Hình học xạ ảnh 37

Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh

BÀI TẬP HÌNH HỌC XẠ ẢNH

BÀI 37 NHÓM 4

Cho 5 điểm A, B, C, D, E của một đường cônic (S).

a) Dựng tiếp tuyến với (S) tại A.

b) Dựng giao của đừng thẳng a (chỉ đi qua A) với (S).

c) M là một điểm tùy ý dựng đường đối cực của

M đối với (S).

Phát biểu bài toán đối ngẫu và giải bài toán đó.

Bài giải:

a) Dựng tiếp tuyến với

(S) tại A

* Cách dựng:

Dựng P = ABxDE

Q = BCxAE

R = PQxDC

 RA là tiếp tuyến cần

dựng

A

D

C

E

B

.

.

.

.

.

R

* Chứng minh:

Xét lục giác AABCDE nội

tiếp cônic (S), ta có:

DExAB = P

BCxAE = Q

DCxAA = R

Theo định lí Pascal P, Q, R

thẳng hàng và RA là tiếp

tuyến

P

.

Q.

Bài toán đối ngẫu:

Cho a, b, c, d, e là 5 tiếp tuyến của một cônic (S) Hãy dựng tiếp điểm A của a với (S)

* Cách dựng:

Dựng p = (axb, dxe)

q = (bxc, axe)

r = (dxc, pxq) Theo định lí Brianchon

 A = rxa là điểm cần

dựng

a

b

c d

r

p

q

b) Dựng giao điểm của đường thẳng a (chỉ đi qua A) với (S)

* Cách dựng:

Dựng I = ABxDE

J = CDxa

K = IJxBC

 F = EKxAJ là điểm

cần dựng

A

D C

E

B

.

.

.

.

F

J

* Chứng minh:

Ta có: ABxDE = I

BCxEF = K CDxFA = J

Theo định lí Pascal đảo,

lục giác ABCDEF nội tiếp

một cônic (S’)

Mà A, B, C, D, E  (S)

 (S’) ≡ (S)  F  (S)

a

Bài toán đối ngẫu:

Cho 5 tiếp tuyến a, b, c, d, e của cônic (S) Dựng tiếp tuyến với (S) đi qua A (A chỉ thuộc a)

a

b

c d

e A

.

i k

f Cách dựng:

Dựng i = (axb, dxe)

j = (cxd, H)

k = (ixj, bxc)

 f = (exk, axj) là

tiếp tuyến cần dựng

j

c).M là điểm tùy ý, dựng đối cực của M đối với cônic (S).

* Cách dựng:

Dựng D’ = MD∩(S)

C’ = MC∩(S)

(Theo cách dựng ở câu b)

Dựng I = DC’xCD’

J = DCxD’C’

 IJ là đường thẳng cần

dựng

* Chứng minh:

Xét hình 4 đỉnh toàn phần

DD’C’C nội tiếp cônic (S) có I,

J, M là 3 điểm chéo

Tam giác IJM là tam giác tự

đối cực đối với (S)

 IJ là đường đối cực của M

đối với (S)

 IJ là đường thẳng cần dựng

M

D

C C’

D’

I

J

.

.

.

.

Bài toán đối ngẫu:

Cho a, b, c, d, e là 5 tiếp tuyến của đường cônic (S) m

là đường thẳng tùy ý Dựng điểm cực của m đối với (S)

a

b c

d

Cách dựng:

Dựng d’ = (mxd, (S))

c’ = (mxc, (S))

i = (dxc’, cxd’)

j = (dxc, d’xc’)

 M = ixj là điểm

cần dựng

M i

d’

.