Siêu mặt hyperbolic trong không gian xạ ảnh phức (C)

Sử dụng các kết quả về tính suy biến của các đường cong chỉnh hình, Nadel xây dựng một số ví dụ minh họa về các siêu mặt hyperbolic trên P3.. Dựa vào bài báo “Hyperbolic surfaces in 3 P

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐẠI HẢI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐẠI HẢI

Người hướng dẫn khoa học

TS MAI VĂN TƯ

Nghệ An – 2015

MỤC LỤC

MỤC LỤC 2

MỞ ĐẦU 4

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 6

1.1 Hàm nguyên phức 6

1.1.1 Hàm - khả vi 6

1.1.2 Hàm chỉnh hình 6

1.3 Các định lý cơ bản của lý thuyết Nevalinna trên trường số phức 13

1.3.1 Hàm đếm 13

1.3.2 Hàm xấp xỉ 14

1.3.3 Hàm đặc trưng Nevallinna 14

1.3.4 Định lý cơ bản thứ nhất của Nevalinna 14

1.3.5 Nhận xét 14

1.3.6 Định lý cơ bản thứ hai của Nevalinna 14

1.3.10 Định nghĩa 16

1.3.11 Định lý Nochka- giả thiết Cartan 17

CHƯƠNG II SIÊU MẶT HYPEBOLIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 18

2.1 Tính suy biến của đường cong chỉnh hình phức 18

2.2 Siêu mặt hypebolic trong không gian xạ ảnh 21

2.2.1 Không gian hypebolic phức 21

KẾT LUẬN 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

MỞ ĐẦU

Trong những thập niên qua, lý thuyết phân phối giá trị do R Nevalinna xây dựng có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu của toán học Nhiều kết quả đặc sắc gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học trên thế giới và trong nước

Vào năm 1979, M Green và Ph Griffiths phỏng đoán rằng mọi đường cong chỉnh hình bậc đủ lớn trên một đa tạp xạ ảnh phức dạng tổng quát là suy biến Cho đến nay, phỏng đoán này dường như vẫn còn chưa được chứng minh đầy đủ, nhưng đã có một số bước tiến đã được thực hiện M Green chứng minh tính suy biến của các đường cong chỉnh hình trên đa tạp Fermat

có bậc đủ lớn Sau đó A M Nadel đưa ra một lớp các siêu mặt xạ ảnh mà phỏng đoán có hiệu lực Sử dụng các kết quả về tính suy biến của các đường cong chỉnh hình, Nadel xây dựng một số ví dụ minh họa về các siêu mặt hyperbolic trên P3.

Dựa vào bài báo “Hyperbolic surfaces in 3( )

P C ” của giáo sư Hà Huy

Khoái và một số tài liệu tham khảo khác, tôi tìm hiểu đề tài “Siêu mặt Hyperbolic trong không gian xạ ảnh phức P3( )£ ”

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận

văn được chia làm hai chương:

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Chương 2 Siêu mặt hyperbolic trong không gian xạ ảnh P3( )£

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Vinh với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của Tiến sĩ Mai Văn Tư Tác giả bày tỏ lòng kính trọng và

biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người đã dành nhiều thời gian và công sức và tạo mọi điều kiện để giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô giáo trong bộ môn Đại số và lý thuyết số, trong khoa Sư phạm toán học, phòng đào tạo Sau đại học thuộc trường Đại học Vinh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài này

Mặc dù đã cố gắng song luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót, tác giả mong nhận được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn học viên TÁC GIẢ

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ1.1 Hàm nguyên phức

1.1.1 Hàm £- khả vi

Giả sử D là miền của mặt phẳng phức £ và f là hàm biến phức

z x iy= + xác định trong D Ta có định nghĩa quan trọng sau đây:

1.1.1.1 Định nghĩa

Hàm f được gọi là £ − khả vi tại điểm z0 ∈D nếu tồn tại giới hạn

( 0 ) ( )0 0

0

lim

h h

Từ tính £- khả vi đã được định nghĩa ta chưa thể rút ra những kết luận

mà chúng ta mong muốn khi nói đến tầm quan trọng của khái niệm này

Để thu được những kết quả đó, đòi hỏi hàm f phải là một £- khả vi tại một lân cận nào đó của điểm z0 Vì thế ta có:

1.1.2.1 Định nghĩa

1) Hàm f được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z0 nếu nó là £- khả vi tại một lân cận nào đó của điểm z0 Hàm f được gọi là chỉnh hình trong miền D nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của miền ấy Tập hợp các hàm

chỉnh hình trong miền D được ký hiệu là Η( )D .

2) Hàm f z( ) chỉnh hình tại điểm vô cùng nếu ( )z f 1

z

ϕ =  ÷   chỉnh hình tại điểm z= 0

Phần 2) của định nghĩa 1.1.2.1 cho phép ta xét các hàm chỉnh hình trên tập hợp £

Nếu f ( )ω là hàm chỉnh hình trong D* và nếu g D: →D* là hàm chỉnh hình trong D thì hàm hợp f g z ( ) chỉnh hình trong D.

Chứng minh Thật vậy, dễ thấy rằng

∂ ∂ nên suy ra f g z ( ) là hàm chỉnh hình trong D.

Tiếp theo, giả sử ω = f z z D( ), ∈ là hàm chỉnh hình ánh xạ đơn trị một-

một miền D lên miền D* Điều đó có nghĩa là theo hàm đã cho mỗi z D∈ đều tương ứng với một giá trị *

D

ω ∈ và đồng thời theo quy luật đó mỗi *

D

ω ∈ chỉ tương ứng với một giá trị z D∈ Từ đó xác định được hàm đơn trị

liên tục tại điểm đó: ∆ → ω 0 nếu ∆ →z 0 Do tính đơn trị một- một ta có cả điều khẳng định ngược lại: ∆ →z 0 nếu∆ → ω 0 Nhưng khi đó

( ) ( '( ) )'

( ) ( )

'

1 , D

1 Đầu tiên ta chứng minh rằng nếu bán kính hội tụ của chuỗi đã cho (2.1) là

R thì bán kính hội tụ R* của chuỗi đạo hàm

( ) 1 0

1

n n n

0

n n n

2 Giả sử z là điểm cố định tuỳ ý nằm trong hình tròn z <R Khi đó có thể chỉ

ra số R1 0( <R1 <R) sao cho z <R1<R Giả sử ∆z là số gia tuỳ ý của z mà

n

n m

n n

z =R Vì điểm này nằm trong hình tròn hội tụ z <R của

chuỗi (2.3) nên từ sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi (2.3) trong hình tròn z <R

suy ra ∀ > ε 0, M=M ∃ ( )ε sao cho ∀ >m M thì phần dư

1 1

n n

1 1 1

< (2.7) 3

n

n m

n n

( ) 1 ( ) 2 1 10

Vì z là điểm tuỳ ý trong hình tròn hội tụ z <R nên định lý được chứng minh.

Nhận xét Bằng phép đổi biến theo công thức t= −z z z0 , 0 ≠ 0 chuỗi

f z được tìm theo công thức

( ) ( ) 1

'

0 1

n n

Một đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức n chiều

£ (Nghĩa là không tồn tại a∈£ để f a i( ) = ∀0, i = 1,n+1)

Đặc biệt, nếu , 1 i n+1f i ≤ ≤ là các hàm đa thức thì f được gọi là

đường cong đa thức

P £ với số chiều nhỏ hơn n

Ta biết rằng đường cong f không suy biến khi và chỉ khi Wronskian

i Độ cao của đường cong chỉnh hình f được xác định sai khác một đại

lượng giới nội

Thật vậy, nếu f =( f1, , f n+1) = =g ( g1, ,g n+1) , khi đó chúng ta nhận được g z i( ) = f z i( ) ( ).λ z , i=1, ,n+1.

Do các f và i g không có điểm chung nên i λ( )z không có không điểm

Từ tính chất đa giác Newton suy ra λ( )z =λ là một hằng số Bởi vậy

( ) ( ) ( ), , 0 1

h g t =h f t +

ii Độ cao của đường cong chỉnh hình phức là tương tự độ cao Cartan

đối với các ánh xạ chỉnh hình phức, được xác định bởi hệ thức

2

, 0

m f re d

π

θ π

θ

π

θπ

= − là đại lượng giới nội.

1.3 Các định lý cơ bản của lý thuyết Nevalinna trên trường số phức.

Giả sử f z( ) là hàm phân hình trong đĩa D r = ∈{z £ : z <r} , với mỗi số phức a∈ £, Nevalinna đã xây dựng các hàm sau

1.3.2 Hàm xấp xỉ

2 0

Các định lý sau là các định lý cơ bản của lý thuyết Nevalinna

1.3.4 Định lý cơ bản thứ nhất của Nevalinna

Giả sử a∈ £ và f z( ) là hàm phân hình trong đĩa D r , khi đó tồn tại hàm T r( ) =T f r( , ) thoã mãn hệ thức

( , , ) ( ) ( )1 ,

T f a r =T r + θ

Trong đó θ( )1 là đại lượng bị chặn khi r→ ∞

1.3.5 Nhận xét

Vì hàm T r( ) không phụ thuộc vào a , bởi vậy chúng ta có thể nói rằng

hàm f z( ) nhận giá trị a hoặc gần a với một số lần như nhau.

1.3.6 Định lý cơ bản thứ hai của Nevalinna

Giả sử f z( ) hàm phân hình trong đĩa D r và a a1 , , , 2 a q là các số phức phân biệt, chúng ta có

f = f f + C→P C là đường cong chỉnh hình, trong đó f j

là các hàm chỉnh hình không có không điểm chung Hàm đặc trưng của Cartan được xác định bởi hệ thức

trong đó N r H k( , j) là hàm đếm mức k của hàm F f jο , nghĩa là vế phải của

tổng trên được lấy với mọi không điểm λs của hàm F f jο , tính cả bội nếu bội

của nó nhỏ hơn k và bằng k trong trường hợp còn lại.

1.3.8 Định nghĩa

Các siêu phẳng H1 , ,H q của không gian xạ ảnh P C n( ) được gọi là ở vị trí tổng quát nếu chúng độc lập tuyến tính khi q n< + 1 hoặc (n+1) siêu phẳng bất kỳ trong chúng là độc lập tuyến tính khi q n≥ + 1.

1.3.9 Định lý Cartan

Giả sử ( 1 , , 1): n( )

n

f = f f + C→P C là đường cong chỉnh hình không suy

biến với các hàm chỉnh hình f j không có điểm chung Giả thiết thêm rằng

Một đường cong chỉnh hình f C: →P n được gọi là k−không suy biến

nếu ảnh của f được chứa trong một không gian con tuyến tính k - chiều và

( )

f C không nằm trong bất kỳ của một không gian con tuyến tính với chiều

nhỏ hơn k

1.3.11 Định lý Nochka- giả thiết Cartan

Giả sử f C: →P n là đường cong chỉnh hình k- không suy biến, H1 , ,H q

là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát Giả thiết thêm rằng f C( )⊄H j j, = 1, ,q ,

CHƯƠNG II SIÊU MẶT HYPEBOLIC TRONG KHÔNG

là các đơn thức phân biệt có bậc d với các số mũ không âm Giả sử X là một

siêu mặt có bậc d của P ( )n £ định nghĩa bởi

1 1

X c M + c M = ,trong đó c j∈£* là các hằng số khác 0 Chúng ta nhắc lại rằng X là một biến

dạng của siêu mặt Fermat bậc d nếu s n≥ +1 và

Khi đó, với mọi đường cong chỉnh hình trên X đều suy biến.

Để chứng minh Định lý 2.1.1, chúng ta nhắc lại hệ thức sai số của

Cartan cho các đường cong chỉnh hình

Giả sử f là một đường cong chỉnh hình và H là một siêu phẳng của

P ( )n £ mà không chứa ảnh của f Chúng ta ký hiệu degz f H* là bậc của ước nếu *f H tại z∈£ Chúng ta nói rằng f phân nhánh tại ít nhất d (>0) trên H

nếu degz f H* ≥d với mọi z∈ f H−1 Trong trường hợp f H−1 =0, chúng ta

n n d

=

∑

Bây giờ giả sử X là một siêu mặt thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.1.1,

và giả sử f =( , ,f1 f n+1) :£ →X là một đường cong chỉnh hình Chúng ta sẽ

chứng tỏ rằng {f1d, , f n+1d,M n+1o f M, so f} là phụ thuộc tuyến tính Giả sử rằng trường hợp đó không xảy ra Xem xét một đường cong chỉnh hình g

Từ các giả thiết của Định lý 2.1.1, chúng ta thấy rằng g phân nhánh tại ít nhất

d k− trên H với mọi 1 j s j ≤ ≤ Suy ra từ Bổ đề 2.1.2 rằng

(1) 1

Vì vậy d k s s≤ + ( −2), ta gặp một mâu thuẫn Khi đó, ảnh của f được chứa

trong tập con đại số thực sự của X xác định bởi phương trình sau đây

Dạng rõ ràng hơn sau đây của Định lý 2.1.1 là rất hữu dụng trong các ứng dụng cho các mặt trên P ( )3 £

Chứng minh Chúng ta có thể nhắc lại chứng minh của Định lý 2.1.1, nhưng

thay thế ( )1 , chúng ta sử dụng bất đẳng thức sau đây

2.2 Siêu mặt hypebolic trong không gian xạ ảnh P C 3( )

Trong mục này chúng tôi tìm hiểu, trình bày chi tiết các ví dụ minh họa

về các mặt hyperbolic trên P ( )3 £ và các đường cong trên P ( )2 £ với phần bù hyperbolic

2.2.1 Không gian hypebolic phức

d a b

b a ab

−+

Giả sử rằng các điểm ,a b thuộc đĩa đơn vị i j D và thoã mãn hệ thức

Giả sử : f X →Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức với

hai nửa khoảng cách d X, d tương ứng Khi đó f là hàm có tính chất giảm Y

đối với nửa khoảng cách Kobayashi.

( ) ( )

d f x f y ≤d x y ∀ ∈X

Ngoài ra, d là nửa khoảng cách lớn nhất trong X X sao cho mọi ánh xạ chỉnh hình : f X →Y đều có tính chất trên.

2.2.1.7 Hệ quả

Mọi không gian hyperbolic Kobayashi đều là không gian hyperbolic Brody.

2.2.1.8 Định lý

Giả sử không gian con của không gian Y hoặc : f X →Y là ánh xạ

chỉnh hình và đơn ánh Khi đó nếu X là không gian hyperbolic thì Y cũng vậy.

2.2.1.9 Định lý

Giả sử X và Y là các không gian phức và f là ánh xạ chỉnh hình từ

X vào không gian hyperbolic Y thoả mãn hai điều kiện:

Vì £ là không gian compact địa phương nên theo chúng tôi, khó có p

thể chỉ ra sự tương đương giữa hai khái niệm này

i

=

≠ ∑ = ≥ Khi đó X là hyperbolic nếu d ≥22

Chứng minh Cho k d= −7 Khi đó X thỏa mãn các giả thiết của Định lý

2.1.4, và mọi đường cong chỉnh hình trên X đều suy biến

Bây giờ giả sử f =( , ,f1 f4) :£ → X là một đường cong chỉnh hình

trên X Xem xét các trường hợp có thể xảy ra sau đây:

1) Với i=1,2,3 nào đó, f i ≡0 Khi đó f là một ánh xạ hằng suy ra từ Hệ quả

2.1.3

2) f4 ≡0 Khi đó ảnh của ( , , )f f f1 2 3 được chứa trong đường cong xác định

bởi đẳng thức sau đây

3) Giả sử rằng mọi f i ≡ 0 Từ chứng minh của Định lý 2.2.2, ta suy ra rằng

ii) Chỉ một trong các a i =0, giả sử a4 =0 Khi đó ( , , )f f f1 2 3 là một

ánh xạ hằng được suy từ Hệ quả 2.1.3 và ta dễ chỉ ra rằng f là một

trong đó B≠0, nếu A≠0, thì {f1d, f3d, f4d} đều phụ thuộc tuyến tính, một lần nữa bởi chứng minh của Định lý 2.2.2 và chúng ta quay về trường hợp tương tự cho 2).

Bây giờ giả sử rằng A=0 Khi đó ảnh của ánh xạ ( , , )f f f1 3 4 được chứa

trong đường cong sau đây thuộc P ( )2 £ (với các vị trí thuần nhất ( , , )z z z1 3 4 ):

2 3 1

Chứng minh được hoàn thành

Chú ý 1 K Masuda và J Noguchi chứng tỏ rằng với mọi n, tồn tại một số

( )

d n sao cho với mọi d d n≥ ( ), tồn tại các siêu mặt hyperbolic bậc d thuộc

P ( )n £ Chúng chứng tỏ rằng (3) 54d ≤ M Nadel đưa ra các ví dụ minh họa

về các mặt hyperbolic thuộc P ( )2 £ có bậc d=3e, e≥7, từ định lý 2.1.1, ta

suy ra rằng (3) 22d ≤ Kết hợp Định lý 2.2.2 với các kết quả của Nadel ([9])

trong đó c≠0 Nếu αi ≥6, d ≥19 thì P ( ) \ X2 £ là hyperbolic

Chứng minh Giả sử f =( , , )f f f1 2 3 là một đường cong như trên Xem xét mặt

Y xác định bởi đẳng thức sau đây:

Giả sử ϕ: \{z =0}Y 4 →P ( ) \2 £ X là phép chiếu của một trong ba vị trí thuần nhất Khi đó ϕ là một hợp không phân nhánh, và f có thể nâng lên

Vì vậy, theo chứng minh của Định lý 2.2.2, Y là hyperbolic, thì f% là hằng, do

đó f cũng vậy Định lý được chứng minh.

Chú ý M G Zaidenberg chứng minh rằng với d ≥5, tồn tại các đường cong

hyperbolic bậc d sao cho các phần bù của chúng là hyperbolic đầy đủ và

nhúng hyperbolic vào P ( )2 £ K Masuda và J Noguchi đưa ra cấu trúc của các đường cong trên với d ≥48

Ở đây chúng ta có các ví dụ với d ≥19

KẾT LUẬN

Nội dung chính của luận văn là dựa vào bài báo [ ]8 để tìm hiểu và trình bày khá chi tiết về siêu mặt Hypebolic phức trong không gian xạ ảnh P3( )£

Cụ thể luận văn đã trình bày những nội dung sau:

1 Một số kiến thức cơ sở (chương 1)

2 Tính suy biến của đường cong chỉnh hình phức

3. Siêu mặt Hypebolic trong P3( )£

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng việt

hình và tính Hyperbolic Body p-adic, luận án tiến sĩ toán học, Đại học sư

phạm Vinh

[ ]2 Lý Anh Tiến, (2008) Lý thuyết Nevalinna và ứng dụng nghiên cứu

phương trình hàm, luận văn thạc sĩ toán học Đại học sư phạm Thái nguyên.

Hyperbolic Brody p- adic, luận án phó tiến sĩ, Đại học sư phạm Vinh.

Vinh (Sách chuyên khảo)

Tiếng anh

[5] R.Brody (1978), compact manifolds and hyperbolicity, Trans Amer

Math Soc 235, 213-209

[6] R Brody and M Green (1977), A family of smooth hyperbolic

hypersurfaces in P , Duke Math J 44, 874-874.3

[ ]7 M.Green (1975), Some Picard theorems for holomorphic maps to

algebraic varieties, Amer J Math 97, 43-75.

[8] Ha Huy Khoai (1997) Hyperbolic surfaces in P 3( )£ , Proc Amer Math

Soc Vol 125, pp 3527-3532

[ ]9 A.Nadel (1989), Hyperbolic surfaces in P , Duke Math J 58, 749-771. 3