Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình vào không gian xạ ảnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HOC VINHLÊ HOÀI THANH ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI VỚI BỘI CẮT CỤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC... Định lý cơ bản

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HOC VINH

LÊ HOÀI THANH

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI VỚI BỘI CẮT CỤT CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH

VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

MÃ SỐ: 60 46 05

Người hướng dẫn khoa họcTS: MAI VĂN TƯ

NGHỆ AN - 2012

MỤC LỤC

Trang DANH MỤC KÍ HIỆU

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1 :Một số kiến thức cơ bản 5

1.1 Một số khái niệm về đường cong chỉnh hình 5

1.2 Các hàm cơ bản của lý thuyết Nevanlinna- Cartan 6

Chương 2: Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình phức 12

2.1 Các bổ đề và khái niệm 12

2.2Chứng minh định lý 2.1.6 20

KẾTLUẬN 27

TÀI LIỆU THAM KHẢO 28

DANH MỤC KÍ HIỆU

W là trường đóng đại số với đặc số 0

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna được đánh giá như là một trong những

thành tựu sâu sắc và đẹp đẽ của toán học trong thế kỷ XX Được hình thành từnhững năm đầu của thế kỷ XX, lý thuyết Nevanlinna bắt đầu bằng những côngtrình của Hadamard, Borel và ngày càng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vựckhác nhau của toán học Lý thuyết phân bố giá trị và sự tổng quát hoá Định lý cơbản của đại số, chính xác hơn đó lý thuyết nghiên cứu sự phân bố giá trị của hàmphân hình trên C Trung tâm lý thuyết là hai định lý cơ bản Định lý cơ bản thứnhất, một cách viết khác của công thức Poisson-Jensen, cho thấy quan hệ giữahàm đặc trưng T f (r) của hàm phân hình f với hàm đặc trưng T r ( a r, ) của hàm

Kí hiệu K là một trường đóng đại số, có đặc số 0, đầy đủ với chuẩn khôngAcsimet, W là Choặc K, P Wn( ) là không gian xạ ảnh n chiều trên trường W Một vấn đề tự nhiên được các nhà toán học đặt ra là: Nghiên cứu lý thuyếtNevanlinna chiều cao, tức là xét phân bố giá trị cho ánh xạ chỉnh hình giữa các

đa tạp trên W Đầu tiên phải kể tới những công trình của H.Cartan công bố vàonăm 1933 Về sau, việc tiếp tục phát triển lý thuyết phân bố giá trị cho ánh xạchỉnh hình và nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết đó trong các lĩnh vực khácnhau của toán học phát triển mạnh mẽ và thu hút được sự quan tâm của nhiềunhà toán học trên thế giới

Về đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính f :C P Cn( ) và qsiêu phẳng H , ,1 H q ở vị trí tổng quát trong P Cn( ) Năm 1933 H Cartanchứng minh: Với mỗi   0, với mỗi r 0 đủ lớn nằm ngoài một tập có độ đoLebesgue hữu hạn.

j

n f

T n

Kết quả trên của H Cartan là một dạng Định lý cơ bản thứ hai với bội cắtcụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào P Cn( ) không suy biến tuyến tính kếthợp với các siêu phẳng ở vị trí tổng quát Công trình này của ông được đánh giáhết sức quan trọng, nó mở ra một hướng nghiên cứu mới trong việc phát triển lýthuyết phân bố giá trị là nghiên cứu sự phân bố giá trị của ánh xạ phân hình màngày nay gọi là “ Lý thuyết Nevanlinna- Cartan” Các kết quả nghiên cứu củacác nhà toán học về lý thuyết này trong thời gian gần đây tập trung vào hai vấnđề:

1 Xây dựng các dạng Định lý cơ bản thứ hai với mục tiêu là các siêu mặt

cố định hoặc di động, bằng các thiết lập quan hệ giữa các hàm đặc trưngNevanlinna- Cartan với các hàm xấp xỉ, hàm đếm được hay hàm đếm bội cắt cụt

Từ đó suy ra các kết quả về quan hệ số khuyết

2 Nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna- Cartan trong cácvấn đề khác nhau của toán học, chẳng hạn, nghiên cứu sự suy biến của cácđường cong đại số, xây dựng các tập xác định duy nhất cho ánh xạ phân hình,… Một ứng dụng quan trọng của Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt trong lýthuyết Nevanlinna -Cartan là nghiên cứu sự xác định của ánh xạ phân hìnhthông qua ảnh ngược của một hay nhiều tập hữu hạn phần tử Vấn đề này cũngthu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học: R Nevanlinna, H Fujimoto, L.Smiley, H H Khoai, G Dethloff, D D Thai, C C Yang, A Boutabaa, W

Cherry, M Ru và nhiều nhà toán học khác Năm 1926, R Nevanlinna chứngminh: Hai hàm phân hình phức khác hằng f , g thỏa mãn f 1(a i) g1(a i)

họ các ánh xạ phân hình phức không suy biến tuyến tính Năm1983, L.Smeleychứng minh một kết quả về sự xác định duy nhất của ánh xạ phân hình khôngsuy biến tuyến tính bởi ảnh ngược của một họ hữu hạn các siêu phẳng, vấn đề đóđược H Fujjmoto nghiên cứu lại năm 1998 Năm 2006, G Dethloff và T V Tanxem xét vấn đề tương tự cho trường hợp siêu phẳng di động Năm 2002 và 2003,

V H An và Đ Q Manh đưa ra một số điều kiện đại số của tập hợp xác địnhđiều kiện duy nhất không kể bội cho các ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạảnh phức và không Acsimet trong trường hợp siêu phẳng cố định Năm 2008,bằng việc sử dụng định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnhhình của An- Phuong, Dulock và Ru đã chứng minh định lý duy nhất cho đườngcong chỉnh hình trong trường hợp siêu mặt Thời gian gần đây các nhà toán họctập trung vào việc nghiên cứu các vấn đề: Tìm các đặc trưng của tập xác địnhduy nhất và các dạng tập xác định duy nhất với số phần tử ít nhất có thể Chú ýrằng, hầu hết những chứng minh của các kết quả về tập xác định duy nhất đềudựa vào dạng Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt

Sự lựa chọn đề tài: “Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường congchỉnh hình vào không gian xạ ảnh” của tác giả luận văn cũng nhằm tiếp tục tìmhiểu lý thuyết Nevanlinna-Cartan

Luận văn trình bày một số dạng Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt chođường cong chỉnh hình vào không gian xạ ảnh phức và không Acsimet.

Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản liên quan đến hàm chỉnh

hình trong lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna- Cartan

Chương 2: Tìm hiểu Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường

cong chỉnh hình phức Đặc biệt, Định lý 2.1.6 là một dạng định lý cơ bản thứ haivới bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào P Cn( ) kết hợp với các siêumặt cố định ở vị trí tổng quát trong P Cn( ), cho thấy một quan hệ giữa hàm đặctrưng T f (r) của đường cong chỉnh hình f :C P Cn( ) với các hàm đếm bội cắtcụt N M(r,D)

f , trong đó chúng tôi chỉ ra một cách tường minh chỉ số bội cắt cụt Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của

TS Mai Văn Tư Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Mai Văn

Tư đã định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuậnlợi, cùng với những lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tậpnghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - TrườngĐại học Vinh đã động viên trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu cũng nhưquá trình viết và chỉnh sửa luận văn này

Mặc dù đã cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Chúngtôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạnđọc để luận văn được hoàn thiện hơn

vinh, tháng 9 năm 2012

tác giả

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Cho hàm chỉnh hình f :C C, điểm z 0 C được gọi là không điểm bội k

của f nếu tồn tại một hàm chỉnh hình h (z) không triệt tiêu trong một lân cận

U của z0 sao cho trong lân cận U đó hàm f được biểu diễn dưới dạng

).

( ) ( ) (z z z0 h z

của f nếu z0 là không điểm bội k của f1, z0 gọi là cực điểm bội k của f

nếu z0 là không điểm bội k của f2

1.1 Một số khái niệm về đường cong chỉnh hình

Trong đó, f j, 0 jn, là các hàm nguyên trên C Nếu f j, jo, ,n, là các

đa thức thì f được gọi là đường cong đại số

1.1.2 Định nghĩa

Đường cong chỉnh hình f :C P Cn( ) được gọi là suy biến tuyến tính nếu

ảnh của f chứa trong một đa tạp tuyến tính thực sự nào đó của không gian xạảnh P Cn( ) Đường cong f được gọi là suy biến đại số nếu ảnh của f chứa trongmột đa tạp con đại số thực sự nào đó của P Cn( )

1.1.3 Định nghĩa

Cho đường cong chỉnh hình ( , , ) :0 n( )

n

f  f f C P C trong đó f , ,0 f n là cáchàm nguyên, không có không điểm chung trên C Ta gọi ánh xạ

 

1 0

( , ) : n \ 0

n

 C C là một biểu diễn tối giản của f

Mệnh đề sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa, chúng tôi sử dụng đểchứng minh hai đường cong chỉnh hình đồng nhất bằng nhau

1.1.4 Mệnh đề

Cho f g, :C P Cn( ), là hai đường cong chỉnh hình khác hằng và

) , , (

),

, ,

(f0 f n g0 g n lần lượt là các biểu diễn tối giản của f , g.Khi đó f  g

nếu và chỉ nếu f i g j f j g i với mọi cặp chỉ số phân biệt i, j 0 , 1 , ,n.

Tiếp theo ta định nghĩa hàm đặc trưng, hàm xấp xỉ, hàm đếm được củađường cong kết hợp với các siêu mặt cố định Cho đường cong chỉnh hình

f C P C và các biểu diễn tối giản (f0, , f n) của f

1.2 Các hám cơ bản của lý thuyết Nevanlinna - Cartan

||

2

1 ) (r f re d

Được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna- Cartan ( hay hàm độ cao Cartan)

của f , trong đó f(z)  max f0(z) , , f n(z)

Giả sử D là một siêu mặt (cố định) bậc d trong P Cn( ), xác định bởi đathức thuần nhất Q.

2 0

1

d i

Được gọi là hàm xấp xỉ của f kết hợp với siêu mặt D

Kí hiệu n f (r,D) là số không điểm của Q  f trong đĩa z  r, kể cả bội,

)

,

n M

f là số các không điểm của Q  f trong đĩa z  r, bội cắt cụt bởi một

số nguyên dương M Nghĩa là

, 0

r N D

r

r

f f

D t n Q

r N D

f được gọi là chỉ số bội cắt cụt Trường

hợp đặc biệt, nếu M  1, ta viếtN f(r,D) thay cho N1f(r,D) và gọi là hàm đếm không kể bội.

Với mỗi số nguyên dương k, kí hiệu n f(r,D, k)là số các không điểm cóbội nhỏ hơn hay bằng k của Q  f trong đĩa z  r và n f(r,D, k)là số khôngđiểm có bội ít nhất bằng k 1 của Q  f trong đĩa z  r Các hàm đếm đượcđịnh nghĩa như sau:

r

r

f f

k

Trong đó n f( 0 ,D, k) ord Qf( 0 ) nếu ord Qf( 0 ) k, bằng 0 trong trường hợpngược lại, n f( 0 ,D, k) ord Qf( 0 )nếu ord Qf( 0 ) k, bằng 0 trong trường hợpngược lại Với các số nguyên dương  ,k Ta kí hiệu:

ord r z

f Q f

ord r z

f Q f

r

f f

r

f f

và hàm đếm bội cắt cụt

1.2 4 Bổ đề

Với các giả thiết và các kí hiệu như trên, ta có:

1) N f (r,D) N f,k(r,D) N f,k(r,D);

, ( )

, ( 1

1

,

k D r N D r N

Chứng minh: Các tính chất 1, 2, 3, 4, 5 và 6 là hiển nhiên theo định nghĩa

của các hàm đếm và hàm đếm bội cắt cụt Ta chứng minh tính chất 7 Từ cáctính chất 5 và 6 ta có

1 )

, ( )

, ( 1

,

1 , ,

k D r N D r N

1

k D r

, ( 1 )

, ( 1 )

, ( )

,

k D r N k D r N k D r N D r

f  f f C P C là đường cong chỉnh hình khác hằng, khi

đó N f j(r, 0 ) T f(r)  0 ( 1 )Với mỗi j 0 , 1 , ,n trong đó N f j (r, 0 ) là hàm đếm được tại các không điểm của hàm f j.

Giả sử f :C P Cn( ) là đường cong chỉnh hình và D là một siêu mặt bậc

d trong P Cn( ) xác định bởi các đa thức thuần nhất Q

1.2.6 Định nghĩa Số

) (

) , ( sup lim 1 ) ( )

(

r dT

Q r N Q

D

f

f r

) , ( sup lim 1 ) ( ) (

r dT

Q r N Q

D

f

M f r

M f

f C P C , trong đó M là một số nguyên dương

Dễ thấy rằng, với mỗi đường cong chỉnh hình f :C P Cn( ), ta luôn có

1 ) ( )

Với mọi số nguyên dươngM và siêu mặtD

1.2.7 Định lý.( Định lý cơ bản thứ nhất với lý thuyết Nevanlinna)

Giả sữ f :C P Cn( ), là một đường cong chỉnh hình và là một siêu mặt bậc d trong P Cn( ) Nếu f( )C D thì với mỗi số thực dương r, ta có

Họ D các siêu mặt trong P Cn( ) được gọi là ở vị trí N - tổng quát đối với

đa tạp X nếu qN  1và với mọi cách chọn N  1 siêu mặt D j, 1 , ,D j,N1

trong họ D, ta luôn có

{xX |Q i1(x)  Q iN1(x)  }  

Đặc biệt nếu N  K , ta nói họ các siêu mặt D ở vị trí tổng quát đối với X Nếu NKn, ta nói họ D ở vị trí tổng quát ( đối với P Cn( ))

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THƯ HAI VỚI BỘI CẮT CỤT CHO ĐƯỜNG

CONG CHỈNH HÌNH PHỨC

Trước khi phát biểu và chứng minh kết quả chính, chúng tôi trình bày một

số bổ đề cần thiết cho việc chứng minh Cho  là một số nguyên dương, kíhiệu V là không gian các đa thức thuần nhất, bậc  trong C[z0 , ,z n]

g g

V g g

, ,

(j1 j m  i1 i m nếu và chỉ nếu tồn tại b  1 , ,m} sao cho j  l i lvới mọi

b

l  và j  b i b

Với định nghĩa trên, chúng ta xây dựng được một quan hệ thứ tự trong N m,

thứ tự đó gọi là thứ tự từ điển của các m - bộ các số tự nhiên Với một m - bộ

) , ,

i i

 Giả sử g1, ,g nC[z0, ,z n], là các đa thức thuần nhất bậc d , định nghĩamột đa tạp con trong P Cn( ) các số chiều 0, ta xây dựng một lọc của

1 )

) ) , ,

1

e d

e n I

Khi đóS(0, ,0)Vvà S(i/) S i) nếu (i/ )  (i) Như vậy {S i) | (i) I,d} cho ta

một lọc của V Bổ đề sau đây sẽ cho một tính chất của không gian thương củahai không gian liên tiếp trong lọc

) /

) , , ( ) (

) (

i d n

i d

V g g

V i

S

i S

từ tập hợp tất cả các lớp tương đương có dạng 1

) )

/

:

i

i i

Trong đó  được xác định như sau: với một đa thức  trong V d(i) ,

 (  ) là lớp tương đương của g , ,1 g n ( thuộc V d(i)) modulo V d (i/ )



Theo định nghĩa của không gian V d(i), đồng cấu trên là một toàn ánh Nhưvậy, ta chỉ cần chứng minh ker   (g1, ,g n) Vd i).

Từ cấu trúc của đồng cấu  , ta có thể chọn được một cơ sở của S((i/))

i S

từ tậphợp tất cả các lớp tương đương có dạng i n

n

g 1

1 moduloS i/ , trong đó  làmột đơn thức của các biến z0, z n. với bậc tổng cộng bằng   d (i) Vì tậphợp tất cả các đơn thức của các biến z0, z n. với bậc tổng cộng bằng

)

/

n i

Khi xem xét bội của không điểm của đường cong, người ta thường xem xét

hàm Wronskian của nó Để tiện theo dỏi chúng tôi nhắc lại một số tính chất quen thuộc của hàm này Cho đường cong chỉnh hình f :C P Cn( ) và một biểudiễn tối giản (f0, , f n) của f , Wronskian của đường cong f là hàm

) ( ) ( 0

/ / 0 0

(

n n n n n

n

f f

f f

f f f

f W f

L j,  1 , , , không phụ thuộc vào f , ,0 f n

Kí hiệu

n n n n

n n n

f f f f

f f f f f

f L f

L

L

/

/

/

/

1

1 )

, , ( ) (

) ( 0 ) ( 0

/ 0 / 0 0

f f W f L

, ,

) , , ( ) (

2.1.6 Định lý

họ các siêu mặt D j, 1 jq trong P Cn( ) có bậc d j tương ứng ở vị trí tổng quát Gọi d là bội số chung nhỏ nhất của các d j

j j

f r d N r D T

Giả sử f :C P Cn( ) là một đường cong chỉnh hình không suy biến đại số

và D j, 1 j q , là các siêu mặt bậc d ở vị trí tổng quat trong P Cn( ) Gọi

q

j

ứng Khi đó

0 ( 1 ),

2

| ) (

|

||

) (

||

log max )

, (

1 2

re f Q

r

i i

i j

i       (2.3)

Do Q j n

j

i , 1   , ở vị trí tổng quát theo Hilberts Nullstelensatz ta có với mỗi

số nguyên k, 0 k n, tồn tại số nguyên mk  d sao cho

1 ( 0, , ) ( 0, , ),

1

n i

n n

j jk

m

z

j k

f z f b z

n

k  0 , 1 , , , ta có

| ( ( ), , ( )) | ( )1 max{| ) |, , | ) |}.

1 1

0 1

1

z f Q z f Q n

z f z f Q

n

i i

n n

| ( ) |m 1|| ( ) ||m d max

 Q1izf)( ||, ,Q n i1zf|}.)( (2.5) Trong đó c1 là một hằng số dương chỉ phụ thuộc vào các hệ số của cácđơn thức trong b jk, 1 jn 1 , 0 kn, tức là phụ thuộc vào các hệ số của các đathức thuần nhất Q i, i 1 , q Chú ý rằng 2.5 đúng với mọi k , nên

i  (2.6) Kết hợp (2.3) và (2.6) suy ra

( ) ( )

k

d n

q

k i

f z c

2

d i q

có số chiều bằng 0 trong P Cn( ) Với một số nguyên dương  nd , theo lập luận

ở trên, ta xây dựng được một lọc các không gian con S (i) của V dựa trên các

đa thức1, , n Theo bổ đề 2.1.4, ta có

: dim

) (

)

/

n i