Chia biểu thức chứa căn bằng số phức (v1)

Đây là một ý tưởng hay về phương pháp chia biểu thức chứa căn để phân tích PT vô tỉ thành nhân tử của Đỗ Hoàng Việt (một thành viên của VNC Team). Phương pháp này khi kết hợp với những phương pháp khác trước đó sẽ có thể giải quyết gần như tất cả phép chia các biểu thức chứa căn. Mời các bạn đón đọc và ủng hộ cho VNC Team

VNCASIOer Team

CHIA BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẰNG SỐ PHỨC

Tác giả: Đỗ Hoàng Việt (facebook.com/viet.kynl.771)

Chia biểu thức chứa căn vốn là một phương pháp rất hay để ép tích PT vô tỉ trong đề thi ĐH, do đó nó là đề tài nghiên cứu của rất nhiều CASIOer Và ý tưởng sử dụng số phức của Đỗ Hoàng Việt là một ý tưởng vừa lạ vừa hay để góp phần giải quyết vấn

đề này, trong phạm vi của những phép chia chứa căn mà kết quả có dạng

1 1 2 2 n n

u v f v f  v f (u, v1, , vn, f1, , fn là các đa thức biến x) Nghĩa là nếu kết quả không chứa tích các căn thì phương pháp này ngon ăn!

Nguyên lí chung của việc chia biểu thức chứa nhiều căn là tìm lần lượt hệ số của từng căn một (là đa thức nhân với căn), và ta có thể căn cứ vào giá trị của căn ứng với giá trị X gán vào hoặc không, để từ đó phân tích ra hệ số đi kèm căn Khi sử dụng phương pháp số phức, ta sẽ không phải quan tâm đến giá trị của căn bằng bao

nhiêu, vì ta sẽ thay căn đang cần tìm hệ số bằng i (đơn vị ảo) và thao tác mọi thứ trong MODE số phức CMPLX ( MODE 2 )

I CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP

1 Xuất phát điểm

Xét phép nhân n biểu thức chứa căn với nhau: u1v1 f u2v2 f  u nv n f 

Ta nhận thấy nếu thay f i thì kết quả sẽ có dạng a bi trong đó b chính là hệ số của f trong kết quả (ứng với 1 giá trị x xác định nào đó mà ta gán) Sở dĩ có thể

chắc chắn như vậy bởi vì số ảo i có 1 tính chất rất giống với tính chất của căn, đó là 2

1

i   và  2

f  f Do đó, dù tất cả các 2 4

;

i i ; trong kết quả tính được đều bị

mất, thì vẫn không ảnh hưởng đến hệ số của f vì các biểu thức    2 4

,

f f , cũng đều mất căn

Từ phép nhân này, ta nghĩ ngay đến phép chia, liệu có thể thay căn bằng i và thực hiện phép chia 2 số phức 1 cách tương tự?

Xét phép chia 1 2 1 2 1 2 2 1

2 2

1 1

 , giả sử thay f i, ta được:

1 2 1 2 1 2 2 1

2 2

1 1

 , do đó chỉ cần lấy hệ số của i trong kết quả là có thể suy ra được v2, phải vậy không?

Rất tiếc lại không phải như vậy Các bạn hãy thực hiện các thao tác chia 2 số phức như kiến thức cũ đã học để thấy kết quả thực sự ra sao:

1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1

1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1

u u v v f u v u v i u u v v f u v u v i u v i

u u u v u v v f v u v f i u u u v u v v f v u v f

i

Nghĩa là hệ số của i phải là  2 2 

2 1 1

2 2

1 1

v u v f

u v



 chứ không phải v2 Do đó, muốn nó là v2, ta phải làm sao cho

2 2

1 1

2 2

1 1

1

u v f

u v

 Muốn vậy, thay vì nhân u1v i1 cả vào tử và mẫu phép chia, ta sẽ chỉ nhân u1v i1 vào tử và nhân u1v1 f vào mẫu, đi kèm với việc

đó là giữ nguyên f dưới mẫu, tức là:

 

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1

1 2 1 2 1 2 2 1 1 1

2 2

1 1

1 2 1 1 2 2 1

2

2 2

1 1

( 1)

( 1)

u u u v v f u v v u v f i

u u v v f u v u v i u v i

u v f

u u u v v f u v

v i

u v f





Vậy nếu gán X1000 rồi tính 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1

  , ta sẽ thu được

kết quả có dạng a bi trong đó b v 2(1000), từ đó dễ dàng suy ra v2

Đó là sự khác biệt giữa phép nhân và phép chia thông qua số phức

2 Mở rộng

Phép chia tổng quát 2 1 1

1 1 1

f

suy ra từ phép chia 1 căn phía trên Bằng cách đặt 1 1 1 1 1

 

 







ta sẽ viết được nó về dạng giống như đã làm: n n n

n n n

f

 Lúc này để

tìm w n ta chỉ việc tính n n



  (nhớ là f trong f cũng thay bằng i) n

tại X1000 (hoặc 100) rồi bóc lấy hệ số của i là xong

Nói chung, để tìm hệ số của f ( k k1,n), ta sẽ cho X1000 (100) rồi tính

1 1 1

v

f

số của i để suy ra hệ số căn

1 1 1

f

Một cách tương tự, phép nhân các biểu thức chứa căn với nhau cũng có thể mở rộng từ 1 căn thành nhiều căn

3 Kết hợp các phương pháp khác

Sự đòi hỏi phải kết hợp phương pháp số phức này với các phương pháp đã phổ biến như gán giá trị X sao cho căn cần tìm hệ số có giá trị vô tỉ (phân tách căn), hay áp

dụng công thức

2

A B f

 của Bùi Thế Việt, đều xuất phát từ việc mở rộng phạm vi áp dụng

Chưa một kỹ thuật đơn lẻ nào trong số đó có thể giải quyết hết được tất cả các phép chia biểu thức chứa căn Chúng ta hãy lấy ra trường hợp mà phương pháp số phức này sẽ bế tắc nếu chiến đấu một mình

Đó là khi kết quả phép chia có chứa tích các căn, chẳng hạn kết quả có dạng

u v f v g v fg, tức là uv1v3 g f v2 g Lúc này, thay f i ta

sẽ được kết quả a bi trong đó b v 1 v3 g nên nó là số vô tỉ, do đó không thể nào truy được hệ số của f Tương tự, cũng không thể tìm được hệ số của g

Để giải quyết trục trặc này, ta phải kết hợp nó với 2 phương pháp phổ biến đã biết Phương pháp thứ nhất gọi là gán giá trị tách căn, tức là chọn các giá trị X nhỏ thay vào sao cho g là số vô tỉ, khi đó, nếu máy hiển thị được kết quả am n t i  thì

b m n t  , và từ việc b v 1 v3 g ta có thể tìm được v1 và v3

Phương pháp thứ hai là áp dụng công thức của Bùi Thế Việt Thay X1000 (hoặc

1 1

100; ;

100 1000), tính ra kết quả a1b i1 như bình thường (lúc này cả a1, b1 vô tỉ), sau

đó lưu b1 A Tiếp theo ta quay lại đổi dấu trước g cả trên tử lẫn dưới mẫu của phép chia (mọi thứ khác vẫn giữ nguyên như cũ), bấm  được kết quả a2 b i2 Ta

lưu b2 B, từ đó suy ra: 1

2

A B

2

A B v

g





Qua các VD sau đây, các bạn sẽ thấy được rõ hiệu quả của phương pháp số phức khi

đứng lẻ và khi kết hợp với 2 phương pháp nói trên

II VÍ DỤ MINH HỌA

x   x  x x x 

Phép nhân biểu thức chứa căn bằng số phức rất đơn giản, thay x2  1 i rồi vào MODE số phức bằng 2 phím MODE 2 , nhập:  2  2 

1 2 3 2

Gán X1000 ta được kết quả: 2999996998 9,99999006.10 i 11 Hệ số của i sẽ ứng với hệ số của x21 nhưng hệ số còn lại thì các bạn đừng hiểu nhầm nó ứng với phần còn lại trong kết quả, bởi vì nó chứa  2

i    x  x 

Sử dụng phương pháp xấp xỉ, ta có: 9,99999006.1011 1012 X4 Sửa lại biểu thức:

(2X i ) 2X i X  2 3Xi X i, bấm  hệ số của i giảm xuống chỉ còn

6 2

993996 10 X

     Lại sửa thành:  2  2  4 2

(2X i ) 2X i X  2 3Xi X i X i , bấm

 hệ số i là 6004 6 X4 Cuối cùng thay nhiều giá trị X nhỏ và xấu vào biểu thức

(2X i ) 2X i X  2 3Xi X i X i 6Xi4i để thử lại kết quả, ta đều thấy kết

quả không chứa i (hay hệ số của i bằng 0) Vậy hệ số của căn là: 4 2

6 4

Sửa lại biểu thức:

X2 1 2 X21 3 X 2 X2 X2  1 X4X26X4 X21

Cho lại X1000 ta được: 2,003003997.1012 2.1012 2X4 Quay lại viết thêm 4

2X



vào đuôi biểu thức, bấm  thu được: 3003996998 3 X34X23X2

Vậy kết quả nhân là: 3 2  4 2  2

3x 4x 3x 2 x  x 6x4 x 1

Đúng với ý nghĩa là 1 VD minh họa, bài toán này chỉ nhằm cho thấy trực quan việc sử dụng máy tính như thế nào, chứ trên thực tế nhân tay còn nhanh hơn Máy tính sẽ tốt hơn với những bài nhiều nhân tử hoặc nhân tử chứa nhiều căn như bài sau đây

VD2

2

x x

Đặt 3x x 2 i, ta nhập biểu thức:  

2 3 4 1 2 (1 )

Cho X1000 ấn  ta được: 1000999 1000999i Hệ số của i chính là hệ số của căn trong kết quả chia: 1000999X2 X 1

Các bạn đừng nhầm tưởng hệ số còn lại (cũng là 1000999) ứng với phần còn lại không chứa căn nhé (vì theo cơ sở đã chứng minh thì không phải thế!) Để tìm phần còn lại, ta lấy biểu thức đề bài trừ đi phần chứa căn đã tìm được:

2

2 3 4 1 2 3

1 3

1 3

X X

Bấm  ta được: 1001001X2 X 1

Vậy kết quả chia là: x2   x 1 x2 x 1 3x x 2

VD3

2

Chỉ có 2 căn, ta sẽ tìm hệ số của 2 x trước Vào MODE CMPLX thay 2 x trên

Hết sức chú ý điều kiện   2 x 2, do đó ta bấm CALC cho 1

100

X  được kết quả:

10,19353377 i , hệ số của i chính là hệ số của 2 x , tức là 1

Tìm hệ số của 2 x , ta sửa biểu thức trên thành:

Bấm  thu được 1,251575133 2i  hệ số của 2 x là 2

Phần còn lại bằng:

2

 ta được 3

Vậy kết quả chia là: 3 2 x 2 2x

2

Biểu thức hơi dài, không thể nhập ngay n n



  như công thức được

vì tràn màn hình, do đó ta sẽ nhân riêng

Ta sẽ tìm hệ số của x trước, do đó thay x trên tử bằng i, nhập biểu thức:

2

Cho X1000, kết quả bao nhiêu kệ vì ta đang tính tiếp:

2 2

Ans

  



Kết quả là: 2000093,9 1000i Hệ số của i nguyên (1000 X ) nên chắc chắn kết quả

không chứa tích của 2 căn Vậy hệ số của x là x

Để tìm hệ số của x1, ta lại thay x1 trên tử bằng i, còn lại phải giữ nguyên

như đề, tức là: 3 2  2   3   3 

2

Bấm  rồi nhân tiếp:

2 2

2

2029,591176 3

là 3 và đó cũng là hệ số của x1

Để tìm phần còn lại, ta tính biểu thức gốc sau đó trừ đi những gì đã tìm được:

2

1000

2

2031716,692

3 1 1999999 2 1

X





Vậy kết quả chia là: 2x2 1 x x 3 x1

VD5

2

Chú ý điều kiện 0 x 3, ta sẽ tìm hệ số của 3 x trước, bằng cách nhập:

Cho 1

100

X ta được kết quả: 1,329775229 0,555i Cẩn thận hơn, lại gán tiếp

1

1000

X , thu được: 1,440073274 0,5163113883i Hệ số của i vô tỉ chứng tỏ kết quả chia có chứa tích x(3x) Vì thế, ta phải kết hợp phương pháp khác mới có thể làm tiếp

 Cách 1 Gán giá trị tách căn

Kết quả chia có dạng u v 1 3 x v2 x v 3 x(3  x) u v1v3 x 3 x v2 x

do đó theo phương pháp gán giá trị tách căn, ta sẽ lựa X sao cho X vô tỉ

Lần lượt cho X2, X3 ta được: 1 3 1 2

  Hệ

số của I chính là hệ số v1 v3 x của 3 x trong kết quả, suy ra 3 1

2

v  Ta lại có 1

3

(2)

2

v  , v1(3) 2 , gán thêm X0 nữa ta được 3 1

2 2i

  do đó 1(0) 1

2

v  Từ 3 giá trị

này dễ dàng suy ra 1 1 1

2 2

v  x

Vậy tạm thời kết quả chia là 1 1 3 2 1 (3 )

2

Sửa biểu thức thành   

2

      , để tìm hệ số của x

Gán 1

1000

X ta được 1,237443343 0,8695808233i Hệ số của i vô tỉ đơn giản vì

nó không phải là v2 mà là 2 1 3

2

v  x , do đó ta tính tiếp: 1 3

2

Ans i X , thu được

4

1,237443343 5.10 i  , lúc này hệ số i mới đúng là v2

Vì 5.10 4 1 1

2000 2X

   nên 2 1

2

v  x Cuối cùng ta có:

2

số rất đẹp: 1

2

Vậy kết quả chia là: 1 1( 1) 3 1 1 (3 )

2 2 x  x 2x x 2 x x

 Cách 2 Áp dụng công thức của Bùi Thế Việt

Đầu tiên tìm hệ số 3 x , tính   

2

       với

1 1000

X

ta được: 1,440073274 0,5163113883i

Ta sẽ lưu hệ số của i vào A, không thể nhấn SHIFT STO như bình thường được, nhưng nếu nhập tay 0,5163113883 thì lại sai số, vậy ta sẽ lưu bằng cách sau: nhập

biểu thức ( ) 0,5163113883

2

Ans Conjg Ans

A i



  (các bạn sử dụng SHIFT 2 2 để nhập Conjg(Ans)) Chịu khó mày mò một chút về MODE số phức là các bạn sẽ hiểu ngay phép lưu này thôi

Theo Cách 1, hệ số của 3 x là v1v3 x , nên ta đổi dấu trước X , được biểu

2

       Quan sát hệ số của i và lưu nó vào như

cú pháp trên B: ( ) 0,4846886117

2

Ans Conjg Ans

B i

Theo công thức của BT.Việt, ta có 1 0,5005 1 1 1 1

A B

, và

3

1 2 2

A B

v

X



Do đó kết quả chia tạm thời là 1 1 3 2 1 (3 )

bạn có thể làm tiếp như Cách 1 (dùng tiếp công thức của BT.Việt cũng được nhưng

sẽ lâu hơn)

VD6

Bài này thì gán X lớn thoải mái, trước tiên ta nhập:

3 3 2( 2) ( 5) 2 1 2 2 1 2 1 2 1

Biểu thức này để tìm hệ số của x2, với X100 ta được 28,35489376 là hệ số của i, nhìn qua đã biết kết quả có chứa tích 2 căn, tức là có dạng:

2

1 2 2 2 1 3 2 5 2 1 3 2 1 2 2 2 1

u v x v x v x  x  u v v x x v x

 Cách 1 Gán giá trị tách căn

Để tìm v1v3 2X 1 là hệ số của x2, thay vì cho X100 ta sẽ chỉ cho X nhỏ như 0; 1; 2;… sao cho 2X1 mang giá trị vô tỉ Chẳng hạn với X1 gán vào biểu

thức phức đã nhập, ta được kết quả rất không hài lòng là 6 8 3 3,464101615

, vì giá trị cần lấy là hệ số của i lại không hiển thị ở dạng căn Tuy nhiên ta biết rằng

1

X

X



  , nên dễ dàng nhận thấy 3,464101615  2 3

Tiếp tục, với X 2, ta được kết quả khác với hệ số của i là 4,472135955 và cũng dễ

dàng nhận thấy nó là

2

2 5 2 2 1

X

X



Từ 2 kết quả trên suy ra v1v3 2X   1 2 2X1, tức là 1

3

0 2

v v





  

 , do đó kết quả cho đến hiện tại là: u v 2 2x 1 2 2x25x2, hay có thể viết thành

 2 2 2 2 1

u v  x x

Bây giờ tìm v22 x2, tức hệ số của 2x1, ta thay 2x1 thành i và nhập:

Cho X100 thu được 201,186789 20,19900988i Hệ số của i lúc này chính là

v  x nên để tìm v2 ta phải cộng kết quả này với 2i X2, nhằm triệt tiêu cái

2 x 2

  đi Và ta được kết quả mới không hề chứa i: 201,186789

Như vậy v2 0

Cuối cùng để tìm u, ta tính biểu thức này tại X100:

2

2

3 3 2( 2) 2 ( 5) 2 1 2 2 5 2

Thu được 303 3 X3

Vậy kết quả phép chia: 3x 3 2 2x25x2

 Cách 2 Áp dụng công thức của Bùi Thế Việt

Lưu hệ số của i tính được ở trên vào A: ( ) 28,35489376

2

Ans Conjg Ans

A i

(sử dụng SHIFT 2 2 để nhập Conjg(Ans)) Tiếp theo đổi dấu trước 2X1 (vì ta đang tìm biểu thức v1v3 2X1), ta được:

3 3 2( 2) ( 5) 2 1 2 2 1 2 1 2 1

Bấm  và lấy hệ số của i lưu vào B: ( ) 28,35489376

2

Ans Conjg Ans

B i



Vậy ta được: 1 0

2

A B

v   

2 2 1

A B v

X



 Tìm được đến đây rồi, phần còn lại là v2 và u các bạn thực hiện giống như Cách 1 là

nhanh nhất

6 VD trên chắc đã đủ để các bạn nắm rõ được phương pháp này, hãy thử mang nó

áp dụng ngay vào các bài toán phương trình, hệ phương trình của các bạn để thấy được sức mạnh chinh phục của nó!

Vì tài liệu được biên soạn trong thời gian ngắn nên có thể vẫn có sai sót và chưa hoàn thiện dù nhóm tác giả đã hết sức cố gắng, vì thế mong bạn đọc bỏ lỗi và góp ý

để lần tái bản sau được hoàn thiện hơn

Mọi thắc mắc về phương pháp hãy ib tác giả Đỗ Hoàng Việt:

facebook.com/viet.kynl.771

hoặc liên hệ với VNC Team: facebook.com/groups/VietNamCASIOerTeam

Xin cảm ơn!