phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên cho phương trình eliptic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNHOÀNG LÊ TIẾN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG LÊ TIẾN DŨNG

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN CHO

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG LÊ TIẾN DŨNG

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN CHO

PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp

1.1 Không gian W21(Ω), W˚21(Ω) và các tính chất cơ bản 4

1.1.1 Đạo hàm suy rộng 4

1.1.2 Không gian W21(Ω) và W˚21(Ω) 5

1.1.3 Các tính chất cơ bản 7

1.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 18

1.2.1 Nghiệm suy rộng trong W21(Ω) Bất đẳng thức thứ nhất 18

1.2.2 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian W21(Ω) Ba định lý Fredholm 22

2 Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên Dirichlet 33 2.1 Hàm lưới Tỉ số sai phân 33

2.2 Nội suy của hàm lưới Các định lý nhúng 38

2.3 Phương trình sai phân đối với bài toán biên Dirichlet 45

Mở đầu

Bài toán biên Dirichlet thường xuất hiện nhiều trong những bài toán ứngdụng của lý thuyết cơ học chất lỏng, điện-từ trường v v Đa số các bài toán nàytương đối phức tạp thường không có phương pháp giải đúng Chúng ta thườngchỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm theo nghĩa nghiệm suy rộng Nghiệm này chỉ

có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà không áp dụng được vào thực tiễn Do vậy trongthực tế để sử dụng nghiệm này chúng ta phải tìm nghiệm xấp xỉ của chúng

Để đáp ứng một phần nhỏ yêu cầu của việc tìm nghiệm gần đúng của bài toánbiên Trong luận văn này trình bày "phương pháp sai phân giải gần đúng bàitoán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" Nội dung luận văn chủyếu dựa theo tài liệu tham khảo [8] của O.A Ladyzhenskaya

Luận văn với đề tài "Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biêncho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" trình bày về phương phápsai phân để đưa bài toán biên về một bài toán đại số (hệ đại số tuyến tính) Bàitoán đại số này có phương pháp giải và có thể tìm được nghiệm gần đúng chobài toán ban đầu của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

Luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1: Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tínhcấp hai

Trong chương này trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản về đạo hàmsuy rộng dựa trên tài liệu tham khảo [3] của Nguyễn Mạnh Hùng, khái niệm

không gian W21(Ω) và W˚21(Ω) dựa trên tài liệu [8] của O.A Ladyzhenskaya Đây

là các kiến thức cơ bản để nghiên cứu nghiệm suy rộng của bài toán biên let cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Bài toán này sẽ có nghiệm suyrộng duy nhất trong W21(Ω)

Dirich-Chương 2: Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biênDirichlet

Trong chương này trình bày về hàm lưới, các hàm nội suy của nó và mốiquan hệ giữa chúng dựa trên tài liệu[8] của O.A Ladyzhenskaya Phương trìnhsai phân đối với bài toán biên Dirichlet dựa theo tài liệu [8] được thực hiện nhưsau: Bước thứ nhất chúng ta xây dựng hàm lưới, nội suy hàm lưới Bước haichúng ta chuyển từ bài toán vi phân sang bài toán sai phân Bước ba chúng ta

đi khảo sát sự ổn định và hội tụ của sơ đồ sai phân

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình củaPGS.TS Hà Tiến Ngoạn (Viện Toán học Việt Nam) Thầy đã dành nhiều thờigian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trìnhlàm luận văn Tôi trân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy củamình

Qua đây, tôi xin gửi tới Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa Cơ-Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội lờicảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đàotạo của Nhà trường

Toán-Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Với hai hàm số u(x) và v(x) tùy ý, khả vi vô hạn trong miền Ω ⊂ Rn và v(x)

triệt tiêu trên một miền biên (nghĩa là, v ∈ ˙ C∞(Ω)), bằng cách tích phân từngphần k lần ta có:

Định nghĩa 1.1.1 [3]Cho Ω là một miền trong không gian Rn Một hàm số

ωk1 kn ∈ L 1 (Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x) ∈ L 1 (Ω) nếu:

1 ∂xkn

n Rõ

ràng là khái niệm này là một phần mở rộng của khái niệm cổ điển về đạo hàmriêng liên tục của dạng ∂ku/∂xk1

1 ∂xkn

n Nếu hàm u(x) có đạo hàm thông thường liên tục cấp k thì nó có đạo hàmsuy rộng cấp k

Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy hàm u(x) có không quá một đạohàm suy rộng Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theothông thường

Tính chất 1.1.1 Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Ω thì nócũng có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Ω0⊂ Ω

Tính chất 1.1.2 Nếu u1 và u2 có đạo hàm suy rộng trong Ω thì c1u1+ c2u2 cóđạo hàm suy rộng trong Ω và:

Định nghĩa 1.1.2 [3]Không gian W21(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm

u(x) ∈ L2(Ω) sao cho tồn tại đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| 6 1, thuộc L2(Ω)

và được trang bị chuẩn:

Không gian Hilbert W˚21(Ω) đóng vai trò cơ bản trong việc nghiên cứu bàitoán biên thứ nhất với phương trình cấp hai của các dạng khác nhau.

Tích vô hướng trong không gian W21(Ω) và W˚21(Ω) được xác định bởi:

(bất đẳng thức Poincare-Friedichs), cΩ là một hằng số phụ thuộc trên Ω

Ta chứng minh (1.1.3) với u(x) ∈ ˙ C∞(Ω), sau đó có thể thu được (1.1.3) với

∀u(x) ∈ ˚ W21(Ω) bởi "sự đóng đơn theo chuẩn W21(Ω)" Ta có thể giải thích nhưsau Cho u(x) là một phần tử bất kỳ của W˚21(Ω) và chúng ta xấp xỉ nó theochuẩn của W21(Ω) bởi dãy hàm u(m) (m=1,2, ) của C˙ ∞ (Ω) Giả sử (1.1.3) đãđược chứng minhu(m) Nếu ta lấy (1.1.3) chou(m) và lấy giới hạn khim −→ ∞

theo chuẩn W21(Ω) Ta được (1.1.3) với u(x)

Ta sẽ thường xuyên sử dụng tính chất đóng như trên trong chứng minh bấtđẳng thức:

kukB

1 6c kukB

với mọi u ∈ B2, trong đó B1, B2 là hai không gian Banach

Trước tiên, ta sẽ chứng minh (1.1.4) với tập M nào đó (gồm những phần tửthường là các hàm trơn) trù mật trong B 2 và đóng theo chuẩn của B 2

Bây giờ ta trở lại với chứng minh (1.1.3) với u(x) ∈ ˙ C∞(Ω) Ta có thể bao Ω

trong các hình hộpΠ, không mất tính tổng quát giả sử rằngΠ = {x : 0 < xi< li}.

Rõ ràng chứng minh theo Πđược nhiều thuận lợi nhất cho tất cả các cách chọn.Giả sử l1 là một trong các cạnh củaΠ có chiều dài nhỏ nhất

Ta viết u(x) dưới dạng:

Do vậy (1.1.3) đúng với c2Ω = l21/2, suy ra sự tương đương của chuẩn [u, u]1/2

và kuk(1)2,Ω tương ứng với (1.1.2) và (1.1.1)

Trong (1.1.3) hằng số cΩ cũng có thể rút ra ở dạng c2|Ω|2/n, với |Ω| bằng sốđiểm lưới Ω và c là hằng số tuyệt đối chỉ phụ thuộc n, nghĩa là ∀u ∈ ˚ W21(Ω)

Ω ⊂ Π

Ta thu được cho các phần tử mở rộng như vậy của W˚21(Ω) chuẩn || · ||2,Π và

|| · ||(1)2,Π trùng với || · ||2,Ω và || · ||(1)2,Ω tương ứng

Ta phân tích Π thành các hình hộp cơ bản ωi với cạnh lk/N (k = 1, 2, , n)

và các mặt song song với mặt phẳng tọa độ

Áp dụng bất đẳng thức Poincare với hàm tùy ý u(x) trong W21(ω i ):

u(m) hội tụ trong L2(Π) Định lý được chứng minh

Công thức tích phân từng phần trong lý thuyết bài toán biên đúng với cácphần tử của W˚21(Ω), với mọi u(x) ∈ ˚ W21(Ω) và mọi v(x) ∈ W21(Ω) ta có:

Z

Ω

∂w

∂xidx = 0, (1.1.11)

với hàm w tùy ý trong L1(Ω) có đạo hàm suy rộng ∂w/∂xi trong L1(Ω) và w cóthể được xấp xỉ bởi các hàm w(m) (m = 1, 2, ) trong C˙∞(Ω) theo hướng sau:

w(m) → w trong L1(Ω) và ∂w(m)/∂xi → ∂w/∂xi trong L1(Ω) (1.1.11) đúng với

w(m) do vậy nếu ta lấy giới hạn khi m → ∞ ta được (1.1.11) với w

Nếu w ∈ L 1 (Ω) triệt tiêu ở gần ∂Ω và có đạo hàm ∂w/∂x i trong L 1 (Ω) thì cóthể xấp xỉ bởi hàm w(m) trong C˙∞(Ω), do đó (1.1.11) đúng với w

Nếu uvà v trong L2(Ω) và có đạo hàm suy rộng ∂u/∂xi và ∂v/∂xi trong L2(Ω)

(ở đây i là cố định), và nếu u có thể xấp xỉ bởi hàm u(m) trong C˙∞(Ω) sao cho

u(m) và ∂u(m)/∂xi hội tụ vều và ∂u/∂xi theo chuẩn của L2(Ω), thì (1.1.10) đúngvới uvà v với bất kì giá trị của i Hàmw(m) = u(m)v trong L1(Ω), triệt tiêu ở gần

∂Ω và có đạo hàm suy rộng ∂w(m)/∂xi = u(m)∂v/∂xi + ∂u(m)/∂xiv trong L1(Ω),

do vậy (1.1.11) đúng với w(m) Ta lấy giới hạn khi m → ∞ trong công thức này

ta được (1.1.11) đúng với w và (1.1.10) cũng đúng với u và v với giá trị bất kìcủa i

Vì mỗi u trong W˚21(Ω) có thể xấp xỉ theo chuẩn của W21(Ω) bởi các hàm của

˙

C∞(Ω) nên suy ra (1.1.10) đúng với u và mọi v trong W21(Ω), ∀i = 1, 2, , n

Ta chứng minh bất đẳng thức Poincare (1.1.7), hay bất đẳng thức tươngđương

Ta chỉ cần chứng minh rằng hàmu(x) trơn trù mật trongW21(Πl) Lấyu(x) ∈

C1(Π1) và tọa độ mới trong (1.1.7’) như sau yi= xi/li (i = 1, 2, , n)

Sau đó nhân với (l1, , ln)−1 ta sẽ được bất đẳng thức tương đương

Z

Π 1e

u2dy ≤

Z

Π 1e

udy

2

+ n2

Z

Π 1e

u2ydy, (1.1.7”)với hàm eu(y) = u(l 1 y 1 , , l n y n ) trong khối lập phương Π 1 = {y : 0 < y i < 1}

Để chứng minh (1.1.7”) ta lấy hai điểm bất kỳy = (y1, y2 , yn), y0= (y10, , yn0)

và dãy điểm y(1) = (y01, y2, , yn), y(2) = (y01, y02, , yn), , y(n) = y0 Theo Định lýNewton-Laibnit

u2(y)dy − 2

Z

Π le

có phép nhúng compact W21(Ω) vào L2(Ω) Trong chứng minh của định lý 1.1.1

u(m) trong W˚21(Ω) được sử dụng ở phần đầu của chứng minh để cho thấy rằng

ta có thể mở rộng u(m)(x)lên Πl theo một cách nào đấy mà các hàm này vẫn cóđạo hàm suy rộng cấp một và bị chặn đều theo chuẩn k.k(1)2,Π

l trong trường hợphiện tại các hàm u(m)(x) có các tính chất của giả thiết, và ta có thể áp dụngtrực tiếp cho chúng tất cả các lập luận của chứng minh định lý 1.1.1

Ta thừa nhận miền mở rộng của W21(Ω) đến một số miền Ω ⊃ Ωe (xem §5,chương I và công thức (5.3), (5.4) [8]) vớim = 2 và Ω = Πl Sau đó tương tự nhưphần mở rộng hình Πl ⊃ Ω Từ đó và từ phép nhúng của W21(Πl) trong L 2 (Πl)

sau đó nhúng compact W21(Ω) trong L 2 (Ω) Hơn nữa thấy rằng đây là tính chấtvẫn được giữ lại cho miềnΩ như vậy Ωđược biểu diễn dưới dạng SN

i=1 Ωi Trong

đó Ωi là miền con của Ω thêm vào một phần mở rộng của W21(Ωi) Do vậy tachứng minh được định lý sau:

Định lý 1.1.2 [8] Nếu Ω có thể biểu diễn dưới dạng SN

i=1 Ω i, trong đó Ω i làmột miền con của Ω cho phép thác triển của W21(Ωi), thì mọi tập bị chặn trong

W21(Ω) là tiền compact trong L2(Ω)

Ta trở lại với các câu hỏi của vết của các phần tử u(x) trong W21(Ω) trênmặt ngoài của thứ nguyên n − 1 đầu tiên ta xét với một hàm trơn u(x) trong

W21(Ω) và một tập Γ là miền trên siêu phẳng Để thuận tiện giả sử Γ là miềncủa x01 = (x2, , xn) nằm trên mặt phẳng x1 = 0, và giả sử hình trụ Qδ =

Qδ(Γ) = {x : 0 < x1< δ, x01 ∈ Γ} cùng thuộc Ω Theo công thức Newton-Laibnizcho u ∈ C(Qδ) với đạo hàm liên tục ∂u/∂x1 trong Qδ Ta có:

Ta nhận được kết quả khác của (1.1.13) trước tiên ta chuyển vế u(x1, x01) sang

vế phải của (1.1.13) bình phương hai vế sau đó tích hợp kết quả trên Qδ(Γ) vàchia cho δ vế phải bị chặn như sau:

x1

Z τ 0

theo bất đẳng thức (1.1.14), (1.1.15) ta sẽ thu được kết quả "đẹp" cho hàmu(x)

ở giá trị tùy ý u ∈ L2(Qδ)

Như vậy ta có thể xây dựng u(x) là chuỗi các hàm trơn 

u(m)(x) chúng hội tụđến u(x) trong L2(Qδ) và thấy rằng u(m)x1 cũng hội tụ đến ux1 trong L2(Qδ) Từđây và từ (1.1.15) thấy rằngu(m)(0, )hội tụ ở trongL 2 (Γ) Nó được xét tự nhiêncác hàm xác định trênΓnhư là giới hạn của u(m)(0, ) trong L2(Γ)là vết củau(x)

ở trên Γ

Rõ dàng từ (1.1.14) thấy rằng u(x) có vết trên mọi mặt cắt của Qδ bởi mặt

x1 = x01, x01 ∈ [0, δ] Nếu ta viết (1.1.14), (1.1.15) với u(m) và lấy giới hạn khi

m → ∞ thì ta thấy rằng giới hạn là hàm u(x) (hơn nữa, ∀u ∈ W 1

Tóm lại, khẳng định này được gọi là phép nhúng của W21(Ωδ) vào L2(Γ)

Ta sẽ giải thích để thấy định lý 1.1.3 giống định lý nhúng được xác định dướiđây: Cho u(x) là một phần tử tùy ý thỏa mãn giả thiết của định lý

Khi đó định lý 1.1.3 ở đây tồn tại một đại diện của phần tử này (nghĩa là mộthàm tương đương u(x) trên Qδ) mà kết luận của định lý đúng

Theo cách tìm một đại diện cho u(x) là hiển nhiên từ chứng minh ta phải thựchiện từ vài phần tử của dãy u(m), (m = 1, 2, ) từ C1(Qδ) hội tụ đến u(x) theocách thực hiện ở trên và cố định vết của u(x) trên những mặt cắt của Qδ bởimặt phẳng x1 = x01, giới hạn của dãy u(m)(x01, x01) trong chuẩn của L2(Γ).Chú ý 1.1.1 Dễ thấy các vết của phần tử u(x) của W21(Ω), định nghĩa trên Γ

cùng một phần tử của L2(Γ), không phụ thuộc vào cách chọn thứ tự của các hàmtrơn u(m) được sử dụng xấp xỉ đến u(x).

Ở đây vết thay đổi liên tục giống một phần tử của L2(Γ)dưới sự tịnh tiến của

Γ, không chỉ theo một phương chiếu x1, mà còn theo những phương chiếu khác,với điều kiện là dịch tiến mặt cắt không đi ra ngoài Ω

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng W21(Ω) được nhúng vào L2(Γ) không chỉ trong mộtđường biên mà còn ở miền trong

Định lý 1.1.4 [8] Cho miền Ω chứa một hình trụ Qδ(Γ) được mô tả giống định

lý 1.1.3, và theo kết luận của định lý 1.1.2 theo Qδ(Γ), hoặc với vài miền khác

Ω0⊆ Ω chứa hình trụ này Thì từ bất kỳ một dãy bị chặn 

u(m) theo chuẩn của

W21(Ω) ta có thể chọn một dãy con hội tụ đều trong L2(Ω) với điểm x01 ∈ [0, δ]

Sự thật ||u(m)||(1)(2,Ω) ≤ c Theo định lý 1.1.2 dãy u(m) là tiền compact trong

L 2 (Qδ(Γ))

Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng dãy u(m) hội tụ đến u(x) trong

L2(Γ) ta xét (1.1.15) với hiệu sai phân u(p) − u (q) và với δ1 ∈ [0, δ] Vế phảicủa (1.1.15) có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý, sao cho p, q đủ lớn Nếu ta chọn δ1

trong (1.1.15) đủ nhỏ sao cho δ1||u(p)(x

1 ) − u(q)(x

1 ) || 2 2,Ω δ (Γ) ≤ 2, ∀p, q, ta có thể tìmthấy N như vậy ∀p, q ≥ N, đầu tiên ta sẽ được với /2 cùng một cách nói

||u (p) − u (q) || 2

2,Γ ≤ , ∀p, q ≥ N

Ta có||u(p)(x 1 , )−u(q)(x 1 , )||22,Γ bị chặn ∀x 1 ∈ [0, δ] Nếu ta có thể nhận ra rằngthay thế RΓu2(0, x01)dx0 trong vế trái của (1.1.15) bởi RΓu2(x1, x01)dx0∀x1 ∈ [0, δ].Nếu Qδ = {x : x1 ∈ (0, δ), x01 ∈ Γ} thì ta chỉ rõ W2,01 (Qδ) là không gian đóngcủa W21(Qδ) với một tập các hàm khả vi vô hạn

Ta có thể xác định chúng không giao nhau trên bề mặtSδ = {x : x1 ∈ (0, δ), x01∈ ∂Γ}

của hình trụ Qδ (thấy rõ ràng như sau W2,01 (Qδ) gồm các phần tử của W21(Qδ)

triệt tiêu trên Sδ)

Nếu ∀u ∈ W2,01 (Qδ) thì ta có kết quả hệ u(x) = 0 với x 1 ∈ (0, δ), x01 ∈ Γ / , sau

đó ta có được một phần tử của W2,01 (Qδ), Qδ = x : x1 ∈ (0, δ), x01 ∈eΓ với mọie

Γ ⊃ Γ Ở đây chuẩn trong W2,01 ( Qeδ) là ||u||(1)2,Q

Mọi kết quả ta thiết lập cho mặt phẳng Γ có thể chuyển được sang cho Γ làmiền siêu diện trơn, bao gồm một phần biên củaΩ ChoΓlà phép chiếu trên siêudiện (không có giới hạn tổng quát, ta thấy đây là siêu phẳngx1 = 0) trong miền

Γ(1) do vậy Γcó phương trình x1= f (x01), x01∈ Γ (1) , f ∈ C1(Γ(1))và để cho "đườngcong hình trụ" Qδ(Γ) =x : f (x01) < x1 < f (x1) + δ, x01 ∈ Γ (1) ước lệch sai trong

Ω Ta gắn vào Qδ(Γ) hệ tọa độ mới y 1 = x 1 − f (x01), yk = xk, k = 2, , n Hàme

u(y) = u(x(y)) sẽ là phần tử của W21( Qeδ) Ở đây Qeδ = y : 0 < y1 < δ, x01∈ Γ(1)

do vậy nó sẽ thỏa mãn (1.1.14), (1.1.15) trong điều kiện của tọa độ y

Nếu ta trở lại với bất đẳng thức:

được thực hiện theo các trục x1 Điều này có thể thực hiện dọc theo các phần

mà không phải là tịnh tiến của Γ nếu thay cho x tọa độ y biên khác với biênJacobiou |∂y/∂x| và |∂x/∂y|

Ví dụ ta có thể giả định (1.1.16) rằng e 1 là một vecto chuẩn của Γ với điểm

x và thấy rằng Ql(Γ) là một đường cong hình trụ hình thành bởi các phân đoạncủa chuẩn, của độ dài l xuất phát từ một điểm của Γ

Nếu u ∈ W21(Ω), và trên ∂Ω của nó (hay một phần Γ đã nói) là một phần đadiện trơn, lúc đó nếu ta giữ trong bất đẳng thức dạng (1.1.16) và (1.1.17) với

u(x)thì ta sẽ nói rằng giá trị biên của nó (hay là vết của nó) trên ∂Ωtrên Γ cho

ta một phần tử của L2(∂Ω) [L2(Γ)] và thấy rằng chúng là có nghĩa ở "trong hìnhvuông"

Điều này xảy ra nếu Ω có từng mảnh biên trơn, ∂Ω, nghĩa là nó có thể bao

∂Ω bởi hữu hạn mảnh Γi như vậy bất đẳng thức (1.1.16), (1.1.17) giữ trên cácmảnh (các điều kiện đủ Γi đã được xây dựng ở trên) Đặc biệt ta có bất đẳngthức sau với miền Ω:

Định lý 1.1.4 có thể tổng quát với miếng đường cong đặc biệt ta có:

Định lý 1.1.6 [8] Nếu Ω có một biên trơn ∂Ω thì tập bị chặn trong W21(Ω)

là tiền compact trong L2(∂Ω) Kết luận tính compact này cùng với miền Ω vớibiên trơn từng khúc ∂Ω =Sni=1Γ i nếu với mỗi mảnh Γ i ta có thể xây dựng mộthình trụ dạng Qδ(Γ i ) ⊂ Ω cho (1.1.16), (1.1.17) thì phép nhúng của W21(Ω) trong

L2(Qδ(Γi)) là compact

Chú ý 1.1.2 Mỗi phần tử u(x) của W˚21(Ω) biên trơn trên Ω không có vai tròtrong cách lấy đạo hàm của bất đẳng thức (1.1.16), (1.1.17), mỗi hàm có thể mởrộng đến 0 bên ngoài Ωvà xem xét như là các phần tử của W˚21(K), trong đó K làquả cầu chứa Ω, bởi vì tập hợp các phần tử u(m) của W˚ 1

2 (Ω) đã được mở rộngđến 0 ở bên ngoài Ω sẽ compact trong L 2 (Γ) Ở đây Γ là một số giao điểm mịncủa siêu diện với quả cầu K Ta thường nói về các phần tử của W˚21(Ω) Giả thiếtrằng giá trị tại biên là bằng 0 Điều này phải được hiểu theo cách sau: Nếu Γ làmột mảnh biên trơn với Qδ(Γ) ⊂ Ω, thì u(x) ∈ ˙ C∞(Ω) Bất đẳng thức (1.1.18)trở thành:

Để kiểm tra điều này thì ta xấp xỉ u, v bởi các hàm u(m) , v(m) trong Ω

và viết (1.1.21) chou(m), v(m) lấy giới hạn khim → ∞ Ta chú ýWe21(Ω) = W21(Ω)

với ∂Ωtrơn Công thức (1.1.21) đúng hàm u, v trơn với miền Ω vớiΩ = Ω1SΩ2.Trong đó miền Ωi có biên trơn, ngay cả khi Ω1 và Ω2 có thể cắt nhau Để chứngminh điều này ta chú ý (1.1.21) đúng cho phần giaoΩ1T

Ω2 và ta viết R

Ω dướidạngR

Ω 1 +RΩ

2 −R

Ω 1 T Ω 2: Mỗi tích phân là cần thiết để áp dụng (1.1.21) và sau

đó xem xét các tích phân thực hiện trong phần biên của Ω1 và Ω2 không phụthuộc vào ∂Ω thì hủy bỏ Do vậy (1.1.21) đúng với Ω có thể bao phủ không chỉbởi hai mà còn bởi một số hữu hạn miền Ωi ⊂ Ω với các biên trơn Đối với cácmiền (1.1.21) đúng không chỉ với các hàm u, v trơn mà còn đúng ∀u, v ∈ W 1

2 (Ω),

có thể lặp lại việc kiểm tra bằng cách xấp xỉ u, v theo chuẩn củaW21(Ω i ) bởi cáchàm trơn Thay vì xét Ωi với các biên trơn ta có thể xét các loại khác của khối

đa diện

Ta trở lại với (1.1.21) cho miền hình trụ Ω = {x : 0 < x1 < l1, x01 ∈ Γ} Trong

đó Γ là miền (n − 1) chiều trên mặt phẳng x1 = 0 và u, v ∈ L2(Ω) với đạo hàmsuy rộng ux1, vx1 ∈ L2(Ω) (Ở đây có (1.1.21) với i = 1) công thức (1.1.21) đúngcho Ω với i = 1 và u, v ∈ C1(Ω) Ta có thể xấp xỉ hàm u, v trong L2(Ω) cùng cáchàm u x 1 , v x 1 bởi các hàm u(m), v(m), u(m)x 1 , v x(m)1 hội tụ tương ứng trong L 2 (Ω)

đến u, v, ux1, vx1 Ta phải giữ lại (1.1.21) với i = 1 cho u(m), v(m) khi m → ∞

theo sự suy xét ở trên Quá trình lấy giới hạn có thể hợp lý cho mỗi trường hợp

Do vậy ta có (1.1.21) cho u, v Thật vậy:

công thức này có giá trị ∀u(x) ∈ W 1

2 (Ω) và với miềm Ω biên trơn từng khúc Đểchứng minh ta phải bao ∂Ω bởi một số miền hữu hạn Γi và dựng hình trụ cong

Ωδ(Γ) giống cách trong (1.1.17) thì với Qδ(Γ) ta phải kiểm tra tính hợp lệ củabất đẳng thức trong (1.1.17) với chuẩn L1 để thế cho L2, chính xác hơn:

Newton-được (1.1.23) Áp dụng (1.1.23) với u(x) = v2(x) ở đây v(x) ∈ W21(Ω) (dễ dàngthấy u ∈ W11(Ω)) và ta có công thức sau:

cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

Ta nghiên cứu tính giải được của bài toán biên thứ nhất trong không gian

Định nghĩa 1.2.1 [8] Hàm u(x) được gọi là một nghiệm suy rộng trong khônggian W21(Ω) của phương trình (1.2.1) nếu nó thỏa mãn:

Ta thấy định nghĩa này là có nghĩa, với mọi tích phân xuất hiện trong (1.2.6)

hệ số a ij , a j có đạo hàm suy rộng cấp một bị chặn, nếuf i có đạo hàm suy rộng

∂fi/∂xi trong L2(Ω) và nếu u ∈ W21(Ω)TW22(Ω0), ∀ Ω0 ⊂ Ω và thỏa mãn (1.2.1)hầu hết trong Ω, thì từ (1.2.1) suy ra (1.2.6’) và từ (1.2.6’) suy ra (1.2.6) Vớicác điều kiện này u(x) là nghiệm suy rộng của phương trình trong W21(Ω).Mệnh đề đảo cũng đúng: Với cùng các điều kiện củaaij, aivàfi, bất kỳ nghiệmsuy rộng (1.2.1) nào trong W21(Ω) đều thuộc W22(Ω0), ∀ Ω0 ⊂ Ω thỏa mãn (1.2.1)với hầu hết x trong Ω Từ (1.2.6) suy ra (1.2.6’) ∀η ∈ ˙ C∞(Ω), và (1.2.1) đượcsuy ra từ (1.2.6’) với hầu hết x thuộc Ω, vì Lu − f − ∂f i /∂x i ∈ L 2 (Ω0), ∀ Ω0 ⊂ Ω

và C˙∞(Ω0) trù mật trong L 2 (Ω0)

Từ cách xác định trực tiếp và cách xác định ngược lại ngược ta thấy: với

aij, ai, fi khả vi, phương trình (1.2.1) và (1.2.6) cho ta cùng một thông tin về

u(x) Tuy nhiên (1.2.6) có nghĩa ngay cả khi aij, ai, fi không khả vi và chỉ biết

u(x) ∈ W21(Ω) Do đó định nghĩa của ta là một phần mở rộng khái niệm nghiệmcủa (1.2.1) Ta sẽ thấy rằng sự mở rộng nghiệm như vậy vẫn cho ta các tínhchất cơ bản của bài toán biên này: tính giải được Fredholm

Như vậy ta sẽ tìm nghiệm suy rộng của bài toán (1.2.1), (1.2.2) trong W21(Ω)

là một hàm u(x) trong W˚21(Ω) thỏa mãn (1.1.6) với bất kì η ∈ ˚ W21(Ω)

Tính chất 1.2.1 Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất cho nghiệm suy rộng của bàitoán (1.2.1) trong W21(Ω).

41)||u||

2

, ∀ 1 > 0, (1.2.7)trong đó ||u|| là chuẩn trong L2(Ω), và (u, v) là tích vô hướng trong L2(Ω) Nếulấy 1= ν/2 trong (1.2.7) Ta có:

L(u, u) ≥ ν

2 ||ux||2− (µ4+ µ

2 2

δ2 = ν2

4 1

+ 2



||u||2, (1.2.14)với mọi i> 0, i = 1, 2, 3

Với  1 +  2 < ν cho ta tính bị chặn của ||u x || theo ||u||, ||f ||, ||f ||

ν + 2



||u||2, (1.2.15)với mọi 2> 0

Các bất đẳng thức (1.2.14), (1.2.15) cho phép ta tìm được một giới hạn củachuẩn ||ux|| cho nghiệm u(x)của bài toán (1.2.1), (1.2.2)

Định lý 1.2.1 [8] Bài toán (1.2.1), (1.2.2) không thể có nhiều hơn một nghiệmsuy rộng trong W21(Ω) nếu (1.2.3)-(1.2.5) được thỏa mãn và nếu δ1 > 0

Chứng minh Nếu δ1> 0 ta có bất đẳng thức (1.2.9), (1.2.11) với δi> 0, i = 1, 2

Áp dụng vào (1.2.13) và (1.1.3) với (1.2.11) ta có:

δ 2 ||u x ||2 6L(u, u)6( 2 c2Ω+  3 )||u x ||2+ 1

42||f ||2+ 1

43||f ||2, (1.2.16)

và u00 trùng nhau.

Điều kiện δ1 > 0 sẽ được thỏa mãn cho (1.2.1) với hệ số thỏa mãn bất đẳngthức (1.2.2)-(1.2.5) nếu hằng số cΩ là đủ nhỏ (ta có điều này nếu |Ω| là nhỏ),hoặc nếu giới hạn trên µ4 của hệ số a(x) là một số âm có giá trị tuyệt đối đủlớn Điều kiện thứ hai hiển nhiên thỏa mãn phương trình:

[u, η] + l(u, η) = −(f, η) + (fi, ηxi). (1.3.2)

|l(u, η)| 6µ1||u||.||ηx|| + µ1||ux||.||η|| + max(|µ3|, |µ4|)||u||.||η||

6c||u||1.||η||1, (1.3.4)nghĩa là, nếu cố định u ∈ ˚ W21(Ω), l(u, η) là một hàm tuyến tính trên η trongkhông gian W˚21(Ω) Ta có thể biểu diễn l(u, η) duy nhất dưới dạng của một tích

vô hướng

l(u, η) = [Au, η], (1.3.5)

với mọi η ∈ ˚ W21(Ω), trong đó A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong W˚21(Ω)

với chuẩn không vượt quá c trong (1.3.4) Tổng −(f, η) + (f i , η x i ) cũng xác địnhmột hàm tuyến tính trongW˚21(Ω) theo η, và theo định lý Riesz tồn tại duy nhấtphần tử F ∈ ˚ W21(Ω) sao cho:

−(f, η) + (fi, ηxi) = [F, η], (1.3.6)với mọi η ∈ ˚ W21(Ω) Theo (1.3.5) và (1.3.6) đẳng thức (1.3.2) tương đương với

[u, η] + [Au, η] = [F, η]. (1.3.7)

Vì (1.3.7) đúng ∀η ∈ ˚ W21(Ω) ta có (1.3.7) tương đương với phương trình toán tửsau trong không gian W˚21(Ω)

Ta sẽ chỉ ra A là một toán tử hoàn toàn liên tục trong W˚21(Ω)

Tính chất 1.2.2 A là một toán tử hoàn toàn liên tục trong W˚21(Ω)

Chứng minh Để chứng minh điều này ta sẽ chỉ ra bất kỳ chuỗi hội tụ yếu

{uk} , k = 1, 2, nào trong W˚21(Ω) được A biến đổi thành chuỗi hội tụ mạnh

{Auk}

Vì toán tửA là bị chặn, dãy{Auk}hội tụ yếu đếnAu, với u(x)là giới hạn yếucủa{uk} Hơn nữa vì tính compact của toán tử nhúng W˚21(Ω)vào L 2 (Ω) (định lý1.1.1 phần 1.1), dãy{uk} , {Auk} hội tụ mạnh trongL2(Ω) đến u, Au tương ứng.Nếu ta sử dụng định nghĩa (1.3.5) của toán tử A và bất đẳng thức (1.3.4) tacó:

[A(uk− um), A(uk − um)] = l(uk − um, A(uk − ym))

6 µ1||uk− um||.||(Auk)x− (Aum)x||

+ µ1||ukx− umx||.||Auk− Aum||

+ max(|µ3|; |µ4|)||uk− um||.||Auk− Aum||.

Dễ thấy vế phải tiến về 0 khi m, k → ∞ do vậy {Auk} là hội tụ mạnh trong

˚

W21(Ω) Điều này chứng tỏ A là hoàn toàn liên tục

Vì vậy định lý Fredholm thứ nhất đúng với phương trình (1.3.8): Tính giảiđược của (1.3.8) với mọi F ∈ ˚ W21(Ω) là một hệ quả của định lý duy nhất củađịnh lý với (1.3.8) Mà (1.3.8) tương đương với (1.2.6)∀η ∈ ˚ W21(Ω) với u(x)trong

˚

W21(Ω) Vậy ta có thể xây dựng định lý Fredholm như sau:

Định lý 1.2.2 [8]Nếu bài toán (1.2.1), (1.2.2) không có nhiều hơn một nghiệmsuy rộng trong W21(Ω), thì nó có thể giải được trong W21(Ω) với bất kì f và f trong

L2(Ω)

Điều kiện đủ cho tính duy nhất và tính giải được của bài toán (1.2.1), (1.2.2)được đưa ra bởi định lý 1.2.1 Tuy nhiên ở đây là khác nhiều vì nó chứa tất cảcác trường hợp có thể Để làm rõ trường hợp này ta xét không phải chỉ phươngtrình (1.2.1) khi đứng độc lập mà là một họ phương trình:

Lu = λu + f + ∂fi

với tham sốλ phức Như trước hệ số của L là số thực nhưng trong phương trình(1.3.9) hệ số sẽ là số phức u(x) = u0(x) + iu00(x) ta sẽ giới thiệu không gian phức

L2(Ω) và W˚21(Ω), ta giữ lại kết quả như trong không gian thực Phần tử trongkhông gian phức là hàm giá trị phức của biến số x ∈ Ω, và tích vô hướng đượcđịnh nghĩa bởi

Tìm nghiện trong (1.3.10) từ phương trình (1.3.8) ta định nghĩa tích vô hướngmới trong không gian W˚21(Ω)

Trong không gian W˚21(Ω) ở đây toán tử A, B định nghĩa trên tất cả W˚21(Ω)

bởi dạng song tuyến tính của chúng:

[Au, η] =

Z

Ω

(aiuηxi − biuxiη − auη)dx, (1.3.12)