ĐÊ THI HSG CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN 8 NĂM 2016 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...
Trang 1PHềNG GD&ĐT HƯƠNG SƠN
TRƯỜNG THCS SƠN TIẾN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015– 2016 Mụn thi: TOÁN 8 Thời gian: 90 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1:
a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: x4 +2011x2 +2010x+2011
b) Tỡm cỏc số nguyờn x; y sao cho: 3x3 +xy=3.
c) Tỡm cỏc hằng số a và b sao cho x3 +ax+b chia cho x+1 dư 7; chia cho x−2
dư 4
Cõu 2:
a) Tớnh giỏ trị biểu thức:
A= x2 + y2 +5+2x−4y − −(x+ y−1)2 +2xy với x=22011;y=16503
b) Tỡm x để B cú giỏ trị nhỏ nhất: B x2 2x2 2011
x
− +
= với x> 0.
Cõu 3:
Cho a; b; c là ba cạnh của tam giỏc
a b c+ a b c a b c+ ≥ + +
Cõu 4 :
Gọi O là giao điểm hai đường chộo AC và BD của hỡnh thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N a) Chứng minh OM=ON.
b) Chứng minh
MN CD AB
2 1
c) Biết S AOB =a2;S COD =b2.Tớnh S ABCD ?
Câu 5: Trên cạnh AB ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân ,
đỉnh F có góc đáy là 150 Chứng minh tam giác CFD là tam giác đều /
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Câu: Nội dung Điểm 1a
0,75đ
a/ x4 +2011x2 +2010x+2011=x4 +x3 +x2 +2010(x2 +x+1)−(x3 −1) 0,5
b/ 3x3 +xy=3⇔ x(3x2 +y)=3 Do x; là các số nguyên nên ta có: y 0,25
0,75đ TH1:
=
=
⇔
= +
=
0
1 3
3
1
x y
x
x
(thỏa mãn) hoặc 2
26
y
x y
+ = = −
0,25
TH2:
−
=
−
=
⇔
−
= +
−
=
6
1 3
3
1
x y
x
x
(thỏa mãn) hoặc 2 3 3
28
y
x y
+ = − = −
0,25
0,75đ c/ Vì x3 +ax+b chia cho x+1 dư 7 nên ta có: x3 +ax+b=(x+1).Q(x)+7 do đó với x=−1 thì
-1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1)
0,25
Vì x3 +ax+b chia cho x−2 dư 4 nên ta có: x3 +ax+b=(x−2).P(x)+4 do đó với x=2 thì
8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2)
0,25
2.
a.
0,75đ
a/ Ta có: x2 +y2 +5+2x−4y=(x+1) (2 + y−2)2 ≥0với mọi x; nên ta có: y 0,25 A= x2 + y2 +5+2x−4y−(x+ y−1)2 +2xy
= x2 + y2 +5+2x−4y−x2 −y2 −1−2xy+2x+2y+2xy=4x−2y+4=2(2x− y)+4
0,25
Thay x=22011;y =16503 =( )24 503 =22012 vào A ta có: A=2.(2.22011−22012)+4=4 0,25
b
1,0đ b/ B= 2
x
x
x − +
2 2
2011
2011 2011
2 2011
x
x
2011
2010 2011
2011 (
2011
2010 2011
2011 2010
2
2 2
2 2
≥
− +
=
− +
x
x x
x x
Vậy GTNN của B là
2011
2010 đạt được khi x=2011
3. vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; 0,25
1,0đ a - b + c > 0 Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0 0,25
ta có: x + y + z = a + b + c; ; ;
a= + b= + c= +
0,25
1
1
4
y x z x y z z x y
x y z
x y z x y z x y z
0,25
Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng minh
1,0đ vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; 0,5
Trang 3N M
O
D
C
4.
1,0đ a/ Do MN//AB và CD ⇒
AD
AM CD
OM = và
AD
DM AB
OM = Do đó: OM OM AM MD 1
+
Tương tự: + =1
AB
ON DC
ON
Từ (1);(2) ⇒ + =2
AB
MN DC
⇒
MN AB DC
2 1
1,0
b/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2 cạnh đáy
tương ứng Do vậy : S S OD OB
AOD
AOB = và
OC
OA S
S
COD AOD =
0,25
Nhưng
OC
OA OD
COD
AOD AOD
AOB
S
S S
S
= ⇒S2AOD =S AOB.S COD =a2.b2 nên S AOD =ab.
Tương tự S BOC =ab.Vậy ( )2
b a
S ABCD = +
0,5
0,25
c/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K
Do Dˆ <Cˆ <900 nên H, K nằm trong đoạn CD
Ta có A EˆD=B CˆD=Cˆ >Dˆ ⇒ AD> AE
Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE
Vậy AD>BC ⇒DH>KC⇒DK > CH
0,25
0,25 Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có : 2 2 2 2 2 2
DB =BK +DK >AH +CH =AC
(Do 2 2
)
AH =BK ⇒BD AC>
0,25
HS làm các cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa
H
2
I 2
F 2
H
150 15 0 2
Trang 4
Dựng tam giác cân BIC nh tam giác AFB có góc đáy 150
Suy ra : ả 0
B = (1)
Ta có VAFB=VBIC (theo cách vẽ) nên: FB = IB (2).
Từ (1) và (2) suy ra :VFIB đều
Đờng thẳng CI cắt FB tại H Ta có: Ià2 = 300 ( góc ngoài của VCIB).
Suy ra: ảH2 = 900 ( vì àB= 600 ) Tam giác đều FIB nên IH là trung trực của FB hay CH
là đờng trung trực củaVCFB Vậy VCFB cân tại C Suy ra : CF = CB (3)
Mặt khác : VDFC cân tại F Do đó: FD = FC (4).
Từ (3) và (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC).
Vậy VDFC đều.
