Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính - Đại số tuyến tính - Toán cao cấp dành cho SV

Combo Toán cao cấp dành cho Sinh viên khối ngành kinh tế Đăng kí khoá học tại đây: https://goo.gl/FQ5oca1. Khử ẩn ma trận hệ số mở rộng:..[r]

Trang 1

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO S1 – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 1

ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN

TÍNH (ĐỀ SỐ 01)

*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website:

www.vted.vn

Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại www.vted.vn

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Mã đề thi

001

Họ, tên thí sinh: Trường:

Combo Toán cao cấp dành cho Sinh viên khối ngành kinh tế

Đăng kí khoá học tại đây: https://goo.gl/FQ5oca

1 Biểu diễn tuyến tính

• Cho hệ m véctơ n chiều X1, X2, , X m Véctơ X ∈ ! n được biểu diễn tuyến tính qua m véctơ

X1, X2, , X m nếu tồn tại m số thực α1,α2, ,α m sao cho X = α1X1+ α2X2+ + α m X m

• Đẳng thức trên tương đương với: α1,α2, ,α m là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình và m ẩn α1,α2, ,α m có ma trận hệ số mở rộng

A = X( 1 X2 X m X) trong đó các véctơ X1, X2, , X m , X được viết dưới dạng cột:

Ví dụ 1: Hãy biểu diễn véctơ X = (7,11,−6) qua các véctơ X1= (1,3,−2), X2= (3,4,−1), X3= (5,5,1)

Giải Giả sử X = α1X1+ α2X2+ α3X3 khi đó α1,α2,α3 là nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số

mở rộng

A=

1 3 5 7

3 4 5 11

−2 −1 1 −6

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

−3d1+d2

2d1+d2

⎯⎯⎯⎯→

1 3 5 7

0 −5 −10 −10

0 5 11 8

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

d2+d3

⎯⎯⎯→

1 3 5 7

0 −5 −10 −10

0 0 −1 −2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟. Vậy

α1+ 3α2+5α3= 7

−5α2−10α3= −10

α3= −2

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⇔

α1= −1

α2= 6

α3= −2

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

Vậy X = −X1+ 6X2−2X3

Ví dụ 2: Tìm m để véctơ X = (3,−1,11,m) biểu diễn tuyến tính qua các véctơ

X1= (2,1,3,8), X2= (1,3,0,5), X3= (−1,2,2,2)

Giải Giả sử X = α1X1+ α2X2+ α3X3 khi đó α1,α2,α3 là nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số

mở rộng

A=

2 1 −1 3

1 3 2 −1

3 0 2 11

8 5 2 m

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Khử ẩn ma trận hệ số mở rộng:

Trang 2

2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO S1 – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH – DUY NHẤT TẠI VTED.VN

A=

2 1 −1 3

1 3 2 −1

3 0 2 11

8 5 2 m

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

doichod1&d 2

⎯⎯⎯⎯⎯→

1 3 2 −1

2 1 −1 3

3 0 2 11

8 5 2 m

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−2d1+d2

−3d1+d3

−8d1+d4

⎯⎯⎯⎯→

1 3 2 −1

0 −5 −5 5

0 −9 −4 14

0 −19 −14 m+8

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

−1

5 2

⎯⎯⎯→

1 3 2 −1

0 1 1 −1

0 −9 −4 14

0 −19 −14 m+8

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

9d2+d3 19d2+d4

⎯⎯⎯⎯→

1 3 2 −1

0 1 1 −1

0 0 5 5

0 0 5 m−11

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−d3+d4

⎯⎯⎯→

1 3 2 −1

0 1 1 −1

0 0 5 5

0 0 0 m−16

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Vậy điều kiện là hệ có nghiệm ⇔ m−16 = 0 ⇔ m =16.

2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của một hệ véctơ

• Cho m véctơ n chiều X1, X2, , X m Xét đẳng thức: α1X1+ α2X2+ + α m X m = O n(*) Đẳng thức này tương đương với hệ tuyến tính tổng quát gồm n phương trình và m ẩn α1,α2, ,α m có

ma trận hệ số là

A = X( 1 X2 X m), trong đó các véctơ X1, X2, , X m viết dưới dạng cột

• Hệ gồm m véctơ n chiều X1, X2, , X m được gọi là độc lập tuyến tính nếu (*) chỉ xảy ra khi

α1= α2= = α m= 0, tức hệ tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số A có nghiệm tầm thường duy nhất, tức quá trình biến đổi ma trận hệ số A kết thúc dưới dạng tam giác

• Hệ gồm m véctơ n chiều X1, X2, , X m được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m số thực

α1,α2, ,α m không đồng thời bằng 0 sao cho đẳng thức (*) xảy ra, tức hệ tuyến tính thuần nhất

có ma trận hệ số A có vô số nghiệm, tức quá trình biến đổi ma trận hệ số A kết thúc dưới dạng hình thang

Ví dụ 1: Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ X1= (2,1,−1), X2= (1,5,−2), X3= (3,−7,2)

Giải Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số:

A=

2 1 3

1 5 −7

−1 −2 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

doichod1&d 3

⎯⎯⎯⎯⎯→

−1 −2 2

1 5 −7

2 1 3

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

d1+d2 2d1+d3

⎯⎯⎯→

−1 −2 2

0 3 −5

0 −3 7

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

d2+d3

⎯⎯⎯→

−1 −2 2

0 3 −5

0 0 2

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟. Quá trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác nên hệ véctơ độc lập tuyến tính

Ví dụ 2: Tìm m để hệ véctơ X1= (−1,3,2), X2= (2,4,−3), X3= (5,5,m) độc lập tuyến tính

Giải Có

A=

−1 2 5

3 4 5

2 −3 m

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

3d1+d2 2d1+d3

⎯⎯⎯→

−1 2 5

0 10 20

0 1 m+10

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟

−1

10d2+d3

⎯⎯⎯⎯→

−1 2 5

0 10 20

0 0 m+8

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎟⎟⎟⎟. Vậy hệ véctơ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi m+8 ≠ 0 ⇔ m ≠ −8.

Trang 3

Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu hệ véctơ

{X1, X2, , X m} phụ thuộc tuyến tính và véctơ X m không biểu

diễn tuyến tính qua các véctơ X1, X2, , X m−1 thì hệ véctơ

{X1, X2, , X m−1} phụ thuộc tuyến tính

Giải Vì hệ véctơ

{X1, X2, , X m} phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại m số thực α1,α2, ,α m không đồng

thời bằng 0 sao cho α1X1+ α2X2+ + α m X m = O n

Do X m không biểu diễn tuyến tính qua các véctơ X1, X2, , X m−1 nên α m= 0

Vậy α1X1+ α2X2+ + α m−1X m−1= O n

Mặt khác m−1 số thực α1,α2, ,α m−1 không đồng thời bằng 0 nên hệ véctơ

3 Các định lí về độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Định lí 1: Một hệ véctơ n chiều có số véctơ lớn hơn hoặc bằng hai Hệ véctơ đó phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véctơ trong hệ được biểu diễn tuyến qua các véctơ còn lại

Hệ quả: Hệ gồm hai véctơ X ,Y phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi X ,Y tỷ lệ và ngược lại X ,Y độc lập tuyến tính khi và chỉ khi X ,Y không tỷ lệ

Định lí 2: Cho hai hệ véctơ n chiều

{X1, X2, , X m} và

{Y1,Y2, ,Y k} Nếu m > k và mọi véctơ X i (i =1,2, ,m) được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ

{Y1,Y2, ,Y k} thì hệ véctơ

{X1, X2, , X m} phụ thuộc tuyến tính

Hệ quả: Mọi hệ véctơ n chiều có số véctơ lớn hơn số chiều (lớn hơn n) thì hệ véctơ đó phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu hệ véctơ

{X1, X2, , X m}⊂ !n độc lập tuyến tính và tồn tại véctơ

X ∈ ! n không biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ {X1, X2, , X m} thì m ≤ n−1.

Giải Giả sử m > n−1 suy ra hệ véctơ X1, X2, , X m , X có số véctơ là m+1> n lớn hơn số chiều của

!n nên phụ thuộc tuyến tính Vì vậy tồn tại m+1 số thực α1,α2, ,α m,α không đồng thời bằng 0 sao

cho

α1X1+ α2X2+ + α m X m + αX = O n

Do X không biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ

{X1, X2, , X m} nên α = 0.

Vậy α1X1+ α2X2+ + α m X m = O n ⇔ α1= α2= = α m= 0 (do hệ véctơ

{X1, X2, , X m}⊂ !n độc lập tuyến tính) Vậy α1= α2= = α m = α = 0 (mâu thuẫn với m+1 số thực α1,α2, ,α m,α không đồng

thời bằng 0) Vậy ta có điều phải chứng minh

Câu 1. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X = (16,7,−1) qua các véctơ

X1= (1,−1,3), X2= (2,1,1), X3= (5,3,−1)

Câu 2 Hãy biểu diễn véctơ X = (7,11,−6) qua các véctơ X1= (1,3,−2), X2= (3,4,−1), X3= (5,5,1)

Câu 3 Tìm m để véctơ X = (3,−1,11,m) biểu diễn tuyến tính qua các véctơ

X1= (2,1,3,8), X2= (1,3,0,5), X3= (−1,2,2,2)

Câu 4. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X = (−3,1,−20,25) qua các véctơ

X1= (1,2,3,4), X2= (−1,5,6,1), X3= (−2,3,−2,5)

Câu 5. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X = (7,26,−7,−28) qua các véctơ

X1= (4,2,1,−1), X2= (1,−4,2,5)

Trang 4

4 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – PRO S1 – ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH – DUY NHẤT TẠI VTED.VN

Câu 6. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X = (3,−5,−10,15) qua các véctơ

X1= (3,−2,4,5), X2= (1,1,7,−3), X3= (0,2,3,−4)

Câu 7. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X = (1,−2,0,7) qua các véctơ

X1= (1,3,4,5), X2= (2,2,−1,3), X3= (3,5,1,−2), X4= (−4,7,2,4)

Câu 8 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ X1= (2,1,−1), X2= (1,5,−2), X3= (3,−7,2)

Câu 9 Tìm m để hệ véctơ X1= (−1,3,2), X2= (2,4,−3), X3= (5,5,m) độc lập tuyến tính

Câu 10 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của các hệ véctơ sau:

a)

X1= (2,1,−1)

X2= (1,5,−2)

X3= (3,−7,2)

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

b)

X1= (1,1,−1,−1)

X2= (2,6,3,2)

X3= (5,9,0,−1)

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

c)

X1= (1,−2,1,−1)

X2= (3,3,5,−2)

X3= (0,−9,−2,1)

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

d)

X1= (−1,3,2)

X2= (2,4,−3)

X3= (5,5,m)

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

e)

X1= (4,3,−1,2)

X2= (2,−2,4,5)

X3= (−2,9,−13,−13)

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

Câu 11 Tìm m để véctơ X = (−3,−2,1,m) biểu diễn tuyến tính qua các véctơ

X1= (2,1,m,−1), X2= (1,3,−1,2), X3= (2,−1,−3,−1)

Câu 12 Chứng minh rằng với mọi m hệ véctơ X1= (2,3,4,−1), X2= (−1,2,−2,1), X3= (3,m,4,2) độc lập tuyến tính

Câu 13 Chứng minh rằng với mọi m véctơ X = (−m,2,m) luôn biểu diễn tuyến tính qua các véctơ

X1= (1,3,m), X2= (−2,−1,1), X3= (4,2,−3)

Câu 14 Chứng minh X1= (1,1,1), X2= (1,1,2), X3= (1,2,3) độc lập tuyến tính và hãy biểu diễn véctơ

X = (6,9,14) qua các véctơ X1, X2, X3

Câu 15 Chứng minh rằng nếu hệ véctơ

{X1, X2, , X m} phụ thuộc tuyến tính và véctơ X m không biểu

diễn tuyến tính qua các véctơ X1, X2, , X m−1 thì hệ véctơ

Câu 16 Chứng minh rằng nếu hệ véctơ

{X1, X2, , X m}⊂ !n độc lập tuyến tính và tồn tại véctơ

X ∈ ! n không biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ {X1, X2, , X m} thì m ≤ n−1.

Câu 17 Tìm m để hệ véctơ X1= (−1,3,2,1), X2= (2,4,−3,−1), X3= (1,2,3,4), X4= (5,5,5,m) độc lập tuyến tính

Câu 18 Chứng minh rằng nếu hệ véctơ

{X1, X2, , X m}⊂ !n độc lập tuyến tính và khi thêm vào véctơ

X ∈ ! n ta được hệ véctơ {X1, X2, , X m , X} phụ thuộc tuyến tính thì véctơ X được biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua các véctơ X1, X2, , X m

Câu 19 Tìm m để véctơ X = (1,2,3,m) biểu diễn tuyến tính qua các véctơ

X1= (−1,2,−3,5), X2= (2,1,4,6), X3= (−3,2,5,7)

Câu 20 Tìm m để véctơ X = (1,2,3,4,m) biểu diễn tuyến tính qua các véctơ

X1= (−1,2,−3,5,1), X2= (2,1,4,6,3), X3= (−3,2,5,7,−1), X4= (−2,3,−1,4,5).

Trang 5

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành

cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả

các trường:

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả

nước

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	2,31 MB