Về sự tồn tại các điểm bất động của ánh xạ cyclic trong không gian Dmeetric nón

Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co và tựa co trong không gian D∗−mêtric nón.. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co kiểu Kannan và kiểuChatterjea trong không gian D∗−m

NGHỆ AN - 2015

MỤC LỤC

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 51.2 Nón và không gian mêtric nón 81.3 Không gian D∗−mêtric nón 12

2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CYCLICTRONG KHÔNG GIAN D∗−MÊTRIC NÓN 152.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co và tựa co trong không gian

D∗−mêtric nón 152.2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co kiểu Kannan và kiểuChatterjea trong không gian D∗−mêtric nón 21

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng củagiải tích, nó có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành khoa học kĩ thuậtkhác nên đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâmnghiên cứu Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) trong không gian mêtric đầy đủ

là kết quả quan trọng đầu tiên trong lý thuyết điểm bất động Sau đó, người ta

đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian Mộttrong những hướng mở rộng đó là đưa ra khái niệm ánh xạ co cyclic và nghiêncứu sự tồn tại các điểm bất động của nó Năm 2003, Krik và các cộng sự ([10])

đã mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cho lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện cocyclic Sau đó, sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co cyclic đã thu hút được

sự quan tâm của nhiều nhà toán học

Huang và Zhang ([6]) đã mở rộng khái niệm không gian mêtric bằng cách thaygiả thiết hàm mêtric nhận giá trị trong không gian các số thực R bởi nhận giátrị trong không gian Banach có thứ tự và đã đưa ra khái niệm không gian mêtricnón Vào năm 2011, Aage và Salunke ([5]) đã đã đưa ra khái niệm không gian

D∗-mêtric nón và đạt được một số kết quả về tính chất tôpô và sự tồn tại cácđiểm bất động trong không gian D∗-mêtric nón

Để tập dược nghiên cứu khoa học, để tìm hiểu lý thuyết điểm bất động chúngtôi tiếp cận vấn đề này để nghiên cứu các ánh xạ cyclic và các điều kiện co đểánh xạ cyclic tồn tại điểm bất động trong không gian D∗-mêtric nón, tìm cách

mở rộng một số kết quả về điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gianmêtric cho không gian D∗-mêtric nón

Vì thế chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là "Sự tồn tại các điểm bất động củaánh xạ cyclic trong không gian D∗-mêtric nón".

Với mục đích đó, luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 Không gian D∗-mêtric nón

Trong chương này, đầu tiên, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản củatôpô đại cương, giải tích hàm có liên quan đến nội dung của luận văn Trình bàykhái niệm nón trong không gian Banach Sau đó, chúng tôi trình bày Định nghĩa,

ví dụ và một số tính chất của không gian D∗-mêtric nón

Chương 2 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic trong khônggian D∗-mêtric nón

Chương này đưa ra một số kết quả về sự tồn tại các điểm bất động của các ánh

xạ cyclic co suy rộng trong D∗−mêtric nón

Trong mục thứ nhất của chương này, chúng tôi mở rộng một số kết quả về sựtồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic thỏa mãn điều kiện cyclic co và tựa

co trong không gian mêtric cho không gian D∗−mêtric nón Trong mục thứ hai,chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại các điểm bất động của ánh xạ cyclic

co kiểu Kannan và kiểu Chatterjea trong không gian D∗−mêtric nón Đó là cácĐịnh lý 2.1.3, 2.1.5, 2.1.6, 2.2.1 và các Hệ quả 2.1.4, 2.1.7, 2.1.8, 2.2.2, , 2.2.10.Các kết quả của chúng tôi là mở rộng của một số kết quả chính trong các tài liệu[5, 8, 10, 11, 12]

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình,chu đáo của Thầy giáo, PGS TS Định Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệmPhòng sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán và cảm ơn các quý Thầy, Cô giáo

Tổ Giải Tích trong Khoa Toán

Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt thờigian học tập và hoàn thành đề cương, luận văn này

Cuối cùng, tác giả xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các

bạn cùng lớp cao học 21, chuyên ngành Giải Tích đã giúp đỡ và động viên tác giảtrong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế,thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, côgiáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, ngày 18 tháng 10 năm 2015

CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN D∗-MÊTRIC NÓN

Chương này trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian D∗-mêtricnón

Tập hợp X cùng với τ trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu là (X, τ )

hay đơn giản hơn là X

Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô

Các phần tử thuộc τ được gọi là tập mở

Giả sử A ⊂ X Tập A được gọi là đóng nếu X\A là mở

1.1.2 Định nghĩa ([4]) Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi

là lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊆ A

Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U (x) là họ tất cả các lân cận của x Họ

B(x) ⊂ U (x) được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ U (x) tồn tại

V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U

1.1.3 Định nghĩa ([4]) Dãy {xn} trong không gian tôpô được gọi là hội tụtới điểm x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho

Không gian tôpô X được gọi là T2−không gian hay không gian Hausdorff nếuhai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x 6= y tồn tại các lân cận tương ứng Ux, Uy của x và y

1.1.6 Định nghĩa ([2]) Giả sử X là tập khác rỗng và d : X × X → R Hàm

d được gọi là mêtric trên X nếu các điều kiện sau thỏa mãn

(i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Tập hợp X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và kýhiệu là (X, d) hoặc X

1.1.7 Định nghĩa ([2])Cho X là không gian mêtric Một dãy {xn} trong X

gọi là dãy Cauchy nếu với mọi  > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n và m ≥ n0

thì d(xn, xm) < 

Mọi dãy hội tụ là dãy Cauchy

Không gian mêtric X gọi là đầy đủ nếu moi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.Tập con A ⊂ X gọi là đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh

Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng, mọi tập con đóng củamột không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ

1.1.8 Định nghĩa ([2]) Giả sử E là không gian vectơ trên trường K = R hoặc

K = C Hàm p : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điềukiện sau

(i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E và p(x) = 0 ⇔ x = 0;

(ii) p(λx) = |λ|p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K;

(iii) p(x + y) ≥ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E

Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ x ∈ E Ta thường kí hiệu chuẩn của x là

||x|| Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là khônggian định chuẩn

1.1.9 Mệnh đề ([2]) Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức

d(x, y) = ||x − y||, ∀x, y ∈ E,

xác định một mêtric trên E

Ta goi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn

Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinhbởi chuẩn được gọi là không gian Banach

1.1.10 Định lý ([2]) Nếu E là không gian định chuẩn thì

Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của nón trong khônggian Banach

1.2.1 Định nghĩa ([6]) Cho E là không gian Banach trên trường số thực R.Một tập con P của E được gọi là nón trong E nếu:

3) Giả sử C[a,b] là tập tất cả các hàm nhận giá trị thực liên tục trên [a, b] Ta

đã biết C[a,b] là không gian Banach với chuẩn

(v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP tồn tại 0 < γ < 1 sao cho ||γxk < δ;

(vi) Với mỗi c1, c2 ∈ intP tồn tại d ∈ intP sao cho c1  d và c2  d;

(vii) Với mỗi c1, c2 ∈ intP tồn tại e ∈ intP sao cho e  c1 và e  c2;

(viii) Nếu a ∈ P và a ≤ x với mọi x ∈ intP thì a = 0;

(ix) Nếu a ≤ λa với a ∈ P, 0 < λ < 1 thì a = 0;

(x) Nếu 0 ≤ xn ≤ yn với mỗi n ∈ N và lim

n→∞xn = x, lim

n→∞yn = y thì 0 ≤ x ≤ y.Chứng minh (i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP ⊂ intP Nếu a  b và

b  cthìb−a ∈ intP vàc−b ∈ intP Suy rac−a = c−b+b−a ∈ intP +intP ⊂intP Vậy a  c

(ii) Để ý rằng intP + P = [

x∈P

(x + intP ) là tập mở và P là nón nên suy ra

x + intP ⊂ P Do đó P + intP ⊂ intP Nếu a ≤ b và b  c thì b − a ∈ P và

c − b ∈ intP Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP hay c − a ∈ intP.Vậy a  c

(iii) Ta có a  b và c  d nên b − a ∈ intP và d − c ∈ intP suy ra

b − a + d − c ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP do đó a + c  b + d

(iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP ⊂ intP

(v) Với mỗi 0 < γ < 1 và x ∈ intP chọn số tự nhiên n > 1 sao cho δ

n||x|| < 1.

Khi đó, với γ = δ

n||x|| thỏa mãn: 0 < γ < 1 vàkγxk ≤ kγkkxk ≤ δ

1.2.4 Bổ đề ([6]) Giả sử {xn} là dãy trong P Khi đó, xn → 0 thì với mỗi

c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N sao cho xn  c với mọi n ≥ n0

Chứng minh Giả sử {xn} là dãy trong P vàxn → 0 Với mọi c ∈ intP, vì intP

là tập mở nên tồn tại δ > 0 sao cho c + BE(0, δ) ⊂ intP Do đó, nếu x ∈ E mà

kxk < δ thì c − x ∈ intP Với δ > 0 xác định như trên tồn tại n0 ∈ N sao cho

kxnk < δ, ∀n > n0

Suy ra c − xn ∈ intP với mọi n > n0 Do đó xn  c với mọi n ≥ n0

1.2.5 Định nghĩa ([6]) Cho X là tập khác rỗng, và d : X × X −→ E Hàm

d được gọi là mêtric nón trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau:

(i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.

Tập hợp X cùng với một mêtric nón d trên nó được gọi là không gian mêtricnón và ký hiệu (X, d) hay đơn giản hơn là X

1.2.6 Định nghĩa ([7]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón Cho

{xn}là một dãy trong X và x ∈ X Nếu với mỗi c ∈ E, c  0, tồn tại số tự nhiên

n0 sao cho với mọi n ≥ n0, d(xn, x)  c thì {xn} được gọi là hội tụ đến x Khi

đó ta kí hiệu là lim

n→∞xn = x hoặc xn → x.1.2.7 Định nghĩa ([7]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón Cho

{xn} là một dãy trong X Nếu với mỗi c ∈ E, c  0, tồn tại số tự nhiên n0 saocho với mọi n, m ≥ n0, d(xn, xm)  c thì {xn} được gọi là dãy Cauchy trong X.1.2.8 Định nghĩa ([7]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric nón Nếu mọi dãyCauchy trong X đều hội tụ thì X được gọi là đầy đủ

Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của khônggian D∗-mêtric nón

Giả sử E là không gian Banach, P là nón trong E với intP 6= ∅, ≤ và là cácthứ tự trên E được xác định bởi P

1.3.1 Định nghĩa ([5]) Giả sử X là tập khác rỗng và D∗ : X × X × X → E

là hàm thỏa mãn các điều kiện sau

(i) D∗(x, y, z) ≥ 0,

(ii) D∗(x, y, z) = 0 khi và chỉ khi x = y = z,

(iii) D∗(x, y, z) = D∗(x, z, y) = D∗(y, z, x) = , hàm đối xứng ba biến,

(iv) D∗(x, y, z) ≤ D∗(x, y, a) + D∗(a, y, z), (bất đẳng thức tứ giác)

Khi đó, hàm D∗ được gọi là D∗− mêtric nón trên X và cặp (X, D∗) được gọi làkhông gian D∗−mêtric nón

1.3.2 Nhận xét ([5]) Nếu (X, D∗) là không gian D∗−mêtric nón thì

D∗(x, x, y) = D∗(y, y, x) ∀x, y ∈ X

1.3.3 Định nghĩa ([5]) Giả sử (X, D∗) là một không gian D∗−mêtric nón.Cho {xn} là một dãy trong X và x ∈ X Nếu với mỗi c ∈ intP tồn tại số tựnhiên n0 sao cho với mọi m, n > n0, D∗(xm, xn, x)  c thì {xn} được gọi là hội

tụ đến x và x được gọi là giới hạn của {xn} Khi đó, ta kí hiệu là xn → x hoặc

(ii) Với mọi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N sao cho D∗(xn, xn, x)  c với mọi n ≥ n0

1.3.5 Bổ đề ([5]) Giả sử (X, D∗) là một không gian D∗-mêtric nón và {xn}

là một dãy trong X Nếu {xn} hội tụ đến x và {xn} hội tụ đến y, thì x = y, tức

là giới hạn của {xn} nếu tồn tại thì duy nhất

1.3.6 Định nghĩa ([5]) Giả sử (X, D∗) là một không gian D∗-mêtric, {xn}

là một dãy trong X Nếu với bất kì c ∈ intP, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho vớimọi m, n, l > n0, D∗(xm, xn, xl)  c, thì {xn} được gọi là dãy Cauchy trong X

1.3.7 Định nghĩa ([5]) Giả sử (X, D∗) là một không gian D∗-mêtric nón.Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ thì X được gọi là không gian đầy đủ

1.3.8 Bổ đề Giả sử {xn} là dãy trong không gian D∗-mêtric nón (X, D∗).Khi đó, {xn} là dãy Cauchy khi và chỉ khi với mỗi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N sao

cho với mọi n và m ≥ n0 ta có D∗(xn, xn, xm)  c

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên Bây giờ, ta chứng minh điều kiện đủ.Giả sử với mỗi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N sao cho

D∗(xn, xn, xm)  c ∀n, m ≥ n0

Khi đó, với mọi n, m và l ≥ n0 ta có

D∗(xn, xm, xl) ≤ D∗(xn, xn, xm) + D∗(xn, xn, xl)  2c

Vì vậy {xn} là dãy Cauchy

1.3.9 Bổ đề Cho{xn}là dãy Cauchy trong không gian D∗-mêtric nón(X, D∗).Nếu {xn} có một dãy con {xnk} hội tụ tới x, thì {xn} hội tụ tới x

Chứng minh Giả sử c ∈ intP Khi đó, tồn tại n0 ∈ N sao cho

là một D∗−mêtric nón trên X và nếu (X, d) đầy đủ thì (X, D∗) đầy đủ

1.3.13 Định nghĩa Giả sử (X, D∗) là không gian D∗−mêtric nón và T làánh xạ từ X → X Ánh xạ T được gọi là liên tục nếu từ {xn} là dãy trong X và

xn → x ∈ X suy ra T xn → T x

Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của T nếu T x = x

CHƯƠNG 2

SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CYCLIC

TRONG KHÔNG GIAN D∗−MÊTRIC NÓN

Trong chương này, chúng tôi đưa ra một số kết quả về sự tồn tại các điểm bấtđộng của các ánh xạ cyclic thoả mãn các điều kiện co và co suy rộng trong khônggian D∗−mêtric nón

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co và tựa

co trong không gian D∗−mêtric nón

Mục này mở rộng một số kết quả về sự tồn tại các điểm bất động của ánh xạcyclic co và tựa co trong không gian mêtric nón cho không gian D∗−mêtric nón.2.1.1 Định nghĩa ([10]) Cho A1, A2, , Ap, Ap+1 = A1 là các tập con khácrỗng của tập X và ánh xạ T :

2.1.2 Định nghĩa Giả sử (X, D∗) là không gian D∗−mêtric nón và T : X →

X Ánh xạ T được gọi là co trên X nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho

D∗(T x, T y, T z) ≤ αD∗(x, y, z) ∀x, y, z ∈ X

Ta nhận thấy rằng, nếu T là ánh xạ co thì T liên tục tại mọi điểm x ∈ X Thậtvậy, giả sử {xn} là dãy trong X, xn → x Khi đó, với mọi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N

sao cho với mọi n > n0 ta có

0 ≤ D∗(T xn, T xn, T x) ≤ αD∗(xn, xn, x)  c

Do đó T xn → T x Vậy T liên tục tại x

2.1.3 Định lý Giả sử (X, D∗) là không gian D∗−mêtric nón đầy đủ và T :

X → X là ánh xạ liên tục (nghĩa là từ {xn} là dãy trong X và xn → x kéo theo

T xn → T x) Khi đó, nếu tồn tại a ∈ [0, 1) sao cho

2.1.4 Hệ quả Nếu (X, D∗) là không gian D∗−mêtric nón đầy đủ thì mọi ánh

xạ co trên X có duy nhất điểm bất động

Chứng minh Giả sử T : X → X là ánh xạ co trên X Khi đó, tồn tại α ∈ [0, 1)

sao cho

D∗(T x, T y, T z) ≤ αD∗(x, y, z) ∀x, y, z ∈ X

Do đó với mọi x ∈ X ta có

D∗(T x, T x, T2x) ≤ αD∗(x, x, T x)

Vì thế theo Định lý 2.1.3, T có điểm bất động, kí hiệu bởi x

Giả sử y cũng là điểm bất động của T Khi đó, ta có

Khi đó, F có duy nhất điểm bất động trong A ∩ B

Chứng minh Với mỗi x ∈ A ∪ B, từ (1) và (2) suy ra

D∗(F x, F x, F2x) ≤ kD∗(x, x, F x)

Mặt khác, vì A và B đóng trong X nên A ∩ B đóng trong X Do X đầy đủ nêntheo Định lí 1.3.12 và A ∩ B đầy đủ Do đó theo Định lí 2.1.3,F có điểm bất độngtrong A ∩ B Từ (2) suy ra điểm bất động của F là duy nhất

2.1.6 Định lý Cho {Ai}pi=1 là họ các tập con đóng, khác rỗng của khônggian D∗−mêtric nón đầy đủ X và T :

T (Ai) ⊂ Ai+1; i = 1, 2, , p trong đó Ap+1 = A1.

Khi đó, nếu tồn tại a ∈ [0,1

2) sao cho với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1, với mọi i =

1,2, ,p ta có

D∗(T x, T x, T y) ≤ asup{D∗(x, x, y), D∗(x, x, T x), D∗(x, x, T y),

D∗(y, y, T x), D∗(y, y, T y), D∗(x, y, T x), D∗(x, y, T y),

D∗(x, T x, T y), D∗(y, T x, T y)} (2.1.1)

thì T có điểm bất động duy nhất x∗ trong

Ai Vì T là ánh xạ cyclic nên nếu xn ∈ Ai thì xn+1 ∈ Ai+1 Do

đó, theo điều kiện (2.1.1), với mọi n ≥ 1 ta có