Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic trong không gian tựa metric

9 XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC 152.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co kiểu Banach và kiểu Banach suy rộng.. Kết quả quan trọng đầutiên về lý thuyết điểm bất động là

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGHỆ AN - 2015

Mục lục

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 71.2 Không gian tựa mêtric 9

XẠ CYCLIC TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC 152.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co kiểu

Banach và kiểu Banach suy rộng 152.2 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu

Kannan và kiểu Chatterjea 25

Tài liệu tham khảo 38

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứuquan trọng của Giải tích hàm, nó có nhiều ứng dụng trong giải tích vàmột số ngành toán học khác Do đó nó được các nhà toán học quantâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả Kết quả quan trọng đầutiên về lý thuyết điểm bất động là nguyên lý ánh xạ co trong khônggian mêtric đầy đủ của nhà toán học Banach Sau đó người ta đã mởrộng nguyên lý này cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không giankhác nhau Một trong những hướng mở rộng đó là, giảm bớt các điềukiện trong định nghĩa mêtric, từ đó thu được lớp các không gian tựamêtric rộng hơn lớp các không gian mêtric Sau đó, người ta nghiêncứu sự tồn tại các điểm bất động của các ánh xạ trên các không giantựa mêtric Những người thu được nhiều kết quả theo hướng này là:J.Caristi, J.S.Ume, R.A.Stoltenbeg, C.S.Wong,

Năm 2003, W.A Kirk và các cộng sự ([4]) đã mở rộng nguyên lýánh xạ co kiểu Banach cho lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện cyclic Năm

2010, Petric ([5]) đã giới thiệu và chứng minh một vài kết quả liên quantới ánh xạ co cyclic Sau đó nhiều nhà toán học đã quan tâm nghiêncứu về sự tồn tại các điểm bất động của các ánh xạ co cyclic trong cáckhông gian mêtric Năm 2010, M.Petric và B.Zlatanov ([3])đã chứng

minh định lý về điểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Kannan.Năm 2012, E.Karapınar và H.K.Nashine ([6])đã chứng minh các định

lý về điểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Chatterjea Có mộtvấn đề được đặt ra ở đây là, các kết quả về sự tồn tại các điểm bấtđộng của các ánh xạ cyclic trong không gian mêtric có còn đúng chotrường hợp không gian tựa mêtric nữa hay không?

Để tập dượt nghiên cứu khoa học và lĩnh hội về không gian tựamêtric và lý thuyết điểm bất động, chúng tôi tìm hiểu, nghiên cứu cáctính chất của không gian tựa mêtric và sự tồn tại điểm bất động củacác ánh xạ cyclic trong không gian tựa mêtric Vì thế chúng tôi chọn

đề tài nghiên cứu là "Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh

xạ cyclic trong không gian tựa mêtric"

Với mục đích đó, luận văn được trình bày thành hai chương

Chương 1 Không gian tựa mêtric

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm vàkết quả cơ bản của tôpô đại cương có liên quan đến nội dung của luậnvăn Sau đó, trình bày khái niệm, ví dụ và một số tính chất cơ bảncủa không gian tựa mêtric Để làm cơ sở cho việc trình bày nội dungcủa chương 2

Chương 2 Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh

xạ cyclic trong không gian tựa mêtric

Trong chương này, chúng tôi mở rộng một số kết quả về sự tồn tạiđiểm bất động của các ánh xạ cyclic co kiểu Banach, kiểu Kannan vàkiểu Chatterjea trong không gian mêtric đã có trong các tài liệu thamkhảo cho không gian tựa mêtric bằng cách đưa ra các Định lý 2.1.3,

2.1.4, 2.1.6, 2.1.7, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5 và các Hệ quả 2.1.5, 2.1.8 2.2.6 và2.2.7.

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của Thầy giáo PGS.TS ĐinhHuy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đếnThầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm tronghọc tập và nghiên cứu khoa học

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Phòng Sau đại học,Ban Chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán - Trường Đại học Vinh đã nhiệttình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đặc biệt là cácbạn trong lớp Cao học khóa 21 - Chuyên ngành: Giải tích đã cộng tác,giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức vàthời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mongquý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiệnhơn

Vinh, tháng 8 năm 2015

Tác giả

Tập hợp X cùng với tôpô T trên nó được gọi là không gian tôpô và

kí hiệu là (X, T ) hay đơn giản X

Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô

Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở

Giả sử X ⊂ E Tập E được gọi là tập đóng nếu X\E là tập mở.1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho không gian tôpô X, tập con A của Xđược gọi là lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X saocho x ∈ V ⊆ A

Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U (x) là họ tất cả các lân cận của x.

Họ B(x) ⊂ U (x) được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ U (x)tồn tại V ∈ B(x) sao cho x ∈ V ⊂ U

1.1.3 Định nghĩa ([1]) Dãy {xn} trong không gian tôpô được gọi làhội tụ tới x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho:

xn ∈ U với mọi n ≥ n0Khi đó ta viết: xn → x

1.1.4 Định nghĩa ([1]) Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãntiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lâncận B(x) có lực lượng đếm được

Không gian tôpô X được gọi là T1 − không gian nếu hai điểm bất

kì x, y ∈ X, x 6= y, tồn tại lân cận tương ứng Ux, Uy của x và y sao cho

y /∈ Ux và x /∈ Uy

Không gian tôpô X được gọi là T2 − không gian (hay không gianHausdorff ) nếu với hai điểm x, y ∈ X, x 6= y, tồn tại các lân cận tươngứng Ux, Uy của x và y sao cho Ux∩ Uy = ∅

1.1.5 Định nghĩa ([1]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f :

X → Y Ánh xạ f được gọi là liên tục tại x nếu mỗi lân cận V của

f (x), tồn tại lân cận U của X sao cho f (U ) ⊂ V

Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói gọn là liên tục) nếu nóliên tục tại mọi điểm của X

1.1.6 Định lý Giả sử X, Y là các không gian tôpô, f : X → Y Khi

đó các điều kiện sau tương đương:

(1) f liên tục trên X;

(2) Nếu E là tập mở trong Y thì f−1(E) mở trong X;

(3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f−1(E) đóng trong X

1.1.7 Định nghĩa ([1]) Giả sử X là tập khác rỗng và ρ : X × X → R.Hàm ρ được gọi là mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:i) ρ(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và ρ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;ii) ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y ∈ X;

iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Tôpô X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric

và kí hiệu là (X, ρ) hoặc X

1.2 Không gian tựa mêtric

1.2.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X là tập khác rỗng và d : X × X → R.Hàm d được gọi là tựa mêtric trên X nếu thỏa mãn:

i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;ii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X

Tập X cùng với một tựa mêtric trên nó được gọi là không gian tựamêtric và kí hiệu là (X, d) hoặc X

Khi đó, d là một tựa mêtric trên X

Chứng minh Thật vậy:

i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;ii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y ∈ X

Vì vậy, (X, d) là không gian tựa mêtric

Vì d(1, 2) 6= d(2, 1) nên d không là mêtric trên X

2) Giả sử d : R×R → R là ánh xạ được cho bởi:

2 nếu x < yKhi đó, d là tự mêtric trên R

Chứng minh Thật vậy, theo cách xác định d thì hiển nhiên d(x, y) ≥ 0với mọi x, y ∈ R và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

Giả sử x, y, z ∈ R Khi đó nếu x = y = z thì hiển nhiên điều kiện ii)trong Định nghĩa 1.2.1 đúng

Vì 1

2 = d(0, 1) 6= d(1, 0) nên d không là mêtric trên X.

Giả sử (X, d) là không gian tựa mêtric Với mỗi a ∈ X và mỗi ε > 0

Chứng minh i) Hiển nhiên ∅ và X ∈ T

ii) Giả sử Gα ∈ T với mọi α ∈ I Khi đó, với mọi a ∈ S

α

Gα ắt tồntại α0 ∈ I sao cho a ∈ Gα0 Vì Gα0 ∈ T nên tồn tại B (a, ε) ⊂ Gα0 ⊂

và a ∈ H Do đó tồn tại ε1 và ε2 > 0 sao cho B(a, ε1) ⊂ G vàB(a, ε2) ⊂ H Từ đó suy ra B(a, ε) ⊂ G ∩ H với ε = min(ε1, ε2) Do

đó G ∩ H ∈ T Vậy T là một tôpô trên X

Chú ý: Từ đây về sau, nếu không giải thích gì thêm thì tôpô trênkhông gian tựa mêtric được hiểu là tôpô T Như vậy các tập hợp B(x, ε)

là mở trong không gian tựa mêtric (X, d) Ta gọi B(x, ε), B[x, ε] thứ

tự là hình cầu mở, hình cầu đóng tâm x bán kính ε

1.2.4 Định lý ([1]) Giả sử {xn} là dãy trong không gian tựa mêtric(X, d) Khi đó, {xn} hội tụ tới x ∈ X khi và chỉ khi d(x, xn) → 0, khi

n → ∞

Chứng minh Giả sử xn → x ∈ X Khi đó, với mọi ε > 0 vì B(x, ε)

là lân cận của x (Mệnh đề 1.2.3) nên tồn tại số tự nhiên nε sao cho

xn ∈ B(x, ε) với mọi n ≥ nε, tức là d(x, xn) < ε với mọi n ≥ nε Điềunày chứng tỏ d(x, xn) → 0

Ngược lại, giả sử d(x, xn) → 0 và U là một lân cận của x Khi đó, tồntại ε0 sao cho B(x, ε0) ⊂ U Vì d(x, xn) → 0 nên tồn tại n0 ∈ N sao chod(x, xn) < ε0 với mọi n ≥ n0 Do đó, xn ∈ B(x, ε0) ⊂ U với mọi n ≥

n0

Như vậy xn → x

1.2.5 Định lý ([1]) Giả sử X, Y là hai không gian tựa mêtric, f :

X → Y và a ∈ X Khi đó f liên tục tại a khi và chỉ khi mỗi dãy{xn} ⊂ X mà xn → a thì f (xn) → f (a)

Chứng minh Giả sử f liên tục tại a nhưng tồn tại dãy {xn} trong X,

xn → a nhưng {f (xn)} không hội tụ tới f (a) Khi đó theo Định lý1.2.4 {d (f (a), f (xn))} không hội tụ tới 0 Do đó, tồn tại ε0 > 0 saocho với mỗi n ∈ N tồn tại mn > n và d(f (a), f (xmn)) > ε0 Vì f liêntục tại a và B(f (a), ε0) là mở trong Y nên tồn tại số tự nhiên n0 sao

d(f (a), f (xn)) < ε0 với mọi n ≥ n1,điều này mâu thuẫn với

d(f (a), f (xmn1)) với mọi mn1 > n1

Từ đó suy ra f (xn) → f (a)

Ngược lại, giả sử rằng với mỗi {xn} trong X mà xn → a thì f (xn) →

f (a) Ta sẽ chứng minh f liên tục tại a Giả sử f không liên tục tại a.Khi đó từ Định lý 1.1.6 ta suy ra tồn tại ε0 > 0, với mọi δ > 0 đều có

Không gian tựa mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy{xn} trong X đều hội tụ, tức là tồn tại x ∈ X sao cho xn → x (điềunày tương đương với d(x, xn) → 0).

Tập con Y của không gian tựa mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ nếumọi dãy Cauchy trong Y đều hội tụ tới điểm thuộc Y

Định lý sau đây nói lên mối quan hệ giữa tính đóng và tính đầy đủ.1.2.7 Định lý ([1]) Nếu Y là tập con đóng của không gian tựa mêtricđầy đủ X thì Y là đầy đủ

Chứng minh Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong Y Khi đó, {xn} cũng

là dãy Cauchy trong X, mà X đầy đủ nên {xn} hội tụ tới x ∈ X Vì

Y là tập đóng trong X và {xn} là dãy trong Y nên x ∈ Y Vậy Y làtập đầy đủ

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co

kiểu Banach và kiểu Banach suy rộng

Mục này xem xét một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động củacác ánh xạ cyclic co kiểu Banach và kiểu Banach suy rộng trong khônggian mêtric còn đúng cho không gian tựa mêtric nữa hay không?2.1.1 Định nghĩa ([4]) Cho A1, A2, , Ap, Ap+1 = A1 là các tập khácrỗng của không gian mêtric X và ánh xạ T :

pS

i=1

Ai →

pS

điểm bất động x thì x ∈

pT

i=1

Ai.2.1.2 Bổ đề Nếu X là không gian tựa mêtric Hausdorff đầy đủ, F :

X → X là ánh xạ liên tục và tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho

d(F x, F2x) ≤ kd(x, F x), ∀x ∈ Xvà

d(F2x, F x) ≤ kd(F x, x), ∀x ∈ Xthì F có điểm bất động trong X Hơn nữa, với mỗi x0 ∈ X, dãy {Fnx0}hội tụ tới điểm bất động của F

(Ở đây, ta viết F x thay F (x), F2x thay F2(x))

Chứng minh Lấy x0 ∈ X và đặt xn = F xn−1 với mọi n = 1, 2, Khi

kn

1 − kd(x0, x1) → 0 khi n → ∞.

Từ đó suy ra

limn→∞d (xn, xn+m) = 0, ∀m = 1, 2, (2.1)Tương tự ta có

kn

1 − kd(x1, x0) → 0 khi n → ∞.

Từ đó suy ra

limn→∞d (xn+m, xn) = 0, ∀m = 1, 2, (2.2)

Từ (2.1) và (2.2) suy ra với mỗi ε tồn tại số tự nhiên nε sao cho

d(xn, xp) < ε, với mọi n, p ≥ nε

Do đó {xn} là dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên xn → x ∈ X Vì F liêntục nên xn+1 = F xn → F x Kết hợp với giả thiết X là không gianHausdorff nên ta có x = F x

Vậy, x là điểm bất động của F

2.1.3 Định lý Giả sử (X,d) là không gian tựa mêtric Hausdorff đầy

đủ và T : X → X là ánh xạ co kiểu Banach, tức là tồn tại hằng số

α ∈ [0, 1) sao cho

d(T x, T y) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ Xvà

d(T y, T x) ≤ αd(y, x), ∀x, y ∈ X

Khi đó, T có duy nhất một điểm bất động

Chứng minh Giả sử T : X → X là ánh xạ co với hằng số co α Lấy

x0 ∈ X Đặt T x0 = x1, T x1 = x2, Khi đó, với mỗi n = 1, 2, ta có

limn→∞d (xn+p, xn) = 0, ∀p = 1, 2, (2.4)

Từ (2.3) và (2.4) suy ra với mỗi ε tồn tại số tự nhiên nε sao cho

Cuối cùng, ta chứng minh a là điểm bất động duy nhất của T Giả

sử b ∈ X cũng là một điểm bất động của T Khi đó, từ α ∈ [0, 1) suyra

0 ≤ d(a, b) = d(T a, T b) ≤ αd(a, b) < d(a, b)

Ta có điều mâu thuẫn Do đó d(a, b) = 0 hay a = b

2.1.4 Định lý Cho A và B là hai tập con đóng khác rỗng của khônggian tựa mêtric Hausdorff đầy đủ X, và giả sử F : X → X thỏa mãncác điều kiện sau:

(1) F là ánh xạ cyclic, tức là F (A) ⊆ B và F (B) ⊆ A;

(2) d(F x; F y) ≤ kd(x, y) và d(F y, F x) ≤ kd(y, x), trong đó k ∈[0, 1)

Khi đó, F có duy nhất điểm bất động trong A ∩ B

Chứng minh Với mỗi x ∈ A ∪ B, từ (1) và (2) suy ra

d(F x, F2x) ≤ kd(x, F x) và d(F2x, F x) ≤ kd(F x, x) (2.5)

Mặt khác, vì A và B đóng trong X nên A∪B và A∩B đóng trong X Do

X đầy đủ nên A∪B và A∩B đầy đủ Theo cách chứng minh của Bổ đề2.1.2 thì {Fnx} là dãy Cauchy trong A ∪ B Do đó, Fnx → z ∈ A ∪ B

Từ (1) và cách xây dựng dãy {Fnx} thì có một dãy con nằm trong A

và một dãy con nằm trong B Vì A và B đóng và hai dãy con này hội

tụ tới z nên z ∈ A ∩ B Như vậy, A ∩ B 6= ∅ và đầy đủ Từ (2.5) suy ra

F|A∩B thỏa mãn Bổ đề 2.1.2 Do đó, F có điểm bất động trong A ∩ B.Giả sử x và y là hai điểm bất động của F trong A ∩ B Khi đó

d(x, y) = d(F x, F y) ≤ kd(x, y)

Vì k ∈ [0, 1) nên x = y Vậy điểm bất động của F là duy nhất

2.1.5 Hệ quả Cho A và B là hai tập con đóng khác rỗng của khônggian tựa mêtric Hausdorff đầy đủ X Cho f : A → B và g : B → A làhai hàm số sao cho

d(f x, gy) ≤ kd(x, y) và d(gy, f x) ≤ kd(y, x), ∀x ∈ A, y ∈ B, (2.6)trong đó k ∈ [0, 1) Khi đó, tồn tại duy nhất x0 ∈ A ∩ B sao cho

f x0 = gx0 = x0Chứng minh Ta xác định ánh xạ F : A ∪ B → A ∪ B bởi

Định lý sau đây cho thấy Định lý 2.1.4 được mở rộng cho ánh xạp-cyclic với p là số tự nhiên khác 0 bất kỳ.

2.1.6 Định lý Cho {Ai}pi=1 là họ các tập con đóng khác rỗng củakhông gian tựa mêtric Hausdorff đầy đủ X, và F :

pS

i=1

Ai →

pS

i=1

Ai thỏamãn các điều kiện sau:

(1) F (Ai) ⊆ Ai+1 với 1 ≤ i ≤ p (hay F là ánh xạ p-cyclic);

(2) ∃k ∈ [0, 1) sao cho d(F x, F y) ≤ kd(x, y) và d(F y, F x) ≤kd(y, x), với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1, với mọi i = 1, 2, , p, trong đó

Ap+1 = A1

Khi đó, F có duy nhất điểm bất động

Chứng minh Lấy x0 ∈

pS

i=1

Ai và nếu xn ∈ Ai thì xn+1 ∈ Ai+1với i nào đó thuộc {1, 2, , n} Do đó theo điều kiện (2) ta có

≤ kn

i=1

Ai và nếu xn ∈ Ai thì xn+1 ∈ Ai+1suy ra {xn} có p dãy con {xi

m}m∈N∗ sao cho {xim}m∈N∗ ⊂ Ai với i =

1, 2, , p Vì Ai đóng với mọi i = 1, 2, , p và {xim}m∈N∗ → x khi

n → ∞ nên x ∈

pT

i=1

Ai Do đó,

pT

i=1

Ai đóng và khác rỗng Vì X đầy đủnên

i=1

Ai là ánh xạ co kiểuBanach Do đó, theo Định lý 2.1.3, F có duy nhất điểm bất độngtrong

Ai Vậy, F có duy nhất điểm bất động

Định lý sau đây là mở rộng của Định lí 2.1.6

2.1.7 Định lý Giả sử (X, d) là không gian tựa mêtric đầy đủ, A1, A2, , Ap

là các tập con đóng khác rỗng của X; T :

pS

i=1

Ai →

pS

i=1

Ai là ánh xạ cyclic sao cho

p-d(T x, T y) ≤ g (d(x, y)) d(x, y),d(T y, T x) ≤ g (d(y, x)) d(y, x)

(2.7)

với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1, với mọi i = 1, 2, , p trong đó g : [0, ∞) →[0, 1) là hàm đơn điệu tăng và Ap+1 = A1 Khi đó, T có duy nhất điểmbất động