Phép lặp các ánh xạ chỉnh hình trên không gian xạ ảnh

Lý thuyết về phép lặp của các ánh xạ chỉnh hình trên không gian xạ ảnh phức 1 chiều mà đặc biệt là tập Julia và tập Fatou được các tác giả trên nghiên cứu khá nhiều và đạt được nhiều kết

Nguyễn Mạnh Linh

PHÉP LẶP CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

TRÊN KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016

Nguyễn Mạnh Linh

PHÉP LẶP CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

TRÊN KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu của đề tài là trung thực và chưa từng công bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

Nguyễn Mạnh Linh

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian dài học tập, nghiên cứu đề tài luận văn “Phép lặp các ánh xạ

chỉnh hình trên không gian xạ ảnh” của tác giả được hoàn thành Tác giả xin bày tỏ

lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến:

 TS Nguyễn Văn Đông đã hết lòng giúp đỡ, động viên, hướng dẫn tận tình để tác

giả có thể hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình

 Quý thầy cô phụ trách các môn học của khoa Toán và các trường đại học khác

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

 Ban giám hiệu nhà trường, phòng khoa học công nghệ và sau đại học đã tạo mọi

điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

 Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn

tốt nghiệp này

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9/2016

Tác giả luận văn

Nguyễn Mạnh Linh

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục ký hiệu 

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Một số kết quả trong giải tích phức nhiều biến 3

1.2 Hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa 4

1.3 Không gian phức, đa tạp phức 5

1.3.1 Khái niệm 5

1.3.2 Bản đồ phức và atlas phức, xây dựng không gian phức bằng phương pháp dán 6

1.3.3 Thiết diện và hàm trên không gian phức 8

1.4 Tính hyperbolic của không gian phức 8

1.5 Không gian phức xạ ảnh n và các tự đồng cấu trên n 10

1.5.1 Một cách nhìn khác về đa tạp phức 10

1.5.2 Ánh xạ chỉnh hình trên đa tạp 11

1.5.3 Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ 12

1.6 Tập Fatou trong không gian xạ ảnh 14

1.7 Không gian phủ 15

1.8 Khái niệm phân thớ (bundle) 16

Chương 2 QUỸ ĐẠO TỚI HẠN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRÊN KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 18

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 18

2.1.1 Tập giải tích 18

2.1.2 Phủ giải tích 19

2.1.3 Điểm rẽ nhánh bị chặn 20

2.2 Họ chuẩn tắc các ánh xạ nâng 20

2.3 Miền Siegel 25

2.4 Mối liên hệ của biên miền Siegel và tập giới hạn của các điểm tới hạn 29

2.5 Mối liên hệ của giữa điểm giới hạn Fatou và tập giới hạn của các điểm tới hạn 33

Chương 3 ÁNH XẠ FATOU TRONG ĐỘNG LỰC PHỨC XẠ ẢNH 37

3.1 Một số kiến thức chuẩn bị 38

3.1.1 Hàm Green 38

3.1.2 Phép nâng của một ánh xạ trên không gian phức 38

3.1.3 Ánh xạ đẩy và ánh xạ kéo 39

3.2 Ánh xạ Fatou 40

3.3 Một vài ứng dụng của ánh xạ Fatou 48

3.3.1 Ánh xạ Fatou và tính nhúng hyperbolic 48

3.3.2 Tính căng của thành phần Fatou 51

KẾT LUẬN 54

TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 PHỤ LỤC

DANH MỤC KÍ HIỆU

n

      Không gian Ơclit thực n chiều

n Không gian Ơclit phức n chiều

MỞ ĐẦU

Động lực phức là một trong những lĩnh nghiên cứu non trẻ Nó chỉ mới bắt đầu vào cuối thế kỉ 19 nhưng đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới như Pierre Fatou, Gaston Julia, S.Lattes, J.F Ritt, J.Milnor, L Carleson, T.W Gamelin… Lý thuyết về phép lặp của các ánh xạ chỉnh hình trên không gian xạ ảnh phức 1 chiều mà đặc biệt là tập Julia và tập Fatou được các tác giả trên nghiên cứu khá nhiều và đạt được nhiều kết quả quan trọng ứng dụng trong cuộc sống

Động lực phức xạ ảnh nhiều biến xuất hiện còn chậm hơn nữa, vào khoảng cuối thế kỷ 20 Với ý tưởng là sự mở rộng của lớp các bài toán trong không gian xạ ảnh phức 1 chiều lên không gian xạ ảnh phức nhiều chiều thì nhiều nhà toán học như Ueda T , Fornaess J E , Sibony , Dinh T.C… đã liên tục cho ra nhiều kết quả mới Đặc biệt là một số kết quả liên quan đến lý thuyết về phép lặp của các ánh xạ chỉnh hình

Luận văn trình bày một số kết quả về động lực của các ánh xạ chỉnh hình lặp từ

không gian xạ ảnh phức n chiều lên chính nó

Nội dung của luận văn được tham khảo trong các tài liệu chính [3], [9], [10] Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 : Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một vài kiến thức chuẩn bị về không gian phức, đa tạp phức, không gian phức xạ ảnh, động lực phức xạ ảnh và một số kiến thức khác cần thiết cho các chương sau

Chương 2 : Quỹ đạo tới hạn của các ánh xạ chỉnh hình trên không gian xạ

ảnh.

Chương này trình bày các kết quả về động lực của các ánh xạ chỉnh hình lặp từ

không gian xạ ảnh phức n chiều lên chính nó và mối liên hệ giữa tập Fatou với quỹ

đạo của các điểm tới hạn

Chương 3 : Ánh xạ Fatou trong động lực phức xạ ảnh

Chương này trình bày khái niệm ánh xạ Fatou, các tính chất cơ bản nhất của khái niệm này và một số ứng dụng của nó trong nghiên cứu động lực phức xạ ảnh

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc tìm hiểu và soạn thảo luận văn, nhưng những sai sót là điều không thể tránh khỏi, nên tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp từ quý thầy cô và toàn thể bạn đọc để luận văn được tốt hơn

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức căn bản nhằm chuẩn bị cho các chương sau Mục 1.1 trình bày một số kết quả trong giải tích phức nhiều biến Mục 1.2 dành giới thiệu về hàm đa điều hòa và đa điều hòa dưới Không gian phức, đa tạp phức được giới thiệu ở mục 1.3 Mục 1.4 đề cập tới tính hyperbolic của không gian phức Không gian xạ ảnh phức n-chiều là một đa tạp đặc biệt và tự đồng cấu trên nó được nhắc lại trong mục 1.5 Mục 1.6 dành nhắc lại định nghĩa tập Fatou trên không gian xạ ảnh phức n-chiều và một vài tính chất liên quan đến tập này Mục 1.7 trình bày khái niệm không gian phủ Cuối cùng khái niệm phân thớ được trình bày ở mục 1.8 Các kết quả của chương này dựa chủ yếu vào [1], [2], [4], [5], [8]

1.1 Một số kết quả trong giải tích phức nhiều biến [1]

Định nghĩa 1.1.1 f là một hàm lấy giá trị phức xác định trên tập mở D n gọi là chỉnh hình trên D nếu với mọi điểm  a D có một lân cận U và chuỗi

    1  2  

1 1; 2

Định lý 1.1.4 (Định lý ánh xạ mở) Cho D là một tập mở liên thông trong  n

và f là hàm chỉnh hình và khác hằng trên D Khi đó f là mở từ D vào 

Định lý 1.1.5 (Nguyên lí đồng nhất) Nếu f và g là các hàm chỉnh hình trên

một tập mở liên thông D n và f g trên một tập con mở khác trống của D thì



f g trên D

Định lý 1.1.6. (Định lý Weierstrass) Cho D là tập mở trong  n và dãy  f v gồm các hàm chỉnh hình trên D mà hội tụ về hàm f  trên mọi tập con compact của D

thì f là hàm chỉnh hình trên D.

Mệnh đề 1.1.7. Cho dãy các ánh xạ mở  f , chỉnh hình trên v D n vào n

Giả sử dãy hội tụ đều về ánh xạ  trên các tập con compact của D Điểm a là một

điểm cô lập của  1 ( )a   Khi đó mọi lân cận U của a thì ( ) a  f U v( ) khi vđủ lớn

1.2 Hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa [2]

Định nghĩa 1.2.1. Cho tập mở D  Một hàm :h D  gọi là điều hòa

nếu h C D và  2   h 0 trên D

Định nghĩa 1.2.2 Cho tập mở D  Một ánh xạ u D:      gọi là

điều hòa dưới nếu nó là hàm nửa liên tục trên và thỏa bất đẳng thức trung bình dưới

địa phương, tức là với mọi z D ,  tồn tại  0 sao cho

  2    

0

1

02

 với mọi  D thì u0 trên D

Định nghĩa 1.2.4 Một hàm giá trị thực trên một tập mở D  n là một hàm

đa điều hòa nếu nó liên tục trên D và hạn chế của nó lên bất kỳ đường thẳng phức nào

qua bất cứ điểm nào trong D là hàm điều hòa trên đường thẳng đó trong D

Định lý 1.2.5 Các hàm đa điều hòa trên một miền đơn liên D n chính là các phần thực của các hàm chỉnh hình trên D

Định nghĩa 1.2.6 Một ánh xạ u D:    ,  xác định trên một tập mở

 n

D là hàm đa điều hòa dưới nếu u nửa liên tục trên trên D và hạn chế của nó lên

bất kỳ đường thẳng phức nào qua bất cứ điểm nào trong D là hàm điều hòa dưới trên đường thẳng đó trong D

Định lý 1.2.7. Giới hạn của một dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới là hàm đa điều hòa dưới

Định lý 1.2.8

1 Tính đa điều hòa dưới là tính địa phương Nghĩa là một hàm u đa điều hòa dưới trên một tập mở D n nếu và chỉ nếu nó đa điều hòa dưới trong một lân cận

của mỗi điểm trong D

2 Nếu ánh xạ u là đa điều hòa thì nó cũng là đa điều hòa dưới trên D Và nếu cả

u và u đều là đa điều hòa dưới trên D thì u là đa điều hòa trên D

3 f là hàm lấy giá trị trên  m, chỉnh hình trên D  n và khác 0 Khi đó hàm ( ) log ( )

g z f z là đa điều hòa trên D\z f z( ) 0  và đa điều hòa dưới trên D

1.3 Không gian phức, đa tạp phức [2]

1.3.1 Khái niệm

Các khái niệm và tính chất liên quan đến bó vành, bó đại số, tiền bó, cấu xạ, không gian vành, không gian mô hình phức…(xem [2] hoặc trong phần phụ lục của luận văn)

Cho X,X là một không gian  - vành với X là một không gian Hausdorff Ta gọi X là một không gian phức nếu tại mọi điểm của X đều có một lân cận mở U sao

cho không gian con  - vành mở U,U của X,Xđẳng cấu với một không gian

mô hình phức Nói cách khác, một không gian phức là một không gian vành Hausdorff

mà về địa phương có thể được xem là (như một không gian  - vành) tập các không điểm chung của hữu hạn hàm chỉnh hình trên một miền của một không gian số phức

Ví dụ mọi không gian mô hình phức, đặc biệt là các không gian (D, D ) , (p, p)

là các không gian phức

Các đồng cấu giữa các không gian phức được gọi là ánh xạ chỉnh hình; các đẳng cấu giữa các không gian phức được gọi là ánh xạ song chỉnh hình

x X được gọi là một điểm trơn của không gian phức X = (X, ) nếu tồn tại

một lân cận mở của x mà đẳng cấu với miền (D, D ) Nếu mọi điểm của X là điểm trơn thì không gian phức được gọi là đa tạp phức

Không gian X được gọi là bất khả qui (irreducible) tại x nếu thớ (stalk)  x là một

miền nguyên, ngược lại X gọi là khả qui được tại x Không gian X được gọi là khả qui

địa phương nếu mọi điểm của X đều bất khả qui Đa tạp phức là khả qui địa phương Không gian X được gọi là đã rút gọn (reduced) tại x nếu thớ  x không chứa phần

tử lũy linh khác 0 X gọi là một không gian rút gọn nếu X rút gọn được tại mọi điểm

của nó

Một điểm x X được gọi là điểm chuẩn tắc nếu thớ  x trùng với x trong M , x

ở đây M là thớ mầm hàm phân hình,  x x là tập hợp tất cả các mầm hàm phân hình

Trong luận văn này, ta chỉ xét đến các không gian phức đã rút gọn

1.3.2 Bản đồ phức và atlas phức, xây dựng không gian phức bằng phương pháp dán

Cho X là không gian tô pô Mọi không gian phức (D, U ) trong đó U là tập mở trong X được gọi là một bản đồ phức trên X Một họ ( U , i U i, ij, ,i j I ) bao gồm các

bản đồ phức trên X và các đẳng cấu  đại số  ij: 

Bổ đề dán Cho (U , i U i, , ,ij i j I ) là một atlas phức trên một không gian tô pô

Hausdorff X Khi đó tồn tại duy nhất, sai khác một đẳng cấu, một không gian phức (X, ) và các đẳng cấu  đại số  f : i  , 

 trên U iU với mọi ,  j i j I

Ví dụ: Ta có thể xây dựng không gian phức xạ ảnh  n

một không gian Hausdorff

Ký hiệu z z0, , ,1 z là các tọa độ phức trong n n 1 và trong n 1

là ánh xạ song chỉnh hình và ánh xạ hạn chế

:  

i

n i

H H



là ánh xạ mở Đặt U i:( )H i ta có U U0, , ,1 U là phủ mở của  n n Các ánh xạ cảm sinh i:H i U i là các đồng phôi nên nó chuyển cấu trúc của H đến i U qua i i và ta

nhận được các đa tạp phức n chiều ( U , i i), 0 i n Các ánh xạ

 là một compact hóa của n

1.3.3 Thiết diện và hàm trên không gian phức

Mọi thiết diện f C U (t.ư X( ) D( )U ) có thể được đồng nhất với một hàm giá

trị phức Nếu A là một bó tùy ý các  đại số địa phương trên X ta có thể gán mỗi thiết diện sA Y( ), Y  X với một hàm nhận giá tri trong  : với mọi y Y mầm



s m A

Ánh xạ s s là một đồng cấu  đại số từ A Y( )vào  đại số các hàm 

nhận giá trị trong  trên Y

Nếu (X, ) là không gian phức thì mọi thiết diện cảm sinh một hàm liên tục

 s C Y ( )

1.4 Tính hyperbolic của không gian phức [8]

Định nghĩa 1.4.1 (Metric hyperbolic) Ký hiệu  là đĩa đơn vị Với z và

ta kí hiệu T là không gian tiếp xúc tại z (xem thêm phần phụ lục),   z v T là một z

vector tiếp xúc tại z (trong trường hợp này có thể đồng nhất với một số phức), ta định nghĩa chuẩn hyperbolic

 

2 ,

1



euc hyp z

v v

z

với v euc là chuẩn Euclide trên  Metric sinh bởi   gọi là metric hyperbolic

của đĩa đơn vị

Định nghĩa 1.4.2 (Khoảng cách Kobayashi) Cho X là một không gian phức

liên thông Cố định ,x y X , Ta gọi một xích trên X từ x tới y là tập hợp   gồm m

Một vài tính chất của khoảng cách Kobayashi

Định lý 1.4.3 Trên mọi đa tạp X thì khoảng cách Kobayashi là nửa metric

Mệnh đề 1.4.4 (Tính co) Cho f X: Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không

gian phức Khi đó, f là ánh xạ co với khoảng cách Kobayashi, tức là

Định nghĩa 1.4.6 (Tính Kobayashi hyperbolic) Cho X là một đa tạp phức

Ta nói X là có tính chất Kobayashi hyperbolic (hay gọn hơn X Kobayashi hyperbolic)

nếu khoảng cách Kobayashi d là một metric, tức là X x y kéo theo d X x y, 0 Một vài tính chất của tính Kobayashi hyperbolic

Mệnh đề 1.4.7 Tính Kobayashi hyperbolic là bất biến qua ánh xạ song chỉnh

hình

Mệnh đề 1.4.8 Mọi đa tạp phức con của một đa tạp phức Kobayashi

hyperbolic đều là Kobayashi hyperbolic Nếu f X: Y đơn ánh chỉnh hình và Y

Kobayashi hyperbolic thì X Kobayashi hyperbolic

Ví dụ: Đa đĩa và mọi tập bị chặn trong n đều là Kobayashi hyperbolic

Định lý 1.4.9 (Barth) Cho X là một đa tạp phức liên thông Kobayashi

hyperbolic Khi đó d xác định topo trên X X

1.5 Không gian phức xạ ảnh n và các tự đồng cấu trên n [4]

1.5.1 Một cách nhìn khác về đa tạp phức

Định nghĩa 1.5.1.1 Cho (M,T) là một không gian tôpô Hausdorff, có một cơ sở

đếm được M được gọi là một đa tạp tô-pô nếu tồn tại một số tự nhiên n và với mỗi

điểm p M có một lân cận mở U của p, một ánh xạ :  U  n mà là đồng phôi lên ảnh  U  của nó Cặp U, được gọi là một bản đồ địa phương (mảnh tọa độ) trên

M, số tự nhiên n được gọi là chiều của M

Theo định nghĩa trên một đa tạp tô-pô đồng phôi địa phương với mvới một m

A U x là một C k- atlas Một C k- atlas A được gọi là cực đại nếu nó chứa mọi

bản đồ tương thích với nó Một atlas cực đại A trên M còn được gọi là một C k - cấu trúc trên M

Cặp  M A,

 được gọi là một đa tạp khả vi thuộc lớp C k nếu M là đa tạp tô-pô

và A là một k

C - cấu trúc trên M Một đa tạp khả vi được gọi là trơn nếu các phép biến

đổi tọa độ của nó thuộc lớp C

Định nghĩa 1.5.1.3 Cho n  Một đa tạp phức n chiều (phức) X là một

không gian tôpô Hausdorff , có cơ sở đếm được cùng với một atlas phức

i U là tập con mở khác rỗng của X với mọi  I

ii  :U  n là đồng phôi từ U lên một tập mở trong n với mọi  I

iii I U  X

iv      1: U UUU là ánh xạ chỉnh hình với mọi ,  I

Tập hợp A được gọi là cấu trúc phức của X

Ví dụ: Không gian tô-pô n, không gian xạ ảnh phức n, là các đa tạp phức n

f Y được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi cặp bản đồ địa phương U, trên X

và V, trên Y sao cho f U V thì ánh xạ   f   1:  U  V là chỉnh hình

Ánh xạ f được gọi là chỉnh hình trên X nếu nó chỉnh hình tại mỗi điểm thuộc X

là các hàm chỉnh hình thông thường trên các miền trong một không gian n

Tính chỉnh hình của f tại a ∈ X không phụ thuộc vào hệ tọa độ được sử dụng

quanh a

Nhiều kết quả trên các hàm chỉnh hình thông thường được chuyển đến trường hợp các hàm chỉnh hình trên đa tạp phức, chẳng hạn định lý duy nhất và định lý ánh xạ mở Như vậy nếu X liên thông và compact, một hàm chỉnh hình khắp nơi trên X phải là

Định nghĩa 1.5.3.2 Họ  Hol X Y ,  được gọi là họ chuẩn tắc nếu mỗi dãy

 f j   chứa một dãy con  f j v hội tụ đều về f   trên mọi tập compact của X,

hoặc chứa một dãy con phân kỳ compact

Nhận xét: Nếu Y là đa tạp compact thì định nghĩa trên không xét tới tính phân kỳ

compact

Cho X là đa tạp phức Một họ  Hol X ,n được gọi là bị chặn đều nếu và

chỉ nếu có hằng số C thỏa mãn sup ( )

Bổ đề 1.5.4.1 Cho f là một tự đồng cấu trên  n Khi đó, tồn tại

với F j là các đa thức thuần nhất đồng bậc sao cho F  f  , nói cách khác là sơ

đồ sau giao hoán

F được gọi là gọi là phép nâng của f lên  n 1 

Bổ đề 1.5.4.2 Nếu h là một tự đồng cấu trên  n

Định lý 1.5.4.3 Cho tự đồng cấu f của  n Khi đó, tồn tại F F0, , F , trong n

đó F là các đa thức thuần nhất bậc d, là phép nâng của f lên i  n 1  Hơn nữa F là

duy nhất sai khác một nhân tử phức hằng khác không

Ta gọi d như trên là bậc đại số của f Một đa thức thuần nhất F:n 1n 1

thỏa F 10, ,0   0, ,0   được gọi là không-suy biến

Định lý trên tạo ra một hình ảnh rõ ràng về các tự đồng cấu chỉnh hình của n

thông qua các đa thức thuần nhất trong n 1 Từ đó ta có thể thay việc khảo sát các các

tự đồng cấu này bằng việc khảo sát các đa thức thuần nhất trong n 1, vốn đơn giản hơn rất nhiều

1.6 Tập Fatou trong không gian xạ ảnh [4]

Cho tự đồng cấu f của không gian xạ ảnh phức  n có bậc d 2, phép lặp j lần

của f được kí hiệu là f j  được định nghĩa bởi

0  , 1  , 2   , , j   j1

f id f f f f f f f f Tập hợp z f z f z, ( ), 2( ), , f z j( )  gọi

là quĩ đạo của f

Định nghĩa 1.6.1 Tập  pn tồn tại lân cận mở V của p để họ  j

Định nghĩa 1.6.2  là tập Fatou của tự đồng cấu f , ta gọi mỗi thành phần liên

thông của  là một thành phần Fatou

Như vậy do tập Fatou là hoàn toàn bất biến qua f nên ảnh của các thành phần

Fatou là các thành phần Fatou

Định lí 1.6.3 Mỗi thành phần Fatou là Kobayashi Hyperbolic dẫn tới tập Fatou 

Ánh xạ p được gọi là ánh xạ phủ, không gian X được gọi là không gian cơ sở và T

được gọi là không gian toàn thể của phủ Mọi phủ : p T X là một đồng phôi địa phương, nghĩa là với mọi c T, tồn tại một lân cận U T của c và một lận cận



V X của p c( ) sao cho hạn chế của p lên U là một đồng phôi từ U lên V Điều này

dẫn đến T và X có cùng các tính chất địa phương Hơn nữa nếu X đơn liên và Tlà liên thông thì chúng có cùng các tính chất toàn cục và phủ p là một đồng phôi

Với x bất kỳ trong không gian cơ sở, tập các tạo ảnh của x trong T là một không

gian rời rạc và được gọi là thớ của x Trên mọi thành phần liên thông của X, các thớ

đồng phôi với nhau Nếu X liên thông thì có một không gian rời rạc F sao cho với mọi

x trong X, thớ của x đồng phôi với F và hơn nữa, mọi x trong X có một lân cận U của x

sao cho tạo ảnh p 1 U đồng phôi với U F Đặc biệt, số phần tử của thớ của x bằng

với số phần tử của F và nó được gọi là bậc của phủ :  p T X Như vậy, nếu mọi thớ

có n phần tử thì ta nói phủ plà phủ n - tờ (Trường hợp n1, phủ là phủ tầm thường)

Ví dụ

1 Xét đường tròn đơn vị S1 trong 2 Khi đó ánh xạ p:S1 với

là một phủ với mỗi điểm của S1 được phủ vô hạn lần

2 Xét mặt phẳng phức bỏ điểm gốc, ký hiệu * \ 0  và n là số nguyên khác

0 Khi đó q n:* * xác định bởi   n

n

q z z là một phủ Ở đây mỗi thớ gồm n

phần tử

Một ánh xạ được gọi là một phủ phân nhánh nếu nó là một ánh xạ phủ mọi nơi trừ

ra một tập không đâu trù mật, gọi là tập nhánh Ngược lại ta gọi là phủ không phân nhánh

Một không gian phủ được gọi là không gian phủ phổ dụng nếu nó đơn liên Ánh xạ

phủ tương ứng gọi là phủ phổ dụng

Định lý 1.7.1 (Sự tồn tại của không gian phủ phổ dụng) Cho X là một không

gian phức liên thông Khi đó tồn tại một không gian phức liên thông, đơn liên X và

Ở đây infimum được lấy khi ˆy quét hết Xˆ sao cho p y ˆ  y

1.8 Khái niệm phân thớ (bundle) [1]

Cho K là một trong các trường  hoặc 

Định nghĩa 1.8.1. Một K - phân thớ vec tơ (tô pô) hạng k trên một không gian tô

pô M là một không gian tô - pô E cùng với ánh xạ liên tục π : E → M , sao cho hai

điều kiện sau thỏa mãn:

i Với mỗi điểm p ∈ M, thớ E p 1( )p

 là một K - không gian vec tơ chiều k

ii Với mọi p ∈ M, có một lân cận mở U và một đồng phôi  :  1( )U  U K k biến E thành p  p K sao cho hợp thành k   k  k

p

E p K K là một đẳng cấu

giữa các K không gian vec tơ 

Cặp 1( ),U  được gọi là một bản đồ phân thớ Cặp  U, được gọi là một

tầm thường hóa địa phương của phân thớ vec tơ E được gọi là không gian toàn bộ, M

được gọi là không gian cơ sở

Với hai tầm thường hóa địa phương U,,U, hợp thành

Các ánh xạ này được gọi là hàm chuyển vị thỏa các điều kiện tương thích sau

Với mỗi số nguyên dương n và đa tạp tô-pô M có một phân thớ vec tơ

M K M n, , trong đó   :M K n M là phép chiếu xác định bởi

: ( , ) x v x

 Ánh xạ đồng nhất  :M K n M n là một bản đồ toàn cục nên phân thớ vec tơ M K M n, ,

 là tầm thường

Khi M là một đa tạp phức, ta nói rằng  - phân thớ vec tơ là phân thớ vec tơ chỉnh

hình nếu hàm chuyển vị g , là các ánh xạ chỉnh hình Trong trường hợp này E là một

đa tạp phức, ánh xạ π : E → M cũng như các tầm thường hóa địa phương là các ánh

xạ chỉnh hình

Định nghĩa 1.8.2 Một thiết diện của một phân thớ : E M trên một tập mở

U M là một ánh xạ liên tục : s U E với tính chất  s id

Chương 2 QUỸ ĐẠO TỚI HẠN CỦA CÁC ÁNH XẠ

CHỈNH HÌNH TRÊN KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

Chương này trình bày về động lực phức của tự ánh xạ chỉnh hình f trên không gian xạ ảnh phức n Nội dung chính của chương nói về mối liên hệ giữa tập Fatou

và quỹ đạo của các điểm tới hạn của f

Để tìm hiểu kết quả này trước tiên ta tìm điều kiện cho tính chuẩn tắc của họ các phép lặp của một tự ánh xạ chỉnh hình trên không gian xạ ảnh phức (định lý 2.2.1) trong mục 2.2 Mục 2.3 dành giới thiệu về miền Siegel Mục 2.4 trình bày kết quả về mối liên hệ giữa quỹ đạo tới hạn và biên của miền Siegel mà trọng tâm của mục là định lý 2.4.1 Định lý này chỉ ra rằng biên của miền Siegel nằm trong tập giới hạn của các điểm tới hạn của f Mục 2.5 trình bày mối liên hệ của giữa điểm giới hạn Fatou

và tập giới hạn của các điểm tới hạn với nội dung chính là định lý 2.5.2 Riêng mục 2.1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị phục vụ cho các mục sau của chương

Trong luận văn này đôi khi ta còn gọi ánh xạ tự chỉnh hình :f n n là tự đồng cấu trên n

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Các phát biểu và chứng minh trong mục này có thể tham khảo trong [10]

2.1.1 Tập giải tích

Cho không gian phức X,  A X gọi là một tập giải tích nếu với mọi điểm a X

có một lân cận U của a và hữu hạn các ánh xạ chỉnh hình f1, f k trên U thỏa

+ Giao của X với các không gian con affine của  n;

+ Giao của một họ tập giải tích;

+ Hợp hữu hạn địa phương các tập giải tích (được biểu diễn địa phương bởi tích các hàm chỉnh hình tương ứng);

+ Ảnh ngược của một tập giải tích qua ánh xạ chỉnh hình;

+ Ảnh của tập giải tích qua ánh xạ riêng giữa 2 không gian phức (Ánh xạ chỉnh hình f : XY , với X, Y là hai không gian phức được gọi là ánh xạ riêng nếu ảnh

ngược của mọi tập con compact trong Y là tập compact trong X)

2.1.2 Phủ giải tích

Định nghĩa 2.1.2.1. Cho X là đa tạp phức liên thông, Y là đa tạp phức chuẩn tắc

được rút gọn Ta nói rằng ánh xạ chỉnh hình : Y  X là một phủ giải tích nếu là toàn ánh, riêng và  1( )x là tập hữu hạn với mọi x X

Có một tập giải tích D đối chiều 1 trong X sao cho 1

x X Dđược gọi là số tờ, ký hiệu b( ) Khi đó ta gọi  là phủ giải tích b( ) tờ

Định lý 2.1.2.2 Một tự đồng cấu f của n có bậc d 1 là một phủ giải tích d n 

chỉ một điểm đơn Ta định nghĩa ord( , ) y là số tờ của phủ giải tích này Tập

hợpC y Y ord : ( , ) 1 y   là tập các điểm tới hạn và ( )C là tập các giá trị tới hạn

Định nghĩa 2.1.2.5. Cho D là một tập con giải tích của X có đối chiều 1 Một phủ

giải tích : Y  X được gọi là D - phân nhánh nếu tập các giá trị tới hạn nằm trong

D

Định nghĩa 2.1.2.6 Cho X là đa tạp phức, D là một tập con giải tích của X và m là

số nguyên  Ta gọi một phủ giải tích D - phân nhánh : 1 h Z X là m - phổ dụng nếu điều kiện sau thỏa mãn: Với mọi phủ giải tích D - phân nhánh : Y  X có

( )

b m tồn tại một ánh xạ chỉnh hình :  Z Ysao cho   h

Bổ đề 2.1.2.7 Cho X là một đa tạp phức và D là một tập con giải tích của X có đối

chiều 1 Với mọi x oX tồn tại một lân cận W của x với các tính chất sau: o

i Với mọi số nguyên m1 tồn tại một phủ giải tích D W  phân nhánh m - phổ dụng của W

ii Nếu : Y W là một phủ giải tích D W phân nhánh thì    1 

o

x

 chỉ chứa một điểm đơn

2.1.3 Điểm rẽ nhánh bị chặn

Định nghĩa 2.1.3.1. Một điểm q  được nói là điểm rẽ nhánh bị chặn ứng với n

các phép lặp của f nếu các điều kiện sau được thỏa:

i Tồn tại một lân cận W của q thỏa D W là tập con giải tích của W

ii Tồn tại số nguyên dương m thỏa với mọi số nguyên j 0, mọi p fj q

thìord f j,pm

Bổ đề 2.1.3.2. Điều kiện ii) ở trên tương đương với điều kiện sau:

ii’ Có một số nguyên dương l thỏa mãn mọi số nguyên j0 , mọi p fj q

Số lượng phần tử của tập I i 0  i j 1,f i p C, ký hiệu cardI , không lớn hơn l

2.2 Họ chuẩn tắc các ánh xạ nâng [10]

Như ta đã biết trong trường hợp một chiều thì đính lí Montel đã đưa ra một tiêu chuẩn tính chuẩn tắc của một họ ánh xạ chỉnh hình Trong trường hợp số chiều cao hơn ta có thể sử dụng lý thuyết về tính hyperbolic Kobayashi như là một mở rộng tự

nhiên của định lý Montel Lý thuyết này áp dụng cho họ tổng quát các ánh xạ chỉnh hình còn trong mục này ta sẽ trình bày một tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ các phép lặp của một ánh xạ tự chỉnh hình trên không gian xạ ảnh phức (định lý 2.1.1) Cho ánh xạ chỉnh hình :f n n có bậc d 2, phép lặp j lần của ánh xạ f , kí

hiệu là f jđược định nghĩa bởi f0 id f, 1  f f, 2  f  f, ,f j  f  f j1

Cho Z là không gian phức và h Z:  n là một ánh xạ chỉnh hình Ánh xạ chỉnh hình :g Z  n được gọi là một phép nâng của h bởi f nếu f g h Nhận xét

rằng khi Z là một tập con mở của  n và h là ánh xạ nhúng thì ánh xạ thì ánh xạ g là

một nhánh đơn trị của ánh xạ ngược của f  trên Z Một họ  g các ánh xạ chỉnh hình :  n

v

g Z được gọi là họ các phép nâng của h bởi các phép lặp của f , nếu với mọi  có một số nguyên j sao cho g là một phép nâng của h bởi f j

Định lý 2.2.1 Cho :f n n là một ánh xạ chỉnh hình bậc d 2 và h Z:  n

là một ánh xạ chỉnh hình Giả sử có họ  g là họ các phép nâng của h bởi các phép

lặp của f Khi đó  g là họ chuẩn tắc v

Để chứng minh định lí 2.1.1, ta cần chuẩn bị 3 bổ đề Với ,r R là hai số

f h

Bổ đề 2.2.3 Cho F:n 1n 1 là ánh xạ chỉnh hình thuần nhất không suy biến

có bậc d 2, khi đó tồn tại số ,r R0 sao cho 1 

F S S

Chứng minh: Theo bổ đề 2.1.2, tồn tại hai số , r R0 sao cho   1

ˆ : ˆg  ˆh, ,  ,  ˆ ,

F   z x z F x F z x

Khi đó ta thu được sơ đồ giao hoán sau

(điều này kiểm tra dễ dàng từ định nghĩa các ánh xạ)

Ta chứng minh Fˆ là một phủ d - tờ không phân nhánh Thật vậy lấy z oZ, chọn

U, V, W lần lượt là các lân cận đủ nhỏ của z g z o,    o ,h z thỏa mãn o

ˆh ˆg

ˆ

F F

Bây giờ ta định nghĩa s Zˆ :0 ˆhbởi s zˆ0 z s z, o   Khi đóˆgsˆ0 id Z 

vàh sˆ ˆ  0 s , vì 0 F là một phủ không phân nhánh và Z là đơn liên, chúng ta có thể nâng ˆs tới ánh xạ 0 s Zˆ :1 ˆgsao cho F sˆ ˆ ˆ 1s Khi đó 0

Do tính chuẩn tắc là tính địa phương, ta có thể giả sử Z là đơn liên Hơn nữa bằng

cách co Z lại ta có thể giả sử :  s Z o  sao cho   s0 h và s Z0 S r R, Áp dụng

Mệnh đề 2.3.1 Nếu U là một thành phần Fatou có chu kì m thì các tập

Định nghĩa 2.3.2 Cho :f n n là tự đồng cấu bậc d 2,  là tập Fatou của

f Một thành phần Fatou được gọi là miền Siegel nếu tồn tại một dãy con  j v

U

f

 hội

tụ đều về ánh xạ đồng nhất id U U : U trên các tập con compact của U

Mệnh đề 2.3.3. Cho U là một miền Siegel và  j v

U

f

 là dãy hội tụ đều về id U trên

các tập con compact của U Khi đó

1 U là miền tuần hoàn

Suy ra j

U

f là toàn ánh trên U.

Định lý 2.3.4 (Tiêu chuẩn tồn tại miền Siegel)

1 Cho W  n Giả sử tồn tại tập mở V  n và một dãy f j v( )V  hội tụ đều trên

V sao cho W  f j v( )V với mọi v Khi đó tồn tại một dãy  j k

 là họ chuẩn tắc nên nó hội tụ đều về ánh xạ g trên các tập con

compact của U Do nguyên lý đồng nhất nên  g id Do đó U là miền Siegel. U

Định nghĩa 2.3.5. Cho :f n n là tự đồng cấu có bậc d 2 Khi đó f là một phủ giải tích d n-tờ Một điểm p n được gọi là điểm tới hạn của f nếu hạng của vi phân  : n  ( )n

df p T T

 nhỏ hơn n