) = (v, u);

2 (u1+ u2, v) = (u1, v) + (u2, v);

3 (λu, v) = λ(u, v);

4 (u, u) ≥ 0, (u, u) = 0 chỉ với phần tử không u = 0

Định nghĩa 1.1.7 [6] Không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert.Chuẩn của phần tử u, kí hiệu kuk được xác định bởi: kuk =p(u, u)

Ta thấy trong định nghĩa của một không gian Hilbert, đã bao gồm các yêu cầu

đầy đủ và trù mật Xuyên suốt luận văn, chúng ta sẽ sử dụng không gian B và

với vế phải của bất đẳng thức là hữu hạn

Một không gian Hilbert và bất kỳ không gian con đóng nào của nó, là đủ đốivới sự hội tụ yếu

Định nghĩa 1.1.9 [9] Tập M trong không gian Banach B được gọi là tiềncompact (hay tiền compact trong B) nếu mọi dãy vô hạn các phần tử của M cóchứa một dãy con hội tụ Nếu giới hạn của tất cả các dãy con thuộc về M, thì

M được gọi là compact

Định lý 1.1.2 [9] Tập M của H là tiền compact yếu khi và chỉ khi nó bị chặn.Định nghĩa 1.1.10 [9] Tập tất cả các hàm thực, đo được u(x) xác định trênmiền Ω của không gian Euclidean Rn với một tích phân hữu hạn:

Một phần tử của Lp(Ω) không chỉ là một hàm số với các tính chất đã nêu,

mà là một lớp các hàm số tương đương với nó trên Ω (nghĩa là, những hàm sốtrùng với nó hầu hết ở khắp mọi nơi trên Ω) Tuy nhiên, để ngắn gọn, chúng ta

sẽ nói về các phần tử của L p (Ω) như các hàm xác định nghĩa trên Ω

Ta có thể lấy ví dụ các tập trù mật khắp nơi trong L p (Ω):

• mọi hàm khả vi vô hạn, mọi đa thức, hoặc các đa thức với hệ số hữu tỉ;

• tập C˙∞(Ω) các hàm khả vi vô hạn với giá compact thuộc vào Ω

Không gian L2(Ω) là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng:

≤

vuut

uvdx

Một toán tử A xác định trên một tậpD(A) củaH, gán mỗi phần tửu ∈ D(A)

với một phần tử v ∈ H nhất định, thường viết v = Au hay v = A(u)

Định nghĩa 1.1.11 [9] Nếu đẳng thức: A(λu 1 + µu 2 ) = λA(u 1 ) + µA(u 2 ) thỏamãn trên D(A) thì ta nói A là tuyến tính (với giả thiết D(A) là một tập tuyếntính)

Định nghĩa 1.1.12 [9] Toán tử A từ D(A) vào Y ⊆ H gọi là liên tục nếu

un → u0 luôn kéo theo Axn → Ax0

Định nghĩa 1.1.13 [9] Nếu tồn tại một hằng số c sao cho, với mọi u ∈ D(A):

kAuk ≤ c kuk ,

thì A là một toán tử bị chặn trong D(A)

Định nghĩa 1.1.14 [6]Toán tử A được gọi là tự liên hợp nếu: với mọiu, v ∈ H,

(Au, v) = (u, Av).

Định nghĩa 1.1.15 [9] Toán tử A được gọi là hoàn toàn liên tục nếu nó biếntập bị chặn bất kỳ thành một tập tiền compact

Với hai hàm số u(x) và v(x) tùy ý, khả vi vô hạn trong miền Ω trong Rn và

v(x) triệt tiêu trên một miền biên (nghĩa là, v ∈ ˙ C∞(Ω)), bằng cách tích phântừng phần k lần ta có:

Định nghĩa 1.1.16 [4, 9] Cho Ω là một miền trong không gian Rn Một hàm

số ωk1 kn ∈ L1(Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x) ∈ L1(Ω) nếu:

1 ∂xkn

n Rõràng là khái niệm này là một phần mở rộng của khái niệm cổ điển về đạo hàmriêng liên tục của dạng ∂ku/∂xk1

1 ∂xkn

n

Nếu hàm u(x) có đạo hàm thông thường liên tục cấp k thì nó có đạo hàmsuy rộng cấp k.

Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy hàm u(x) có không quá một đạohàm suy rộng Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theothông thường

Tính chất 1.1.1 [4] Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Ω thì nócũng có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Ω0⊂ Ω

Tính chất 1.1.2 [4] Nếu u 1 và u 2 có đạo hàm suy rộng trong Ω thì c 1 u 1 + c 2 u 2

có đạo hàm suy rộng trong Ω và:

không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn k

Định lý 1.1.3 [4] Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn, Ω0 là một miềncon của Ω sao cho khoảng cách giữa Ω0 và ∂Ω bằng d > 0 Khi đó, với 0 < h < d



, |x| < 1,

0, |x| ≤ 1,

Giả sử Ω là một miền trong Rn và T là một hằng số dương Kí hiệu:

QT = Ω × (0, T ) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (0, T )} và gọi là trụ với chiều cao T, đáy

Ω, mặt xung qunah ST = ∂Ω × (0, T ).

Định nghĩa 1.1.17 [9] W21,0(QT)là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈

L 2 (QT) sao cho tồn tại tất cả các đạo hàm suy rộng ∂u/∂x i , i = 1, 2, , n trong

L2(QT).

Với tích vô hướng được xác định như sau:

Không gian W˚21,0(QT) là một không gian con riêng của W21,0(QT), hiển nhiêncông thức tích phân từng phần,

cũng đúng cho hàm trơn v bất kì và với bất kì hàm trơn u nào triệt tiêu gần

ST Với điều kiện đóng theo chuẩn của W21,0(QT) thì công thức này vẫn đúng với

v ∈ W21,0(QT) và u ∈ ˚ W21,0(QT) Nếu cả u và v triệt tiêu không triệt tiêu trên ST

thì công thức trên không đúng với trường hợp tổng quát nên nó không đúng với

W21,0(QT) Do đó u(x, t) ∈ ˚ W21,0(QT) triệt tiêu trên ST là định nghĩa tốt

Không gian W˚21,0(QT) cũng là một không gian Hilbert

Kết thúc phần này, ta sẽ chứng minh một bổ đề nổi tiếng có thể được sửdụng để tiên nghiệm giới hạn cho các nghiệm của các phương trình không ổnđịnh

Bổ đề 1.1.1 [9] Cho y(t) không âm và liên tục tuyệt đối trên [0,T], và hầu hết

t ∈ [0, T ] thỏa mãn bất đẳng thức:

dy(t)

dt ≤ c 1 (t)y(t) + c 2 (t),

với ci(t) là các hàm khả tổng, không âm trên [0,T] Khi đó:

y(t) ≤ exp

Z t 0

c2(ξ) exp −

Z ξ 0

d dt

đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát

Định nghĩa 1.2.1 [4]Phương trình (1.1.1) được gọi là parabolic tại điểmx0 nếutrong hệ tọa độ mớiyi = αij(xj−x 0

Định nghĩa 1.2.3 [9] Phương trình (1.1.1) gọi là parabolic trên một miền nào

đó nếu nó là parabolic tại mọi điểm của miền này

Nếu các hệ số của M là các hàm số trơn và nếu (1.1.1) là parabolic trên mộtmiền, thì trong một lân cận (nói chung, một lân cận nhỏ) của một điểm bất kìcủa miền ta có thể rút gọn bằng sự thay đổi các biến không suy biến để có dạng:

Biến y n+1 có vai trò đặc biệt Trong các bài toán vật lý, biến này có vai trò

là biến thời gian, ta sẽ kí hiệu là t, các biến y 1 , · · · , y n còn lại mô tả vị trí củamột điểm trong không gian và gọi tắt là biến không gian

Để thuận tiện, ta sẽ nghiên cứu các phương trình parabolic có dạng:

Ta có các bài toán cơ bản cho phương trình (1.1.5) :

(1) Bài toán Cauchy: Tìm một hàm u(x, t) thỏa mãn (1.1.5) với x ∈ Rn và

t > 0, và thỏa mãn điều kiện ban đầu khi t = 0

u |t=0= ϕ(x). (1.1.7)(2) Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất: Giả sử (1.1.5) được cho với giảthiết (x, t) ∈ QT = Ω × [0, T ], Ωlà miền nào đó trongRn Tìm hàm sốu(x, t) thỏamãn (1.1.5) trên QT với điều kiện ban đầu:

u |t=0= ϕ(x), x ∈ Ω, (1.1.8)

và, ∀t ∈ [0, T ], u thỏa mãn điều kiện biên:

u |x∈∂Ω= ψ(s, t). (1.1.9)Trong Rn+1 miền QT là một hình trụ, ST = S × [0, T ] là mặt xung quanh vàtập {(x, t) : x ∈ Ω, t = 0} là mặt đáy

(3) Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba: Tìm hàm u(x, t) thỏamãn (1.1.5) trong QT, với điều kiện ban đầu (1.1.7) và điều kiện (1.1.9) đượcthay bằng điều kiện biên thứ hai:

∂u

∂N

S T

≡ aijuxjcos(n, xi)|ST = χ(s, t),

hoặc điều kiện biên thứ ba:

∂u

∂N + σu

... Bài toán biên- giá trị ban đầu thứ hai thứ ba: Tìm hàm u(x, t) thỏamãn (1.1.5) QT, với điều kiện ban đầu (1.1.7) điều kiện (1.1.9) đượcthay điều kiện biên. .. thỏa mãn điều kiện ban đầu t = 0

u |t=0= ϕ(x). (1.1.7)(2) Bài toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất: Giả sử (1.1.5) cho với giảthiết... class="page_container" data-page="28">

Chương 2

Một số sơ đồ sai phân giải gần toán biên- giá trị ban đầu< /h2>

Trong chương này, đạo hàm riêng hàm số u(x) xác