Mời quý thầy cô và các em học sinh tham khảo Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán 8 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Quang Trung. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn kiến thức bổ ích giúp các em củng cố lại kiến thức trước khi bước vào kì thi học kì chọn HSG cấp trường sắp tới. Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!
Trang 1TR ƯỜ NG THCS QUANG TRUNG
T KHOA H C – T NHIÊNỔ Ọ Ự KH O SÁT CH N H C SINH GI I C P TRẢ Ọ Ọ Ỏ Ấ ƯỜNG
L P 8 THCS NĂM H C 20182019Ớ Ọ
MÔN: TOÁN Ngày thi: 10/4/2019
Th i gian làm bài: ờ 150 phút
Bài 1. (4,0 đi m) Phân tích các đa th c sau thành nhân t :ể ứ ử
a. A = x 3 + 2019x2 + 2019x+ 2018
b. B = x 4 − 5x2 + 4
c. Cho a 5; ab 10 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ P = a 2 +b2
Bài 2. (6,0 đi m)ể
a. Cho a; b là các s t nhiên. Ch ng minh r ng: ố ự ứ ằ M = a 5 + − +b5 (a b) 5 M
b. Tìm các giá tr x và y th a mãn: ị ỏ x 2 + y2 − 4x− 2y+ = 5 0
c. Gi i phả ương trình x 2015 x 2007 x 2006 x 2018
d. Gi i phả ương trình b c 4 sau: ậ x4 − 11x2 + 4x+ 21 0 =
Bài 3. (4,0 đi m)ể
a. Ch ng minh ứ a 2 + +b2 c2 ab bc ca+ + và ( )2
a b c+ + ab bc ca+ + v i m i s ớ ọ ố
th c a, b, c.ự
b. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên x thì bi u th c P m t s chính phứ ằ ớ ọ ố ể ứ ộ ố ương.
(x+5 x+7) ( ) ( 9) ( 11 + 16.)
Bài 4. (6,0 đi m) ể
Cho tam giác ABC vuông t i A ạ (AC AB V đ ng cao AH ) ẽ ườ (H BC Trên tia )
đ i c a tia BC l y đi m K sao cho KH = HA. Qua K k đố ủ ấ ể ẻ ường th ng song song v i AH, ẳ ớ
c t đắ ường th ng AC t i P.ẳ ạ
a) Ch ng minh: Tam giác ABC Đ ng d ng v i tam giác KPC.ứ ồ ạ ớ
b) Ch ng minh: Tam giác AKC đ ng d ng v i tam giác BPC.ứ ồ ạ ớ
c) G i Q là trung đi m c a BP. Ch ng minh: QH là đọ ể ủ ứ ường trung tr c c a đo n ự ủ ạ
th ng AK.ẳ
d) Ch ng minh: Tam giác BHQ đ ng d ng v i tam giác BPC.ứ ồ ạ ớ
H t ế
\
Trang 2TR ƯỜ NG THCS QUANG TRUNG
T KHOA H C – T NHIÊNỔ Ọ Ự
HDC THI CH N H C SINH GI I C P TR Ọ Ọ Ỏ Ấ ƯƠ NG
L P 8 THCS NĂM H C 20182019 Ớ Ọ MÔN: TOÁN
Bài 1. (4,0 đi m) Phân tích các đa th c sau thành nhân t :ể ứ ử
a. A = x 3 + 2019x2 + 2019x+ 2018
b. B = x 4 − 5x2 + 4
c. Cho a 5; ab 10 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ P = a 2 +b2
1a
(1,5)
A = x + 2019x + 2019x+ 2018
A = x − + 1 2019(x + +x 2019)
A = (x 1)(x + + +x 1) 2019(x + +x 1)
A = x + +x 1 (x− + 1 2019)
2
A = (x + x + 1 )(x+ 2018)
0,5 0,5 0,5
1b
(1,5)
B = x − 5x + 4
B = x − −x 4x + 4
B = x (x − − 1) 4(x − 1)
B = (x − 1)(x − 4)
B = (x 1)(x + 1)(x 2)(x + 2)
0,5 0,5 0,25 0,25
1c
(1)
Cho a 5; ab 10 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ P = a 2 +b2
Ta có: (x y− )2 0 x2−2xy y+ 2 0 x2+ y2 2xy. v i m i x; yớ ọ
Do đó: P = a2 2 2 4 2 21 2
25 25
b b
2 2
P =
Theo đ bài : ề a 5 a 2 25; và ab 10
4.10 21.25
P 29
V y giá tr nh nh t c a P là 29. D u b ng xãy ra khi và ch khiậ ị ỏ ấ ủ ấ ằ ỉ
a = 5; b = 2
0,25
0,25 0,25 0,25
Bài 2. (6,0 đi m)ể
a. Cho a; b là các s t nhiên. Ch ng minh r ng: ố ự ứ ằ M = a 5 + − +b5 (a b) 5 M
b. Tìm các giá tr x và y th a mãn: ị ỏ x 2 + y2 − 4x− 2y+ = 5 0
Trang 3c. Gi i phả ương trình x 2015 x 2007 x 2006 x 2018
d. Gi i phả ương trình b c b n sau: ậ ố x4 − 11x2 + 4x+ 21 0 =
2a
(1,5)
Ta có:a5 + − + =b5 (a b) (a5 − +a) (b5 −b)
M t khác: ặ (a5 − =a) a a( 4 − =1) a a( 2 −1)(a2 + =1) a a( −1)(a+1)(a2 +1)
2
a a a a a a a a a a a a
(a 2)(a 1) (a a 1)(a 2) 5 (a a 1)(a 1)
(a−2)(a−1) (a a+1)(a+2)
là tích c a 5 s t nhiên liên ti p nên: ủ ố ự ế (a−2)(a−1) (a a+1)(a+2) 5M và
5 (a a−1)(a+1) là b i c a 5 nên: ộ ủ 5 (a a−1)(a+1) 5M
Do đó: a5 −aM Ch ng minh t5 ứ ương t : ự b5 −bM5 M M5
0,25 0,25
0,25 0,25 0,5
2b
(1,5)
x + y − x− y+ = x − x+ + y − y+ =
(x− 2) + − (y 1) = 0
2
x= và y= 1
0,5 0,5 0,5
2c
(1,5)
Ta có: x 2015 x 2007 x 2006 x 2018
x 2015 1 x 2007 1 x 2006 1 x 2018 1
x 2015 2010 x 2007 2012 x 2006 2011 x 2018 2013
2010 2010 2012 2012 2011 2011 2013 2013
2010 2012 2011 2013 x 2010 2011 2012 2013
x=5 [do: ( 1 1 1 1 ) 0
2010 2011 2012 2013 − + − > ]
V y nghi m c a phậ ệ ủ ương trình là x = 5
0,5 0,25
0,25 0,25
0,25 2d
(1,5)
x − x + x+ =
x − x + − x − x+ =
2
TH 1. (x2 + − =x 7) 0 (4x2 + 4x− 28) 0 = 2 2
[(2 )x + 2.2x+ − 1) 29 ] 0 = 2
2
[(2x+ 1) − 29 ] 0 = (2x+ − 1 29)(2x+ + 1 29] 0 =
1 29 2
x= − + Ho c ặ 1 29
2
x= − − .
0,25 0,25
0,25
Trang 4TH 2. (x2 − − =x 3) 0 (4x2 − 4x− 12) 0 = 2 2
[(2 )x − 2.2x+ − 1) 13 ] 0 = 2
2
[(2x− 1) − 13 ] 0 = (2x− − 1 13)(2x− + 1 13] 0 =
1 13 2
x= + Ho cặ 1 13
2
x= − .
V y t p nghi m c a PT là:ậ ậ ệ ủ 1 29; 1 29 1; 13 1; 13
�
0,25
0,25
0,25 Bài 3. (4,0 đi m)ể
a. Ch ng minh ứ a 2 + +b2 c2 ab bc ca+ + và ( )2
a b c+ + ab bc ca+ +
v i m i s th c a, b, c.ớ ọ ố ự
b. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên x thì bi u th c P m t s chính ứ ằ ớ ọ ố ể ứ ộ ố
phương. P=(x+5 x+7) ( ) (x+ 9) (x+ 11 + 16.)
3a
2.0
a. Ch ng minh ứ a 2 + +b2 c2 ab bc ca+ + và ( )2
a b c+ + ab bc ca+ + v i m i s th c a, b, c.ớ ọ ố ự
Ta có: a 2 +b2 2ab; b2 +c2 2bc; c2 +a2 2ac V i m i a, b, c.ớ ọ
C ng v v i v các b t đ ng th c trên ta độ ế ớ ế ấ ẳ ứ ược:
2(a + +b c ) 2(ab bc ca+ + ) a + +b c ab bc ca+ + (ĐPCM)
0,5 0,5
Ta có: (a2 + +b2 c2 ab bc ca+ +
2
(a b c+ + ) 3(ab bc ca+ + )(ĐPCM)
0,5
0,5 3b
2.0
Ta có: P=(x+5 x+7) ( ) (x+ 9) (x+ 11 + 16.)
( 5)( 11)( 7)( 9) + 16.
P= +x x+ x+ x+
( 16 55)( 16 63)+ 16.
P= x + x+ x + x+
( 16 55) 8( 16 55)+ 16.
P= x + x+ + x + x+
( 16 55) 2( 16 55).4+ 4
P= x + x+ + x + x+
( 16 59)
P= x + x+ V i x là s nguyên thì P là m t s CP.ơ ố ộ ố
0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 Bài 4. (6,0 đi m) ể
Cho tam giác ABC vuông t i A ạ (AC AB V đ ng cao AH) ẽ ườ
(H BC Trên tia đ i c a tia BC l y đi m K sao cho KH = HA. Qua K ) ố ủ ấ ể
k đẻ ường th ng song song v i AH, c t đẳ ớ ắ ường th ng AC t i P.ẳ ạ
Trang 5a. Ch ng minh: Tam giác ABC Đ ng d ng v i tam giác KPC.ứ ồ ạ ớ b.Ch ng minh: Tam giác AKC đ ng d ng v i tam giác BPC.ứ ồ ạ ớ c.G i Q là trung đi m c a BP. Ch ng minh: QH là đọ ể ủ ứ ường trung
tr c c a đo n th ng AK.ự ủ ạ ẳ
d Ch ng minh: Tam giác BHQ đ ng d ng v i tam giác BPC.ứ ồ ạ ớ 0.5
1
1
Q
I
K
H
B
P
0.5
4.a
4b
1.5 Ch ng minh:
ứ ∆AKC ∆BPC
Ta có: ∆ABC ∆KPC ( Cmt) AC BC AC KC
KC = PC BC = PC Và ﾷACB BCK= ﾷ
Do đó: ∆AKC ∆BPC ( C.G. C)
1
0.5 4c
1.5
. G i Q là trung đi m c a BP. Ch ng minh: QH là đọ ể ủ ứ ường trung tr c c a ự ủ
đo n th ng AK.ạ ẳ
Ta có:
2
PB
AQ KQ= = (Trung tuy n ng v i n a c nh huy n trong tam ế ứ ớ ử ạ ề giác vuông)
L i có: ạ HK HA= (Gi thi t). Do đó: QH là đả ế ường trung tr c c a AK.ự ủ
0,75
0,75
d Ch ng minh: Tam giác BHQ đ ng d ng v i tam giác BPC.ứ ồ ạ ớ
4d
(1.5) Ta có: ∆AKC ∆BPC (cmt) BPC AKCﾷ =ﾷ
mà ﾷAKC = 45 0 ( Do tam giác HKC vuông cân t i H) ạ ﾷBPC= 45 0
M t khác: ặ ﾷBHQ KHQ= ﾷ = 45 0 (HQ là đường trung tr c c a đo n th ng AK)ự ủ ạ ẳ
BHQ BPC= =
Xét : ∆BHQ và ∆BPC có.
HBQ PBCﾷ =ﾷ ( Q BP H BC; )
BHQ BPC= = Do đó: ∆BHQ ∆ BPC ( G.G)
0,25 0,5 0.5 0.25
S SS S S
S S
S S
S
S
S