Tính hyperbolic của phần bù một họ các siêu phẳng trong không gian xạ ảnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘIHOÀNG THÙY LINH TÍNH HYPERBOLIC CỦA PHẦN BÙ MỘT HỌ CÁC SIÊU PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN VĂN THẠC SĨ HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ HÀ NỘI, 201

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

HOÀNG THÙY LINH

TÍNH HYPERBOLIC CỦA PHẦN BÙ MỘT HỌ CÁC SIÊU PHẲNG

TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ

HÀ NỘI, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

HOÀNG THÙY LINH

TÍNH HYPERBOLIC CỦA PHẦN BÙ MỘT HỌ CÁC SIÊU PHẲNG

TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH

Chuyên ngành: Hình học và tôpô

Mã số: 60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Giang

HÀ NỘI, 2017

2 Tính hyperbolic của phần bù một họ các siêu phẳng trong không gian

2.1 Định lý Borel 202.2 Ứng dụng của định lý Borel 222.3 Ví dụ 33

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn tốt nghiệp, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới Giảng viên - Tiến sĩ Lê Giang, người đã tận tình hướng dẫn để tôi cóthể hoàn thành luận văn tốt nghiệp này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy, cô giáo trong KhoaToán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy tận tình trong suốt quátrình tôi học tập tại khoa

Nhân dịp này, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đãluôn bên tôi, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận vănthạc sĩ này

Hà Nội, ngày 30 tháng 05 năm 2017

Học viên

Hoàng Thùy Linh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề tài này là do tôi thực hiện, đó là kết quả của quá trình họctập và nghiên cứu sách, giáo trình, tài liệu của tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ LêGiang, đề tài này không trùng với các kết quả trước đó của các tác giả khác

Hà Nội, ngày 30 tháng 05 năm 2017

Học viên

Hoàng Thùy Linh

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết hàm hình học là một trong những lĩnh vực cơ bản của Toán học hiện đại.Sau gần hai thế kỉ phát triển, ngày nay lý thuyết hàm hình học đã đạt được nhữngthành tựu đặc sắc Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỉ trước, cùng với sự hình thành

và phát triển của lý thuyết các không gian phức hyperbolic, lý thuyết hàm hình học

Việc chứng minh giả thuyết nói trên chắc chắn sẽ đưa đến những kết quả mới đặcsắc trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học hiện đại Chính vì thế, giả thuyếtKobayashi đã thu hút được sự quan tâm của rất nhiều các nhà toán học Trong luậnvăn này, tôi nghiên cứu “tính hyperbolic của phần bù một họ các siêu phẳngtrong không gian xạ ảnh”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tính hyperbolic của phần bù một họ các siêu phẳng trong không gian

xạ ảnh

3 Đối tượng nghiên cứu

Luận văn tập trung nghiên cứu về đa tạp hyperbolic

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích kết hợp với phương pháp hình học

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm các chương sau:Chương 1 Những tính chất cơ bản của không gian phức hyperbolic.

Chương 2 Tính hyperbolic của phần bù một họ các siêu phẳng trong không gian

Chương 1

Những tính chất cơ bản của không gian phức hyperbolic

Giả sử D = {z ∈ C : |z| < 1} là đĩa đơn vị mở trên mặt phẳng phức C Trên D, taxét khoảng cách Bergman-Poincare cho bởi

ρ(0, z) = ln1 + |z|

1 − |z|, với mọi z ∈ D.

Giả sử X là không gian phức và Hol(D, X) là không gian các ánh xạ chỉnh hình từ

D vào X được trang bị tôpô compact-mở

Giả sử p và q là hai điểm tùy ý thuộc X Đặt

ở đó infimum lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình α nối p với q.

Ta dễ thấy dX thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách sau:

Mệnh đề 1.1.3 Giả sử X, Y là hai không gian phức Khi đó, với x, x0 ∈ X và

y, y0 ∈ Y , ta có:

dX(x, x0) + dY(y, y0) ≥ dX×Y ((x, y) , (x0, y0)) ≥ max{dX(x, x0), dY(y, y0)}

Định lý 1.1.4 Cho đĩa đơn vị mở D ⊂ C Khi đó ta có:

i) dD = ρ

ii) dDn((xj) , (yj)) = max

j=1,n

ρ (xj, yj) với mọi (xj), (yj) ∈ Dn.Chứng minh i) Do tính chất làm giảm khoảng cách của các ánh xạ chỉnh hình f1, , fk∈Hol(D, D) nên ta có

dD(p, q) = inf {ρ(a1, b1) + + ρ(ak, bk)}

Kết hợp hai điều trên ta có điều phải chứng minh

ii) Trước tiên, ta đi chứng minh kết quả sau:

Giả sử X và Y là hai không gian phức Khi đó

dX×Y ((x, y) , (x0, y0)) = max {dX(x, x0), dY(y, y0)}, (1.1.1)với x, x0 ∈ X, y, y0 ∈ Y

Chứng minh Vì phép chiếu π : X × Y → Y là chỉnh hình nên theo tính giảm khoảngcách ta có dX×Y ((x, y) , (x0, y0)) ≥ dX(x, x0), tương tự dX×Y ((x, y) , (x0, y0)) ≥ dY(y, y0).Suy ra

dX×Y ((x, y) , (x0, y0)) ≥ max {dX(x, x0), dY(y, y0)} (1.1.2)Không mất tính tổng quát ta giả sử dX (x, x0) ≥ dY (y, y0) Ta chỉ cần chứng minh

dX×Y ((x, y) , (x0, y0)) ≤ dX(x, x0)

Thật vậy, lấy dây chuyền α từ x tới x0 của các đĩa chỉnh hình có độ dài l (α) trong

X Ta xây dựng một dây chuyền γ từ (x, x0) tới (y, y0) của các đĩa chỉnh hình có độdài l (γ) trong X × Y sao cho l (γ) ≤ l(α)

Từ giả thiết dX(x, x0) ≥ dY (y, y0) suy ra tồn tại dây chuyền β các đĩa chỉnh hình

có độ dài l (β) từ y tới y0 trong Y sao cho l (β) ≤ l(α) Lấy α, β xác định như sau:

Lấy γ là dây chuyền từ (x, y) tới (x0, y0) xác định bởi:

Giả sử U là một lân cận của p Do dX ≤ dU trong U nên ta chỉ cần chứng tỏ rằng

dU(pn, p) → 0 khi pn → p trong U

Nếu p là điểm chính quy của X thì ta có thể coi U = Dn và phép chứng minh đượcsuy ra ngay từ định lý 1.1.4 mục (i)

Ta xét trường hợp p là điểm kì dị của X:

Giả sử tồn tại δ > 0 sao cho dU(pn, p) ≥ δ với mọi n > 0

Xét dải kì dị π : eU → U Giả sử {qn} ⊂ eU sao cho π (qn) = pn, ∀n ≥ 1

Do π là ánh xạ riêng nên bằng cách lấy dãy con nếu cần thiết ta có thể giả sử rằngdãy {qn} hội tụ tới q ∈ eU

Do π là ánh xạ liên tục nên π (q) = p

Giả sử V là lân cận đa đĩa của q trong eU Do nguyên lý giảm khoảng cách và do

dV là liên tục nên ta suy ra rằng:

dU(pn, p) = dU(π (qn) , π (q)) ≤ dV (qn, q) khi n → ∞

Điều này trái với giả sử ban đầu của ta

Vậy dX là hàm liên tục trên X × X

Định nghĩa 1.2.1 Không gian phức X được gọi là không gian phức hyperbolic (theonghĩa của Kobayashi) nếu dX là một khoảng cách thực sự (tức là dX(p, q) = 0 ⇔ p = q)

Ví dụ 1.2.2 C không là không gian phức hyperbolic

Chứng minh Cách 1 Lấy p, q ∈ C Xét dây chuyền chỉnh hình αn nối p và q:

αn=

0;q − p

n , fn : D → C, z → nz + p

, (n đủ lớn để p ∈ D)



= ln

1 +

q − pn

1 −

... 1.2.5 Khơng gian Dn không gian phức hyperbolic

Định lý 1.2.6 (Định lý Barth) Giả sử X không gian phức hyperbolic Thế thì,khoảng cách dX cảm sinh tơpơ không gian X... −1(p)

b) eX hyperbolic (hyperbolic đầy) X hyperbolic (hyperbolic đầy)

Định nghĩa 1.3.1 Cho X không gian phức không gian phức Y , ta nói X

là nhúng hyperbolic Y với x, y...

Ví dụ 1.2.3 Do dD = ρ khoảng cách suy D khơng gian phức hyperbolic

Ví dụ 1.2.4 Khơng gian Cn không không gian phức hyperbolic

Thật vậy, với z ∈ C, dC(0,