b Cho a và b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau.. Hỏi có bao nhiêu góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d... b Cho a và b là hai số nguyên dương và không
Trang 1PHÒNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚN SƠN
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán 6
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (4,0 điểm)
a) Tính: A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= − ÷ − ÷ − ÷ − ÷ − ÷ − ÷
b) Tìm x biết: x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 16
− + − + − + − + − + − =
Bài 2 (3,0 điểm).
a) Tìm các chữ số x; y để B = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1
b) Cho a và b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau
Biết BCNN(a, b) = 630 và ƯCLN(a, b) = 18 Tìm hai số a và b
Bài 3 (3,0 điểm).
a) Cho p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên Chứng minh rằng p - 1 và p + 1 không là
số chính phương
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân số
b a
ab
+ (ab là số có 2 chữ số).
Bài 4 (4,0 điểm).
a) Tìm số tự nhiên x, y sao cho: (2x 1 y+ ) ( 2− =5) 12.
b) Hai số 22015 và 52015 viết trong hệ thập phân và viết liền nhau tạo thành một số Hỏi số
đó có bao nhiêu chữ số?
Bài 5 (5,0 điểm).
Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng d Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C sao cho
AB = 6cm, AC= 2cm
a) Tính BC
b) Giả sử cho OAB 80 · = o, tính ·OAC
c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2015 điểm phân biệt (khác A, B, C) Hỏi có bao nhiêu góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d
Bài 6 (1,0 điểm).
Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc = ab ac 7 × ×
-HẾT -Họ và tên học sinh:………Số báo danh: ………… …………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 – NĂM HỌC 2015-2016
1
a) Tính: A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= − ÷ − ÷ − ÷ − ÷ − ÷ − ÷
b) Tìm x biết: x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 16
− + − + − + − + − + − = a) Tính:
= − ÷ − ÷ − ÷ − ÷ − ÷ − ÷
2 1 3 1 4 1 2014 1 2015 1 2016 1
= ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
1.2.3 2013.2014.2015 1
2.3.4.5 2014.2015.2016 2016
Vậy A 1
2016
=
1
0,75 0,25
b) Tìm x
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 16
(x 2)
(x 2)
3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9
(x 2)
(x 2)
(x 2)
9
− + − + − + − + − + − =
− − + − + − + − + − + − ÷=
− − ÷=
− = 6
9 2(x 2) 16
x 2 8
x 10
− =
− =
=
Vậy x = 10
0,25 0,25
0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
2 a) Tìm các chữ số x; y để B = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1
b) Cho a và b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau
Biết BCNN(a, b) = 630 và ƯCLN(a, b) =18 Tìm hai số a và b
a) Do B =x183ychia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1 Ta có B = x1831
Vì B = x1831 chia cho 9 dư 1 ⇒ x1831 - 1 M 9 ⇒ x1830 M 9
⇔ x + 1 + 8 + 3 + 0 M 9 ⇔ x + 3 M 9, mà x là chữ số nên x = 6
Vậy x = 6; y = 1
0,5 0,25
0,5 0,25 b) ƯCLN( )a, b =18 nên a = 18x; b = 18y và x, y nguyên tố cùng nhau
+) a.b= ƯCLN(a, b) x BCNN(a, b) = 18.630
0,25
Trang 3⇒18x.18y = 18.630 ⇒ xy = 630 : 18 = 35
+) Vì a, b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau nên x, y cũng là
hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau:
⇒ x.y = 35 = 5.7 ⇒ x = 5; y = 7 hoặc x = 7; y = 5
Vậy a = 90; b = 126 hoặc a = 126; b = 90
0,5
0,5 0,25
3
a) Cho p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên Chứng minh rằng p - 1 và
p + 1 không là số chính phương
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân số
b a
ab
+ (ab là số có 2 chữ số).
a) Nhận xét: Một số chính phương khi chia cho 3 và 4 thì chỉ có thể dư 0 hoặc 1
+) Từ giả thiết, suy ra p chia hết cho 2, 3 nhưng không chia hết cho 4
+) Như vậy, vì p 3 M suy ra p – 1 chia cho 3 dư 2 ⇒ p – 1 không là số chính
phương;
+) Vì p 2 M và p không chia hết cho 4 suy ra p chia cho 4 dư 2 ⇒ p + 1 chia cho
4 dư 3 nên p + 1 cũng không là số chính phương
Vậy rằng p - 1 và p + 1 không là số chính phương
0,25 0,25
0,25
0,5 0,25 b) Nhận xét: ab là số có 2 chữ số suy ra 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤9
Ta có
b
a
+
+ + + + ( vì a 0≠ )
Phân số
b a
ab
+ nhỏ nhất ⇔
b
a lớn nhất ⇔ b = 9; a = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của phân số là: 19
10
0,25
0,5
0,5 0,25
4
a) Tìm số tự nhiên x, y sao cho: (2x 1 y+ ) ( 2− =5) 12.
b) Hai số 22015 và 52015 viết trong hệ thập phân và viết liền nhau tạo thành một
số Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số?
a) Theo giả thiết, suy ra 2x + 1 là số tự nhiên lẻ và y2 – 5 cũng là số tự nhiên
⇒ (2x 1 y+ ) ( 2− =5) 12 3.4 1.12= =
TH1: 2x + 1 = 3 và y2 – 5 = 4 Giải tìm được x = 1 và y = 3
TH2: 2x + 1 = 1 và y2 – 5 = 12 Tìm được x = 0 và y2 = 17 ( vô lý)
Vậy x = 1 và y = 3
0,5 0,25
0,5 0,5 0,25 b) Giả sử 22015 có m chữ số và 52015 có n chữ số (m, n nguyên dương)
Ta có 10m 1 − <22015 <10m; 10n 1 − <52015<10n suy ra 10m n 2 + − <102015<10m n +
Do đó m + n – 2 < 2015 < m + n hay 2015 < m + n < 2017 ⇒ m + n = 2016
Vậy số tạo thành có 2016 chữ số
1
1
5 Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng d Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C
Trang 4sao cho AB = 6cm, AC= 2cm.
a) Tính BC
b) Giả sử cho OAB 80· = o, tính ·OAC
c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2015 điểm phân biệt (khác A, B, C) Hỏi có bao
nhiêu góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d
0,25 0,25
a) Tính BC
Vì A, B, C thuộc đường thẳng d và AB > AC nên xảy ra 2 trường hợp
TH1: C nằm giữa A và B (hình 1)
⇒ AB = AC + CB ⇒ BC = AB – AC = 6cm – 2cm = 4cm
TH2: A nằm giữa B và C (hình 2)
⇒ BC = AC + AB = 6cm + 2cm = 8cm
Vậy BC = 4cm hoặc BC = 8cm
0,75
0,75 0,25 b) Tính ·OAC
TH1: C nằm giữa A và B (hình 1)
Tia AC và tia AB trùng nhau ⇒OAC OAB 80 · = · = o
TH2: A nằm giữa B và C (hình 2)
Tia AC và tia AB đối nhau ⇒OAC; OAB · · là hai góc kề bù ⇒OAC OAB 180 · + · = o
Suy ra: OAC 180 · = o − OAB 180 80 100 · = o− o = o
Vậy OAC 80 · = o hoặc OAC 100 · = o
0,75
0,75 0,25
c)
+) Trên đường thẳng d có 2018 điểm phân biệt
+) Cứ 2 điểm trên đường thẳng d nối với điểm O được một góc đỉnh O
Có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy nhiêu góc đỉnh O
Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d là :
2018.2017
2035153
Vậy có 2035153 góc đỉnh O
0,25
0,25
0,25 0,25
6 Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc = ab ac 7 × ×
Ta có: abbc = ab ac 7 × × (1)
⇔ 100.ab + bc = 7 ab ac⇔ ab(7 ac - 100) = bc 0,25
Trang 5⇔ 7 ac - 100 = bc
ab Vì 0 <
bc
ab < 10 nên 0 < 7 ac - 100 < 10
⇔ 100 < 7 ac < 110 ⇔ 14 100 ac 110 16
< < < < Vậy ac = 15 thay vào (1) được 1bb5 1b 15 7 = × × ⇔ 1005 + 110b = 1050 + 105.b
⇔ 5b = 45 ⇔ b =9
Vậy a = 1; b = 9; c = 5
0,25
0,25 0,25
Lưu ý :
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.
- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.