Về siêu mặt hyperbolic p ADIC trong không gian xạ ảnh p3 (cp)

Đối với trường hợp p-adic, sự suy biến của đường cong chỉnh hình trongđa tạp Fermat bậc đủ lớn được xây dựng bởi Hà Huy Khoái và Mai Văn Tư.Nội dung chính của luận văn dựa vào tài liệu t

NGUYỄN THỊ THẢO

VỀ SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

NGUYỄN THỊ THẢO

VỀ SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS MAI VĂN TƯ

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

Mục lục 1

Mở đầu 2

1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 Trường các số phức p-adic 4

1.2 Hàm nguyên p-adic 7

1.3 Đường cong chỉnh hình p-adic 10

1.4 Các định lí cơ bản của lý thuyết Nevalinna p-adic 11

2 SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH P3(Cp) 14

2.1 Độ cao của hàm chỉnh hình p–adic 14

2.2 Tính suy biến của đường cong hàm chỉnh hình 17

2.3 Siêu mặt hyperbolic trong không gian xạ ảnh P3(Cp) 25

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

Đối với trường hợp p-adic, sự suy biến của đường cong chỉnh hình trong

đa tạp Fermat bậc đủ lớn được xây dựng bởi Hà Huy Khoái và Mai Văn Tư.Nội dung chính của luận văn dựa vào tài liệu tham khảo chính là bài báo [4]của Hà Huy Khoái và một số tài liệu khác để trình bày về siêu mặt hyperbolicp-adic trong không gian xạ ảnh P3(Cp)

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận vănđược chia thành hai chương:

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Chương 2 Siêu mặt hyperbolic p-adic trong không gian xạ ảnh P3(Cp).Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình chu đáo của Tiến sỹ Mai Văn Tư Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng vàbiết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học, người đã dành nhiều thờigian và công sức để giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo thuộc chuyên ngànhĐại số và lý thuyết số, khoa sư phạm Toán học, phòng đào tạo Sau Đại Học,trường đại học Vinh, những người đã tận tình giảng dạy và tổ chức thành

công cho khóa học.

Mặc dù đã cố gắng song luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót, tác giả mongnhận được sự đóng góp của các thầy cô và các bạn học viên

Vinh, tháng 10 năm 2015

Tác giả

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Trường các số phức p-adic

1.1.1 Sự phân loại giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ

1.1.1.1 Định nghĩa Giả sử K là một trường, giá trị tuyệt đối v trên K làánh xạ từ K vào R (ký hiệu v(x) = |x|v ,∀x ∈ K), thỏa mãn đồng thời 3 điềukiện sau đây:

a |x|v ≥ 0, với mọi x ∈ K và |x|v = 0 khi và chỉ khi x = 0

b |xy|v = |x|v|y|v với mọi x, y ∈ K

c |x + y|v ≤ |x|v + |y|v với mọi x, y ∈ K

Một hàm giá trị tuyệt đối trên trường K được gọi là hàm giá trị tuyệt đốiphi Acsimet nếu thỏa mãn điều kiện:

|x + y|v ≤ max{|x|v, |y|v} với mọi x, y ∈ K

Kí hiệu ordpi(x) =∝i, i = 1, 2, , k, ordp(x) = 0 nếu p 6= pi

Với mỗi x ∈ Q, kí hiệu |x|p = pordp (x) nếu x 6= 0 và |0|p = 0 Khi đó |.|p

thỏa mãn định nghĩa giá trị tuyệt đối phi Acsimet và được gọi là giá trị tuyệtđối p-adic



được gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường

1.1.1.3 Định lí Ostrowski Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường trên Qđều tương đương với giá trị tuyệt đối p–adic |.|p, trong đó p là số nguyên tốbất kỳ, hoặc p = ∞

Định lí Ostrowski cho chúng ta 2 hướng mở rộng trường Q thành mộttrường đóng đại số Thứ nhất theo cách mở rộng thông thường Q mở rộngthành C Thứ hai là cách mở rộng giá trị tuyệt đối p-adic như sau:

1.1.2 Trường các số hữu tỉ p-adic

Gọi X là tập hợp các dãy cơ bản các số hữu tỉ theo giá trị tuyệt đối p-adic

|.|p Trên X ta xác định quan hệ tương đương như sau:

1.1.3 Mở rộng đóng đại số đầy đủ Cp của trường các số Qp

Kí hiệu Q¯p là bao đóng đại số của Qp

Nếu α ∈ ¯Qp, thì α là nghiệm của đa thức bất khả quy f (x) ∈ Qp[x]:

f (x) = xn+ a1xn−1+ + an−1x + an

Khi đó, giá trị tuyệt đối của α trên Q¯p được xác định bởi hệ thức:

|α|p = |an|p

Rõ ràng đây là một hàm mở rộng của hàm giá trị tuyệt đối trên Qp

1.1.3.1 Định lý Q¯p là trường không đầy đủ.

Như vậy, bao đóng đại số của trường các số p-adic không phải là khônggian đầy đủ Để có được không gian đầy đủ, ta cần làm đầy theo cách thôngthường như sau

Giả sử X là tập hợp các dãy cơ bản gồm các phần tử của Q¯p, dãy {xn}

được gọi là dãy không nếu lim

n→∞|xn|p = 0

Hai dãy cơ bản{xn}, {yn}được gọi là tương đương nếu và chỉ nếu{xn−yn}

1.1.3.3 Định lý i Cp là trường đóng đại số đầy đủ

ii Cp là Qp - không gian véc tơ vô hạn chiều

iii Cp không compac địa phương

iv Cp tách được

v Trường các lớp thặng dư của Cp là bao đóng đại số của trường có p phầntử

vi Nhóm các giá trị của Cp là compac

1.1.3.4 Một số kí hiệu Với mỗi r ∈ R, ta đặt:

1.2.1 Chuỗi lũy thừa p-adic

Chuỗi lũy thừa p-adic là một chuỗi hàm có dạng:

∞

P

n=0

anzn = a0 + a1z + + anzn + (1)

Giả sử f (z), g(z) là các hàm chỉnh hình không có điểm chung trong đĩa

Dr Khi đó ϕ(z) = f (z)/g(z) được gọi là hàm phân hình trong đĩa Dr.1.2.3 Bán kính hội tụ Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (1) được xácđịnh bởi hệ thức

r = ( lim

n→∞|an|

1 n

p)−1

Đặt Dr = Dr(0) = {z ∈ Cp : |z|p < r}

1.2.4 Định lí i Chuỗi (1) hội tụ khi và chỉ khi lim

n→∞|anzn|p = 0

ii Chuỗi (1) hội tụ trong Dr và phân kỳ trong {z ∈Cp : |z|p > r}

iii Nếu chuỗi (1) hội tụ trong miền Dr thì nó hội tụ tuyệt đối, hội tụ đềutrong Dr

iv Nếu chuỗi (1) hội tụ về S(z) trong miền Dr thì S(z) là hàm liên tụctrên Dr, trong đó r = ( lim

n→∞|an|

1 n

p)−1 là bán kính hội tụ của chuỗi (1)

1.2.5 Định nghĩa Độ cao của chuỗi lũy thừa (1) được xác định bởi hệ thức:

1.2.6 Mô tả hình học Với mỗi n chúng ta vẽ đồ thị Γn của hàm v(anzn) =

Định lý sau đây nêu lên mối liên hệ giữa tính hội tụ và độ cao của chuỗi

Chứng tỏ chuỗi hội tụ tại mọi điểm thuộc miền {z ∈ Cp : v(z) > v(z0)}.

1.2.8 Định lý Chuỗi lũy thừa (1) hội tụ trong đĩa Dr khi và chỉ khi đườngthẳng t0 = −logpr là đường tiệm cận của đường đa giác h(P

, t).1.3 Đường cong chỉnh hình p-adic

1.3.1 Định nghĩa Một đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnhphức n chiều Pn(Cp) được định nghĩa là ánh xạ

z 7→ (f1(z), , f(n+1)(z))

Trong đó fi, 1 ≤ i ≤ n + 1 là các hàm nguyên không có điểm chung trên Cp

(nghĩa là không tồn tại a ∈ Cp để fi(a) = 0, ∀i = 1, , n + 1)

Đặc biệt, nếu fi, 1 ≤ i ≤ n + 1 là các hàm đa thức thì f được gọi là đườngcong đa thức.

Đường cong f = (f1, , fn+1) : Cp → Pn(Cp) được gọi là không suy biếnnếu ảnh của nó không được chứa trong một không gian con tuyến tính của

Pn(Cp) với số chiều nhỏ hơn n

Ta biết rằng đường cong f không suy biến khi và chỉ khi Wronskian W (f )

Do đó các fi và gi không có điểm chung nên λ(z) không có không điểm

Từ tính chất của đa giác Newton suy ra λ(z) = λ là một hằng số Bởi vậy

trong đó 0(1) = −log max

1≤i≤n+1|fi(0)| là đại lượng giới nội

1.4 Các định lí cơ bản của lý thuyết Nevalinna p-adic

Giả sử f là hàm chỉnh hình trên A[r1, r2] không đồng nhất bằng không.Hàm đếm N (f, 0, r) được cho bởi công thức:

Từ định lý duy nhất suy ra rằng tổng trong công thức xác định N là mộttổng hữu hạn nếu r ∈ [r1, r2]

Chú ý rằng N phụ thuộc vào bán kính nhỏ r1 của vành khăn

Hàm xấp xỉ: m(f, a, r) = log+| 1

f −a|r và m(f, ∞, r) = log+|f |r

Hàm đặc trưng: T (f, a, r) = m(f, a, r) + N (f, a, r)

1.4.1 Công thức Poisson - Jensen Giả sử f là chỉnh hình khác hằng trên

A[r1, r2], với r2 ≤ ∞ Giả sử f (z) = P

n∈Z

anzn là khai triển chuỗi Laurent của

f Khi đó, với mọi r ∈ [r1, r2], ta có:

N (f, 0, r) + k(f, r1)logr + log|ak(f,r1)| = log|f |r nếu r1 > 0

Hoặc N (f, 0, r) + log|aK(f,0)| = log|f |r nếu r1 = 0

1.4.2 Định lý (định lý cơ bản thứ nhất) Nếu f là hàm phân hình kháchằng trên F thì T (f, a, r) − T (f, ∞, r) bị chặn khi r → ∞

1.4.3 Định lý cơ bản thứ hai

1.4.3.1 Định lí (Định lý cơ bản thứ hai không rẽ nhánh) Giả sử

a1, , aq là q điểm phân biệt trong P1(F ) Khi đó,

khác từ công thức Poisson – Jensen, ta cũng có thể viết:

NRam(f, r) = 2(f, ∞, r) + log|f0|r + 0(1)

1.4.3.2 Định lý (Định lý cơ bản thứ hai có rẽ nhánh) Giả sử f làhàm phân hình trên F và giả sử f0 6≡ 0 Giả sử a1, , aq là q điểm phân biệttrong P1(F ) Khi đó,

1.4.4 Định lý Nevanlinna – Cartan p-adic Giả sử (z1, z2, , zn+1) là

hệ tọa độ thuần nhất của không gian xạ ảnh Pn(Cp)

Phương trình tổng quát của siêu phẳng Hj có dạng:

Chương 2

SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC TRONG

2.1 Độ cao của hàm chỉnh hình p–adic

Giả sử f (z) là hàm chỉnh hình trong đĩa đơn vị D, tương ứng với chuỗi lũythừa hội tụ

tk = pk −p1k−1 là các điểm tới hạn của f (z) và

h+f,t

k = p−11 , h−f,t

k = p−1p

hf,tk = 1, hf,t = 0, ∀t 6= tkh(log(1 + z), tk) = −k + p−1p

Từ định nghĩa độ cao chúng ta nhận được:

Do đó chúng ta chỉ cần chứng minh ii đối với trường hợp t không là điểmtới hạn Chúng ta có:

Trong đó gi(z) là các hàm chỉnh hình, fi là các hàm chỉnh hình không cóđiểm chung, λ là một hàm chỉnh hình.

Theo Mệnh đề 2.1.4, h(λ, t) < 0 với t đủ bé hoặc λ(z) là hằng số Bổ đềđược chứng minh

2.2 Tính suy biến của đường cong hàm chỉnh hình

Một đa tạp X của Pn(Cp) được gọi là siêu mặt Fermat bậc d nếu nó đượcxác định bởi phương trình:

X : z1d + z2d+ + zn+1d = 0

2.2.1 Định lý Giả sử f = (f1, f2, , fn+1) : Cp −→ Pn(Cp) là ánh xạchỉnh hình vào siêu mặt Fermat X, bậc d nghĩa là

f1d+ f2d+ + fn+1d = 0

Giả sử thêm rằng không một fi nào đông nhất bằng không Chúng ta địnhnghĩa quan hệ tương đương i ≈ j nếu fi/fj là hằng số Nếu d ≥ n2 − 1, thìtrong mỗi lớp tương đương S chúng ta có:

X

i∈S

fid = 0

2.2.2 Định lý (Bổ đề Borel p-adic) Giả sửf = (f1, f2, , fn+1) : Cp −→

X là đường cong chỉnh hình khác hằng số sao cho fi 6≡ 0, ∀i = 1, 2, , n + 1.Giả sử rằng d ≥ s(s − 2) thì tồn tại một phân hoạch của các chỉ số

{1, 2, , s} = ∪Iv sao cho:

2.2.2 khi s = n + 1 và Mj = zj, j = 1, 2, , n + 1.

2.2.4 Hệ quả (n = 2, s = 3, Mj = zj) Giả sử f, g, h là các hàm chỉnh hìnhp-adic trong Cp thỏa mãn phương trình

fd+ gd = hd

Giả sử Mj = zαj,1

1 zαj,n+1

nguyên không âm

Giả sử X là một siêu mặt bậc d của không gian xạ ảnh Pn(Cp), được xácđịnh bởi phương trình X : c1M1 + + csMs = 0 trong đó cj ∈ C∗p là các sốkhác không

Chúng ta gọi X là một biến dạng của siêu mặt Fermat bậc d nếu s ≥ n + 1

và Mj = zjd, j = 1, , n + 1

2.2.5 Định lý Giả sử X là một biến dạng của siêu mặt Fermat bậc d và

Chứng minh Giả sử f = (f1, f2, , fn+1) : Cp −→ X là ánh xạ chỉnh hình.Chúng ta chứng tỏ rằng hệ

Rõ ràng các siêu phẳng Hj và đường cong g chỉnh hình thỏa mãn giả thiếtcủa định lý Nevanlinna – Cartan Chúng ta có:

2.2.6 Định lí Giả sử X là một biến dạng của siêu mặt Fermat bậc d trong

Pn(Cp) và f là một đường cong chỉnh hình trong X Khi đó, nếu

2

thì ảnh của f nằm trong một tập con đại số thực sự của X

Nếu fi ≡ 0 thì f suy biến và ta có thể giả định rằng không một fi nàođồng nhất bằng 0

2.2.7 Bổ đề Giả sử f là một đường cong chỉnh hình và M là một đơnthức như trên Khi đó, với mỗi k ≥ 0, ta có:

(M ◦ f )(k)

Qk

f1k fn+1k

Từ (1)(2) và giả thiết quy nạp với k, kết thúc chứng minh với k + 1, theonguyên lí quy nạp, bổ đề được chứng minh.

Chú ý rằng, các kết quả trong bổ đề này không phụ thuộc bậc d

2.2.8 Mệnh đề Giả sử X là một biến dạng của siêu mặt Fermat bậc dtrong trong Pn(Cp) và f là một đường cong chỉnh hình trong X Giả sử

2

Nếu {Mj ◦ f, j = 1, , s − 1} là độc lập tuyến tính, thì f là ánh xạ hằng.Chứng minh Để đơn giản, ta đặt:

gj(z) = cjMj ◦ f (z)/csMs ◦ f, j = 1, , s = 1

Khi đó, các hàm phân hình {g1, , gs−1} thỏa mãn hệ thức

{g1, , gs−1} ≡ −1

Chúng ta thấy rằng {g1, , gs−1} là phụ thuộc tuyến tính

Bây giờ ta xác định Wronskian logarit như sau:

Ls(g) =

g s−1

0 2

g2 g

0 s−1

gs−1

(s−2) 2

g 2 g

(s−2) s−1

g s−1

Hoàn toàn tương tự, chúng ta xác định Li với i = 2, , s − 1, trong đócột {1, 0, , 0} là cột thứ i

Nếu {g1, , gs−1} là độc lập tuyến tính, thì các ánh xạ xạ ảnh

(M1 ◦ f, , Ms ◦ f ) và L = (L1, L2, , Ls)

là trùng nhau

Sử dụng Bổ đề 2.2.7 cho các định thức, chẳng hạn với định thức L1, sốhạng đầu tiên có dạng:

Chứng minh Định lí 2.2.6.

Dễ thấy, theo Mệnh đề 2.2.8, ảnh của f được chứa trong một tập con đại

số thực sự của X xác định bởi phương trình:

a1z1d+ a2z2d+ + an+1zn+1d + an+1Mn+2 + + as−1Ms−1 = 0

với aj 6= 0

2.3 Siêu mặt hyperbolic trong không gian xạ ảnh P3(Cp)

2.3.1 Định nghĩa Một đa tạp đại số xạ ảnh Y của không gian xạ ảnh

Pn(Cp) là hyperbolic Brody p-adic nếu mỗi đường cong chỉnh hình

2.3.3 Mệnh đề Giả sử X là một siêu mặt Fermat bậc d trong Pn(Cp) và

f = (f1, , fn+1) là một đường cong chỉnh hình trong X sao cho

Giả sử X là một siêu mặt hyperbolic thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.3.2

và f là một đường cong chỉnh hình trong X

Giả sử rằng đối với một số i, fi ≡ 0, chẳng hạn, f4 ≡ 0

Nếu α4 = 0, ánh xạ (f1, f2, f3) từ Cp vào P2(Cp) có ảnh được chứatrong một đường cong, giống của nó ít nhất bằng 1 Theo định lý Berkovich

(f1, f2, f3) cũng là ánh xạ hằng Từ đó và (5) ta suy ra rằng f là một ánh xạhằng

Giả sử fj 6≡ 0 Từ chứng minh Định lý 2.2.6 ta suy ra rằng {fd

1, , f4d} làphụ thuộc tuyến tính

a1f1d + + a4f4d ≡ 0, ∃ai 6= 0

Chúng ta xét các khả năng có thể xảy ra:

i) Mọi ai 6= 0, i = 1, , 4; theo Mệnh đề 2.3.3, f là ánh xạ hằng, hoặc ta

có thể giả thiết f1 = c1f2, f3 = c2f4, thay hệ thức này vào (5) và suy ra f làánh xạ hằng

ii) Chỉ có một aj = 0, chẳng hạn, a4 = 0, thì (f1, f2, f3) là ánh xạ hằng và

từ phương trình (5) suy ra f là ánh xạ hằng

iii) Hai hệ số, chẳng hạn, a1 = a2 = 0, ta có f3 = c3f4, thay hệ thức nàyvào (5) ta được:

X : z1d+ z2d+ ε2zα1

1 zα2

2 zα3 +α 4

3 = 0

Ta sẽ chứng tỏ rằng từ giả thiết của Định lý 2.3.2, giống của đường cong

Y ít nhất là 1, và Định lý 2.3.2 được suy ra từ định lý Berkovich

Giống của đường cong Y trong P2(Cp) bằng số số các điểm nguyên thuộcmiền trong tam giác được tạo thành từ các điểm (d, 0), (0, d), (α1α2) Điềunày đủ để xét trường hợp α1+ α2 < d và dễ thấy rằng tam giác này có chứa

ít nhất một điểm nguyên, trừ trường hợp α1 + α2 < d − 1, trường hợp nàyđược bác bỏ bởi các giả thiết của Định lý 2.3.2

Chứng minh hoàn thành

2.3.4 Nhận xét Sử dụng Định lý 2.2.2 và thuật toán của K Masuda - J.Noguchi, chúng ta xây dựng một số ví dụ về các siêu mặt hyperbolic p-adictrong P3(Cp):

Ví dụ 3:

X : z14d + + z44d + t(z21z2z3)d = 0, d ≥ 4, t 6= 0

Sử dụng định lý Nevanlinna – Cartan p-adic thông qua tính suy biến củacác đường cong chỉnh hình, chúng ta sẽ chứng tỏ các siêu mặt sau là hyperbolicBrody p-adic.

2.3.5 Định lý Nếu d là số nguyên chẵn d ≥ 48 và t là số hữu hạn, kháckhông thì Xt là không gian hyperbolic p-adic, trong đó Xt là siêu phẳng trong

P3(Cp) được xác định bởi phương trình

X : z1d+ z2d+ z3d+ z4d + t(z1z2)d2 + t(z3z4)d2 = 0

Chứng minh Giả sử f = (f1, f2, f3, f4) : Cp −→ Xt là ánh xạ chỉnh hình,chúng ta chứng tỏ rằng f là hằng số Phép chứng minh được tiến hành quacác trường hợp sau đây:

Trường hợp 1 Giả sử có fi = 0, khi đó f là ánh xạ vào một đường congđược chứa theo tập {xi = 0} trong phương trình xác định Xt Với t 6= 0 vàhữu hạn, đường cong này không suy biến và có giống ≥ 2, vậy theo định lýBerkovich, ánh xạ f là hằng số

Trường hợp 2 Giả sử rằng fj 6= 0, ∀j Đặt

g0 = f02, g1 = f12, g2 = f22,

g3 = f32, g4 = tf0f1, g5 = tf0f2

Khi đó g = (g0, g1, g2, g3, g4, g5) : Cp −→ P5(Cp) là ánh xạ chỉnh hình vàosiêu mặt Fermat bậc d2 trong không gian xạ ảnh P5(Cp)

Vì d2 ≥ 52 − 1 nên từ Định lý 2.2.1, tồn tại một phân hoạch của tập cácchỉ số {0, 1, 2, 3, 4, 5} sao cho trong mỗi lớp tương đương S chúng ta có

X

i∈S

g

d 2

2.3.1 Định nghĩa Một đa t? ?p đại số xạ ảnh Y không gian xạ ảnh < /p>

Pn(Cp< /sub>) hyperbolic Brody p- adic. .. số ví dụ siêu mặt hyperbolic p- adictrong P< sup>3(Cp< /sub>): < /p>

Ví dụ 3: < /p>

X : z14d + + z44d + t(z21z2z3)d... tỏ siêu mặt sau hyperbolicBrody p- adic. < /p>

2.3.5 Định lý Nếu d số nguyên chẵn d ≥ 48 t số hữu hạn, kháckhông Xt khơng gian hyperbolic p- adic, Xt siêu phẳng < /p>

P3(Cp< /sub>)