Về không gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn

Xây dựng không gian các dãy modular nhận giá trị trong khônggian định chuẩn.. Không gian các dãy cổ điển được xétvới dãy nhận giá trị trong trường vô hướng, các tính chất của không gianc

MỤC LỤC

Mở đầu 2

1 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 41.2 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn 81.3 Không gian modular 11

2 Không gian dãy modular nhận giá trị trong không gian

2.1 Xây dựng không gian các dãy modular nhận giá trị trong khônggian định chuẩn 132.2 Một số tính chất của không gian con của không gian l(Mn)(E) 21

Kết luận 29

Tài liệu tham khảo 30

MỞ ĐẦU

Trong giải tích hàm, lớp không gian tuyến tính định chuẩn có vai tròquan trọng là lớp không gian các dãy Không gian các dãy cổ điển được xétvới dãy nhận giá trị trong trường vô hướng, các tính chất của không giancác dãy là những ví dụ khá điển hình của giải tích hàm cổ điển Trong [6]

sử dụng ý tưởng của Orlicz các tác giả J Lindenstrauss và L Tzafriri đãxây dựng không gian tuyến tính định chuẩn các dãy nhận giá trị vô hướng

từ dãy các hàm Orlicz, lớp không gian này được gọi là không gian các dãymodular Đây là lớp không gian mở rộng không gian các dãy Orlicz Cáctính chất của các không gian dãy modular cũng được nghiên cứu khá sâusắc thông qua cấu trúc của dãy các hàm Orlicz bởi J Lindenstrauss và

L Tzafriri

Mục đích của luận văn là xây dựng không gian các dãy modular nhậngiá trị trong không gian định chuẩn, vì vậy chúng tôi lựa chọn đề tài: Vềkhông gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn.Nội dung của luận văn trình bày một số kết quả đã biết về không gianđịnh chuẩn các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn, xây dựngkhông gian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn vàđưa ra một số tính chất của chúng

Chương 1 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian địnhchuẩn và không gian modular

Chương này nhằm mục đích trình bày về không gian các dãy nhận giátrị trong không gian định chuẩn; hàm Orlicz và không gian các dãy sốmodular

Chương 2.Không gian dãy modular nhận giá trị trong không gian địnhchuẩn

Chương này nghiên cứu cách xây dựng và một số tính chất của khônggian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn Nội dungtrình bày trong chương này được chúng tôi đề xuất dựa trên phương phápcủa J Lindenstrauss và L Tzafriri đã thực hiện cho trường vô hướng.Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫncủa Thầy giáo T.S Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc nhất đến thầy Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủnhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Ban lãnh đạo Phòng Sau đại học, quíThầy Cô trong tổ Giải tích khoa Sư phạm Toán học -Trường Đại học Vinh

đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Cuốicùng xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trường Đại học tài nguyên vàMôi trường Thành phố Hồ Chí Minh, gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặcbiệt là các học viên cao học khóa 21 Toán Giải tích tại Trường Đại họcVinh đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trongsuốt quá trình học tập Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng vì năng lựccòn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giảrất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô và nhữnggóp ý của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 10 năm 2015

Danh Ni

CHƯƠNG 1KHÔNG GIAN CÁC DÃY NHẬN GIÁ TRỊ TRONGKHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ KHÔNG GIAN

MODULAR

Chương này trình bày những kiến thức cơ sở cần dùng về sau, đặc biệt

là lớp không gian các dãy nhận giá trị trong không gian định chuẩn vàkhông gian các dãy modular

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này nhắc lại một số kết quả về không gian định chuẩn, không gianBanach cần dùng về sau Các kết quả này có thể tìm thấy trong [3].1.1.1 Định nghĩa Cho E là không gian tuyến tính trên trường K Hàm

k.k : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiệnsau:

1) kxk > 0, với mọi x ∈ E và kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;

2) kλxk = |λ|kxk, với mọi λ ∈K và với mọi x ∈ E;

3) kx + yk 6 kxk + kyk, với mọi x, y ∈ E

Khi đó (E, k.k) được gọi là một không gian định chuẩn

Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn

d(x, y) = kx − yk, ∀x, y ∈ E Không gian định chuẩnE được gọi là khônggian Banach nếu E đầy đủ với mêtric sinh bởi chuẩn Với tôpô sinh bởimêtric sinh bởi chuẩn các phép toán cộng và nhân vô hướng trên E là liêntục

Cho E, F là các không gian định chuẩn Ký hiệu L(E, F ) là tập hợpcác ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Ta đã biết L(E, F ) là khônggian định chuẩn với chuẩn

kf k = sup

kxk=1

kf (x)k, ∀f ∈ L(E, F )

Nếu F là không gian Banach thì L(E, F )là không gian Banach Đặc biệt,

L(E,K) := E∗ là không gian liên hợp thứ nhất của E cũng là không gianBanach

Các lớp không gian Banach quen thuộc sau được quan tâm nhiều trongluận văn của chúng tôi

1.1.2 Ví dụ Giả sử K là trường các số thực hoặc các số phức Ký hiệu

Với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường

ta có l∞ là không gian tuyến tính và C, C0 và lp là các không gian concủa l∞ Hơn nữa

Đối với lp, người ta xét chuẩn xác định bởi công thức

1.1.3 Định nghĩa Cho (X, d), (Y, ρ) là các không gian mêtric và ánh

1.1.4 Định nghĩa Cho d, ρ là các mêtric trên X

1) d và ρ được gọi là tương đương nếu ánh xạ đồng nhất id : (X, d) →(X, ρ) và ánh xạ ngược của nó liên tục

2) d và ρ được gọi là tương đương đều nếu ánh xạ đồng nhất id :(X, d) → (X, ρ) và ánh xạ ngược của nó liên tục đều

Người ta chứng minh được d và ρ là tương đương đều nếu và chỉ nếutồn tại a, b > 0 sao cho

1.1.5 Định lý Nếu E, F là các không gian định chuẩn và f : E → F

là một song ánh Khi đó, nếu

mkxk6 kf (x)k6 M kxk

với mọi x ∈ E thì f là một đẳng cấu

Như vậy, nếu hai chuẩn k.k1 và k.k2 trên không gian tuyến tính E làtương đương thì (E, k.k1) và (E, k.k2) là đẳng cấu

Sau đây, ta nhắc lại khái niệm về hàm lồi Các kết quả sau có thể tìmthấy ở trong [1]

1.1.6 Định nghĩa Cho hàm thực f : (a, b) → R Hàm f được gọi là lồinếu

f λx + (1 − λ)y
6λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.3)với mọi x, y ∈ (a, b) và 0 6 λ 6 1

1.1.7 Nhận xét Điều kiện (1.3) tương đương với điều kiện sau:

Ngược lại, nếu với mọi c ∈ (a, b) hàm p không giảm thì f là hàmlồi

1.1.9 Hệ quả Giả sử f là hàm khả vi trên (a, b) Khi đó, f là lồi khi

và chỉ khi f0 là hàm đơn điệu tăng trên (a, b)

1.1.10 Hệ quả Nếu f : (a, b) → R có đạo hàm cấp 2 trên (a, b) và

f00(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là hàm lồi

1.1.11 Ví dụ Từ hệ quả trên ta thấy hàm f (x) = ex lồi trên R và

y = xp là các hàm lồi trên (0, ∞) với p > 1

1.2 Không gian các dãy nhận giá trị trong không gian địnhchuẩn

Các kết quả trong mục này cơ bản đã được trình bày ở dạng tổng quáttrong [5] Để tiện cho việc trình bày các kết quả chính trong chương 2chúng tôi trình bày lại theo mục đích của mình Giả sử E là không gianđịnh chuẩn trên trường K Ký hiệu

Với các phép toán cộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường

ta có l∞(E) là không gian tuyến tính và C(E), C0(E) và lp(E) là cáckhông gian con của l∞(E) Hơn nữa

lp(E) ⊂ C0(E) ⊂ C(E) ⊂ l∞(E)

Nếu E = K thì ta nhận được các không gian đã trình bày ở Ví dụ 1.1.2.

1.2.1 Định lý ([5]) l∞(E) là không gian định chuẩn với chuẩn đượcxác định bởi

kxk = sup

n > 1

với mọi x ∈ l∞(E) Hơn nữa, nếu E là không gian Banach thì l∞(E)

là không gian Banach

Chứng minh Dễ dàng kiểm tra được (1.5) là một chuẩn trên l∞(E) Tachứng minh phần còn lại của định lý Giả sử E là không gian Banach và

(xk) ⊂ l∞(E) là dãy Cauchy Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại k0 sao cho

kxk− xlk = sup

n > 1

kxkn− xlnk < ε, ∀k, l > k0 (1.6)Suy ra, với mỗi n = 1, 2, ta có

sup

n > 1

kxkn− xnk < ε, ∀k > k0, (1.7)tức là kxk− xk < ε với mọi k > k0, hay xk → x khi k → ∞ Từ (1.7) suy

với mọi n > n0, tức là x ∈ C0(E) Vì thế C0(E) đóng trong l∞(E) Nếu

E là không gian Banach thì l∞(E) cũng là không gian Banach Do đó,không gian con đóng C0(E) của nó cũng là không gian Banach Chứngminh tương tự ta được kết luận cho C(E)

1.2.3 Định lý ([5]) lp(E) là không gian định chuẩn với chuẩn xácđịnh bởi

(xk) ⊂ l∞(E) là dãy Cauchy Khi đó, với mọi ε > 0 tồn tại k0 sao cho

n − x ∈ lp(E) Vì vậy x = xk0− (xk0− x) ∈ lp(E) Như vậy lp(E)

là không gian Banach

1.3 Không gian modular

Mục này trình bày khái niệm, ví dụ về hàm Orlicz và không gian các dãy

Hàm Orlicz M gọi là suy biến nếu tồn tại t > 0 sao cho M (t) = 0.1.3.2 Ví dụ Các hàm M (t) = tp; M (t) = tet là hàm Orlicz

Giả sử (Mn) là dãy các hàm Orlicz và K là trường số thực hoặc sốphức Ta ký hiệu



< ∞, với ρ > 0 nào đóo

1.3.3 Định lý ([6]) l(Mn) là không gian Banach với các phép toáncộng các dãy và nhân một số với một dãy thông thường và chuẩn xácđịnh bởi

Mn = M với mọi n thì không gian modular là không gian Orlicz

Với mỗi dãy các hàm Orlicz (Mn), ta đặt

1.3.4 Định lý ([6]) h(Mn) là không gian con đóng của l(Mn).

1.3.5 Định lý ([6]) Nếu Mn(t) = tp với p > 1 và với mọi n thì

l(Mn) = h(Mn) = lp

CHƯƠNG 2KHÔNG GIAN DÃY MODULAR NHẬN GIÁ TRỊ TRONG

KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

Chương này, nghiên cứu cách xây dựng và một số tính chất của khônggian các dãy modular nhận giá trị trong không gian định chuẩn Các kếtquả của chương này do chúng tôi đề xuất dựa trên các kết quả đã biết đốivới dãy nhận giá trị vô hướng đã trình bày trong tài liệu [6]

2.1 Xây dựng không gian các dãy modular nhận giá trị trongkhông gian định chuẩn

Mục này, nghiên cứu phương pháp xây dựng không gian các dãy ular nhận giá trị trong không gian định chuẩn Giả sử (Mn) là dãy cáchàm Orlicz và E là một không gian định chuẩn trên trường K Ta ký hiệu



< ∞, với ρ > 0 nào đóo

2.1.1 Định lý Nếu E là không gian định chuẩn thì l(Mn)(E) ⊂ l∞(E).Chứng minh Giả sử l(Mn)(E) l∞(E) Khi đó tồn tại x = (xn) ∈

l(Mn)(E) không bị chặn Ta có thể giả thiết kxnk > n với mọi n Vì

x ∈ l(Mn)(E) nên tồn tại ρ > 0 sao cho P∞

ρ > t0 Kéo theo

Mn0

kxn0kρ

với mọi n Vậy l(Mn)(E) ⊂ l∞(E)

2.1.2 Định lý l(Mn)(E) là không gian tuyến tính với các phép toán

Nếu λ = 0 thì λx = (0, 0, , 0, ) ∈ l(Mn) Nếu λ 6= 0 thì với ρ = |λ|ρ1

Suy ra λx ∈ l(Mn) Vì vậy l(Mn) là không gian tuyến tính

2.1.3 Định lý l(Mn)(E) là không gian định chuẩn với chuẩn xác địnhbởi công thức

với mọi x ∈ l(Mn)(E)

Chứng minh Với mỗi x ∈ l(Mn)(E), thì rõ ràng kxk = infnρ > 0 :



6 1}

6 1}

Vì vậy x 6= 0 thì kxk 6= 0 Do đó, kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0

Để kiểm tra điều kiện tiếp theo của chuẩn ta cần nhận xét sau: Nếu

6



6 1

Tiếp theo ta chỉ ra kλxk = |λ|kxk với mọi x ∈ l(Mn)(E) và với mọi

λ ∈ K Trường hợp λ = 0 hoặc x = 0 là hiển nhiên Nếu λ 6= 0 và x 6= 0

6



6 1

Do đó l(Mn)(E) là không gian định chuẩn.

Để chứng minh tính Banach của l(Mn)(E) ta cần bổ đề sau

2.1.4 Bổ đề Nếu dãy(xk) ⊂ l(Mn)(E), trong đó xk = (xk1, , xkn, ), k =

1, 2, hội tụ tới 0 trong l(Mn)(E) thì lim

k→∞xkn = 0 trong E với mọi

∞ Mâu thuẫn với (2.3) Ta nhận được điều cần chứng minh.

2.1.5 Định lý Nếu E là không gian Banach thì l(Mn)(E) là khônggian Banach

Chứng minh Giả sử (xk) là dãy Cauchy trong l(Mn)(E) Ta cần chỉ ra

(xk) hội tụ tới x ∈ l(Mn)(E) Thật vậy, vì (xk) là dãy Cauchy nên

khi k, l → ∞ Do đó, (xkn) là dãy Cauchy trong E với mỗi n = 1, 2, Vì

E đầy đủ nên lim



6 1

)

6 ε, ∀k > k0 (2.6)

Tiếp theo ta chỉ ra x ∈ l(Mn)(E) Từ (2.6) suy ra k xk− x k6 ε, ∀k > k0.

Ta nhận được hệ quả sau đã được trình bày trong [6]

2.1.6 Hệ quả l(Mn)(K) là không gian Banach

Mệnh đề sau như là ví dụ về không gian modular

2.1.7 Định lý Nếu Mn(t) = tp (p > 1) thì l(Mn)(E) = lp(E)

Chứng minh Ta chia chứng minh thành 2 bước Bước 1 ta chỉ ra hai tậphợp l(Mn)(E) và lp(E) bằng nhau Bước 2 ta chỉ ra chuẩn xác định trênchúng trùng nhau

Lấy x bất kỳ thuộc l(Mn) Khi đó

2.2 Một số tính chất của không gian con của không gian l(Mn)(E)

Mục này dành cho nghiên cứu một số tính chất của một không giancon quan trọng của l(Mn)(E)

Với mỗi dãy hàm Orlicz Mn và không gian định chuẩn E ta đặt

2.2.1 Định lý h(Mn)(E) là không gian con đóng của l(Mn)(E)

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh h(Mn)(E) là không gian con của

l(Mn)(E) Giả sử x, y ∈ h(Mn)(E) và α ∈ K Khi đó, nếu α = 0 thì

Từ chứng minh trên ta suy ra2x, 2y ∈ h(Mn)(E) Do đó

k2ynkρ



6 1

2Mn

k2xnkρ



+ 1

2Mn

k2xnkρ

Tiếp theo ta chứng minh h(Mn)(E) đóng trong l(Mn)(E) Giả sử (xk)

là dãy trong h(Mn)(E) và xk hội tụ tới x trong l(Mn)(E) Khi đó, với mọi

ε > 0 tồn tại k0 sao cho



Do tính không giảm và lồi của hàm Mn ta có

Mn

kxnkε



< ∞

Vì ε > 0 tùy ý nên ta có được x = (xn) ∈ h(Mn)(E)

Ta nhận ngay hệ quả sau

2.2.2 Hệ quả Nếu E là không gian Banach thì h(Mn)(E) là khônggian Banach

Chúng tôi đề xuất định nghĩa sau cho dãy hàm Orlicz

2.2.3 Định nghĩa Dãy hàm Orlicz (Mn) được gọi là suy biến đềunếu Mn suy biến với mỗi n, inf{t > 0 : Mn(t) 6= 0 với mọi n} > 0 và

sup{t > 0 : Mn(t) < 1với mọi n} < ∞

Ví dụ sau cho một dãy hàm Orlicz suy biến đều

Khi đó, dễ dàng kiểm tra được Mn(t) là Orlicz với mọi n và inf{t > 0 :

Mn(t) 6= 0} = 1 và sup{t > 0 : Mn(t) < 1 với mọi n} 6 2 Vì vậy, (Mn)

là dãy hàm Orlicz suy biến đều

Ví dụ sau cho thấy dãy hàm Orlicz suy biến có thể không suy biến đều

nếu t > 1

n.

Khi đó, dễ dàng kiểm tra được Mn(t) là Orlicz với mọi n và inf{t > 0 :

Mn(t) 6= 0} = 0 Vì vậy, (Mn) là dãy hàm Orlicz suy biến không đều.2.2.6 Định lý Nếu Mn là dãy hàm Orlicz suy biến đều thì

1) l(Mn)(E) đẳng cấu với l∞(E);

2) h(Mn)(E) đẳng cấu với C0(E)

Chứng minh 1) Từ Định lý 2.1.1 ta có l(Mn)(E) ⊂ l∞(E) Giả sử (Mn)

suy biến đều Đặt T0 = inf{t > 0 : Mn(t) 6= 0 với mọi n} > 0 Khi đó

Mn(t) = 0 với mọi t < T0 và với mọi n Với mọi x = (xn) ∈ l∞(E) ta đặt

2

với mọi n Từ tính chất không giảm của Mn(t) ta có

0 6 Mn

kxnkρ



6 Mn

T02



= 0 Hay x = (xn) ∈ l(Mn)(E)

Vì vậy l∞(E) = l(Mn)(E)

Để chứng minh l(Mn)(E) đẳng cấu với l∞(E) ta còn phải chỉ ra cácchuẩn của chúng là tương đương Để ý rằng l∞(E) xét với chuẩn

kxk∞ = sup

n > 1

kxnk

Từ chứng minh trên ta có, với ρ = 2k

với mọi x ∈ l(Mn)(E)

Bây giờ, từ điều kiện (Mn) suy biến đều suy ra T1 = sup{t > 0 :

1 với mọi n Do tính không giảm của (Mn) nên

kxnkkxk 6 T1

với mọi n Ta thu được

l(Mn)(E) đẳng cấu với l∞(E)

2) Vì C0(E) là không gian con đóng của l∞(E) và h(Mn)(E) là khônggian con đóng của l(M )(E), khi (Mn) suy biến đều l(M )(E) đẳng cấu với

l∞(E) nên để chứng minh h(Mn)(E) đẳng cấu với C0(E) ta chỉ cần chỉ ra

h(Mn)(E) = C0(E) khi M suy biến đều

Giả sử x = (xn) ∈ h(Mn)(E) Khi đó



< ∞ với mọi

ρ > 0 Nếu x /∈ C0(E) thì kxnk 9 0 khi n → ∞ Suy ra tồn tại dãy con

(xnk) sao cho kxnkk > r > 0 với mọi nk Lấy ρ sao cho

Ngược lại, giả sử x = (xn) ∈ C0(E) Ta chỉ ra x ∈ h(Mn)(E) Thậyvậy, với mọi ρ > 0 tùy ý Khi đó, từ lim

n→∞xn = 0 suy ra tồn tại n0 saocho kxnk < ρT0 với mọi n > n0 Hay kxnk

ρ < T0 với mọi n > n0 Vì vậy

2.2.8 Ví dụ Với mỗi n ta xét hàm Mn(t) = t

p

n với p> 1 Khi đó (Mn)

là dãy hàm thỏa mãn điều kiện ∆q tại 0

2.2.9 Bổ đề Dãy hàm Orlicz (Mn) thỏa mãn điều kiện ∆q đều tại 0

với mọi q > 0 khi và chỉ khi thỏa mãn điều kiện ∆2 tại 0

Chứng minh Giả sử (Mn) thỏa mãn điều kiện ∆2 đều tại 0 Khi đó, với

mọi q > 0 tồn tại k0 sao cho q

2k 0 < 2 Khi đó, với mọi n ta có

Vậy M thỏa mãn điều kiện ∆q tại 0 Chiều ngược lại là hiển nhiên

2.2.10 Định nghĩa Dãy hàm (Mn) các hàm Orlicz được gọi là không

suy biến đều nếu (Mn) không suy biến với mỗi n và lim

n→∞Mn(tn) = 0 thì

lim

n→∞tn = 0

Định lý sau đưa ra một điều kiện để h(Mn)(E) = l(Mn)(E)

2.2.11 Định lý Giả sử (Mn) là dãy các hàm Orlicz không suy biến

đều và E là không gian định chuẩn Khi đó, nếu Mn thỏa mãn điều

kiện ∆2 tại 0 với mọi n thì l(Mn)(E) = h(Mn)(E)

Chứng minh Giả sử (Mn) thỏa mãn điều kiện ∆2 đều tại 0 Khi đó,

theo Bổ đề 2.2.9 ta có (Mn) thỏa mãn điều kiện ∆q với mỗi q > 0 Lấy

x ∈ l(Mn)(E) Khi đó, tồn tại ρ0 > 0 sao cho