Luận văn moodun cohen macaulay và modun cohen macaulay suy rộng

Luận văn thạc sĩ toán học đại số và phương pháp số tựa đề về mô đun giả co hen macaulay và mô đun giả cohen macaulay suy rộng do học viên lê văn tho thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của Trưởng khoa Toán trường đại học Quy Nhơn Tiến sĩ Nguyễn Thái Hòa. Tài liệu gồm 3 chương và một số phần, 55 chương định dạng pdf được đánh thông qua chương trình latex.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LÊ VĂN THO

VỀ MÔĐUN GIẢ COHEN-MACAULAY

VÀ MÔĐUN GIẢ COHEN-MACAULAY

SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.01.04

Bình Định - 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LÊ VĂN THO

VỀ MÔĐUN GIẢ COHEN-MACAULAY

VÀ MÔĐUN GIẢ COHEN-MACAULAY

SUY RỘNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN THÁI HÒA

Bình Định - 2012

Mục lục i

Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii

Danh mục bảng, hình vẽ, đồ thị iii

Lời nói đầu iv

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Lý thuyết bội 1

1.2 Đối đồng điều địa phương 2

1.3 Lý thuyết biểu diễn thứ cấp 3

1.4 Môđun Cohen-Macaulay và Môđun Cohen-Macaulay suy rộng 5 1.5 Môđun phân số suy rộng 7

1.6 Đối ngẫu Matlis 9

1.7 Đầy đủ 10

1.8 Bất biến kiểu đa thức 12

Chương 2 Hàm J M (x(n)) 14 2.1 Hàm J M(x(n)) 15

2.2 Bất biến pf (M ) 26

ii

Chương 3 Môđun giả Macaulay và Môđun giả

3.1 Định nghĩa và một số tính chất 293.2 Một số đặc trưng của môđun giả Cohen-Macaulay và môđungiả Cohen-Macaulay suy rộng 33Kết luận 43Tài liệu tham khảo 43

Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Danh mục bảng, hình vẽ, đồ thị

Lời nói đầu

Mục đích của Đại số giao hoán là nghiên cứu cấu trúc của môđun trênmột vành giao hoán Để làm việc này, một phương pháp quan trọng là thôngqua một hệ các đặc trưng bằng số được định nghĩa trên môđun để phân loại

nó Khi phân loại các môđun, lớp các môđun Cohen-Macaulay và lớp cácmôđun Cohen-Macaulay suy rộng là vô cùng quan trọng Đầu những năm 90,

Nguyễn Tự Cường đã đưa ra một bất biến mới cho môđun gọi là bất biến kiểu

đa thức Sau đó, Nguyễn Đức Minh đưa ra bất biến kiểu đa thức theo phân số suy rộng Các môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng

có thể xem như là các môđun có bất biến kiểu đa thức không dương Hơnnữa, các môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng cũng

có bất biến kiểu đa thức theo phân số suy rộng là không dương Nhưng điềungược lại là không đúng Tuy nhiên, những môđun có bất biến kiểu đa thứctheo phân số suy rộng không dương vẫn có những tính chất liên quan chặtchẽ với tính Cohen-Macaulay và tính Cohen-Macaulay suy rộng Nguyễn Tự

Cường đã đưa ra khái niệm môđun giả Macaulay và môđun giả

Cohen-Macaulay suy rộng trong [9] cùng với Lê Thanh Nhàn Trong [18], Nguyễn

Thái Hòa và Nguyễn Đức Minh cũng nghiên cứu hai lớp môđun này

Mục đích của Luận văn là trình bày lại một số kết quả chính của [9] và[18]

Luận văn gồm phần mở đầu, mục lục, kết luận, tài liệu tham khảo và nộidung chính được chia làm 3 chương

Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về lý thuyết

bội, đối đồng đều địa phương, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, Môđun Macaulay và Môđun Cohen-Macaulay suy rộng, Môđun phân số suy rộng,Đối ngẫu Matlis, Đầy đủ, Bất biến kiểu đa thức

Cohen-Chương 2, chúng tôi trình bày định nghĩa và chứng minh chi tiết các kết

quả của hàm J M (x(n)) và bất biến pf (M ).

Chương 3, chúng tôi trình bày lại định nghĩa và chứng minh chi tiết một

số đặc trưng của lớp các môđun giả Macaulay và môđun giả Macaulay

Cohen-Cuốn luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khác và tậntâm của TS Nguyễn Thái Hòa Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại Học Quy Nhơn, PhòngSau đại học, khoa Toán học và các Thầy, Cô giáo đã tham gia giảng dạy vàgiúp đỡ tôi trong quá trình học tập Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn họcviên lớp Cao học Toán K13, đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập

và nghiên cứu trong thời gian qua Sau cùng, tôi xin gửi lời biết ơn đến bạn

bè và người thân đã luôn động viên dành những điều kiện thuận lợi nhất đểtôi yên tâm hoàn tất khóa học và luận văn này

Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáohướng dẫn, nhưng do năng lực bản thân và thời gian còn hạn chế nên luậnvăn khó tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong sự góp ý của quýthầy cô và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt chương này ta luôn kí hiệu (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương với iđêan cực đại m, M là một R-môđun hữu hạn sinh với số chiều dim M = d.

Nếu t = 0 tức là `(M ) < +∞, ta đặt e(∅; M ) = ` R (M ).

Giả sử t ≥ 1 Đặt (0 : M x1) = {u ∈ M : ux1 = 0} Ta thấy (x2, , x t)

là một hệ bội của (0 :M x1) và M/x1M Áp dụng giả thiết qui nạp cho các

môđun M/x1M và (0 : M x1), đặt

e(x; M ) = e(x2, , x t ; M/x1M ) − e(x2, , x t; 0 :M x1).

Ký hiệu bội e(x; M ) có các tính chất cơ bản sau đây

1

Nhận xét 1.1.1 (i) Nếu x = (x1, , x d ) là một hệ tham số của M , q = (x1, , x d )R là iđêan tham số của M tương ứng với x Khi đó ký hiệu bội trùng với số bội e(q; M ) của Zariski-Samuel.

(ii) 0 ≤ e(x; M ) ≤ ` R (M/(x)M ) với mọi hệ tham số x của M.

(iii) Giả sử 0 → M n → · · · → M1 → M0 → 0 là một dãy khớp các R-môđun Noether và x là hệ tham số đối với mỗi M i , i = 0, 1, , n Khi đó

Môđun đối đồng điều địa phương được Grothendieck đưa ra trong [14] làmột công cụ rất quan trọng trong việc nghiên cứu cấu trúc môđun trên vànhgiao hoán Đặc biệt nó thường xuyên được dùng đến trong luận văn

Cho I ⊂ R là một iđêan của R Biết rằng hàm tử I-xoắn Γ I (.) từ phạm trù các R-môđun vào chính nó là hiệp biến, cộng tính, khớp trái và với mỗi

R-môđun M, Γ I (.) được định nghĩa bởi công thức

ΓI (M ) = [

n≥0

(0 :M I n ).

Với mỗi số nguyên i không âm, ta có hàm tử dẫn xuất phải thứ i R iΓI (.)

của hàm tử ΓI (.) Khi đó môđun đối đồng điều địa phương thứ i H I i (M ) của

R-môđun M hữu hạn sinh với giá là I được xác định bởi

H I i (M ) = R iΓI (M ).

Nhận xét 1.2.1 (i) Khi I = m là iđêan cực đại của R thì Hmi (M ) là R-môđun Artin Hơn nữa Hmi (M ) = 0 với mọi i > d = dim M và Hmd (M ) 6= 0 khi M 6= 0 (ii) H I i (M ) = lim

thì ta có dãy khớp

0 → Hmi (M )/xHmi (M ) → Hmi (M/xM ) → (0 : x) H i+1

m (M ) → 0,

với i = r + 1, , d − 1.

1.3 Lý thuyết biểu diễn thứ cấp

Lý thuyết phân tích nguyên sơ các môđun con của môđun Noether đóngvai trò quan trọng trong Đại số giao hoán Có một lý thuyết tương tự đối

với các môđun Artin gọi là lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra bởi D.

Kirby và I G Macdonal trong [21] Vì các môđun đối đồng điều địa phươngcủa một môđun hữu hạn trên vành giao hoán Noether địa phương tại iđêancực đại là Artin nên lý thuyết biểu diễn thứ cấp tỏ ra là một công cụ có íchkhi nghiên cứu các môđun hữu hạn sinh không là Cohen-Macaulay suy rộng.Trước khi trình bày nội dung tiếp theo của luận văn, chúng tôi trích dẫn một

số kiến thức cần thiết theo thuật ngữ của Macdonal trong [21]

Định nghĩa 1.3.1 (i) Một R-môđun C được gọi là môđun thứ cấp nếu C 6= 0

và với mọi x ∈ R, tự đồng cấu

f x : C → C

c 7→ xc

hoặc là toàn cấu hoặc là lũy linh Trong trường hợp này, tập Rad(0 : C) là một iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p, và ta gọi C là p-thứ cấp.

(ii) Cho C là một R-môđun Một biểu diễn thứ cấp của C là một phân tích

thành tổng hữu hạn các môđun con pi -thứ cấp C i , (i = 1, , n)

C = C1 + · · · + C n Nếu C = 0 hoặc C có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói C là biểu diễn được Biểu diễn thứ cấp được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố p i đôi một

khác nhau và không có hạng tử C i nào thừa, với mọi i = 1, , n.

Dễ thấy mọi biểu diễn thứ cấp của C đều có thể đưa về được dạng tối

thiểu Khi đó tập {p1, , p n} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối

thiểu của C Và ta gọi nó là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của C, kí hiệu

là AttR (C) Các hạng tử C i , (i = 1, , n) được gọi là các thành phần thứ cấp

của C Nếu p i là tối thiểu trong AttR (C) thì C i được gọi là thành phần cô lập.

Định lý 1.3.1 ([21]) Mọi R-môđun Artin đều có một biểu diễn thứ cấp.

Ngoài ra ta còn có một số khái niệm cho môđun Artin được đưa ra trong[26]

Cho L là một R-môđun Artin Giả sử L có một biểu diễn thứ cấp tối thiểu

Khi đó L0 không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của L

và được gọi là thặng dư của L Dễ thấy L/L0 có độ dài hữu hạn Ta gọi độ

dài này là độ dài thặng dư của L và kí hiệu là R`(L).

Một phần tử a ∈ m được gọi là lọc đối chính quy của L nếu

a /∈ [ p∈Att(L)\{m}

p.

Ta gọi chỉ số nguyên nhỏ nhất i ≥ 0 sao cho m i L = m i+1 L là chỉ số ổn định

của L và kí hiệu là s = s(L) Chú ý m s L = L0 và a s L = L0 nếu a là phần

tử lọc chính quy Hơn nữa m / ∈ Att(L) nếu và chỉ nếu R`(L) = 0; Att(L) = ∅ nếu và chỉ nếu L = 0.

Cohen-Macaulay suy rộng

Trước hết chúng tôi nhắc lại khái niệm theo [3] và [12]

Định nghĩa 1.4.1 Cho y = (y1, , y r ) là một dãy phần tử của R Dãy y được gọi là dãy chính qui đối với M (hay M -dãy) nếu (y1, , y r )M 6= M và

y i+1 không là ước của không của M/(y1, , y i )M với i = 0, , r − 1.

Khi y1, , y r thuộc về một iđêan I của R, ta nói rằng y = (y1, , y r) là

một M -dãy trong I Nếu không tồn tại b ∈ I sao cho y1, , y r , b là M -dãy;

thì y1, , y r được gọi là một M -dãy cực đại trong I.

Định nghĩa 1.4.2 Cho I là một iđêan của vành R Độ dài cực đại của các

M -dãy trong I được gọi là I-độ sâu của M và kí hiệu là depth I (M ) Ta kí hiệu depth(M ) hay depth R (M ) thay cho depthm(M ) và gọi là độ sâu của M.

Nhận xét 1.4.1 (i) depth(M ) ≤ dim(R/p) với mọi p ∈ Ass(M ).

(ii) Nếu (y1, , y d ) là một M -dãy thì (y n1

1 , , y n d

d ) là một M - dãy với mọi

n1, , n d ≥ 1.

Chúng tôi trình bày khái niệm môđun Cohen-Macaulay theo [3], [12]

Định nghĩa 1.4.3 M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu dim M =

depth(M ) Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là một R-môđun

Cohen-Macaulay

Định lý 1.4.1 Các mệnh đề sau tương đương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay;

(ii) Tồn tại một iđêan tham số q của M sao cho e(q; M ) = ` R (M/qM );

(iii) e(q; M ) = ` R (M/qM ) với mọi iđêan tham số q của M ;

(iv) Tồn tại một hệ tham số của M là M -dãy;

(v) Mọi hệ tham số của M là M -dãy;

(vi) Hmi (M ) = 0 với mọi i = 1, , d − 1.

Định nghĩa 1.4.4 Cho y = (y1, , y r ) là một dãy phần tử của R Dãy y được gọi là dãy lọc chính quy đối với M (hay f -dãy) nếu

Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng

do Nguyễn Tự Cường, P Schewzel và Ngô Việt Trung đưa ra trong [12]

Định nghĩa 1.4.5 M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu một

trong các điều kiện sau thỏa mãn:

(i) Sup{` R (M/xM ) − e(x; M )} < ∞, ở đây x chạy trên tất cả các hệ tham

số của M ;

(ii) Tồn tại một hệ tham số x = (x1, , x d ) của M sao cho

` R (M/xM ) − e(x; M ) = ` R (M/x(2)M ) − e(x(2); M ),

trong đó x(2) = (x21, , x2d);

(iii) ` R (Hmi (M )) < ∞, với mọi i = 1, , d − 1;

(iv) Mọi hệ tham số của M đều là f -dãy.

Lý thuyết môđun phân số suy rộng được Sharp và Zariski đưa ra trong[27] Nó là một sự mở rộng của khái niệm địa phương hóa của một vành theotập nhân đóng trong vành đó

Cho k là một số nguyên dương Ta kí hiệu D k (R) là tập tất cả các ma trận vuông cấp k có dạng tam giác dưới với hệ tử trên R Với mỗi ma trận vuông H, kí hiệu |H| và H T được dùng để chỉ định thức và chuyển vị của nó

Định nghĩa 1.5.1 Cho k là một số nguyên dương Một tập con tam giác

của R k là một tập con khác rỗng U của R k thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Nếu (u1, , u k ) ∈ U thì (u n1

1 , , u n k

k ) ∈ U với mọi số nguyên dương

n1, , n k

(ii) Với mọi (u1, , u k ), (v1, , v k ) ∈ U luôn tồn tại (w1, , w k ) ∈ U và

H, K ∈ D k (R) sao cho H[u1, , u k]T = [w1, , w k]T = K[v1, , v k]T

Cho trước một tập con tam giác U của R k , ta định nghĩa trên U × M một

quan hệ tương đương ∼ như sau

Cho α = ((u1, , u k ); x) và β = ((v1, , v k ); y) ∈ U × M Khi đó α ∼ β nếu tồn tại (w1, , w k ) ∈ U và H, K ∈ D k (R) sao cho

H[u1, , u k]T = [w1, , w k]T = K[v1, , v k]Tvà

Với x ∈ M và (u1, , u k ) ∈ U , ta kí hiệu x/(u1, , u k) để chỉ lớp tương

đương có đại diện là ((u1, , u k ); x) Tập tất cả các lớp tương đương như vậy được kí hiệu bởi U −k M U −k M sẽ trở thành một R-môđun với các phép toán

được định nghĩa như sau:

Với mọi α ∈ R; x, y ∈ M và (u1, , u k ), (v1, , v k ) ∈ U, khi đó

x/(u1, , u k ) + y/(v1, , v k ) = |H|x + |K|y/(w1, , w k ),

α(x/(u1, , u k )) = αx/(u1, , u k)

với mọi cách chọn (w1, , w k ) ∈ U và H, K ∈ D k (R) sao cho

H[u1, , u k]T = [w1, , w k]T = K[v1, , v k]T

Định nghĩa 1.5.2 Tập U −k M với các phép toán xác định như trên được

gọi là môđun phân số suy rộng của M theo U

Định nghĩa 1.5.3 Mỗi phần tử của môđun phân số suy rộng U −k M được

gọi là phân số suy rộng của M theo U (hay một cách ngắn gọn là phân số

suy rộng nếu M và U xác định).

Dưới đây là một ví dụ quan trọng về tập các tam giác

U (M ) d+1 ={(x1, , x d , 1) ∈ R d+1| tồn tại j thỏa mãn 0 ≤ j ≤ d

sao cho x1, , x j là một phần hệ tham số nào đó của M

và x j+1 = = x d = 1}.

Trong [26] môđun con M (1/(x1, , x d , 1)) = {m/(x1, , x d , 1)|m ∈ M }

của môđun U (M ) −d−1 d+1 M có độ dài hữu hạn, trong đó (x1, , x d) là một hệ

tham số của M.

Hơn nữa, với x = (x1, , x d ) là một hệ tham số của M Xét môđun con

Q M (x) = [

t>0 ((x t+11 , , x t+1 d )M : x t1 x t d)

của M Trong [8] có chỉ ra

M (1/(x1, , x d , 1)) ' M/Q M (x).

Trong đại số giao hoán, các khái niệm và kết quả đưa ra chủ yếu là cho cácmôđun Noether, đôi khi ta có thể chuyển sang nghiên cứu môđun đối ngẫucủa nó qua hàm tử đối ngẫu Matlis Dưới đây chúng tôi nhắc lại khái niệm

và một số tính chất cần thiết về đối ngẫu Matlis (xem [27])

Định nghĩa 1.6.1 Đặt E = E(R/m) là bao nội xạ của trường R/m Hàm

tử HomR (−; E) trong phạm trù các R-môđun được gọi là hàm tử đối ngẫu

Matlis và được kí hiệu là _V ; L V = HomR (−; E) được gọi là đối ngẫu Matlis của L với mỗi R-môđun L và được kí hiệu L V V = (L V)V

Nhận xét 1.6.1 (i) Hàm tử đối ngẫu _V là hàm tử khớp, phản biến và

AnnR (L) = Ann R (L V ).

(ii) Một R-môđun L có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi L V có độ dài hữu hạn,

và trong trường hợp này ` R (L) = ` R (L V ).

(iii) Đối ngẫu của một R-môđun L là Artin khi và chỉ khi L là Noether Nếu

R là vành đầy đủ thì đối ngẫu của L V là một R-môđun Noether khi và chỉ khi L là Artin.

(iii) Nếu L là R-môđun Artin và R là vành đầy đủ thì Att(L) = Ass(L V ) (iv) Cho L là R-môđun Artin, L có cấu trúc tự nhiên như là ˆ R-môđun Đặc

biệt nếu đối ngẫu Matlis của môđun đối đồng điều địa phương thứ i Hmi ,

trong đó M là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương, được kí hiệu K i (M ) = Hom R (Hmi (M ); E).

(ii) R n+1 ⊂ R n , với mọi n ≥ 0.

(iii) R n R m ⊂ R n+m , với mọi m, n ≥ 0.

Ví dụ 1.7.1 (i) Giả sử R là một vành bất kì Lấy R0 = R và R n = 0, với mọi

n ≥ 1 Khi đó {R n}n≥0 là một lọc của R và nó được gọi là lọc tầm thường (ii) Cho I là một iđêan của R và đặt R n = I n , với mỗi n ≥ 0 Khi đó {R n}n≥0

là một lọc của R và nó được gọi là lọc I-ađic.

(iii) Nếu {R n}n≥0 là một lọc của R và S là một vành con của R thì {R n ∩ S}

là một lọc của S và được gọi là lọc cảm sinh trên S.

Định nghĩa 1.7.2 Cho R là một vành lọc Một R-môđun M lọc là một

R-môđun M cùng với một họ {M n}n≥0 các R-môđun con của M thỏa mãn

các điều kiện:

(i) M0 = M ;

(ii) M n+1 ⊂ M n , với mọi n ≥ 0;

(iii) M n R m ⊂ M n+m , với mọi m, n ≥ 0.

Ví dụ 1.7.2 (i) Cho M là một R-môđun và R có lọc tầm thường Khi đó

M cũng có một lọc tầm thường được định nghĩa bởi M0 = M và M n = 0, với mọi n ≥ 0.

(ii) Cho I là một iđêan của R và xét lọc I-ađic của R Định nghĩa lọc I-ađic của M bằng cách lấy M n = I n M Khi đó, M là một R-môđun lọc.

Cho M là một R-môđun lọc Lọc {M n}n≥0 xác định một tôpô trên M tương thích với cấu trúc nhóm Abel của M mà {M n} là một cơ sở lân cận

của 0 Tôpô này được gọi là tôpô cảm sinh bởi lọc {M n}

Cho M là một R-môđun với lọc {M n}n≥0 Với tôpô được định nghĩa bởi

lọc, M có đầy đủ là M Nó là tập hợp các lớp tương đương của những dãyc

Cauchy gồm những phần tử của môđun M , ứng với quan hệ tương đương được định nghĩa (x n ) ∼ (y n ) nếu với mỗi m tồn tại một n0 sao cho x n − y n ∈ M n ,

Định nghĩa 1.7.3 Tôpô được định nghĩa trên M bởi lọc I-ađic được gọi là

tôpô I-ađic và đầy đủ M được gọi là đầy đủ theo I-ađic.c

Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của R Gọi M vàc R là nhữngb

đầy đủ theo tôpô I-ađic tương ứng với M và R Định nghĩa một phép nhân

vô hướng của M vàc R xác định bởib

(a n )(x n ) = (a n x n)

trong đó (a n ) là một dãy Cauchy trong R và (x n) là một dãy Cauchy trong

M Phép toán này được xác định và với phép toán này M là mộtc R-môđun.b

1.8 Bất biến kiểu đa thức

Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d và (x) = (x1, , x d)

là một hệ tham số của M Chúng tôi nhắc lại khái niệm bất biến kiểu đa thức

và một số tính chất cơ bản của nó được đưa ra trong [5, 10] Ta kí hiệu

quát Tuy nhiên hàm số này có tính chất sau

Định lý 1.8.1 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Khi

đó bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo n chặn trên hàm I M (x(n)) không

phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số x.

Từ định lí này dẫn đến định nghĩa sau

Định nghĩa 1.8.1 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d.

Kiểu đa thức của M là bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo n chặn trên

hàm I M (x(n)) Bất biến này được kí hiệu là p(M ).

Nhận xét 1.8.1 (i) Giả sử M là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d.

Khi đó

p R (M ) = p R(M )c

với R-môđunb M là đầy đủ m-ađic của M.c

(ii) p(M ) ≤ d − 1.

(iii) Qui ước bâc của đa thức 0 là −∞ Khi đó M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi p(M ) ≤ 0.

Hàm J M (x(n))

Trong suốt chương này ta luôn kí hiệu (R, m) là một vành giao hoán Noether địa phương với iđêan cực đại m, M là một R-môđun hữu hạn sinh với số chiều dim M = d Gọi x = (x1, , x t ) là một hệ tham số của M Xét

môđun con

Q M (x) = [

t>0 ((x t+11 , , x t+1 d )M : x t1 x t d)

có thể xem là một hàm theo n Khi n1 = · · · = n d = 1 ta có J M (x(n)) =

J M (x) Hơn nữa hàm J M (x(n)) được đề cập trong [6] và nó cũng chính là hàm

J M (x(n)) được đưa ra trong [10] Hàm J M (x(n)) này được xây dựng thông

qua độ dài phân số suy rộng

Mục đích chính của chương này là trình bày các tính chất của hàm

J M (x(n)), sự tồn tại bất biến pf (M ) và các tính chất của nó.

2.1 Hàm JM(x(n))

Cho x = (x1, , x n ) là một dãy các phần tử trong m Giả sử y = (y1, , y n ) là một dãy n phần tử khác trong m sao cho (y)R ⊆ (x)R Khi đó tồn tại những phần tử b ij ∈ R; 1 ≤ i, j ≤ n sao cho

Đặt B = (b ij ) và δ = det B Dựa vào qui tắc Crame ta dễ dàng suy ra rằng

δ(x)R ⊆ (y)R Do đó ta nhận được một ánh xạ cũng kí hiệu là δ

Theo [30, 5.1.15], ta có δQ M (x) ⊆ Q M (y) Điều này cho phép suy ra tương

ứng

δ : M/Q M (x) → M/Q M (y), xác định bởi δ(u + Q M (x)) = δu + Q M (y) với bất kì u ∈ M Hơn nữa theo [30, 5.1.15], đồng cấu δ không phụ thuộc vào cách chọn ma trận B Ánh xạ δ được gọi là ánh xạ định thức (xem [6]).

Bổ đề 2.1.1 ( [6]) Lấy x = (x1, , x d ) và y = (y1, , y d ) là hai hệ tham

số của M sao cho (y)R ⊆ (x)R Khi đó ánh xạ định thức

δ : M/Q M (x) → M/Q M (y)

là đơn cấu.

Chứng minh Vì δ(Ann(M )) = 0, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử

rằng AnnM = 0 Khi đó iđêan (y)R là m-nguyên sơ Vì vậy tồn tại một số nguyên dương k thỏa mãn

và theo [30, 5.1.14], δ2là ánh xạ được xác định bởi phép nhân với x k−11 x k−1 d

Do đó δ2 là đơn cấu Vì vậy δ là đơn cấu Bổ đề được chứng minh.

Hệ quả 2.1.2 ( [6]) Cho x = (x1, , x d ) và x = (y1, , y d ) là hai hệ tham

số của M sao cho (y)R ⊆ (x)R Khi đó

`(M/Q M (x)) ≤ `(M/Q M (y)).

Chú ý 2.1.1 ( [6]) Cho x = (x1, , x d ) là một hệ tham số của M.

(1) `(M/Q M (x)) ≤ e(x; M ).

(2) Các mệnh đề sau tương đương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay;

(ii) Tồn tại hệ tham số x của M sao cho Q M (x) = (x)M.

(3) Cho n = (n1, , n d ), m = (m1, , m d) là các bộ số nguyên dương sao

cho n i ≤ m i với mọi i = 1, , d và x = (x1, , x d) là một hệ tham số của

R-môđun M có chiều dim M = d Khi đó ta có Q M (x(m)) ⊆ Q M (x(n)) (4) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Đặt R0 = R/Ann(M ) Khi đó M có thể xem như là một R0-môđun với Ann(R0) = 0 Cho x = (x1, , x d ) là một hệ tham số của M và kí hiệu x0i là ảnh của x i trong

R0 thì x0 = (x01, , x0d ) là một hệ tham số của R0-môđun M Hơn nữa

e R (x; M ) = e R0(x; M ) và ` R (M ) = ` R0(M ).

Giả sử x = (x1, , x d ) là một hệ tham số của M và n = (n1, , n d) là

bộ d số nguyên dương Khi đó x(n) = (x n1

(i) Kí hiệu M = M/N, trong đó N hoặc là môđun con Artin, hoặc N = (0 : M

x1) Khi đó x là một hệ tham số của M và

`(M/Q M (x(n))) = `(M /Q M (x(n))).

(ii) Cho M là bao đầy đủ theo lọc m-ađic của M Khi đó x là một hệ thamc

do đó ta có thể chọn t0 ≥ k, suy ra N ⊆ Q M (x(n)) Từ tính chất của hệ tham

số, dễ thấy rằng x là hệ tham số của M Cuối cùng ta có thể kiểm chứng dễ

0, ta dễ dàng chứng minh được h là một đẳng cấu các R0-môđun Vậy

` R (M/Q M (x)) = ` R0(M/Q M (x)) = ` R0(M/Q M (x0)) Bổ đề được chứng minh.

Mệnh đề 2.1.4 ([6]) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều dim M =

d và x = (x1, , x d ) là một hệ tham số của M Khi đó các mệnh đề sau đúng.

là một toàn cấu Dễ dàng kiểm tra rằng tương ứng

g : M/Q M (x) → KerΦ, được xác định bởi g(u + Q M (x)) = x α1u + Q M (x(α + 1)), u ∈ M, là một ánh

Bổ đề 2.1.5 ([2]) Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh khác 0 và p ∈

Ass(M ) Giả sử dim R/p = j Khi đóHpj 6= 0 và p ∈ Att R (Hmj (M )).

Cho x = (x1, , x d ) là một hệ tham số của M Đặt M = M/x1M