Hình học xạ ảnh 36

Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh

Hãy dựng thêm một số điểm của đýờng

conic S biết:

•Năm điểm thuộc S

•Bốn điểm thuộc S và tiếp tuyến tại một

trong các điểm ấy thuộc S.

•Ba điểm thuộc S và 2 tiếp tuyến tại 2 trong

3 điểm đó.

Phát biểu bài toán đối ngẫu và giải bài toán đó

BÀI 36

A 1

A 2

A 3

A 4

A 5

A 6

Giả sử 5 điểm A1,A2,A3,A4,A5 của(S)

Ta cần dựng thêm A (S)

Cách dựng:

• B1:Dựng điểm

P =A1A2 x A4A5

• B2:Qua P dựng

đường thẳng d bất kỳ

• B3:Dựng Q = d x A2A3

và R = d x A3A4

• B4:Dựng A6 = A5Q x

A3R là điểm cần dựng

A 4

A 1

A 2

A 6

Chứng minh

• Xét lục giác tạo bởi

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6

• P =A1A2 x A4A5

• Q = A2A3 x A5 A6

• R = A3A4 xA6A1

• Do P, Q, R thẳng hàng nên

theo định lý Pascal lục giác

này nội tiêp 1 conic (S’) nào đó

• Mà qua 5 điểm A1,A2,A3,A4,A5

có duy nhất một đường conic

(S) nên (S’) trùng (S)

• Suy ra A thuộc (S)

A 4

A 1

A 2

A 6

Q P

Tui Đây

Q Đây Conic S’ P Đây

(S’) trùng (S)

 Giải bài toán đối

ngẫu:

Giả sử (S) có 5 tiếp tuyến

a1, a2, a3, a4, a5,

Ta cần dựng thêm tiếp

tuyến a6 của (S)

Bài toán đối ngẫu: Hãy dựng thêm một số tiếp tuyến của

đường bậc 2 (S) biết 5 tiếp tuyến thuộc (S)

a2

a5

a4

a3

a6

d1

d2

Cách dựng

B1:Dựng d =(a1x a2, a4x a5)

B2:Trên d lấy điểm O bất kỳ

B3:Dựng d1= (O, a2x a3)

d2 = (O, a3x a4)

B4: Khi đó đường thẳng

a6 = (a1 x d2, a5 x d1) là đường

thẳng cần tìm

O

a1

a2

a5

a4

a3

a6

d1

d2

a1x a2

a4x a5

a2x a3 a3x a4

a1x d2

a5x d1

Chứng minh

• Xét lục giác tạo bởi a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6

• d qua (a1x a2, a4x a5)

d1 qua (a2x a3 ,a5x a6)

d2 qua (a3x a4 ,a6x a1)

• Do d , d1, d2 đồng quy nên theo định

lý Briăngsông lục giác này ngoại tiếp

1 conic (S’) nào đó

• Mà qua 5 đường thẳng a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6

có duy nhất một đường conic (S) nên

(S’) trùng (S)

• Suy ra a 6 thuộc (S)

O

O

a1

a2

a5

a4

a3

a6

d2

Câu b

•Giả sử A,B,C,D thuộc conic (S) và tiếp tuyến a đi qua A

•Ta cần dựng E thuộc (S)

A

A

D C

B E

P

a

d

Q R

Cách dựng

B3: Dựng Q = d x AB , R = d x BC

A

D C

B E

P

Q R

B1: Dựng P = a x CD

B2: Qua P dựng đường thẳng d bất kỳ

B4: Khi đó E = AR x DQ là điểm cần dựng Dựng P = a x CD

Dựng d bất kỳ

qua P

Dựng Q = d x

AB Dựng R = d x BC

Dựng E = AR x DQ

Chứng minh:

• Xét lục giác tạo bởi AABCDE có :

• P = a x CD = AAxCD

• Q = AB x DE

• R = BC x EA

• Do P, Q, R thẳng hàng nên theo định lý Pascal lục giác

này nội tiêp 1 conic (S’) nào đó

• Mà qua 4 điểm A,B,C,D và 1 đường thẳng a đi qua A có duy nhất một đường conic (S) nên

• (S’) trùng (S) suy ra E thuộc (S)

A

D C

P

Q R

P = a x CD = AAxCD

Q = AB x DE

R = BC x EA

Bài toán đối ngẫu

•Hãy dựng thêm một số tiếp tuyến của

đường bậc 2 (S) biết 4 tiếp tuyến của (S) và

1 tiếp điểm

•Giải bài toán đối

ngẫu: giả sử ta

dựng được 4 tiếp

tuyến a,b,c,d và M

là tiếp điểm của a

Ta cần dựng tiếp

tuyến e của (S)

b

c

d

p

O

q

a

M

e

r

Cách dựng

• B1:Dựng p qua

(M, c x d)

• B2:Trên p lấy

điểm O bất kỳ

• B3:Dựng

q qua (O,a x b)

r qua (O, b x c)

• Khi đó

e = (a x r, d x q)

là tiếp tuyến

b

c

d

p

O

q

a

M

e

r

p qua M, cxd

c x d

Chứng minh

• Xét lục giác tạo bởi 6 cạnh aabcde

có :

p qua (M, c x d) (M=axa)

q qua (axb,exd)

r qua (bxc,axe)

• Do p, q, r đồng quy tại O nên theo

định lý Briăngsông truờng hợp

ngũ giắc thì ngũ giác này nội tiêp

1 conic (S’) nào đó

• Mà qua 4 đường thẳng a,b,c,d và

1tiếp điểm M của a có duy nhất

một đường conic (S) nên

• (S’) trùng (S) suy ra e là tiếp

tuyến của (S)

b c

d

p

O

q

a

M

e r

Câu c

• Giả sử A,B,C thuộc (S) , tiếp tuyến a đi qua A

và tiếp tuyến c đi qua C Ta cần dựng D (S)

R

A

Q P

D

C

B

c a

Cách dựng

• B1: Dựng P = a x c

• B2: Qua P dựng

đường thẳng d bất kỳ

• B3: Dựng Q = d x AB

R = d x BC

• B4: Khi đó D = AR x

CQ là điểm cần dựng

R

A

Q P

D

C

B

c a

Chứng minh:

•Xét lục giác tạo bởi 6 cạnh:

a,AB,BC,c,CD,DA có:

• P = a x c

• Q = ABxCD

• R = BDxDA

•Do P,Q,R thẳng hàng nên theo định lý

Pascal lục giác này nội tiếp 1 conic (S’)

nào đó

•Mà qua 3 điểm A,B,C và 2 tiếp tuyến

a,b lần lượt qua A,B xác định duy nhất

đường conic (S) nên (S’) trùng (S) suy

ra D thuộc (S)

R

A

Q P

D

C

B

c a

Bài toán đối ngẫu

•Hãy dựng thêm một số

tiếp tuyến của đường

bậc 2 (S) biết 3 tiếp

tuyến của (S) và 2 tiếp

điểm

•Giải bài toán đối

ngẫu:

•Giả sử có 3 tiếp tuyến

a,b,c của (S) và A,B lần

lượt là 2 tiếp điểm của

a,b.Ta dựng tiếp tuyến

d của (S)

q

a

b

c

A B

p

d

O r

Cách dựng

• Dựng p qua (A, b x c)

• Trên p lấy điểm O bất

kỳ

• Dựng q qua B,O

r = (O, a x b)

• Khi đó đường thẳng

cần dựng là

d = (a x q , c x r)

r

a

b

c

A B

p

d

O q

Dựng p = (A, b x c) Dựng q qua B & O

Dựng q qua O & axb

Chứng minh

•Xét lục giác tạo bởi 6 cạnh: aabbcd

có:

• p qua b x c và A (axa)

• q qua axd và B (bxb)

• r qua axb và cxd

•Do p,q,r đồng quy tại O nên theo định

lý Briăngsông lục giác này nội tiếp 1

conic (S’) nào đó

•Mà qua 3 tiếp tuyến a,b,c và 2 tiếp

điểm A,B lần lượt của a,b xác định

duy nhất đường conic (S)

•Nên (S’) trùng (S) suy ra D thuộc (S)

b

c

A B

p

d O

q