Vành và môđun phân bậc định lý Artin - Rees

Với mục đích tìm hiểu về vành và môđun phân bậc, Định lý Rees và các hệ quả của nó.. Trong chương 1, tôi trình bày về các kiếnthức cơ sở như định nghĩa và các tính chất về vành và môđun

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ XUÂN TUẤN

VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC ĐỊNH LÝ ARTIN - REES

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ XUÂN TUẤN

VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC ĐỊNH LÝ ARTIN - REES

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SÔ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Tự Cường

THÁI NGUYÊN – 2014

Tài liệu tham khảo 44

Lời mở đầu

Cho R là giao hoán, M là R-môđun, I là một iđêan của R Mục đíchcủa luận văn là nghiên cứu về vành và môđun phân bậc, Định lý Artin-Rees Đặc biệt, tôi xem xét trong trường hợp vành R là vành Noether.Các nội dung được trình bày trong luận văn dựa trên cuốn bài giảngcủa GS.TSKH Nguyễn Tự Cường và các cuốn tài liệu tham khảo chính :Introduction to commutative (M.F Atiyah and I.G Macdonal), Step incommutative algebra (R.Y Sharp), Commutative algebra , Commutativering theory (H Matsumura)

Với mục đích tìm hiểu về vành và môđun phân bậc, Định lý Rees và các hệ quả của nó Tôi đã lựa chọn đề tài " Vành và môđunphân bậc, định lý Artin-Rees" làm luận văn tốt nghiệp thạc sỹ.Luận văn gồm 3 chương Trong chương 1, tôi trình bày về các kiếnthức cơ sở như định nghĩa và các tính chất về vành và môđun Noether,Artin; đặc biệt, trong chương này là Định lý cơ sở Hilbert và các hệ quảcủa nó Đây là những công cụ quan trọng nhất cho những nghiên cứuđược trình bày trong luận văn

Artin-Chương 2 là chương chính của luận văn Trong chương này, tôi nghiêncứu về vành và môđun phân bậc bao gồm: định nghĩa và tính chất vànhmôđun phân bậc; vành phân bậc liên kết và vành Rees; định nghĩa và cáctính chất về lọc môđun; Định lý Artin-Rees và các hệ quả

Chương 3 là chương trình bày về đa thức Hilbert bao gồm: độ dàicủa môđun, Định lý đa thức Hilbert và Đa thức Hilbert-Samuel

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của

GS.TSKH Nguyễn Tự Cường Em xin được tỏ lòng cảm ơn chân thànhtới Thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình từ khi xây dựng đề cương, viết và hoànthành luận văn Tiếp theo em xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáotrường Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tìnhgiảng dạy và khích lệ, động viên em vượt qua những khó khăn trong họctập.

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè

đã giúp đỡ tôi cả về vật chất lẫn tinh thần để tôi có thể hoàn thành luậnvăn và khóa học của mình

Thái Nguyên, ngày 1 tháng 4 năm 2014

Tác giả luận văn

Lê Xuân Tuấn

Chương 1

Vành và môđun Noether, Artin

Trong toàn bộ luận văn này ta luôn xét vành là giao hoán có đơn vị

(ii) Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh

(iii) Mọi dãy tăng các môđun con của M

Chứng minh (i) =⇒ (ii) Ta cần chứng minh rằng mỗi R−môđun con N

là tập hợp tất cả các R−môđun con hữu hạn sinh của N Vì 0 ∈ P nên

(iii) =⇒ (i) Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử ngược lại, tức

một xích tăng không dừng các môđun con của M

R là một vành Noether nếu nó là một R−môđun Noether

Từ định nghĩa trên ta có các nhận xét sau

Nhận xét 1.1.3 Một tập con khác rỗng của R là một R−môđun concủa R−môđun R nếu và chỉ nếu nó là một iđêan của R, nên R là một

vành Noether khi và chỉ khi R thỏa mãn một trong ba điều kiện tươngđương sau đây.

(i) Mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại.(ii) Mọi dãy tăng các iđêan của R

I1 ⊆ I2 ⊆ ⊆ In

(iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh

Ví dụ 1.1.4 (a) Vành các số nguyên Z là vành Noether vì mọi iđêan của

nó đều là iđêan chính nên nó hữu hạn sinh

Tổng quát, mọi vành chính đều là vành Noether

(b) Một trường là vành Noether

(c) Một không gian vectơ là một môđun Noether nếu và chỉ nếu nó hữuhạn chiều

(d) Vành đa thức vô hạn biến trên vành giao hoán R khác không không

iđêan của R[x1, x2, ] là

(x1) ⊂ (x1, x2) ⊂ ⊂ (x1, x2, , xn) ⊂

1.2 Định lý cơ sở Hilbert

Trước hết ta chứng minh định lý

Định lý 1.2.1 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớpngắn các R−môđun

Noether

Giả sử M là môđun Noether Vì mọi xích tăng các môđun con của

của M/M0 Theo giả thiết tồn tại một số tự nhiên k sao cho Mn∩ M0 =

Sau đây là các hệ quả suy ra trực tiếp từ 1.2.1

Hệ quả 1.2.2 Vành thương của một vành Noether là một vành Noether

Hệ quả 1.2.3 Cho một họ hữu hạn các R−môđun Khi đó, tổng trựctiếp của một họ hữu hạn các R−môđun Noether cũng là một R−môđunNoether

Chứng minh Bằng phương pháp quy nạp ta thấy rằng chỉ cần chứng minh

hệ quả trên cho trường hợp n = 2 Khi đó hệ quả được suy ra từ Định lý1.2.1 đối với dãy khớp ngắn

R−môđun Noether theo Định lý 1.2.1

Sau đây là một kết quả quan trọng của Hilbert về vành Noether

Định lý 1.2.5 (Định lý cơ sở Hilbert) Vành đa thức một biến R[x] có hệ

số trên vành Noether R là một vành Noether

Chứng minh Cho R là vành Noether, để chứng minh vành đa thức mộtbiến R[x] là vành Noether ta sẽ chỉ ra rằng mọi iđêan khác không của nóhữu hạn sinh

Cho I là một iđêan khác không tùy ý của R[x] Xét tập hợp con củaR

I0 = (a1, , an), ai ∈ R, ∀i = 1, n

như là R−môđun thì M chính là tập tất cả các đa thức f (x) ∈ R[x] có

R là vành Noether, M là hữu hạn sinh nên theo 1.2.4, M là R−môđunNoether Suy ra R−môđun con N của M là hữu hạn sinh Bây giờ nếu tachỉ ra được

I = J + Nthì rõ ràng I là hữu hạn sinh và định lý được chứng minh Thật vậy, cho

g(x) ∈ I, degg(x) = m là một đa thức tùy ý với khai triển

Nếu m ≤ r thì f (x) ∈ N Trái lại, giả sử m > r Vì a ∈ I nên tồn tại những

i=1uiai.Khi đó đa thức

Từ đây suy ra

thiết sau m − r bước ta sẽ tìm được các đa thức G(x) ∈ I có degG(x) ≤ r

Hệ quả 1.2.6 Nếu R là vành Noether thì vành đa thức R[x1, , xn] cũng

Định lý 1.3.2 Cho M là một R−môđun Khi đó các điều kiện sau làtương đương:

(i) M là môđun Artin

(ii) Mọi dãy giảm các môđun con của M

con hữu hạn J của I sao cho

Theo giả thiết của điều kiện (i) thì tồn tại một phần tử cực tiểu Mk ∈ Ω.

là một R−môđun con của M ,

luôn bị chặntrên Vậy theo Bổ đề Zorn tồn tại một phần tử cực đại, chẳng hạn là

(iii) =⇒ (i) Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử M không làArtin Khi đó phải tồn tại một tập hợp vô hạn các môđun con của Mkhông có phần tử cực tiểu nào Do đó ta tìm được trong tập hợp này một

họ vô hạn các môđun con giảm thực sự

phải là R−môđun Artin và định lý được chứng minh

Định lý 1.3.3 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớpngắn các R−môđun

Chương 2

Vành và môđun phân bậc - Định lý Artin-Rees

2.1 Vành và môđun phân bậc

Định nghĩa 2.1.1 Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị

(i) R gọi là vành phân bậc nếu R có phân tích thành tổng trực tiếp các

môđun phân bậc nếu M có phân tích thành tổng trực tiếp các nhóm

Mi+j, ∀i, j = 0, , n

(iii) Cho M là R−môđun phân bậc, N là môđun con của M N được gọi

N là môđun con thuần nhất của M

Nếu R là vành phân bậc thì R cũng là R−môđun phân bậc Khi đó

I là một iđêan con phân bậc của R nếu I là một iđêan của R thỏa

Ví dụ 2.1.2 (a) Mọi vành R đều có thể xem là vành phân bậc với phân

(b) Một R−môđun M luôn là R−môđun phân bậc với phân bậc tầm

tầm thường)

bậc n của R

Mệnh đề 2.1.3 Nếu N là môđun con hữu hạn sinh của M Khi đó cácmệnh đề sau tương đương :

(i) N là môđun con thuần nhất của M

(iii) N có một hệ sinh gồm các phần tử thuần nhất

Chứng minh (i) =⇒ (ii) Do N là môđun con thuần nhất của M suy ra

(ii) =⇒ (iii) Giả sử {xλ|λ ∈ Λ} là một hệ sinh nào đó của N , với xλ tacó

xλ = xλ,1+ xλ,2+ + xλ,kλ

là một hệ sinh của N gồm toàn các phần tử thuần nhất

λ ∈ Λ

i=1aλixλi với λ1, , λk ∈ Λ, aλi ∈ R Khi đó tồn tại Λi

i=1aλixλi ⊆

đề sau tương đương:

(i) R là vành Noether

R0[x1, x2, , xn]}

Nếu n = 0 thì hiển nhiên mệnh đề (*) đúng

Giả sử Ri ⊆ R0, với n ≥ i, n > 0 Ta chứng minh Rn+1 ⊆ R0 Lấy

i=1aibi, trong đó bi ∈ Rn+1−ni, ∀i = 1, , n

R, ∀i = 1, , n Khi đó tồn tại toàn cấu vành

ϕ : R0[x1, , xn] −→ R0[a1, , an]với ϕ(f (x1, , xn)) = f (a1, , an)

2.2 Vành phân bậc liên kết và vành Rees

Định nghĩa 2.2.1 Cho I là iđêan của vành R Khi đó ta định nghĩa cácvành

Phép nhân trong GR(I) được xác định như sau Cho a ∈ In/In+1, b ∈

In+m/In+m+1

(iii) Cho M là R−môđun Ta có

của M đối với I

môđun phân bậc liên kết của M đối với I

Định lý 2.2.2 R là vành Noether và I là iđêan của R Khi đó, ta có cáckhẳng định sau

vành Noether nên theo Định lý cơ sở Hilbert R[T ] là vành Noether.Vậy R(I) là vành Noether

ai ∈ I, ∀i = 1, , n Ta thấy ai = ai + I2 là các phần tử thuần nhất

f (x1, , xn) 7−→ f (a1, , an) Vì ϕ là toàn cấu nên R/I[a1, , an] ∼=

môđun phân bậc

Ngược lại, giả sử β ∈ (RM(I))m = ImM nên β = P aitmxi, aitm ∈

là R(I)−môđun Noether

2.3 Định lý Artin-Rees và các hệ quả

nếu

R và được gọi là lọc I−adic

(ii) Cho M là một R−môđun, một dãy giảm các môđun con của M

nếu

Theo đó, ta có (InM )n≥0 là một I−lọc tốt.

Từ định nghĩa trên ta có chú ý sau

⊕n≥0In/In+1

Cho R là một vành bất kì (không phân bậc), I là iđêan của R Khi đó

Định lý 2.3.4 Cho R là vành Noether và I là iđêan của R, M là

Khi đó các mệnh đề sau tương đương:

(i) Môđun phân bậc ⊕n≥0Mn là R(I) = ⊕n≥0In−môđun Noether.

Xét các môđun

0 +1 =

Định lý 2.3.5 (Định lý Artin - Rees) Cho R là một vành Noether, I là

con của M Khi đó tồn tại một số nguyên dương k, sao cho

khi lọc (InM ∩ M0)n≥0 là I−lọc tốt Từ đó suy ra tồn tại số nguyên dương

Từ định lý Artin-Rees ta có các hệ quả sau

Hệ quả 2.3.6 (Định lý giao) Cho R là một vành Noether, I là một iđêan

IN = N

Chứng minh Theo định lý Artin-Rees, tồn tại r > 0 và với ∀n > r, ta có

Hiển nhiên ta có IN ⊆ N Vậy IN = N

Hệ quả 2.3.7 Nếu R là một miền nguyên Noether, I 6= R là một iđêan

Theo định lý giao ta có IN = N (1)

Do N là iđêan của vành Noether R nên N hữu hạn sinh Giả sử

với a ∈ I Vì I 6= R nên 1 − a 6= 0 hay D 6= 0.

Hệ quả 2.3.8 (Định lý giao Krull)

Nếu R là một vành Noether, I là iđêan của R, I ⊆ J (R) và M làR−môđun hữu hạn sinh thì

trong đó J (R) là căn Jacobson của R

Mặt khác, từ I ⊆ J (R) nên theo Bổ đề Nakayama suy ra

Chương 3

Đa thức Hilbert

3.1 Độ dài của môđun

môđun đơn với mọi i = 1, , n Khi đó n được gọi là độ dài của dãy hợpthành

ii) Nếu M có dãy hợp thành thì hai dãy hợp thành tùy ý của M có độdài như nhau Độ dài đó được gọi là độ dài của môđun M Nếu M

Mệnh đề 3.1.3 Nếu M có dãy hợp thành hữu hạn khi và chỉ khi M vừa

là môđun Noether vừa là môđun Artin

các môđun con của M không có quá n + 1 phần tử Suy ra mọi dãy tăng

(giảm) các môđun con của M đều dừng Suy ra M vừa là môđun Noethervừa là môđun Artin.

⇐=) Ngược lại, giả sử M là Noether và Artin Ta phải chứng minh

= {N sao cho

phần tử cực tiểu H Do M là môđun Noether, suy ra tập các môđun con

Hệ quả 3.1.4 Giả sử N là môđun con của R−môđun M Khi đó M có

độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và M/N là những R−môđun có độ dàihữu hạn Hơn nữa, trong trường hợp này ta có `(M ) = `(N ) + `(M/N )

Chứng minh =⇒) Khi N = 0 hoặc N = M thì hiển nhiên hệ quả đúng.Giả sử M là môđun có độ dài hữu hạn và 0 ⊂ N ⊂ M là một xích của

M Xích này có thể làm mịn hơn thành một dãy hợp thành của M

Suy ra N có độ dài hữu hạn và `(N ) = k

Theo định lý đẳng cấu môđun ta có

(Ak+i+1/N )/(An+k/N ) ∼= Ak+i+1/Ak+i∀i = 0, , n − k − 1

Mà Ak+i+1/Ak+i là môđun đơn Suy ra (Ak+i+1/N )/(An+k/N ) cũng làmôđun đơn ∀i = 0, , n − k − 1

Từ kết quả trên ta có Hệ quả sau

`R(Mi) = `R(Ker fi) + `R(Mi/Ker fi), (∀i = 1, , n − 1).

Ta biết rằng nếu A là vành Artin thì A là vành Noether, suy ra

R−môđun phân bậc hữu hạn sinh (khi đó M cũng là R−môđun Noether)

Mệnh đề 3.2.1 Nếu A là một vành Artin, và Rn = {f ∈ A[x1, , xn] |

Vì Aj+1fi/Ajfi ∼= A

lượt là d1, , dk Tức là y1 ∈ Rd1, , yk ∈ Rdk

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo độ lớn môđun con N của

Xét các trường hợp sau.

2/N1∩ N2 = N2/Nnên

= FM/N2(n) + F(N1+N2)/N1(n)

P(M/N ) khi N không là bất khả quy

Trường hợp 2 N là bất khả quy Khi đó N là nguyên sơ Giả sử

y = y1g1 + + ykgk

y = y1h1f1 + + ykhkfk ∈ In(M/N )d

Mặt khác, ta có p = pAssR(M/N) nên với mọi a ∈ p, tồn tại r sao

Chú ý 3.2.4 Nếu f (x) ∈ Q[x] và giả sử thêm f (n) ∈ Z, ∀n ∈ Z và





n + dd





n + dd

Các số e0(M ), e1(M ), , ed(M )gọi là hệ số Hilbert của môđun phân bậc

của M

3.3 Đa thức Hilbert-Samuel

nguyên tố Có độ dài là n

(ii) Cho p là iđêan nguyên tố của R Cận trên của tất cả các độ dài củaxích nguyên tố bắt đầu bằng p được gọi là độ cao của p, kí hiệu làht(p),

Với I là iđêan của R Độ cao của I, kí hiệu là ht(I), được xác địnhbởi

ht(I) = inf{ ht(p)|p ∈ V (I)}

(iii) Cận trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố trong R được gọi làchiều của vành R, kí hiệu là dim R (còn gọi là chiều Krull của R).Với M là một R−môđun thì chiều của M , kí hiệu là dim M , đượcxác định bởi

dim M = dim(R/AnnM)

0 ⊂ pZ, với p là một số nguyên tố bất kì

(ii) Khi k là một trường thì dim k = 0 vì k có duy nhất một iđêannguyên tố là 0.

(iii) Nếu k là một trường thì dim k[x] = 1 vì mọi xích nguyên tố của k[x]đều có dạng 0 ⊂ (f (x)), với f (x) là đa thức bất khả quy trên k[x]

= sup{dim(R/(x)), dim(R/(x, y))}

Nhận xét 3.3.3 (1) Giả sử R là vành Noether, I là iđêan của R Giả

(2) Giả sử 0 = Q1∩ ∩ Qn là phân tích nguyên sơ của iđêan 0 của R với

(3) Cho R là vành địa phương (R/m) Khi đó ta có dimR = ht(m)

ht(p)

Mệnh đề 3.3.4 Cho R là vành Noether, M là R−môđun hữu hạn sinh.Khi đó, các mệnh đề sau tương đương:

(i) M có độ dài hữu hạn

(ii) R/AnnM là vành Artin

(iii) dimM = 0

Chứng minh (ii) =⇒ (iii) Giả sử R/AnnM là vành Artin Khi đó, mọiiđêan nguyên tố p khác 0 của R/AnnM đều tối đại (tính chất của vànhArtin) Vậy dimM = dimR/AnnM = 0

(iii) =⇒ (ii) Giả sử dimM = 0 Khi đó dim(R/AnnM ) = 0 Vì R

là Noether nên R/AnnM là Noether Mặt khác, nếu p 6= 0 là một iđêannguyên tố của R/AnnM thì p thuộc một iđêan tối đại q, suy ra có xíchnguyên tố q ⊇ p Do dim(R/AnnM ) = 0 nên q = p, suy ra p là tối đại.Vậy R/AnnM là vành Artin

(ii) =⇒ (i) Giả sử R/AnnM là vành Artin Do M là R−môđun

Xét tương ứng

ϕ : R × × R −→ Msao cho ϕ(a1, , an) = a1m1 + + anmn

Hiển hiên ϕ là ánh xạ và là đồng cấu R−đồng cấu môđun ϕ sẽ cảmsinh ánh xạ

dài hữu hạn

(i) =⇒ (ii) Xét tương ứng

Xét tương ứng

ami = bmi, ∀i = 1, , n Hơn nữa ψ là đồng cấu môđun và ψ là đơn cấu

Cho (R, m) là vành địa phương Noether

Định nghĩa 3.3.5 Một iđêan I của (R, m) gọi là iđêan định nghĩa của

Khi đó theo mệnh đề 3.3.4, nếu I là iđêan định nghĩa thì dim(R/I) =

I) = dim(R/m) = 0, do đó R/I là vành Artin Suy ra `(R/I) <

nghĩa)

Cho I là một iđêan định nghĩa của vành địa phương (R, m) Ta

Mệnh đề 3.3.6 Cho (R/m) là vành địa phương Noether và M là R−

không phụ thuộc vào cách chọn iđêan định nghĩa I

Chứng minh Giả sử I, J là hai iđêan định nghĩa của M , ta chứng minh

Vì I và J đóng vai trò như nhau nên ta cũng chứng minh được rằng

(iii) deg(PM,I(n) − PM0 ,I(n) − PM00 ,I(n)) < degPM0 ,I(n)

PM00 ,I(n)) < degPM0 ,I(n).

Mệnh đề 3.3.8 Cho (R, m) là vành địa phương Noether M là R− môđun

Chứng minh Quy nạp theo r

mệnh đề đúng

Giả sử mệnh đề đúng với r − 1, r > 0, ta cần chứng minh mệnh đềđúng với r

Giả sử {p1, , pt} là các iđêan nguyên tố tối thiểu trong tập AssR(M ) suy

được dimM > dim(M/xM ) = dimM Từ đó suy ra dimM < r − 1 VậydimM = r − 1

đó ta có đẳng thức giữa chiều của đa thức Hilbert với chiều của môđun

M và δ(M ) Điều này được khẳng định trong định lý dưới đây

Định lý 3.3.9 Cho (R, m) là vành địa phương Noether M là R−môđunhữu hạn sinh Khi đó δ(M ) = d(M ) = dimM

Chứng minh Ta sẽ chứng minh dimM ≥ δ(M ) ≥ d(M ) ≥dim M

(1) dimM ≥ δ(M ) Thật vậy, giả sử dimM = r Khi đó theo mệnh đề

r ≥ δ(M ) hay dimM ≥ δ(M )