Hướng dẫn học sinh một số phương pháp tìm nhanh đáp án trắc nghiệm các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Vìvậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhiều phương pháp giải hơn để tìm đáp án đúng của các dạng bài toán này một cách nhanh nhất có thể.. Với những lí do đó, bản thân tôi qua thực tiễ

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 32.1.1 Kiến thức cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số 32.1.2 Các bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cách

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

I MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Phương trình tiếp tuyến và các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thịhàm số là một trong những nội dung quan trọng, thường xuyên có mặt trong các

kì thi toán THPT Các dạng bài toán về tiếp tuyến rất đa dạng và phong phú, đầy

đủ cấp độ nhận thức nên đây là một thách thức, khó khăn đối với học sinh Vìvậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhiều phương pháp giải hơn để tìm đáp

án đúng của các dạng bài toán này một cách nhanh nhất có thể

Với những lí do đó, bản thân tôi qua thực tiễn giảng dạy môn toán, dự giờcác đồng nghiệp, tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu, tích lũy đã rút ra được kinh

nghiệm: “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp tìm nhanh đáp án trắc nghiệm các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu trong SKKN này là rèn năng lực giải toán tiếp tuyếnvới đồ thị hàm số cho học THPT theo định hướng thi trắc nghiệm thông quanhiều phương án giải quyết các bài toán cụ thể để lựa chọn ra đáp án đúngnhanh nhất

Góp phần nghiên cứu một cách có hệ thống, làm rõ hơn các bài tập về tiếptuyến của đồ thị hàm số

Giúp học sinh có thêm cách giải khác cho nhiều bài tập về tiếp tuyến của

đồ thị hàm số, từ đó lựa chọn cách làm phù hợp với nhận thức của mình

Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho công tác giảng dạy, ôn luyện

TN THPT

1.3 Đối tượng nghiên cứu

+ Một số dạng bài toán về tiếp tuyến thường gặp và cách giải của nó

+ Các phương pháp tìm nhanh đáp án trắc nghiệm của bài toán tiếp tuyến:

- Lời giải tự luận

- Lựa chọn đáp án trắc nghiệm bằng phép thử

- Lời giải tự luận kết hợp máy tính Bỏ túi

- Lựa chọn đáp án bằng phép đánh giá

+ Sự khác biệt cơ bản giữa bài toán tự luận và bài toán trắc nghiệm

+ Tính hiệu quả về mặt thời gian của các phương pháp được áp dụng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết:

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, lý luận dạy học môn toán

- Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài

- Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin qua các tiết giảngdạy và kết quả các bài khảo sát, kiểm tra đánh giá năng lực học sinh.

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Kiến thức cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số [1].

Đạo hàm của hàm số y f x( ) tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ0thị hàm số đó tại điểm M x f x ( ; ( )0 0

Nếu hàm số yf x( ) có đạo hàm tại điểm x thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số0tại điểm M x f x( ; ( )0 0 có phương trình là yf x x x'( )(0  0) f x( )0

2.1.2 Các bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và cách giải tự luận.

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị (C) Khi đó hãy:

 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại một điểm M x y( ; ) ( )0 0  C ?

Phương pháp giải tự luận:

 Tính f x'( )

 Tính hệ số góc của tiếp tuyến k f x'( )0

 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x y là:( ; )0 0 y f x x x '( )(0  0)y0 Phương pháp tìm đáp án kết hợp máy tính Bỏ túi [5].

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x( )tại điểm có hoành độ x x 0 là:

- Tìm B: Nhập  Ax0  f x( ) và bấm CALC với x x 0 ta được B

 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k cho trước?

Phương pháp giải tự luận 1:

 Tính f ' x( ).

 Gọi M x y( ; ) ( )0 0  C tại đó tiếp tuyến có hệ số góc k

 x là nghiệm phương trình 0 f x'( )0 k Thay vào hàm số  y0 f x( )0

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: y k x x (  0) y0.

Phương pháp giải tự luận 2:

Đường thẳng y kx b  là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x( ) khi và chỉ

khi hệ phương trình sau có nghiệm: ( )

 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua một điểm( ;A A)

A x y cho trước?

Phương pháp giải tự luận 1:

 Gọi ( )d là tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k và đi qua A Gọi

y x

x k x

) ( '

) (

) (

 Giải hệ phương trình tìm k, thay vào (1) ra phương trình tiếp tuyến

Phương pháp giải tự luận 2:

 Giả sử có tiếp tuyến ( )d đi qua A , tiếp xúc với (C) tại tiếp điểm

y f x x

 Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y y 0 f x x x'( )(0  0)

2.1.3 Một số dạng toán điển hình liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

 Viết PTTT  của  C y: f x , biết  có hệ số góc k cho trước

+ Phương trình tiếp tuyến // : d y ax b   k a

+ Phương trình tiếp tuyến d y ax b: k 1

a

+ Phương trình tiếp tuyến  tạo với trục hoành góc   k tan

+ Phương trình tiếp tuyến  tạo với :d y ax b  góc tan

 Viết PTTT  của  C y: f x , biết  cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước.

 Tìm những điểm trên đường thẳng :d ax by c  0 mà từ đó vẽ được

1,2,3, ,n tiếp tuyến với đồ thị hàm số  C y: f x 

 Tìm những điểm M x M;y M mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số  C y: f x , và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khảo sát thực tế cho thấy đa số học sinh rất lúng túng trong quá trình giảicác bài toán tiếp tuyến vì các dạng bài toán này là đa dạng và phong phú về cáchhỏi, học sinh chưa biết phân tích để tìm ra bản chất và vận dụng kiến thức mộtcách thích hợp

Các em còn chưa vững về kiến thức tiếp tuyến, sự phân biệt giữa tiếp tuyếntại một điểm hay đi qua một điểm đôi khi còn nhầm lẫn, hay các cách hỏi khácnhau của cùng bản chất một bài toán cũng đã làm các em bối rối

Thời lượng mà phân phối chương trình dành cho tiếp tuyến là rất ít, các bàitoán trong SGK thì thường đơn hơn nhiều so với sự đa dạng của các bài toántrong đề thi thực tế; học sinh còn mất nhiều thời lượng để tìm ra đáp án đúngcho một bài toán, không đủ thời gian để hoàn thành bài thi

2.3 Một số phương pháp tìm đáp án bài toán trắc nghiệm về phương trình

tiếp tuyến của đồ thị hàm số để đưa ra lựa chọn đúng

2.3.1 Một số ví dụ điển hình và phương pháp giải.

f x  x   f  

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A là: y 10(x2) 4  y 10x16

Do đó, đáp án cần lựa chọn là D.

 Lựa chọn đáp án bằng phương pháp sử dụng máy tính Bỏ túi:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có dạng là:y Ax B 

 



 tại điểm có hàng độ x  0 2

Ta có:

3 2 4

2

3 2( 2)

Vậy nên phương tình tiếp tuyến là:y2x5

Bài 2 Cho hàm số: y x C 3 ( ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có

tung độ bằng 8? [1]

A y 8x 12 B y 12x 16 C y 12x 16 D y 2x 8

Đáp án trắc nghiệm B.

 Lời giải tự luận:

Ta có f x'( ) 3 x2 Gọi x là hoành độ tiếp điểm  ta có o 3

0 8 o 2

x   x  Với x o  2 f '(2) 12

 Phương trình tiếp tuyến tại M2; 8 là: y12(x 2) 8  y12x 16

 Lời giải tự luận kết hợp phép thử:

Với đường thẳng trong đáp án A, sử dụng máy tính Casio fx 570-ES kiểmtra phương trình hoành độ giao điểm 3 3

x  x  x  x  không cónghiệm bội nên đáp án A bị loại

Với đường thẳng trong đáp án B, sử dụng máy tính Casio fx 570-ES kiểmtra phương trình hoành độ giao điểm 3 3

x  x  x  x  có nghiệmbội x 2 Mặt khác khi đó ta được điểm M2; 8 thỏa mãn cả phương trình

hàm số y x 3 và đường thẳng y12x 16

Do đó, đáp án cần lựa chọn là C.

 Nhận xét:

Qua ví dụ trên cho thấy, một số dạng bài toán làm tự luận thuần túy cũngtương đối nhanh gọn Tuy nhiên, nếu học sinh nắm vững được kiến thức về tiếptuyến và các tính chất của tiếp điểm thì có thể kiểm tra bằng phép thử cũng sẽ làmột giải pháp tốt

Bài 3 Cho hàm số f x( )x3 2x2  15x12 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A2; 2    C

A y 5x 10 B y 4x 10 C y 5x 12 D y 6x 12

Đáp án trắc nghiệm C.

 Lời giải tự luận: Ta có f x'( ) 3 x2 4x 15 f '(2) 5

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại A là: y 2 5(x 2) y 5x 12

Do đó, đáp án cần lựa chọn là C.

 Lựa chọn đáp án bằng đánh giá kết hợp sử dụng máy tính Bỏ túi

Với đường thẳng trong đáp án A, ta thấy đường thẳng không đi qua A2; 2  ,

 Lời giải tự luận:

Ta có y' 2 x 4 Gọi tọa độ tiếp điểm là ( ; )x y o 0

Khi đó: y x  '( ) 20  2x0  4 2   x o  3 y0 0

 Phương trình tiếp tuyến là:y2(x 3) y2x 6

Do đó, đáp án cần lựa chọn là D.

 Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá kết hợp phép thử:

Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2 nên đáp án B và C bị loại

Với đường thẳng trong A xét phương trình hoành độ giao điểm:

2 4 3 2 5 2 6 8 0

x  x  x  x  x  , không có nghiệm kép  y2x 5không phải là phương trình tiếp tuyến  Đáp án A bị loại

Do đó, đáp án cần lựa chọn là D.

 Nhận xét:

Trong một số bài toán, để tăng mức độ kiến thức người ta thường phát

biểu dưới dạng “Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước hoặc có hệ số góc thỏa mãn điều kiên

K nào đó (ví dụ hợp với chiều dương của trục hoành một góc 60 0)”

Bài 5 Cho hàm số ( ) :C y x 3 3x32 Hai tiếp tuyến của ( )C song song vớiđường thẳng y9x2017 tiếp xúc với ( )C tại hai điểm A B, Phương trìnhđường thẳng (AB) là gì? [4]

 Lời giải tự luận kết hợp phép thử:

Ta có y' 3 x2  6x Giả sử M x y( ; ) là tiếp điểm, khi đó:

Ta nhận thấy chỉ có phương trình trong C là thỏa mãn tọa độ hai điểm A B, .

Do đó, đáp án cần lựa chọn là C.

 Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá:

Nhận xét, đường thẳng (AB) phải đi qua điểm uốn U của đồ thị hàm số

Ta có y' 3 x2  6x y'' 6 x 6 y'' 0  x 1 y0

Suy ra tọa độ điểm uốn là U(1;0)

Nhận thấy, tọa độ Uchỉ thỏa mãn phương trình trong C.

 Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá:

Do tiếp tuyến tại hai điểm A B, là song song với nhau nên hai điểm A B, phảiđối xứng qua tâm đối xứng của đồ thị hàm số Vậy trung điểm của A B, là(2;1)

phép ta đưa ra lựa chọn đáp án đúng một cách hết sức nhanh chóng

Bài 7 Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm A(1;4)và tiếp xúc với đồ thị hàm

( ) :C y x 1 ?

Đáp án trắc nghiệm A.

 Lời giải tự luận 1:

Đường thẳng đi qua A(1;4) có phương trình ( ) :d y k x (  1) 4 Do ( )d tiếp xúc với đồ thị hàm số y x 2 1 nên hệ phương trình sau có nghiệm:

Vậy qua A không kẻ được đường thẳng nào tiếp xúc với đồ thị hàm số

 Lời giải tự luận 2:

Ta có y' 2 x Gọi tọa độ tiếp điểm là ( ; )x y Khi đó: o 0 y x'( ) 20  x0

 Phương trình tiếp tuyến ( )d có dạng là: 2 2

Vậy nên qua A không kẻ được đường thẳng nào tiếp xúc với đồ thị hàm số

Do đó, đáp án cần lựa chọn là A.

 Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá:

Vì điểm A nằm trong Parabol y x 2 1 (vì xét dấu 12  1 4 2 0) nênqua A không kẻ được tiếp tuyến nào tới đồ thị hàm số

Do đó, đáp án cần lựa chọn là A.

 Nhận xét: Với Parabol  P thì:

 Nếu điểm A nằm trong  P sẽ không kẻ được tiếp tuyến tới  P

 Nếu điểm A nằm trên  P sẽ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới  P

 Nếu điểm A nằm ngoài  P sẽ kẻ được hai tiếp tuyến tới  P

Bài 8 Cho đồ thị (C): y x 3  3x1, viết phương trình tiếp tuyến với (C) biếttiếp tuyến đi qua điểm M   2; 1.

y  x  x x x  x ( )d qua M   2; 1 nên ta có: 2 3 3 2

Do đó, đáp án cần lựa chọn là D.

 Lời giải tự luận 2

Đường thẳng đi qua M   2; 1 có phương trình ( ) :d y k x ( 2) 1

Do ( )d tiếp xúc với đồ thị hàm số y x 3  3x1 nên hệ sau có nghiệm:

Với k 0, ta được tiếp tuyến ( )d có phương trình 1 y 1.

Với k 9, ta được tiếp tuyến ( )d có phương trình 2 y 9x17

Do đó, đáp án cần lựa chọn là D.

 Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá kết hợp phép thử

Trong đáp án A, đường thẳng y9x 2 không đi qua M   2; 1 nên đáp

án A bị loại

Trong đáp án B, hai đường thẳng y 9x2;y9x17 là song song nênkhông thể cùng đi qua một điểm nên đáp án B bị loại.

Trong đáp án C, cả hai đường thẳng y x 1;y9x17cùng đi qua điểm

 Lời giải tự luận 2:

Đường thẳng đi qua 5; 8

 Lựa chọn đáp án bằng phương pháp đánh giá kết hợp phép thử:

Phác thảo hình vẽ (hình bên) ta thấy đường thẳng (AB)có hướng đi lên nên

Nếu học sinh nắm vững kiến thức hình dạng và tính chất của đồ thị hàm

số học sinh chỉ cần giải tự luận một phần và kết hợp với phép thử đã tìm ra đượcđáp án đúng một cách nhanh chóng

2.3.2 Hệ thống bài tập dành cho học sinh luyện tập, vận dụng.

Câu 1 (THPT Hùng Vương Bình Phước) Phương trình tiếp tuyến của đường

cong y x 3 3x2  2 tại điểm có hoành độ x  là:0 1

A y 9x7 B y 9x 7 C y 9x7 D y9x 7

Câu 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3

1

x y x

Câu 3 (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y x 33x có đồ thị

 C Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị  C tại điểm có tung độ bằng 4 là:

Câu 4 (GKI THPT Việt Đức Hà Nội ) Cho hàm số 1

1

x y x





 Phương trình tiếptuyến của đồ thị hàm số tại điểm M1;0 là:

A  d :y2x 1 B  d :y  x1

C  d :y x  1 D  d :y 2x2

Câu 7 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội) Cho hàm số y 4x2cos 2x có

đồ thị là  C Hoành độ của các điểm trên  C mà tại đó tiếp tuyến của  C

song song hoặc trùng với trục hoành là

A Có hệ số góc bằng  1 B Song song với trục hoành.

C Có hệ số góc dương D Song song với đường thẳng x  1

Câu 9 (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

A m  7 B m  7 C m  4 D m   Câu 11 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số  



21

x y

điểm phân biệt M x y ;  1; 1 N x y ( 2; 2 M , N khác A ) thỏa mãn





thẳng d y ax b:   là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  1 Biết d cắt trục hoành,

trục tung lần lượt tại hai điểm A,B sao cho OAB cân tại O Khi đó a b bằng

bằng - 2 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại giao điểm của  C với trục

hoành

A x- 3y+ =2 0. B x+3y- 2=0.

C x+3y+ =2 0. D x- 3y- 2=0.

Câu 17 (Chuyên Vĩnh Phúc) Gọi M N, là hai điểm di động trên đồ thị  C của

hàm số y=- x3+3x2- x+4 sao cho tiếp tuyến của  C tại M và N luôn

song song với nhau Hỏi khi M N, thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua điểmnào trong các điểm dưới đây?





 đồ thị  C Gọi d là khoảng cách từ giao điểm

hai tiệm cận của đồ thị  C đến một tiếp tuyến của  C Giá trị lớn nhất của d

 cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt và các tiếp

tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vuông góc với nhau

Câu 20 Cho hàm số 1 4 2

34

y x  x có đồ thị  C Có bao nhiêu điểm A thuộc

 C sao cho tiếp tyến của ( )C tại A cắt  C tại hai điểm phân biệt M x y ,( ; )1 1





thẳng d y ax b:   là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  1 Biết d cắt trục hoành,

trục tung lần lượt tại hai điểm A,B sao cho OAB cân tại O Khi đó a bbằng:

Câu 22 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương) Cho hàm số 1 3 3 2 2 

y  x  x  C Xét hai điểm A a y và  ; A B b y phân biệt của đồ thị  ; B  C mà tiếp tuyến tại

A và B song song Biết rằng đường thẳng AB đi qua D5;3 Phương trìnhcủa AB là





 có đồthị là  C , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng : d y  1 2x sao cho qua M có

hai tiếp tuyến của  C với hai tiếp điểm tương ứng là A, B Biết rằng đường

thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là H Tính độ dài đường thẳng OH.

Câu 24 (Chuyên Thái Bình - 2019) Cho hàm số f x  x3 3x2 mx1 Gọi

S là tổng tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y f x  cắt đườngthẳng y  tại ba điểm phân biệt 1 A0;1, B , C sao cho các tiếp tuyến của đồ

thị hàm số y f x  tại B , C vuông góc với nhau Giá trị của S bằng

Câu 26 (Sở Nam Định) Cho hàm số yf x , biết tại các điểm , ,A B C đồ thị

hàm số yf x  có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ bên Mệnh đề nào

Câu 27 Cho hàm số y x 3 3m3x2 3  C Tìm tất cả các giá trị của m

thỏa mãn qua A   1; 1 kẻ được hai tiếp tuyến đến  C là 1:y1 và 2

tiếp xúc với  C tại N và cắt  C tại điểm P P N  có hoành độ là x  3