Ứng dụng giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu một số phương trình đạo hàm riêng

DƯƠNG THUỲLINH NGHIÊN CỨU MỘT Số PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG • • Hà Nội -2016... DƯƠNG THUỲLINHNGHIÊN CỨU MỘT Số PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12

DƯƠNG THUỲLINH

NGHIÊN CỨU MỘT Số PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠO HÀM RIÊNG

• •

Hà Nội -2016

DƯƠNG THUỲLINH

NGHIÊN CỨU MỘT Số PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học TS NGÔ HOÀNG LONG

Hà Nội -2016 ■

Luận văn được hoàn thành với lòng tri ân sâu sắc mà tôi kính gửi đến các thầy cô, bạn đồng khóa và gia đình thân thương của tôi.

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Ngô Hoàng Long, người thầy

đã định hướng chọn đề tài, trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập tại trường.

Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bố mẹ - những người đã sinh thành, nuôi dưỡng và tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa cao học KI8 - đợt

2 (2014-2016) nói chung và chuyên ngành Toán ứng dụng nói riêng đã giúp đõ, động viên tôi hoàn thành luận văn này.

Nghiên cứu này được tài trợ bồi Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) trong đề tài mã số 101.03-2014.14

Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Học viên

Dương Thùy Linh

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Ngô Hoàng Long.

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Học viên

Dương Thùy Linh

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

MỞ đầu

2.1 Phương trình truyền nhiệi .

2.2 Phương trình không thuần nhất 2.3 Công thức Feynman-Kac 3 M uc lu c 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại cường về quá trình ngẫu nhỉẽn .

1.1.1 Một số khái niệm cd bản .

1.1.2 Martingale .

1.2 Chuyển động Brown

1.3 Tích phân ngẫu nhiên Itô .

1.3.1 Quá trình khả báo .

1.3.2 Tích phân ngẫu nhiên theo martingale địa phương 1.4 Công thức vỉ phân Itô .

2 Phương trình Parabolic 1 2 5 8 8 8 1 0 13 15 15 16 20 26 26 31 39 2.4 Giải số phương trình Parabolic bằng phương pháp Monte Carlo 45

3 Phương trình Ellipticj 50 Ỉ3.1 Bài toán Dirichletl 51 3.2 Phương trình Poisson 61 3.3

PhƯdng trình Schrödinger 66

1 Lý do chọn đề tài

Kể từ khi lý thuyết xác suất thống kê hiện đại ra đời vào những năm 1930 người

ta đã nhận thấy có một mối liên hệ mật thiết giữa lý thuyết xác suất và giải tích thông thường Đặc biệt, nghiệm của nhiều phương trình đạo hàm riêng dạng Elliptic và Parabolic có thể biểu diễn dưới dạng kì vọng của một phiếm hàm ngẫu nhiên Mối liên

hệ này cho ta một cách tiếp cận mới để nghiên cứu tính chất của nghiệm phương trình đạo hàm riêng Hơn nữa, ta có thể sử dụng các biểu diễn này để giải số nghiệm phương trình đạo hàm riêng.

Với mong muốn tìm hiểu kĩ mối liên hệ giữa các quá trình ngẫu nhiên Itô và các

• Nghiên cứu tính chất của nghiệm phương trình đạo hàm riêng.

• Xấp xỉ nghiệm của phương trình đạo hàm riêng thông qua biểu diễn kỳ vọng.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tổng kết một số kiến thức cơ bản của Lý thuyết Xác suất và Giải tích ngẫu nhiên liên quan đến đề tài.

• Tìm hiểu phương pháp xây dựng công thức biểu diễn nghiệm cho các phương trình dạng Parabolic bao gồm: phương trình truyền nhiệt, phương trình không thuần nhất Phát biểu và chứng minh công thức Feynman - Kac.

• Tìm hiểu phương pháp xây dựng công thức biểu diễn nghiệm cho các phương trình dạng Elliptic bao gồm: Bài toán Dirichlet, phương trình Poisson, phương trình Schrödinger.

• ứng dụng phương pháp Monte Carlo để ước lượng giá trị của nghiệm tại một vài thời điểm cố định.

4 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

• Giải tích ngẫu nhiên.

• Phương trình Parabolic.

• Phương trình Elliptic.

5 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu lý thuyết.

• Nghiên cứu thực nghiệm mô phỏng trên máy tính.

6 Dự kiến đóng góp mới

Luận văn làm rõ phương pháp biểu diễn nghiệm của phương trình đạo hàm riêng thông qua kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên và sử dụng biểu diễn này để xấp xỉ nghiệm của phương trình đạo hàm riêng.

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Đại cương về quá trình ngẫu nhiên

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản

ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, còn khi I là tập (con của) R+ thì {X t } íe/ được gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục.

Với mỗi thời điểm cố định t E I, ánh xạ

x t :tt —» Rd, u I—» x t {u)

là một biến ngẫu nhiên và với mỗi UI e 0, ta có hàm

X(u) : I —> R d ,t 1—> X t (oj) = Xịt,u) được gọi là một quỹ đạo của quá trình X ứng với u.

Định nghĩa 1.1.2 • Họ {.F t }t >0 các CT-đại số con của T gọi là một lọc nếu Tị c

T s với mọi s > t > 0.

• Lọc {J - t } t >0 được gọi là liên tục phải nếu Tị = n >t vãi mọi t > 0.

Từ đây nếu không có chú thích gì đặc biệt, chúng ta luôn xét không gian xác suất

tục trái) nếu với hầu hết U) e 0, hàm t I—» Xị(u) là liên tục (liên tục phải, liên tục

trái) trên đoạn [0, 00 ).

• Cadlag (tức liên tục phải và có giới hạn trái) nếu nó là một hàm liên tục phải và

nếu P(-Xt = Yị với mọi t > 0) = 1.

với mỗi quá trình ngẫu nhiên {Xị} t >0 và thời điểm dừng T, ta kí hiệu X T (ío) — với

mỗi tập Borel A, đặt

T A = inf{í > 0 : x t <E A}.

ngẫu nhiên (X t ) có quĩ đạo liên tục Khi đó:

1 Nếu A là tập mở thì T A là thời điểm dừng.

2 Neu A là tập đóng thì T A cũng là thời điểm dừng.

Với mỗi thời điểm dừng T ta đặt:

T T = {A e T \ An {T < t} E Tị với mọi t > 0}.

1.1.2 Martingale

ứng với lọc (Fị) và độ đo xác suất p nếu:

1 E[|M t |] < oo với mọi í;

2 Mị là Tị-đo được với mọi t;

3 E[Mị\F a ] = M s hcc với mọi t > s.

martingale dưới.

Định lý 1.1.1 Giả sử (Mị) là martingale hoặc là martingale dưới không âm có quĩ đạo liên tục phải và có giới hạn trái Khi đó:

~E{X T \F Ơ ) > X ơ , p - hcc trên tập {r > ơ}.

Hệ quả 1.1.1 Giả sử (Xị, T t )t >0 là martingale liên tục phải, T là thời điểm dừng bị chặn Khi đó {M thT ,F t )ị >0 cũng là martingale.

Định lý 1.1.3 Giả sử (Mị, Tị)ị >0 là một martingale dưới liên tục phải thỏa mãn sup t>0 E[X t + ] < 00 Khi đó X OŨ (w) = Hindoo x t (w) tồn tại với hầu chắc chắn mọi w € fĩ yàEỊỊXool] < 00.

Định nghĩa 1.1.6 Quá trình ngẫu nhiên (M t ) t >0 được gọi là một martingale địa phương nếu tồn tại một dãy các thời điểm dừng (r„)„>0 tăng tới oo hầu chắc chắn sao

phương nếu E(|M"|2 ) < oovớimọin > l,mọií > 0.

loc và tập tất cả các

martingale bình phương khả tích địa phương liên tục bồi M tel.

Định lý 1.1.4 Cho X là martingale địa phương liên tục Nếu s < T là thời điểm dừng

và X TM là martingale khả tích đều thìE(X T \3 r s) = x s

Định lý 1.1.5 Neu X là martingale địa phương liên tục, ta luôn có một dãy mà rút gọn được về X làT n — inf {í : \x t \ > n} hoặc một dãy khác bất kỳ T’ n < T n có T' n t oo khin t oo.

Định lý 1.1.6 Nếu Xị là martingale trên địa phương và

EÍ sup |X,| ì < oo với mọi t > 0

0 < s < t

thì Xị là martingale trên.

Hệ quả 1.1.2 Martingale địa phương bị chặn là martingale.

Định nghĩa 1.1.7 Qtnn (i4 t ) t >0 được gọi là

• khả tích nếu E(|At|) < oo với mọi t > 0.

trong đó tích phân trong dấu kì vọng được hiểu theo nghĩa Lebesgue-Stieltjes vàm s _ =

cùng thời điểm nhảy với bất cứ một martingale bị chặn nào Mệnh đề sau đưa ra một đặc trưng khác của quá trình tăng tự nhiên.

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử {A t ) t >0 là quá trình tăng và khả tích Khi đó {A t ) t >0 là tự nhiên nếu vói mọi martỉngale bị chặn ( m t ) t >0 đẳng thức

được nghiệm đúng vôi mọi t > 0.

dưới {x t )t >0 được gọi là thuộc lớp (DL) nếu họ các bnn {X ơ : ơ e §T } là khả tích đều với mọi T > 0.

Định lý 1.1.7 (Khai triển Doob-Meyer) Giả sử (X t )ị> ữ là martingale dưới thuộc lớp (DL) Khi đó ( x t ) có biểu diễn duy nhất dưới dạng

X t = M t + A t , trong đó {A t ) t >0 là quả trình tăng, khả tích và tự nhiên và 0 là martingale.

E(M t2) < 00, Ví > 0.

Bổ đề 1.1.1 Nếu { M ị ) ị >0 là martingale bình phương khả tích và có quĩ đạo liên tục phải Khi đó (M t 2 ) t >0 là martingale dưới, liên tục phải và thuộc ỉớp (DL).

(M ) ị và gọi ( M ) là đặc trưng hay quá trình Meyer của martingale ( M ị )

Định nghĩa 1.2.1 Một chuyển động Brown xuất phát từ 0 là quá trình B ị , t < 0, lấy

giá trị trong M và thỏa mãn các tính chất sau:

(a) Nếu t o < h < < t n thì B (to), B { t i ) - B ( t 0 ) , B { t n )

Từ chuyển động Brown là bất biến tịnh tiến, tức là: Nếu s > 0 thì B i+S — B s , t > 0

chuyển động Brown có tích chất Markov mạnh được phát biểu như sau:

Định lý 1.2.2 Với mọi thời điểm d ừ n g T , với điều kiện T < 00 , quá trình ngẫu nhiên x s = B T+S - B T là một chuyển động Brown tiêu chuẩn độc lập với quá trình ngẫu nhiên (Bị) 0 <t<T-

Áp dụng tính chất Markov, ta thu được các kết quả sau

1 Cho 0 < s < t Nếu / : R d ->■ R là bị chặn và đo được thì

E x ( f ( B t ) \ ? 3 ) = E B J ( B t _ 3 )

Lấy f ( x ) = X ị , f ( x ) = X ị X j với i Ỷ 3 thì B ị và B ị B ị là martingale với i Ỷ j

-2 Cho 0 < s < t Nếu h : R X R d R là bị chặn và đo được thì

Giả sử Bị là chuyển động Brown xác định trên không gian xác suất (0,7", P) Gọi (J 7 ?) là ơ-đại số tự nhiên sinh bỏi в và

ví dụ 1.3.1 Cho 0 = to < t ị < < t n xác định qtnn đơn giản

x t ( w ) = X 0 ( w ) I { 0 y ( t ) + £ x»/ (t3 , Í3 +l] (í).

j = 0 Nếu X j là T ị đo được với mọi j = 0, , n thì X là khả báo vì X ị là J"t-đo được với mọi

t > 0 và quĩ đạo của X là liên tục trái.

Bổ đề sau cho ta một mô tả hữu dụng về ст-đại số khả báo V

Bổ đề 1.3.1 ơ-đạỉ số V được sinh bởi tất cả các tập có dạng г = (u , v ] Xв với

В £ T u và Г = {0} X В với В G 7"о.

RÕ ràngX” làơ(£)-đo được và X t n -» x t ( w ) khin -> oo với mọi í > 0 v ầ w E Do đó X là

ơ { Q ) - â о được, tức là V с ơ { Q ) Kết hợp với trên suy ra V = ơ { Q )

□

1.3.2 Tích phân ngẫu nhiên theo martingale đỉa phương

f t ( w ) = /j(«0Wi](t)>

3 =1 trong đó 0 < t 0 < < t n và f j là bnn T ị -đo được.

Giả sử ta cố định một qtnn M £ M 2 , c với / G Lo, ta xác định tích phân Itô

Để xây dựng được tích phân ngẫu nhiên cho hàm dưới dấu tích phân / tổng quát hơn, với mỗi M e M 2 ’°, ta xác định độ đo V M trên (M + X ũ , V) bỗi

V M ( A ) = e ( J I A ( t , w ) d ( M ) t )

áp dụng Mệnh đề 1.3.1 ta có:

Định lý 1.3.1 Ánh x ạ l : L 0 L 2 ( Q , F , p) xác định bâi đẳng thức ÍL2ỹ là đẵng cự tuyến tính Tức là, với mọi f , g £ h 0 v à a , l 3 e R , t a c ó

I ( o í f + ị 3 g ) = a l { f ) + ị 3 I { g ) , h c c ,

x n

Do đó I có thác triển duy nhất thành một ánh xạ đẵng cự tuyến tính t ừ L 2 ( v M )

l ê n L 2 ( ữ , T , P) Ta vẫn kí hiệu thác triển đó bởi

l o

c '

Định nghĩa 1.3.2 với mỗi M € M 2 ^ c , đặt L 2

l o c ( M ) là tập tất cả các qtnn khả báo /

thỏa mãn tồn tại một dãy thời điểm dừng (ơ„) tăng tới oo hcc và

Chú ý 1.3.1 Ta có thể chọn dãy (ơ„) trong Định nghĩaỊĩir^ sao cho với mọi n € N,

l o c { M ) với

M e M 2

t f c Ta cũng kí hiệu

trong đó M 1 , , M d là các martingale địa phương liên tục và A 1 , , A d là các quá trình liên tục có biến phân hữu hạn.

Trước khi phát biểu công thức vi phân Itô ta cần đưa ra một số kí hiệu sau Gọi

C 2 (R d) là họ các hàm khả vi đến cấp hai từ R d vào R Với mỗi ánh xạ F G C 2 ( R d ) , ta

kí hiệu đạo hàm riêng của F với biến thứ i là d ị F Tương tự ta kí hiệu a d2 J bỏi

0

1.4 công thức vi phân Itô

X t = X 0 + M t + A u

Định lý 1.4.1 (Công thức vi phân Itô) Giả sử X là semi-martỉngale liên tục d- chiều

inf{t : \M t \ > n hoặc V a r ( A ị ) > n hoặc (M ) ị > n } nếu |x 0 | < n ,

với V a r ( A ) ị là biến phân toàn phần của A trên đọan [0, t ] Rõ ràng T„ t oo hcc Ta

Vì vậy, ta có thể giả sử rằng |Ao|, \ M ị \ , V a r ( A ) ị và ( M ) t là các quá trình bị chặn bỏi

Đặt t ị — i t / n với i — 0,1, Khi đó áp dụng công thức khai triển Taylor,

Định lý 1.4.2 Cho G là tập mở bị chặn và T = inf{t : Bị e G} Neu f E c2 và A/ = 0 trongG và f là liên tục trên G, thì với X £ G ta có f(x) = E x f ( B T )

Biến phân bậc hai

Áp dụng công thức vi phân Itô ta sẽ chứng tỏ rằng đối với martingale bình phương khả

tích, quá trình Meyer sẽ đồng nhất với quá trình biến phân bậc hai.

Định lý 1.4.3 Giả sửM e M 2 ị’ c Giả sử (t")o<i<„ là dãy thỏa mãn 0 = tổ < tĩ < < t *

vì theo định nghĩa tích phân ngẫu nhiên, ĩ * M a d M a

□

Định lý 1.4.4 Mọi martingale địa phương liên tục khả báo và có biến phân bị chặn đều là quả trình hằng.

Thôi gian cư trú

Định lý 1.4.5 Giả sử D — B ( 0 , r ) là hình cầu mở tâm 0 bán kính r trong không gian d chiều Khi đó

ỏ đó P t { x , y ) = (27rí)d/2 e |æ y|2/2í là mật độ cho chuyền động Brown Khi d > 3, đổi biến

t = \ x — y \ 2 /2s ta được

00 00

Ị v ' ( x ' v ) i t = í Jĩầ

0 0 0

trong đó Г(а) = J s a l e S d s là hàm gamma thông thường Nếu ta định nghĩa

dừng từ B ( 0 , |x|), cho chuyển động Brown xuất phát từ 0 và sử dụng phép đối xứng

quay, ta thu được

J 1 £)(B s )ds = Eo Ị 1 £)(B s )ds < Eo J 1 £ > ( B s ) d s

о т о

□

ứng dụng giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu phương trình Parabolic

ở thời điểm t khi nhiệt độ ỗ thời điểm 0 được cho bằng f { x ) Ta sẽ trình bày phương pháp xây dựng nghiệm của phương trình (Ị2.11 l-(|2l2] Ị gồm 6 bước Bước đầu tiên là ta

đi tìm một martingale địa phương.

Định lý 2.1.1 Nếu u thỏa mãn ỊỊ2.1Ị I thì M s = u ( t — s, B s ) ỉà một martỉngale địa phương trên [0,t).

Chứng minh Từ công thức vi phân Itô, u ( x 0 , x d ) với x° = t — s v k x ị = B ị , 1 <

0 nếu trái lại.

Bước tiếp theo ta sẽ chứng minh định lý về tính duy nhất.

Định lý 2.1.2 Nếu phương trình H2.lt -ỊỊ2.2Ị Ị có nghiệm bị chặn thì nghiệm đó phải

có dạng

v ( t , x ) = E a [ f { B t ) ]

Chứng minh Nếu ta giả thiết u là bị chặn thì M s , 0 < s < t là martingale bị chặn Theo

hệ quả định lý hội tụ martingale, ta có

Mị = lim M s tồn tại hầu chắc chắn

s fí

Nếu u thỏa mãn ị2.2\ thì

M t = lim u(t - s, Bs) = it(0, Bt ) =

s tí

vì M s là khả tích đều, nên M s hội tụ theo trung bình đến Mị Do đó, E x M a ->• Ex M t khi

s ->• t Mà (Ms) là martingale nên E X M S = E x M t với mọi s < t Do đó, E X M 0 = E x M t

là nghiệm.

Chứng minh Theo tính chất Markov, ta có:

E x ( f ( B t ) \ 3 s ) = E B m ( f ( B t - s ) ) = v ( t - S , B S ).

tính toán như chứng minh định lý 112.1.Ị) , ta có

v ( t - s , B s ) — v ( t , B 0 ) = / ( - V ị - ị — A v ) ( t - r , B r ) d r + martingale địa phương.

vế trái là một martingale nên tích phân ỏ vế phải cũng là một martingale Tuy nhiên,

tích phân là liên tục và có biến phân bị chặn nên nó phải bằng 0 vì V t và A u là liên

tục nên - V ị + |Au = 0 Bồi nếu nó khác 0 tại một điểm (t , X ) nào đó thì nó sẽ khác 0

tại lân cận mỏ của điểm đó, do đó, có thể chắc chắn rằng tích phân không bằng 0, mâu

Dễ dàng đưa ra điều kiện bao hàm để u thỏa mãn H2.2Ị I Để trình bày đơn giản,

đầu tiên ta xét trường hợp khi / bị chặn.

Định lý 2.1.4 Nếu f bị chặn và liên tục thì V thỏa mãn (Ị2.2Ị Ị

Chứng minh Ta phải chứng minh

lim lim u(í,x) = lim lim Ea./(B t )

-Neu / là bị chặn thì thấy rằng với a — i, ij hoặc t, ta có

J \ D a p t ( x , y ) f { y ) \ d y < oo và là liên tục trong Md , vì thế định lý được chứng minh

nhò một số kết quả sau.

□

Bổ đề 2.1.1 Lấy (S , s, m ) l à ơ - không gian có độ đo hữu hạn và д : s !-> R là đo được Giả sử rằng với mỗi X G G ỉà khoảng mở của K d và một vài điểm hũ > 0 ta có:

Sau đây, ta cần chỉ ra kết quả với các tổng đạo hàm Lấy s = z với ẵ = tất cả các khoảng của s và /i là đếm được trong bổ đề d2.1.lỊ |, đặt g = 1 và f n ( x ) = K ( x , n )

Chú ý rằng trong (a) và (c) của bổ đề (Ị2.1.1Ị Ị ta ngầm hiểu rằng tích phân tồn tại, vì vậy, ỏ đây trong (a) và (c) ta giả định rằng tổng hội tụ tuyệt đối.

Bổ đề 2.1.2 Giả sử rằng với mỗi X e G là khoảng mở của R d và một vài điểm h 0 > 0

Định lý 2.1.6 Nếu f là liên tục và thỏa mãn (*) thì V thỏa mãn (Ị2.1Ị Ị -d2.2ĩ l ■

2.2 Phương trình không thuần nhất

1

u € c 1 ’ 2 và u t = - A u + g trong (0, 00 ) X M d

u là liên tục với mọi điểm trong {0} X M d và Í X (0, X ) = f { x )

(2.3) (2.4)

Ta thấy rằng theo phần trước thì H2.4Ị Ị chỉ có thể xảy ra khi / liên tục ở đây,

g — Uị — |Au, vì th ế phương trình trong (Ị2.3Ị I không thể xảy ra với u G c 1 ' 2 trừ

= 0 và u 2 là một nghiệm của phương trình với / = 0 và g = g 0 thì Ui + u 2 cũng là một nghiệm của phương trình với / = /o và g = g 0

Đầu tiên ta tìm một martingale địa phương.

Định lý 2.2.1 Nếu u thỏa mãn (Ị2.3Ị I thì

M s = u ( t - S , B S ) + Ị g ( t — r , B r ) d r

■'0

là một martingale địa phương trên [0, í).

Chứng minh Áp dụng công thức tích phân Itô, ta có:

u ( t - s , B 3 ) - u ( t , B 0 ) = ị { - U ị + - A u ) ( t - r , B r ) + ị \ / u ( t - r , B r ) d B r

Bước tiếp theo ta chứng minh tính duy nhất.

Định lý 2.2.2 Giả sử g bị chặn, nếu tồn tại một nghiệm của phương trình fl2.3Ị H2.4Ị ị thỏa mãn điều kiện bị chặn trên [0,T] X M d với mọi T < oo thì nghiệm đó phải là

Do M s là khả tích đều,

u ( t , x ) = E X M 0 = E x M t = v ( t , x )

□

Định lý 2.2.3 Giả sử g là bị chặn và liên tục Nếu V € C 1 ’ 2 thì nó thỏa mãn (Ị2.3Ị Ị trong (0,00) X R d

+ martingale địa phương.

địa phương Do tích phân là liên tục và có biến phân bị chặn địa phương Áp dụng kiến

sử tất cả các hàm đều bị chặn.

Cuối cùng để chỉ ra V là nghiệm thì ta phải chứng tỏ V € с 1 ’ 2 Chú ý rằng giả thiết g

phương theo biến t tức là Ig ( t , X) — g ( t , y)I < c \ x — yI“ với t < N.

Bước đầu tiên để chỉ ra V e c 1 ’ 2 là giả sử g bị chặn và sử dụng định lý Fubini ta có