Về dãy lọc chính quy chặt và môđun Cohen Macaulay chính tắc

Mở đầuTrong suốt luận văn này, giả thiết R, m là vành Noether địa phương, Kí hiệu AssRM là tập các iđêan nguyên tố liên kết của M.. G.Macdonald [Mac], kí hiệu tập iđêan nguyên tố gắn kết

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Lêi cam ®oan

T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña c¸ nh©n t«i C¸cnéi dung tr×nh bµy trong luËn v¨n lµ kÕt qu¶ lµm viÖc cña t«i

Lời cảm ơn

Bằng sự biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lê ThịThanh Nhàn, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quátrình thực hiện luận văn

Xin chân thành cảm ơn các thầy giáo Viện Toán và các thầy cô KhoaToán, Khoa Sau đại học, cán bộ Phòng Quản lý khoa học - Trường Đạihọc Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôitrong suốt quá trình học tập, nghiên cứu tại trường

Tôi cũng xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới người thân, đồngnghiệp, bạn bè đã động viên, quan tâm chia sẻ và tạo mọi điều kiện giúptôi hoàn thành tốt khoá học này

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầygiáo, cô giáo và các bạn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2013

Tác giả luận văn

Trần Thị Thu Dung

Mục lục

Trang

Lời cam đoan .i

Lời cảm ơn .ii

Mục lục iii

Mở đầu .1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị .3

1.1 Biểu diễn thứ cấp 3

1.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin 7

1.3 Một số chuẩn bị về môđun đối đồng điều địa phương 11

Chương 2 Về f-dãy chặt và ứng dụng 15

2.1.Dãy lọc chính quy 15

2.2 Về f-dãy chặt 21

2.3 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố gắn kết 26

2.4 Đặc trưng môđun Cohen-Macaulay chính tắc 34

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo .42

Mở đầu

Trong suốt luận văn này, giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương,

Kí hiệu AssRM là tập các iđêan nguyên tố liên kết của M Theo I G.Macdonald [Mac], kí hiệu tập iđêan nguyên tố gắn kết của A là AttRA.Trong một bài báo năm 1978, Nguyễn Tự Cường, Peter Schenzel vàNgô Việt Trung [CST] đã giới thiệu khái niệm f-dãy (dãy lọc chính quy)của M và cho thấy vai trò quan trọng của nó trong việc nghiên cứu cấutrúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng Từ đó đến nay, f-dãy đã đượchàng trăm tác giả trích dẫn, sử dụng để nghiên cứu những vấn đề khácnhau của Đại số giao hoán Luận văn này đề cập đến một trường hợp

đặc biệt của f-dãy, đó là khái niệm f-dãy chặt giới thiệu bởi N.T Cường,Marcel Morales và L T Nhàn [CMN]

Với mỗi iđêan I của R, Sharp [Sh] đã chỉ ra rằng AttR(0 :A In)không phụ thuộc vào n khi n đủ lớn và vì thế tập hợp SnAttR(0 :A In)

là hữu hạn Ta cũng đã biết rằng, môđun đối đồng điều địa phương

Hmi (M ) luôn là Artin với mọi số nguyên i Do đó một câu hỏi tự nhiên

u, v ∈ m sao cho dim T = 5, dim T/(u, v)T = 4 và AssRH(u,v)T2 (T )

là một tập vô hạn Vì thế tập SnAssR(R/(un, vn)R) là vô hạn và do

đó SnAttR(Hmi(T /(un, vn)T )) là một tập vô hạn với i nào đó Câu hỏitiếp theo là tìm điều kiện của dãy (x1, , xk) để các tập iđêan nguyên

tố gắn kết ở trên là hữu hạn N T Cường, Marcel Morales, L T Nhàn[CMN] đã chứng minh tính hữu hạn cho hai tập hợp trên khi (x1, , xk)

là f-dãy chặt Đến năm 2006, L T Nhàn [Nh] đã đặc trưng các môđunCohen-Macaulay chính tắc thông qua f-dãy chặt

Mục đích của luận văn là trình bày lại các tính chất cơ sở của f-dãychặt, một kết quả hữu hạn của tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối

đồng điều địa phương trong bài báo của N T Cuong, M Morales, L T.Nhan [CMN] , và một đặc trưng môđun Cohen-Macaulay chính tắc thôngqua f-dãy chặt trong bài báo của L T Nhan [Nh]

Luận văn gồm 2 chương Chương I nhắc lại kiến thức cơ sở về biểudiễn thứ cấp, tập iđêan nguyên tố gắn kết và một số chuẩn bị về môđun

đối đồng điều địa phương phục vụ cho chương sau Chương II đưa racác kết quả chính của luận văn Các khái niệm và tính chất của f-dãy

và f-dãy chặt được trình bày trong các tiết 2.1, 2.2 Trong Tiết 2.3,chúng tôi chứng minh các tập Sn 1 , ,n k AttR(0 :Hi

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt chương này luôn giả thiết R là một vành giao hoán Noether.Mục đích của Chương I là nhắc lại một số kiến thức cơ sở phục vụ chophát biểu và chứng minh các kết quả ở Chương 2 Tiết 1.1 trình bày một

số khái niệm về biểu diễn thứ cấp Tiết 1.2 nhắc lại một số kết quả về tậpiđêan nguyên tố gắn kết cho môđun Artin Các tiết 1.1 và 1.2 được thamkhảo từ bài báo của I G Macdonald [Mac] Tiết 1.3 trình bày một số kháiniệm và tính chất cần thiết về môđun đối đồng điều địa phương trong cuốnsách của M Brodmann và R Y Sharp [BS]

1.1 Biểu diễn thứ cấp

Trong suốt tiết này, giả thiết L là một R-môđun (không nhất thiết hữuhạn sinh và cũng không nhất thiết Artin)

1.1.1 Định nghĩa i) Cho x ∈ R Nếu tồn tại một số tự nhiên n để xnL = 0thì ta nói phép nhân bởi x trên L là luỹ linh Nếu xL = L thì ta nói phépnhân bởi x trên L là toàn cấu

ii) Ta nói L là môđun thứ cấp nếu L 6= 0 và phép nhân bởi x trên L làtoàn cấu hoặc lũy linh với mọi x ∈ R Trong trường hợp này, tập hợp cácphần tử x ∈ R sao cho phép nhân bởi x trên L là lũy linh làm thành một

iđêan nguyên tố p và ta gọi L là p-thứ cấp.

iii) Một biểu diễn L = L1 + + Ln, trong đó mỗi Li là pi-thứ cấp,

được gọi là một biểu diễn thứ cấp của L

iv) L là biểu diễn được nếu L = 0 hoặc L có biểu diễn thứ cấp

(v) Biểu diễn thứ cấp L = L1 + + Ln được gọi là tối thiểu nếu các

pi là đôi một khác nhau và mỗi Li là không thừa, tức là với mọi i,

L 6= L1 + + Li−1 + Li+1 + + Ln.1.1.2 Chú ý Từ định nghĩa của môđun thứ cấp ta có:

i) Tổng trực tiếp của hữu hạn môđun p-thứ cấp là p-thứ cấp

ii) Môđun thương khác 0 của một môđun p-thứ cấp là p-thứ cấp.iii) Nếu L1, , Lr là môđun con p-thứ cấp của L thì L1 + + Lr làmôđun con p-thứ cấp của L

1.1.3 Hệ quả Mỗi biểu diễn thứ cấp đều có thể quy về tối thiểu

Chứng minh Giả sử L = L1 + + Ln là một biểu diễn thứ cấp của

R-môđun L Theo Chú ý 1.1.2, bằng cách loại đi các thành phần thứ cấpthừa và ghép lại những thành phần thứ cấp ứng với cùng một iđêan nguyên

tố, ta có thể rút gọn biểu diễn thứ cấp này thành một biểu diễn thứ cấp tốithiểu

Phần tiếp theo trình bày hai định lí duy nhất của biểu diễn thứ cấp.1.1.4 Bổ đề Giả sử L = L1 + + Ln là một biểu diễn thứ cấp tối thiểucủa L với Li là pi-thứ cấp Cho p ∈ Spec(R) Các phát biểu sau là tương

đương:

i) p ∈ {p1, , pn}

ii) L có môđun thương là p-thứ cấp

iii) L có môđun thương Q sao cho AnnRQ = p

Chứng minh (i⇒ii) Giả sử p = pi Đặt Pi = P

j6=iLj Vì Li không thừatrong biểu diễn thứ cấp L = L1 + + Ln nên L/Pi 6= 0 Hơn nữa,

L/Pi = (Li + Pi)/Pi ∼= L

i/(Li ∩ Pi)

Vì Li là pi-thứ cấp nên theo Chú ý 1.1.2, L/Pi là pi-thứ cấp của L

(ii⇒iii) Giả sử P là môđun thương p-thứ cấp của L Vì R là vành Noethernên p là hữu hạn sinh Giả sử p = (a1, , at) Vì P là p-thứ cấp nên vớimỗi i = 1, , t, tồn tại nisao cho an i

i P = 0 Chọn n = max{n1, , nt}.Khi đó pkP = 0 với mọi k ≥ nt Do P là p-thứ cấp nên P 6= 0 Ta khẳng

định P 6= pP Thật vậy, nếu P = pP thì với k ≥ nt ta có

0 = pkP = pk−1(pP ) = pk−1P = = pP = P,

điều này là mâu thuẫn Vì thế Q = P/pP là môđun thương khác 0 của

L Do P là p-thứ cấp nên Q là p-thứ cấp Do đó AnnRQ ⊆ p Rõ ràng

p ⊆ AnnRQ Suy ra AnnRQ = p

(iii⇒i) Giả sử môđun thương Q = L/B thỏa mãn AnnRQ = p Ta có

i=1(Li+ B)/B ta được một biểu diễn tối thiểucủa Q Do đó bằng việc đánh lại thứ tự các chỉ số ta có thể giả thiết Q cómột biểu diễn thứ cấp tối thiểu Q = Pm

i=1Qi, trong đó Qi là pi-thứ cấp với

i = 1, , m với một số tự nhiên m 6 n nào đó Do Qi là pi-thứ cấp vớimọi i = 1, , m nên dễ kiểm tra được pAnnR(Q) = p1 ∩ ∩ pm Vìthế, theo giả thiết (iii) ta có p = p1∩ .∩pm.Do đó tồn tại i ∈ {1, , m}sao cho p = pi

Định lí sau đây là hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.1.4.

1.1.5 Định lý (Định lí duy nhất thứ nhất) Giả sử L = L1 + + Ln

1.1.6 Định lý (Định lí duy nhất thứ hai) Giả sử L = L1 + + Ln và

L = L01 + + L0n là hai biểu diễn thứ cấp tối thiểu của L với Li, L0i là

pi-thứ cấp Nếu pi ∈ min{p1, , pn} thì Li = L0i

Chứng minh Vì pi tối thiểu, tức là pj 6⊆ pi với mọi j 6= i nên tồn tại phần

tử a ∈ ( T

j6=i

pj) \ pi Với j 6= i, do a ∈ pj nên anLj = 0 = anL0j với n đủlớn Do a /∈ pi nên anLi = Li và anL0i = L0i với mọi n Vì thế với n đủlớn ta có anL = Li = L0i

Phần cuối của tiết này trình bày tính biểu diễn được của môđun Artin

Từ nay đến hết tiết này, giả thiết A 6= 0 là một R-môđun Artin

1.1.7 Bổ đề Nếu A không là tổng của hai môđun con thực sự thì A là thứcấp

Chứng minh Giả sử A không thứ cấp Khi đó tồn tại x ∈ R sao chophép nhân bởi x trên A không toàn cấu và cũng không là luỹ linh Vì thế

A 6= xA và xnA 6= 0 với mọi n > 0 Do A là Artin nên dãy môđun congiảm xA ⊇ x2A ⊇ ⊇ xnA ⊇ của A phải dừng Do đó tồn tại

k > 0 sao cho xnA = xkA với mọi n ≥ k Đặt A1 = {a ∈ A | xka = 0}

và A2 = xkA Vì xkA1 = 0 và xkA 6= 0 nên A1 6= A Vì A 6= xA nên

A2 6= A Do đó A1, A2 là những môđun con thực sự của A Lấy u ∈ A

Do xkA = x2kA nên xku = x2kv, với v ∈ A, suy ra xk(u − xkv) = 0 Do

đó u − xkv ∈ A1 Suy ra u = z + xkv với z ∈ A1 Vì thế u ∈ A1 + A2.Suy ra A = A1 + A2, mâu thuẫn

1.1.8 Định lý (Tính biểu diễn được của môđun Artin) Mọi môđunArtin đều biểu diễn được

Chứng minh Giả sử môđun Artin A không biểu diễn được Gọi Γ là tậpcác môđun con không biểu diễn được của A Vì A ∈ Γ nên Γ 6= ∅ Do A

là Artin nên Γ có phần tử cực tiểu, gọi là B Vì B ∈ Γ nên B 6= 0 và Bkhông là môđun thứ cấp Theo bổ đề trên, B biểu diễn được thành tổngcủa hai môđun con thực sự của B, tức là B = B1 + B2 với B1, B2 là haimôđun con thực sự của B Vì B cực tiểu nên B1, B2 ∈ Γ,/ tức là B1, B2 làbiểu diễn được Vì thế B = B1 + B2 cũng biểu diễn được, vô lý

1.2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin

Trong tiết này luôn giả thiết A là R-môđun Artin Theo Định lí 1.1.8,

A có biểu diễn thứ cấp tối thiểu A = A1 + + An với Ai là pi-thứ cấp.1.2.1 Định nghĩa Theo Định lý duy nhất thứ nhất, tập {p1, , pn} chỉphụ thuộc vào A mà không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của

A Ta gọi nó là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A và kí hiệu là AttRA

Kí hiệu min AttRA là tập các phần tử tối thiểu của AttRA theo quan hệ

bao hàm Các thành phần thứ cấp Ai ứng với các iđêan nguyên tố gắn kết

pi ∈ min AttRA được gọi là các thành phần thứ cấp cô lập của A

Với iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I.Trong lí thuyết phân tích nguyên sơ, đối với một R-môđun hữu hạn sinh

M ta có min AssRM = min Var(AnnRM ) Dưới đây là một tính chấttương tự cho lí thuyết biểu diễn thứ cấp

1.2.2 Bổ đề min AttRA = min Var(AnnRA)

Chứng minh Giả sử AttRA = {p1, , pn} Cho p ∈ min Var(AnnRA)

Dễ thấy√AnnRA = Tn

i=1pi.Vì p ⊇ AnnRAnên p ⊇ pivới i nào đó Cóthể chọn pi ∈ min AttRA sao cho p ⊇ pi.Do pi ⊇ AnnRA và p tối thiểunên p = pi ∈ min AttRA.Ngược lại, giả sử p ∈ min AttRA.Theo Bổ đề1.1.4, tồn tại môđun thương Q của A sao cho p = AnnRQ.Vì AnnRA ⊆AnnRQ nên p ∈ Var(AnnRA) Nếu p /∈ min Var(AnnRA) thì tồn tại

q ∈ min Var(AnnRA) sao cho q ⊂ p và q 6= p Theo chứng minh trên,

q ∈ min AttRA Điều này là mâu thuẫn Vậy p ∈ min Var(AnnRA).Một tính chất quan trọng của tập iđêan nguyên tố liên kết là

AssRM0 ⊆ AssRM ⊆ AssRM0 ∪ AssRM00

Sau đây là tính chất tương ứng cho tập iđêan nguyên tố gắn kết

R-môđun Artin Khi đó ta có

AttRA00 ⊆ AttRA ⊆ AttRA0∪ AttRA00.Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết A0 là môđuncon của A và A00 = A/A0 Cho p ∈ AttRA00 Theo Bổ đề 1.1.4, tồn tại

môđun thương Q của A00 sao cho AnnRQ = p Vì Q cũng là môđunthương của A nên p ∈ AttRA theo Bổ đề 1.1.4 Vậy AttRA00 ⊆ AttRA.Cho p ∈ AttRA.Theo Bổ đề 1.1.4, có môđun thương A/P của A là p−thứcấp Xét Q = P + A0 Nếu A = Q thì

A/P = (P + A0)/P ∼= A0/(P ∩ A0)

Vì A/P là p−thứ cấp nên p ∈ AttR(A/P ) Theo đẳng cấu trên, A/P làmôđun thương của A0 Vì thế ta có p ∈ AttRA0 Giả sử A 6= Q Khi đó

A/Q là p−thứ cấp theo Chú ý 1.1.2 Vì thế p ∈ AttR(A/Q) Lại do A/Q

là thương của A00 = A/A0 nên p ∈ AttRA00

Cho (R, m) là vành Noether địa phương Khi đó, một dãy (xn) ⊆ R

được gọi là một dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N chotrước, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn − xm ∈ mk với mọi n, m ≥ n0.Dãy (xn) ⊆ R được gọi là dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại

số n0 sao cho xn ∈ mk với mọi n ≥ n0 Ta trang bị quan hệ tương đươngtrên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy (xn), (yn) được gọi làtương đương nếu dãy (xn − yn) là dãy không Kí hiệu Rb là tập các lớptương đương Chú ý rằng quy tắc cộng (xn) + (yn) = (xn + yn) và quytắc nhân (xn)(yn) = (xnyn) không phụ thuộc vào cách chọn các đại diệncủa các lớp tương đương Vì thế nó là các phép toán trên Rb và cùng vớihai phép toán này, Rb làm thành một vành Noether địa phương với iđêantối đại duy nhất là mR.b Vành Rb vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủtheo tôpô m-adic của R

Một dãy (zn) ⊆ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu vớimỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho zn− zm ∈ mkM vớimọi n, m ≥ n0.Từ khái niệm dãy Cauchy như trên, tương tự ta định nghĩa

được khái niệm môđun đầy đủ theo tôpô m-adic trên vành Rb Môđun này

được kí hiệu là M c

1.2.4 Chú ý Kí hiệuRblà vành đầy đủ của R theo tôpô m-adic Cho u ∈ A

và cho x = (xn) ∈ bR, trong đó xn ∈ R Khi đó (u) = {au | a ∈ R}

là một môđun con của A, do đó nó là môđun Artin Chú ý rằng (u) làhữu hạn sinh Vì thế (u) vừa là môđun Artin, vừa là môđun Noether Do

đó (u) là môđun có độ dài hữu hạn Vì thế tồn tại số tự nhiên k sao cho

mku = 0 Vì (xn) ∈ bR, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn− xm ∈ mk vớimọi m, n ≥ n0 Do đó ta có (xn − xm)u = 0 với mọi m, n ≥ n0 Suy

ra xnu không đổi khi n ≥ n0 Do đó ta có thể định nghĩa xu = xnu với

n ≥ n0 Dễ kiểm tra được đây là một tích vô thương trên A Do đó A cócấu trúc Rb-môđun Với cấu trúc này, một tập con của A là một R-môđuncon của A nếu và chỉ nếu nó là một Rb-môđun con của A Vì thế dànmôđun con của A xét như Rb-môđun chính là dàn môđun con của A xétnhư R-môđun Do đó A là một Rb-môđun Artin

Ta có thể đồng nhất R như một vành con củaRbbằng cách coi mỗi phần

tử a ∈ R là lớp tương đương của dãy hằng (an) trong Rb, trong đó an = avới mọi n Chú ý rằng với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M ta có

AssRM = {bp∩ R | bp ∈ Ass

b

RM }.cDưới đây là kết quả tương ứng cho các iđêan nguyên tố gắn kết

1.2.5 Bổ đề AttRA = {bp∩ R | bp∈ Att

b

Chứng minh Giả sử A = (A11+ + A1t1) + + (An1+ + Antn) làmột biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A xét như Rb-môđun, trong đó Aij làb

pij-thứ cấp và bpi1 ∩ R = =bpiti ∩ R = pi với mọi i = 1, , n và các

pi là đôi một phân biệt Khi đó

AttRA = {bpij | i = 1, , n, j = 1, , ti}

Đặt Ai = Ai1 + + Aiti với i = 1, , n Khi đó A = A1 + + An.Cho i ∈ {1, , n} Với x ∈ pi, ta có x ∈ bpij với mọi j = 1, , ti Vìthế phép nhân bởi x trên Ai là luỹ linh Cho x /∈ pi Khi đó x /∈ bpij vớimọi j = 1, , ti Do đó phép nhân bởi x trên Ai là toàn cấu Suy ra Ai

là pi-thứ cấp Vì mỗi Aij đều không thừa nên Ai là không thừa với mọi i.Vậy AttRA = {p1, , pn} = {bp∩ R | bp ∈ Att

b

1.3 Một số chuẩn bị về môđun đối đồng điều địa phương

Trong tiết này luôn giả thiết I là iđêan của R và L là một R-môđun(không nhất thiết hữu hạn sinh và không nhất thiết là Artin)

Mục đích của tiết này là trình bày các tính chất cơ sở cần thiết về môđun

đối đồng điều địa phương phục vụ cho chương sau Các kiến thức và thuậtngữ ở đây được tham khảo từ cuốn sách đối đồng điều địa phương của M.Brodmann và R Y Sharp [BS]

1.3.1 Định nghĩa Với mỗi R-môđun L ta định nghĩa ΓI(L) = S

n≥0

(0 :L

In) Nếu f : L → L0 là đồng cấu các R-môđun thì ta có đồng cấu f∗ :

ΓI(L) → ΓI(L0) cho bởi f∗(x) = f (x) Khi đó ΓI(−) là hàm tử khớptrái, hiệp biến từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các R-môđun Tagọi ΓI(−) là hàm tử I-xoắn

Một giải nội xạ của L là một dãy khớp 0 → L → E0 → E1 → các

R-môđun, trong đó mỗi Ei là môđun nội xạ Chú ý rằng với mỗi môđun

đều nhúng được vào một môđun nội xạ, vì thế, mỗi môđun đều có ít nhấtmột giải nội xạ

1.3.2 Định nghĩa Môđun dẫn suất phải thứ n của hàm tử I-xoắn ΓI(−)ứng với L được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ n của L với

0 → Γ(E0) u

∗ 0

→ Γ(E1) u

∗ 1

→ Γ(E2) → Khi đó Hn

I(L) = Ker u∗n/ Im u∗n−1 Như vậy, môđun đối đồng điều địaphương thứ n của L với giá I chính là môđun đối đồng điều thứ n của đốiphức trên, môđun này không phụ thuộc vào giải nội xạ của L

Sau đây là tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương

đồng điều địa phương Từ nay đến hết chương, giả thiết rằng M là một

R-môđun hữu hạn sinh

Môđun M được gọi là I-xoắn nếu M = ΓI(M ) Sau đây là tính triệttiêu của môđun đối đồng điều địa phương đối với môđun I-xoắn

Nhắc lại rằng một dãy (x1, , xn) các phần tử trong R được gọi làmột dãy chính quy của M (hay M-dãy) nếu M/(x1, , xn)M 6= 0 và

((x1, , xi−1)M :M xi) = (x1, , xi−1)Mvới mọi i = 1, , n Với (R, m) là vành Noether địa phương thì theo

Bổ đề Nakayama, vì M hữu hạn sinh nên M/mM 6= 0 Vì thế nếu

x1, , xn ∈ mthì M/(x1, , xn)M 6= 0,trong trường hợp này, (x1, , xn)

là một M-dãy khi và chỉ khi với mọi i = 1, , n ta có ((x1, , xi−1)M :M

xi) = (x1, , xi−1)M Chú ý rằng nếu (R, m) là vành địa phương thì mỗihoán vị của một M-dãy là một M-dãy

1.3.5 Chú ý Một M-dãy (x1, , xn) trong I được gọi là tối đại nếukhông tồn tại phần tử y ∈ I sao cho (x1, , xn, y) là một M-dãy Mỗidãy chính quy của M trong I có thể mở rộng thành một dãy chính quytối đại, và các dãy chính quy tối đại của M trong I có chung độ dài

Độ dài chung này được gọi là độ sâu của M trong I và được kí hiệu làdepth(I, M )

1.3.6 Định lý depth(I, M) = inf{i | Hi

I(M ) 6= 0}

Một dãy p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn các iđêan nguyên tố của R thỏa mãn điềukiện pi 6= pi+1 với mọi i được gọi là một dãy iđêan nguyên tố độ dài ncủa R Chiều (Krull) của vành R, kí hiệu là dim R, là cận trên của các độdài của các dãy iđêan nguyên tố của R Ta gọi chiều (Krull) của môđunhữu hạn sinh M, kí hiệu là dim M, là chiều của vành thương R/ AnnRM.Chú ý rằng nếu (R, m) là vành địa phương thì chiều của R là hữu hạn và

do đó chiều của mọi môđun hữu hạn sinh cũng hữu hạn

Sau đây là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương thôngqua chiều của môđun

1.3.7 Định lý (Định lí triệt tiêu Grothendieck) Giả sử dim M = d.i) Hi

I(M ) = 0 với mọi số nguyên i > d và mọi iđêan I

ii) Nếu (R, m) là vành địa phương thì dim M = max{i | Hi

m(M ) 6= 0}.Phần cuối của tiết này dành để trình bày một số tính chất Artin củamôđun đối đồng điều địa phương

1.3.8 Định lý Cho (R, m) là vành địa phương, M là R-môđun hữu hạnsinh với dim M = d Khi đó

i) Hd

I(M ) là Artin với mọi iđêan I

ii) Hi

m(M ) là Artin với mọi số nguyên i ≥ 0 Đặc biệt,

AttR(Hmd(M )) = {p ∈ AssRM | dim(R/p) = d}

Chương 2

Về f-dãy chặt và ứng dụng

Trong suốt Chương 2, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phương,

Chương 2 dành để trình bày các kết quả chính của luận văn Để tiệntheo dõi, trong Tiết 2.1 chúng tôi nhắc lại khái niệm dãy lọc chính quy giớithiệu bởi Nguyễn Tự Cường, Peter Schenzel và Ngô Việt Trung trong bàibáo [CST] Các Tiết 2.2 và 2.3 dành để trình bày lại khái niệm f-dãy chặt

và một ứng dụng của f-dãy chặt trong bài toán tìm điều kiện để tập iđêannguyên tố gắn kết của một số môđun đối đồng điều địa phương là hữu hạntrong bài báo của Nguyễn Tự Cường, Marcel Morales và Lê Thanh Nhàn[CMN] Tiết cuối 2.4 dành để chứng minh lại một đặc trưng của môđunCohen-Macaulay chính tắc thông qua các hệ tham số là f-dãy chặt trongbài báo của Lê Thanh Nhàn [Nh]

2.1 Dãy lọc chính quy

Khái niệm dãy lọc chính quy được giới thiệu bởi N T Cường, P Schenzel

và N V Trung [CST] đã trở thành một công cụ rất quan trọng trong việcnghiên cứu cấu trúc vành và môđun

2.1.1 Định nghĩa Phần tử x ∈ m được gọi là phần tử M-lọc chính quy

(hay f-chính quy) nếu (0 :M x) ⊆ S

t>0

(0 :M mt).Dãy (x1, , xn) các phần

tử trong m được gọi là dãy lọc chính quy của M hay f-dãy của M nếu xi

là f-chính quy của M/(x1, , xi−1)M với mọi i = 1, , n

Như vậy, dãy (x1, , xn) trong m là f-dãy nếu và chỉ nếu

((x1, , xi−1)M :M xi) ⊆ [

t>0

((x1, , xi−1)M :M mt),với mọi i = 1, , n, trong đó nếu i = 1 thì bao hàm thức trở thành

2.1.3 Bổ đề Cho x ∈ m Các phát biểu sau là tương đương

(i) x là M-lọc chính quy;

(ii) `R(0 :M x) < ∞;

(iii) x /∈ p với mọi p ∈ AssRM \ {m}

Chứng minh (i)⇒(ii) Cho x ∈ m là phần tử lọc chính quy Khi đó

Vì thế AssR(0 :M x) ⊆ AssR(0 :M mk) ⊆ {m} Suy ra `R(0 :M x) < ∞.(ii)⇒(iii) Giả sử `R(0 :M x) < ∞ Khi đó dim(0 :M x) = 0 Giả sửphản chứng rằng x ∈ p với iđêan nguyên tố p nào đó trong AssRM \ {m}.Vì p ∈ AssRM nên tồn tại phần tử m ∈ M sao cho p = AnnRm Đặt

Vì p 6= m nên dim(R/p) > 0 Do x ∈ p và p = AnnRm nên xm = 0 Do

đó m ∈ (0 :M x) và vì thế Rm ⊆ (0 :M x) Suy ra

dim(0 :M x) ≥ dim(Rm) = dim(R/p) > 0

Điều này mâu thuẫn với giả thiết (ii)

(iii)⇒(i) Giả sử x /∈ p với mọi p ∈ AssRM \ {m} Ta cần chứng minh x

là phần tử lọc chính quy của M Dễ thấy rằng St>0(0 :M mt) là môđuncon lớn nhất của M có độ dài hữu hạn Vì thế ta chỉ cần chứng minh

`R(0 :M x) < ∞là đủ Giả sử `R(0 :M x) = ∞ Khi đó dim(0 :M x) > 0.Chú ý rằng

dim(0 :M x) = max{dim(R/p) | p ∈ AssR(0 :M x)}

Do đó tồn tại p ∈ AssR(0 :M x) sao cho p 6= m Lại do p ∈ AssR(0 :M x)nên p ⊇ AnnR(0 :M x) ⊇ xR Vì thế x ∈ p với p ∈ AssRM và p 6= m

Điều này mâu thuẫn với giả thiết (iii)

Hệ quả sau đây chỉ ra rằng với mỗi số nguyên dương n, luôn tồn tạimột f-dãy của M với độ dài n

2.1.4 Hệ quả Với mỗi số tự nhiên n, tồn tại f-dãy của M độ dài n.Chứng minh Chúng ta chứng minh bằng quy nạp theo n Cho n = 1 Đặt

C1 = AssRM \ {m} Theo Định lý tránh nguyên tố, ta chọn được phần

tử x1 ∈ m sao cho x1 ∈ p/ với mọi p ∈ C1 Khi đó x1 là một f-dãy của Mtheo Bổ đề 2.1.3 Cho n > 1 và giả thiết rằng (x1, , xn−1) là một f-dãycủa M Theo Định lý tránh nguyên tố, ta có thể chọn được một phần tử

xn ∈ m sao cho xn ∈ p/ với mọi p ∈ Cn trong đó ta đặt

Cn = AssR(M/(x1, , xn−1)M ) \ {m}

Theo Bổ đề 2.1.3 ta suy ra (x1, , xn) là một f-dãy của M

Ta đã biết rằng `R(M/mnM ) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n đủlớn Hơn nữa ta có

dim M = deg(`R(M/mnM ))

= inf{t | ∃x1, , xt ∈ m sao cho `R(M/(x1, , xt)M ) < ∞}.Vì thế luôn tồn tại hệ (x1, , xd) ⊆ m sao cho M/(x1, , xd)M có độdài hữu hạn Những hệ như thế được gọi là hệ tham số của M Mỗi hệ(x1, , xr) với r 6 d được gọi là một phần hệ tham số của M nếu cóthể bổ sung các phần tử xr+1, , xd ∈ m sao cho (x1, , xd) là một hệtham số của M

2.1.5 Bổ đề Cho (x1, , xn) là một f-dãy của M Khi đó với mọi sốnguyên dương i 6 min{n, d} ta có

dim(M/(x1, , xi)M ) = d − i

Đặc biệt, mỗi f-dãy độ dài không quá d đều là phần hệ tham số của M.Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo i, trong đó i 6 min{n, d}.Cho i = 1 Vì x1 là phần tử lọc chính quy nên theo Bổ đề 2.1.3(iii) ta có

x1 ∈ p/ với mọi p ∈ AssRM \ {m} Suy ra dim(M/x1M ) = d − 1 Cho

i > 1 và giả sử

dim(M/(x1, , xi−1)M ) = d − i + 1

Vì i 6 min{n, d} nên ta có d − i + 1 > 0 Do xi là phần tử lọc chính quycủa M/(x1, , xi−1)M nên ta có

dim(M/(x1, , xi−1, xi)M ) = dim(M/(x1, , xi−1)M ) − 1

= d − i

Sau đây là một đặc trưng của dãy lọc chính quy thông qua địa phươnghoá Nhắc lại rằng một dãy (x1, , xn) các phần tử trong R được gọi làmột M-dãy chính quy nghèo (hay M-dãy nghèo) nếu

((x1, , xi−1)M :M xi) = (x1, , xi−1)Mvới mọi i = 1, , n Dễ kiểm tra thấy rằng phần tử x ∈ R là M-dãy nghèonếu và chỉ nếu x /∈ p với mọi p ∈ AssRM Như vậy, dãy (x1, , xn) cácphần tử trong R là một M-dãy nếu và chỉ nếu nó là một M-dãy nghèo và

M 6= (x1, , xn)M Chú ý rằng M 6= mM theo Bổ đề Nakayama Vìthế mọi M-dãy nghèo trong m đều là M-dãy Chú ý rằng hoán vị của một

M-dãy nghèo là một M-dãy nghèo

2.1.6 Bổ đề Cho (x1, , xn) là một dãy các phần tử trong m Khi đó(x1, , xn) là một f-dãy của M nếu và chỉ nếu (x1, , xn) là một dãychính quy nghèo của Mp với mọi iđêan nguyên tố p ∈ SuppRM \ {m},trong đó xi là ảnh của xi trong Rp

Chứng minh Cho (x1, , xn) là f-dãy của M và p ∈ SuppRM \ {m}

Ta cần chứng minh x1, , xn là dãy chính quy nghèo của Mp Khôngmất tính tổng quát, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp n = 1, tức

là chứng minh (0 :M p x1) = 0 Giả sử (0 :M p x1) 6= 0 Khi đó tồn tại

rRp ∈ AssRp(0 :Mp x1) Suy ra x1 ∈ rRp và rRp ∈ AssRp(Mp) Vì thế