Vành các hàm số học và một vài ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN THU GIANG VÀNH CÁC HÀM SỐ HỌC VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2015... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN THU GIANG VÀNH CÁC HÀM SỐ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THU GIANG

VÀNH CÁC HÀM SỐ HỌC

VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, NĂM 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THU GIANG

VÀNH CÁC HÀM SỐ HỌC

VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN, NĂM 2015

Mục lục

Mục lục i

Mở đầu 1 1 Các kiến thức chuẩn bị 2 1.1 Định nghĩa nhóm, nhóm xyclic, nhóm con 2

1.2 Định nghĩa vành, idean, miền nguyên 3

1.3 Ước chung lớn nhất 5

2 Vành các hàm số học 8 2.1 Vành các hàm số học 8

2.2 Các tính chất của vành các hàm số học 10

3 Một vài hàm số học cơ bản 16 3.1 Giá trị trung bình của hàm số học 16

3.2 Hàm số M¨obius 26

3.3 Hàm nhân tính 30

3.4 Giá trị trung bình của phi - hàm Euler 33

3.5 Một số bài toán áp dụng 36

Mục đích của luận văn là hệ thống các tính chất của vành các hàm

số học, đạo hàm của hàm số học Tiếp theo, trình bày một số kết quả,tính chất của một vài hàm số học đặc biệt và các dạng bài toán ứngdụng liên quan

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành bachương đề cập đến các vấn đề sau đây:

Chương 1 trình bày về các kiến thức chuẩn bị liên quan đến kháiniệm nhóm, vành, các vấn đề về ước số và ước chung lớn nhất

Chương 2 trình bày các tính chất và các dạng toán về vành số học.Chương 3 trình bày một số lớp hàm số học như hàm M¨obius (thuận

và đảo), hàm nhân tính, phi - hàm Euler và các ứng dụng liên quantrong số học

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Phó Giáo sư, Tiến sĩNông Quốc Chinh, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu

và truyền đạt những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Tin,phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, TrườngTHPT Hòn Gai và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôihoàn thành bản luận văn này

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Định nghĩa nhóm, nhóm xyclic, nhóm con

Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa nhóm) Một tập hợp G được gọi là mộtnhóm nếu tồn tại một ánh xạ từ tích Descartes G × G vào G (ảnh củaphần tử (a, b) ∈ G × G, với a, b là những phần tử tùy ý của G, qua ánh

xạ này ta kí hiệu là ab) thỏa mãn các tính chất sau đây

(G1) Kết hợp: a(bc) = (ab)c, ∀a, b, c ∈ G

(G2) Có đơn vị : Tồn tại một phần tử a ∈ G sao cho ae = ea = a, ∀a ∈G

(G3) Có nghịch đảo: Với mỗi phần tử a ∈ G luôn tồn tại một phần tử

b ∈ G sao cho ab = ba = e Phần tử ab được gọi là tích của a và

b và ánh xạ xác định tích ở trên được gọi là phép toán trên nhómnhân G Phần tử e trong(G2) được gọi là phần tử đơn vị của G,phần tử b trong (G3) được gọi là phần tử nghịch đảo của a trong

Định nghĩa 1.2 Một nhóm G được gọi là nhóm xyclic nếu mọi phần

tử của nó đều là lũy thừa của một phần tử a ∈ G Khi đó ta gọi a làphần tử sinh của nhóm xyclic G và kí hiệu là G = hai

Theo định nghĩa, một nhóm xyclic G với phần tử sinh là a có thểviết dưới dạng G = {an| n ∈ Z}

Định nghĩa 1.3 Một tập hợp con H của của một nhóm G được gọi làmột nhóm con của G nếu các điều kiện sau đây được thõa mãn:

(i) Phép toán nhân là đóng đối với H, tức xy ∈ H ∀ x, y ∈ H;(ii) H chứa phần tử đơn vị e của G;

(iii) x−1 ∈ H, ∀x ∈ H

Nói cách khác, H 6= ∅ và là một nhóm con với phép toán nhân chính

là phép toán của G Để chỉ H là nhóm con của G kí hiệu H ≤ G.Định lý 1.1 Một tập hợp con H là một nhóm con của một nhóm G khi

và chỉ khi H 6= ∅ và xy−1 ∈ H, ∀x, y ∈ H

1.2 Định nghĩa vành, idean, miền nguyên

Định nghĩa 1.4 (Định nghĩa vành): Một tập hợp R được gọi là mộtvành nếu trên R có hai phép toán hai ngôi, một gọi là phép cộng và mộtgọi là phép nhân, sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

(R1) Tập hợp R là một nhóm Abel đối với phép cộng.(R1) Tập hợp R

là một nhóm Abel đối với phép cộng

(R2) Phép nhân trên R là kết hợp và có đơn vị

(R3) Luật phân phối: Phép nhân là phân phối đối với phép cộng, nghĩa

là với các phần tử x, y, z ∈ R tùy ý, ta luôn có

(x + y)z = xz + yz và z(x + y) = zx + zy

Như thông thường ta kí hiệu phần tử đơn vị đối với phép nhân của

R và eR và phần tử không của nhóm Abel cộng của R và 0R Trường

hợp vành R đã xác định cụ thể trước thì ta kí hiệu đơn giản 1 cho phần

tử đơn vị và 0 cho phần tử không của R

Một vành R được gọi là vành giao hoán, nếu phép nhân của R thỏamãn thêm điều kiện

xy = yx, ∀x, y ∈R.Định nghĩa 1.5 Một vành giao hoán không có ước của không được gọi

là một miền nguyên

Định nghĩa 1.6 Một vành R được gọi là một trường, nếu R là mộtvành giao hoán và mọi phần tử khác không của R đều có nghịch đảo,nghĩa là tập hợp R∗ = R\{0} lập thành một nhóm đối với phép nhâncủa R

Định nghĩa 1.7 (i) Một tập hợp con A của một vành R được gọi làmột vành con của R, nếu A lập thành một nhóm con Abel với phépcộng của R và đóng đối với phép nhân, tức ab ∈ A Trường hợp R làmột trường thì một vành con của R được gọi là một trường con nếu nó

là một trường với phép toán trên R

(ii) Một tập hợp con a của một vành R được gọi là một idean trái(hoặc idean phải) của R, nếu a là một vành con của R và thỏa mãn tínhchất

Ra ⊆ a (hoặc aR ⊆ a)

Nếu a vừa là idean phải vừa là idean trái của R thì được gọi là mộtidean của R

Định nghĩa 1.8 Cho R là một vành giao hoán, phần tử x ∈ R

• x được gọi là một ước của y nếu tồn tại z ∈ R sao cho xz = y Khi

đó, ta kí hiệu x|y

• x được gọi là một ước của 0 nếu x khác 0 và tồn tại phần tử y khác

0 thuộc R sao cho xy = 0

• x được gọi là phần tử khả nghịch nếu tồn tại y thuộc R sao cho

xy = 1

Ví dụ 1.1 Trong 6Z, các ước của 0 là ¯2, ¯3, ¯4 Các phần tử khả nghịch

là ¯1, ¯5

Trong mZ, các ước của 0 là ¯a sao cho a không chia hết m và (a, m) >

1 Các phần tử khả nghịch là ¯a sao cho (a, m) = 1

1.3 Ước chung lớn nhất

Định nghĩa 1.9 Cho A ⊂ Z; A 6= {0}; nếu với mọi a ∈ A ta đều có achia hết cho d thì ta nói d là ước chung của tập A Số nguyên d đượcgọi là ước chung lớn nhất của A nếu c|d với mọi ước chung c của A, kíhiệu là d = gcd(A)

Định lý 1.2 Cho H là một nhóm con của nhóm các số nguyên với phépcộng Tồn tại duy nhất một số nguyên không âm d sao cho H là tập gồmtất cả các bội của d, đó là H = {0, ±d, ±2d, } = dZ

Chứng minh Ta có 0 ∈ H với mọi nhóm con H Nếu H = {0} thì

ta chọn d = 0 và H = 0 Hơn nữa, d = 0 là phần tử sinh duy nhất củanhóm con này

Nếu H 6= {0} thì tồn tại a ∈ H, a 6= 0 Vì −a cũng thuộc H nênkéo theo H chứa số nguyên dương Do tập hợp số nguyên dương là tậpsắp thứ tự tốt nên H chứa số nguyên dương nhỏ nhất d

0 ≤ r < d − 1 Vì dq thuộc H và H là nhóm nên suy ra r = a − dq thuộc

H Vì 0 ≤ r < d và d là số nguyên dương nhỏ nhất trong H, ta phải có

r = 0 tức là a = dq ∈ dZ và H ⊆ dZ Dẫn đến H = dZ

Nếu H = dZ = d0Z, với d, d0 là các số nguyên dương thì d0 ∈ dZ suy

ra d0 = dq Q là số nguyên và d ∈ d0Z suy ra d = s0q0, q0 là số nguyên Do

đó, d = d0q0 = dqq0 tức là qq0 = 1 nên q = q0 = ±1 và d = ±d0 Vì d và

d0 là các số nguyên dương nên d = d0 Và d là số nguyên duy nhất sinh

Ví dụ 1.2 Nếu H là nhóm con chứa tất cả các số nguyên có dạng35x + 91y thì 7 = 35(−5) + 91.2 ∈ H và H = 7Z.

Định lý 1.3 Giả sử A ⊂ Z; A 6= {0}, khi đó A có ước chung lớn nhấtduy nhất và tồn tại các số nguyên a1, , ak ∈ A và x1, , xk ∈ Z saocho

gcd(A) = a1, x1 + akxk.Chứng minh Kí hiệu H là tập con của Z chứa tất cả các số nguyên

tố có dạng

a1, x1 + akxk với a1, at ∈ A và x1, , xt ∈ Z, với t ∈ N.Khi đó H là nhóm con của Z và A ⊆ H Theo định lí 1.2, tồn tại duynhất số nguyên dương d sao cho H = dZ, tức là H chứa tất cả các bộicủa d và do đó mọi số nguyên a ∈ A đều là bội của d, suy ra d là ướcchung của A Vì d ∈ H nên tồn tại các số nguyên a1, , ak ∈ A và

x1, , xt ∈ Z sao cho

d = a1x1 + + akxk.Giả sử c là một ước chung bất kì của A, ta có c là ước của a1, , ak nên

c là ước của d Vậy mọi ước chung của A đều là ước của d nên d là ướcchung lớn nhất của A

Nếu các số nguyên dương d và d0 cùng là ước chung lớn nhất thìd|d0 và d0|d nên d = d0 Tức là ước chung gcd(A) là duy nhất 

Kí hiệu: Nếu A = {a1, , ak} là tập hữa hạn số nguyên không đồngthời bằng không, ta viết gcd(A) = (a1, , ak) Ví dụ (35, 91) = 7 =35.(−5) + 91.2

Định lý 1.4 Cho a1, , ak là các số nguyên không đồng thời bằng 0.Thì (a1, , ak) = 1 khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên x1, , xk saocho

a1x1 + + akxk = 1

Chứng minh Điều này dễ dàng thu được từ định lý 1.3 

Định nghĩa 1.10 Ta nói các số a1, , ak là nguyên tố cùng nhau nếuước chung lớn nhất của chúng là 1 Các số nguyên a1, , ak là đôi mộtnguyên tố cùng nhau nếu (ai, aj) = 1, i 6= j.

Ví dụ 1.3 Ba số nguyên 6,10,15 là nguyên tố cùng nhau nhưng không

là đôi một nguyên tố cùng nhau vì (6, 10, 15) = 1 nhưng (6, 10) = 2;(6, 15) = 3; (10, 15) = 5

Chương 2

Vành các hàm số học

2.1 Vành các hàm số học

Định nghĩa 2.1 Hàm số học là hàm số có miền xác định là tập các sốnguyên dương và miền giá trị là tập các số phức

Định nghĩa 2.2 Cho hai hàm số học f và g

a) Ta định nghĩa tổng của f và g là hàm số học được xác định nhưsau

(f + g)(n) = f (n) + g(n), ∀n ∈ N∗.b) Ta định nghĩa tích của f và g là hàm số học được xác định nhưsau

Định lý 2.1 Tập hợp tất cả các hàm số học với phép toán cộng và tíchchập Dirichle là một vành giao hoán có đơn vị với phần tử không là hàmO(n), và phần tử đơn vị là δ(n).

Chứng minh Ta dễ dàng kiểm tra được tập hợp tất cả các giá trịphức của hàm số học là một nhóm Abel với phép cộng là hàm O(n) Tachỉ cần chứng minh tích chập Dirichle có tính chất giao hoán, kết hợp

và nhân phân phối đối với phép cộng

Thật vậy, ta có các hàm số học f, g và h bằng cách tính toán trựctiếp ta có

đối với mọi hàm số học f , và vì vậy tập hợp tất cả các giá trị của hàm

số học là vành giao hoán với phép nhân δ(n) 

2.2 Các tính chất của vành các hàm số học

Định nghĩa 2.3 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị Ánh xạ

D : R → R thỏa mãn: với mọi x, y thuộc vào R có

b) Nếu phần tử x thuộc R có phần tử nghịch đảo (đối với phép nhân)thì ta có

D(x−1) = −D(x)

x2 Thực vậy, từ

0 = D(1) = D(x.x−1) = D(x).1

x + xD(x

−1

)suy ra

D(x−1) = −D(x)

x2 c) Ta cũng có thể chứng minh được

D(x1.x2 xn) = Xx1x2 xi−1D(xi)xi+1 xn..Định lý 2.2 Giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị và R[t] là vành

đa thức một ẩn với hệ số trong R Khi đó ánh xạ D : R[t] → R[t] xácđịnh bởi D

Định lý 2.3 Cho R là một miền nguyên cùng với trường các thương

F , và D là đạo hàm trên vành R Khi đó tồn tại duy nhất đạo hàm DF

trên F sao cho DF(x) = D(x) với mọi x thuộc R

Chứng minh Giả sử tồn tại một phép lấy đạo hàm DF trên F saocho

DF(a) = D(a), ∀a ∈ R

Gọi x ∈ F và x 6= 0 Tồn tại a, b ∈ R với b 6= 0 và x = a

b Vì a = bx ∈ Rnên

D(a) = DF(a) = DF(bx) = D(b)x + bDF(x) = D(b)x + bDF(x)

L(x.y) = L(x) + L(y),L



xy



= L(x) − L(y)

Định lý 2.4 Kí hiệu A là vành tất cả các hàm số học và L là hàm sốhọc dược xác định bởi L(n) = log(n); ∀n ≥ 1 Khi đó ánh xạ:

L(n)(f ∗ g)(n) = L(n)X

d|n

f (d)g (n/d)

Chứng minh Ta có (f ∗ g)(n) = 0, với mọi n ≥ 1 từ (f ∗ g)(1) =

f (1)g(1) = 0 ⇒



f (1) = 0g(1) = 0 .Giả sử g(1) 6= 0 ⇒ f (1) = 0 Ta sẽ chứng minh f (n) = 0∀ngeq1

Với mọi số nguyên tố p ta có:

0 = (f ∗ g)(p) = f (1).g(p) + f (p).g(1)suy ra f (p) = 0 với mọi số nguyên tố p

Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được f (pk) = 0 với p là sốnguyên tố

Nếu n = p1.p2 suy ra

(f ∗ g)(n) = f (1).g(n) + f (p1).g(p2) + f (p2).g(p1) + f (n).g(1) = 0

Từ đó suy ra với mọi n : f (n) = 0 hay f = 0

Vậy vành A các hàm số học là một miền nguyên 

Định lý 2.6 Hàm số học f là khả nghịch trong A khi và chỉ khi f (1) 6=0

Chứng minh Giả sử f khả nghịch trong vành các hàm số học A Khi

đó tồn tại g ∈ A sao cho (f ∗ g) = δ hay

(f ∗ g)(n) = δ(n) =



1 với n = 1

0 với 2 ≤ n ∈ N

Vậy nên

(f ∗ g)(1) = f (1)g(1) = δ(1) = 1

Suy ra f (1) 6= 0 Ngược lại, giả sử f (1) 6= 0 Ta xác định hàm số học

g ∈ A bằng quy nạp như sau:

(f ∗ g)(1) = f (1)g(1) = δ(1) = 1 nên g(1) = 1

f (1).(f ∗ g)(2) = f (1)g(2) + f (2)g(1) = δ(2) = 0 nên g(2) = − f (2)

f2(1).Tương tự

g(3) = − f (3)

f2(1).(f ∗ g)(4) = f (1)g(4) + f (2)g(2) + f (4)g(1) = δ(4) = 0



= 0

Từ đó suy ra tính được giá trị g(k + 1)

Bằng cách tính như vậy ta có với mọi n > 1 :

(f ∗ g)(n) = 0(f ∗ g)(1) = 1 ⇒ f ∗ g = δ

Với mọi f, g ∈ IN ta có ∀n 6= N : (f − g)(n) = f (n) − g(n) = 0 suy

ra f − g thuộc IN Hay IN là nhóm con của nhóm cộng các hàm số họcA

Với mọi f thuộc IN, với mọi g thuộc A ta có

Chương 3

Một vài hàm số học cơ bản

3.1 Giá trị trung bình của hàm số học

Định nghĩa 3.1 Giá trị trung bình F (x) của một hàm số học f (n)được xác định bởi công thức

F (x) = X

n≤x

f (x), ∀x ∈ R

với tổng tất cả các số nguyên dương n ≤ x Đặc biệt, F (x) = 0 với

x < 1 Hàm số F (x) được gọi là hàm tổng của f

Định nghĩa 3.2

a Phần nguyên của số thực x được biểu thị bởi [x] là một số nguyênlớn nhất không vượt quá x và có duy nhất số nguyên n thỏa mãn

n ≤ x ≤ n + 1 Phần thập phân của x là số thực {x} = x − [x] ∈[0, 1)

b Hàm g(t) là hàm đơn thức trên tập I nếu tồn tại một số t0 ∈ I saocho g(t) là hàm tăng với t ≤ t0 và giảm với t ≥ t0

Ví dụ 3.2 Hàm f (t) = log

kt

t là đơn thức trên nửa khoảng [1, ∞) với

t0 = ek Trong giải tích thực đã được chứng minh được mỗi hàm là đơnđiệu hoặc đơn thức trên đoạn [a, b] là khả tích

b Cho f (t) là hàm số đơn điệu không âm trên đoạn [y, x] Cho a =[y] + 1 và b = [x] Ta có y < a ≤ b ≤ x Nếu f (t) tăng, khi đó

log n = x log x − x + O(log x).

Chứng minh Hàm số f (t) = log t là hàm tăng trên đoạn [1, x] Theođịnh lý (3.1) ta có

Định lý 3.4 Cho k là số nguyên không âm Cho x ≥ 1 ta luôn có

từ đó suy ra hằng số chỉ phụ thuộc vào k

Chứng minh Ta chứng minh theo hướng mở rộng khai triển logk(x/n)theo khai triển nhị thức Newton và áp dụng định lý 3.3 Ta có

k + 1 ta suy ra điều phải chứng minh. 

Định lý 3.5 Cho k là số nguyên dương Khi đó

Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo k

Với k = 1 và r = 0, theo định lý 3.3 ta được

X

n ≤x

1

n1 = log x + O(1).

Giả sử rằng kết quả đúng với số nguyên dương thứ k Ta phải chứngminh nó đúng với số nguyên dương thứ k + 1 Thật vậy

a Với a và b là các số nguyên không âm và a < b, ta có:

b Giả sử x và y là các số thực không âm với [y] < [x] và g(t) là hàm

số có đạo hàm liên tục trên đoạn [y, x], ta có:

Từ F (t) = F (n) đối với n ≤ t < n + 1 ta được

Cho r = 1 trong định lý (3.3) ta thu được X

n≤x

1

n = log x + O(1) Sửdụng tổng riêng ta có thể thu được nhiều kết quả khác nhau

Nhận xét 3.1 Số γ = 0, 5777 được gọi là hằng số Euler

Chứng minh Từ 0 ≤ {t} < 1, với mọi t ta có

Định lý 3.8 Cho A = {ai}∞i=1 là tập hợp vô hạn các số nguyên dươngvới a1 < a2 < Nếu

log2n = x log2x − 2x log x + 2x + O(log2x)

Chứng minh Ta sử dụng tổng riêng với f (n) = 1 và g(t) = log2t và

0 nếu n chia hết cho bình phương của một số nguyên tố

• Một số nguyên được gọi là số không chính phương nếu nó không

chia hết cho bình phương của một số nguyên tố Như vậy µ(n) 6= 0

nếu và chỉ nếu n là số không chính phương

Định nghĩa 3.4 Một hàm số học f được gọi là hàm nhân tính nếu vớimọi cặp số m, n nguyên tố cùng nhau, ta có f (n.m) = f (n).f (m) Trongtừng trường hợp đẳng thức đúng với mọi m, n (không nhất thiết nguyên

tố cùng nhau) hàm f gọi là hàm nhân tính mạnh

Ví dụ 3.3 Ta có

µ(1) = 1, µ(6) = 1, µ(2) = −1, µ(7) = −1, µ(3) = −1µ(8) = 0, µ(4) = 0, µ(9) = 0, µ(5) = −1, µ(10) = 1Định lý 3.11 Hàm số M¨obius µ(n) là hàm nhân tính, và