Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian b mêtric

Lời cảm ơnLời đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tất cả QuýThầy Cô đã tận tình giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quan trọngtrong suốt thời gian tôi

Mục lục

1.1 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh 6

1.2 Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwartz 6

1.3 Mệnh đề về giới hạn các hàm số cơ bản 6

1.4 Các không gian hàm cơ bản 7

1.5 Khai triển Fourier 8

1.6 Biến đổi Fourier 8

1.6.1 Các định nghĩa và tính chất của biến đổi Fourier 8

1.6.2 Biến đổi Fourier cho hàm thuộc L2(R) 9

1.7 Bất đẳng thức Holder 9

2 Các kết quả chính 10 2.1 Chỉnh hóa bài toán (5)-(7) 10

2.2 Ví dụ minh họa bài toán (5)-(7) 16

2.3 Chỉnh hóa bài toán (9)-(10) 21

2.4 Ví dụ minh họa cho bài toán 2 25

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tất cả QuýThầy Cô đã tận tình giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quan trọngtrong suốt thời gian tôi học tại khoa Sư phạm Toán trường Đại học Vinh.Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy hướng dẫn của tôilà Thầy PGS TS Phạm Hoàng Quân, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôivượt qua mọi khó khăn để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến gia đình tôi vì sự độngviên, là chỗ dựa vững chắc, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất giúp tôi hoànthành chương trình học tập và luận văn cao học này

Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Quý Thầy Cô trong Hộiđồng chấm luận văn đã dành thời gian quý báu xem xét và góp ý cho nhữngđiểm còn thiếu sót để luận văn của tôi được đầy đủ và chính xác hơn Rấtmong nhận được sự chỉ bảo quý báu của Quý Thầy Cô

Xin chân thành cảm ơn

TP Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2015

Tác giả

La Thanh Hùng

Một số kí hiệu được dùng trong luận văn

Trong luận văn này, ta có các kí hiệu sau

k.kC [0,T ]: chuẩn trong không gian C[0, T ]

k.k2: chuẩn trong không gian L2(R)

k.k: chuẩn trong không gian L2(0, π)

k.kH 1 (R): chuẩn trong không gian H1(R)

Lời nói đầu

Trong những năm gần đây, bài toán nhiệt ngược thời gian đã được nghiêncứu bởi nhiều tác giả như Hào (xem [3, 13]), Fu (xem [1, 9]), David (xem [2]) Các tác giả đã khảo sát bài toán ngược thời gian cho nhiều loại phương trìnhnhiệt như phương trình nhiệt với hệ số hằng, hệ số phụ thuộc thời gian, nguồnnhiệt phi tuyến, ) Trong bài báo [1], Fu và các đồng tác giả đã khảo sát bàitoán nhiệt ngược thời gian với hệ số hằng trong miền không bị chặn như sau

ut+ Au(t) = f(t, u(t)), 0 < t < T (3)

trong đó A là toán tử tự liên hợp dương và f là một hàm Lipschitz

Gần đây, bài toán (1)-(2) và (3)-(4) đã được khảo sát trong trường hợp hệsố dẫn nhiệt phụ thuộc vào thời gian (xem [10, 11, 13, 14]) Đây là một hướngnghiên cứu xuất phát từ thực tế khi mà hệ số dẫn nhiệt của một vật thể phụthuộc vào vật liệu của vật đó tuy nhiên một vật thể trong thực tế thường khôngđồng nhất Hơn nữa, một vật thể có thể biến đổi theo thời gian do các quátrình ăn mòn, oxi hóa, do đó hệ số dẫn nhiệt không phải là hằng số Hơnnữa, trường hợp này theo chúng tôi biết chưa được nghiên cứu Vì những lí dođó, trong luận văn này chúng tôi chọn đề tài Chỉnh hóa bài toán parabolicngược với hệ số dẫn nhiệt bị nhiễu

Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán tìm nhiệt độ u(x, t), (x, t) ∈

[0, π] × [0, T ] thỏa mãn bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolictuyến tính thuần nhất với hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào thời gian và bị nhiễutrong miền bị chặn [0, π] và miền không bị chặn R Như vậy, dữ liệu trong bàitoán này là một bộ gồm hai thành phần là phân bố nhiệt tại thời điểm cuối g(·)và hệ số dẫn nhiệt k(·).

Bài toán 1: Xét trên miền bị chặn [0, π]

Cấu trúc của luận văn được chia thành 2 chương Cụ thể:

+ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Mục này trình bày các khái niệm về bàitoán chỉnh, bài toán không chỉnh, các bất đẳng thức, mệnh đề, định lí, địnhnghĩa, các phép biến đổi được sử dụng trong quá trình trình bày luận văn.+ Chương 2: Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược vớihệ số dẫn nhiệt bị nhiễu trong miền bị chặn [0, π] và miền không bị chặn R.Đưa ra một số ví dụ minh họa cho kết quả

Cuối cùng là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1

Kiến thức liên quan

1.1 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh

Định nghĩa 1.1.1

Bài toán chỉnh: Cho X và Y là 2 không gian định chuẩn, K : X −→ Y làmột ánh xạ Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các điều kiện sauđây:

i) Sự tồn tại: Với mỗi y ∈ Y , có ít nhất một x ∈ X sao cho Kx = y

ii) Sự duy nhất: Với mỗi y ∈ Y , có nhiều nhất một x ∈ X với Kx = y.iii) Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y, tức là vớimọi dãy (xn) ⊂ X sao cho Kxn −→ Kx (tức là dãy dữ liệu nhiễu hội tụ đếndãy dữ liệu chính xác khi n −→ ∞) thì xn −→ x (tức là dãy nghiệm nhiễu hộitụ đến nghiệm chính xác khi n −→ ∞)

Định nghĩa 1.1.2

Bài toán không chỉnh: Bài toán được gọi là không chỉnh nếu nó không thỏa

ít nhất một trong 3 điều kiện của bài toán chỉnh

1.2 Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwartz

Cho n ∈ N, k = 1, n và xk, yk ∈ R, ta có

Xn k=1

xkyk

2

≤

Xn k=1

x2k

Xn k=1

yk2



1.3 Mệnh đề về giới hạn các hàm số cơ bản

Với x ∈ R, ta có các mệnh đề cơ bản sau

ii) Với mọi k ∈ N,

1.4 Các không gian hàm cơ bản

Ta kí hiệu Ω là một tập đo được trong Rk

Định nghĩa 1.4.1 (Định nghĩa không gian Lp(Ω))

Cho f đo được trên Ω Nếu |f|p

(1 ≤ p < ∞) khả tích trên Ω ta định nghĩa

kf kL p (Ω) =

Z

Ω|f |pdx

1 p

.Tập hợp tất cả các hàm f thỏa |f|p

(1 ≤ p < ∞) khả tích trên Ω được kýhiệu là Lp(Ω)

Định lí 1.4.1 Cho 1 ≤ p < ∞, (Lp(Ω), k.kL p (Ω)) là một không gian Banach.Định nghĩa 1.4.2 Cho tập mở Ω ⊆ Rk, k ∈ N Ta đặt

Với m ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa

Wm,p(Ω) = {f ∈ Lp(Ω) : Dαf ∈ Lp(Ω), |α| ≤ m}

với chuẩn kfkW m,p (Ω) = P

|α|≤mkDαfkpL p (Ω)

!1 p

.Đặc biệt, nếu p = 2, ta kí hiệu Hm(Ω) = Wm,2(Ω)

Định lí 1.4.2 Không gian Hm(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng

Định lí 1.4.3 Cho T > 0 và X là không gian Banach với chuẩn k.kX Không gian

C([0, T ]; X) là không gian Banach gồm tất cả những hàm liên tục u : [0, T ] → Xvới chuẩn kukC([0,T ];X) = sup

t ∈[0,T ]ku(t)kX.Khi X = R, ta viết C([0, T ]; X) = C[0, T ]

1.5 Khai triển Fourier

Định lí 1.5.1 (Khai triển Fourier Sin)

Với f ∈ L2(0, π), ta có khai triển Fourier Sin của f như sau

1.6 Biến đổi Fourier

1.6.1 Các định nghĩa và tính chất của biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.6.1 Cho f ∈ L1(R), khi đó ta định nghĩa biến đổi Fourier của f là

Tính chất 1.6.2 Cho f, g ∈ L1(R), c là hằng số thuộc R Khi đó, ta cói) f\+ g = bf + bg,

ii) c fc = c bf ,

iii) f\∗ g = bf bg, với (f ∗ g)(x) = R−∞∞ f(x − y) g(y) dy

1.6.2 Biến đổi Fourier cho hàm thuộc L2(R)

Định lí 1.6.1 (Định lí Plancherel) Với mọi f ∈ L2(R), N > 0, ta đặt

với w ∈ R Khi đó,

a) FN{f } hội tụ trong L2(R) đến một hàm F {f } khi N → ∞ Hơn nữa

thì gN hội tụ trong L2(R) đến f khi N → ∞

d) F là toán tử đẳng cấu từ L2(R) vào L2(R)

1.7 Bất đẳng thức Holder

Chương 2

Các kết quả chính

Trong chương 2, các kết quả chúng tôi tham khảo trong bài báo [15], [16];chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết các kết quả chỉnh hóa bài toánparabolic ngược thời gian với hệ số dẫn nhiệt bị nhiễu trong miền bị chặn [0, π]và miền không bị chặn R

2.1 Chỉnh hóa bài toán (5)-(7)

Trong tiểu mục 2.1, chúng tôi xét (gε, kε), (g, k) ∈ L2(0, π) × C[0, T ] là dữliệu đo đạc và dữ liệu chính xác sao cho kgε − gk ≤ ε và kkε− kkC[0,T ] ≤ ε.Áp dụng khai triển chuỗi Fourier, chúng tôi tìm được nghiệm của bài toán(5)-(7) như sau

< ε34 

ln 1ε
2 Nếu tachọn δ = min{δ1; e−1} > 0, thì ε34ln 1ε

< ε34 

ln 1ε
2

< 1 với mọi ε ∈ (0, δ).Kết thúc chứng minh

Bổ đề 2.1.2 Cho ε > 0 và mε > 0 sao cho lim

ε →0mε = +∞ và limε

→0εm2ε = 0.Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi ε ∈ (0, δ)

|em2Rts(k ε (r)−k(r))dr − 1| ≤ 2T εm2ε,với mọi 0 ≤ t ≤ s ≤ T và m ∈ [−mε; mε]

(kε(r) − k(r))dr ≤ ε(s − t) ≤ εT.Từ đó, ta có

e−εT m2ε− 1 ≤ e−εT m2 − 1 ≤ em2Rts(k ε (r)−k(r))dr − 1 ≤ em2εT − 1 ≤ eεT m2ε− 1

|em2Rts(k ε (r)−k(r))dr − 1| ≤ hε(t) ≤ 2εT m2ε.Kết thúc chứng minh

i) Nếu u là nghiệm chính xác của bài toán (5)-(7) thỏa mãn



ε4ptqT,với mọi ε ∈ (0, δ)

ii) Nếu u là nghiệm chính xác của bài toán (5)-(7) thỏa mãn



ε4ptqT

ln 1ε
,với mọi ε ∈ (0, δ)

Chứng minh i) Với 0 < ε ≤ q, ta được

Từ (2.2), (2.3) và Bổ đề 2.1.2, suy ra tồn tại δ 1 > 0 sao cho với mọi

ε∈ (0, δ1) ta có ước lượng



em2(Fε (T )−F ε (t))

− em2(F (T )−F (t))gm

em2F(T )gm

2

≤ e−2m2ε pt

ku(., 0)k2.Suy ra

+ ku(., 0)k ε4qTpt Từ Bổ đề 2.1.1, tồn tại δ2 > 0 sao cho

ε34ln

1ε

ε4ptqT,với mọi ε ∈ (0, δ)

em2(F (T )−F (t))gm

2

ds)12 =

rπ

2e

−2,

và

1 ≤ k(t) ≤ 3,với mọi t ∈ [0, 1]

Ta có nghiệm chính xác của bài toán là

sin x

e2

Bảng 1.1 Sai số tại thời điểm t = 0.

Hình 1.1: Nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa u εi(gε i, kεi) tại thời điểm

t = 0

Hình 1.2: Nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa u εi(gε i, kεi) tại thời điểm

t= 0.5

Trong hình 1.1 và hình 1.2, đường số 0 minh họa cho nghiệm chính xác gầnnhư trùng với các đường số i minh họa cho các nghiệm chỉnh hóa tương ứngvới sai số dữ liệu εi, i = 3, 4, 5 do sai số giữa chúng khá nhỏ

Cuối cùng, ta có hình vẽ nghiệm chính xác u và nghiệm chỉnh hóa

uεi(gε i, kεi), i = 1, , 5

Hình 1.3: Nghiệm chính xác u(., t) và các nghiệm chỉnh hóa

uεi(gε i, kεi)(., t), i = 1, 2

Hình 1.4: Các nghiệm chỉnh hóa uεi(gε i, kεi)(., t), i = 3, 4, 5.

2.3 Chỉnh hóa bài toán (9)-(10)

Trong tiểu mục 2.3, chúng tôi khảo sát bài toán (9)-(10) tương tự như (5)-(7)nhưng miền khảo sát ở đây là miền không bị chặn R Ngoài ra, chúng tôi xét(gε, kε), (g, k) ∈ L2(R) × C[0, T ] là dữ liệu đo đạc và dữ liệu chính xác sao cho

kgε− gk2 ≤ ε và kkε − kkC[0,T ] ≤ ε

Bằng phương pháp biến đổi Fourier, chúng tôi tìm được biến đổi Fouriercủa nghiệm chính xác bài toán (9)-(10) thỏa

bu(w, t) = ew2(F (T )−F (t))bg(w), (2.14)

với w ∈ R

Giả sử rằng u là nghiệm chính xác của bài toán (9)-(10) ứng với dữ liệuchính xác (g, k) và (gε, kε) là dữ liệu đo sao cho kg−gεk2 ≤ ε, kk−kεkC[0,T ] ≤ ε.Sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân, chúng tôi có nghiệm chỉnh hóa

cho bài toán (9)-(10) tương ứng với các dữ liệu (gε, kε), (g, kε) và (g, k) như sau

Sử dụng định lí Plancherel và bất đẳng thức tam giác, ta có đánh giá sau

trong đó C1 = 1 + M1 kgk2+ (2M T )12

ku(., t)kH 1 (R).Chứng minh Với mọi 0 < ε ≤ maxt ∈[0;T ]k(t), ta có

= 2b2εeb2ε T MT εkgk2 (2.20)Từ (2.14) và (2.17), ta có

|cuε(g, a)(w, t) − bu(w, t)| = ew2(F (T )−F (t))|bg(w)|χR\[−b ,b ](w)

ku(., t)k2H 1 (R) (2.21)Từ (2.18), (2.19), (2.20) và (2.21), ta ước lượng

1 2

Vì

(limε →0√

ε ln 1ε
1

2

= 0,limε →0√

ε ln 1ε
3

2

= 0,nên tồn tại δ2 > 0 sao cho với mọi ε ∈ (0, δ2)

< 1,nghĩa là

ε)1,

√

ε ln 1ε

< 1(ln 1

)1.

Vậy với mọi ε ∈ (0; δ) với δ = min{δ1, δ2, M2 }, ta có

ln1ε
1 2

Suy ra

kuε(gε, kε) (., t) − u(., t)k2 ≤ C1

ln 1ε
1 2

,trong đó C1 = 1 + M1 kgk2+ (2M T )12

ku(., t)kH 1 (R).Kết thúc chứng minh

2.4 Ví dụ minh họa cho bài toán 2

Xét bài toán parabolic ngược thời gian tuyến tính thuần nhất với hệ số phụthuộc thời gian trong miền không bị chặn R

Bảng 2.1 Sai số tại thời điểm t = 0.

Tài liệu tham khảo

[1] C L Fu, X T Xiong, Z Qian, (2007), Fourier regularization for a ward heat equation, J Math Anal Appl., 331, pp 472 480

back-[2] D Colton, (1979), The Approximation of Solutions to the Backwards HeatEquation in a Nonhomogeneous Medium, J Math Anal Appl., 72, pp 418-429

[3] D N Hao, N V Duc, (2009), Stability results for the heat equation ward in time, J Math Anal Appl., 353, pp 627-641

back-[4] L Fushan, (2009), Backward solutions to Neumann and Dirichlet problems

of heat-conduction equation, Applied Mathematics and Computation, 210,

pp 211-214

[5] D.D Trong, N.H Tuan, (2008), A nonhomogeneous backward heat problem:regularization and error estimates, Electron J Diff Eq., 33, pp 1-14.[6] N H Tuan, D D Trong, (2009), A new regularized method for two dimen-sional nonhomogeneous backward heat problem, Applied Mathematics andComputation, 215, pp 873-880

[7] N H Tuan, D D Trong, P H Quan, (2010), On a backward Cauchyproblem associated with continuous spectrum operator, Nonlinear Analysis,

[10] L M Triet, P H Quan, D D Trong, N H Tuan, (2013), A backwardparabolic equation with a time-dependent coefficient Regularization and er-ror estimates, Journal of Computational and Applied Mathematics, 237, pp.432 441

[11] P H Quan, D D Trong, L M Triet, N H Tuan, (2011), A modifiedquasi-boundary value method for regularizing of a backward problem withtime-dependent coefficient, Inverse Problems in Science and Engineering,19: 3, pp 409 - 423

[12] A Shidfar, A Zakeri, (2005), A numerical technique for backward inverseheat conduction problems in one-dimensional space, Applied Mathematicsand Computation, 171, pp 1016-1024.

[13] D N Hao, N V Duc, (2011), Stability results for backward parabolicequations with time-dependent coefficients, Inverse problems, 27, 025003(20pp)

[14] Nguyen Huy Tuan, Pham Hoang Quan, Dang Duc Trong, Le Minh Triet,(2013), On a backward heat problem with time-dependent coefficient Regu-larization and error estimates, Applied Mathematics and Computation, 219,

pp 6066 6073

[15] Pham Hoang Quan, Le Minh Triet, Le Duy Hien, (2013), Regularizing

an inverse problem for parabolic equation with perturbed time-dependentcoefficients, Kỷ yếu Hội nghị quốc tế về ứng dụng Toán học, NXB Thôngtin và Truyền thông

[16] Quan P H., Triet L M., Trong D D., (2014), On a backward nonlinearparabolic equation with time and space dependent thermal conductivity:Regularization and error estimates, J Inverse Ill-Posed Probl., Vol 22, pp.375-402

B? ??ng 1.1 Sai số thời điểm t = 0.

Hình 1.1: Nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa u εi(gε i, kεi) thời điểm

t =

Hình 1.2: Nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa u εi(gε i, kεi) thời điểm< /p>

t=... class="text_page_counter">Trang 21

Hình 1.4: Các nghiệm chỉnh hóa uεi(gε i, kεi)(., t),