Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian b mêtric

Một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co kiểuBanach, Kannan, Chatterjea trong không gian b-mêtric.. Vào năm 1993, để mở rộng lớp các không gian mêtric, S.Czerwik [5]

2 Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không

2.1 Một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co kiểuBanach, Kannan, Chatterjea trong không gian b-mêtric 122.2 Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co yếu suy rộng kiểuKannan và Chatterjea trong không gian b-mêtric 19

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 37

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những chủ đề được quan tâm nghiêncứu trong giải tích, nó có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành kỹthuật Nguyên lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co trong không gianmêtric đầy đủ của Banach (1922) là một trong những kết quả quan trọng đầutiên trong lý thuyết điểm bất động Kết quả này đã được mở rộng cho nhiềuloại ánh xạ và nhiều lớp không gian khác nhau

Vào năm 1993, để mở rộng lớp các không gian mêtric, S.Czerwik [5] đã đưa

ra khái niệm không gian b-mêtric và chứng minh một vài kết quả về sự tồntại điểm bất động của ánh xạ co trong không gianb-mêtric Sau đó nhiều nhàtoán học đã tìm cách mở rộng các kết quả về sự tồn tại điểm bất động trongkhông gian mêtric cho không gian b-mêtric Năm 2013, M.Kir và H.Kiziltunc[9] đã chứng minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co kiểu Kannan

và kiểu Chatterjea trong không gian b-mêtric Mới đây (2014), Z.Mustaja

và các cộng sự [11] đã mở rộng các kết quả của Kannan [7], Chatterjea [3],Choudhury [4], Moradi [10] và Razami, Parvaneh [12] về sự tồn tại điểm bấtđộng của các ánh xạ co kiểu Kannan, Chatterjea, T-co yếu suy rộng kiểuKannan, Chatterjea trong không gian mêtric cho không gian b-mêtric

Chúng tôi nhận thấy rằng, trong [9], khi chứng minh các định lý, Kir vàKiziltunc đã mắc phải một số sai sót Các kết quả của Mustaja cùng các cộng

sự trong [11] còn có thể mở rộng được Từ đó, vấn đề được chứng tôi đặt ra

là khắc phục các sai sót của Kir và Kiziltunc trong [9] và mở rộng các kết quảcủa Mustaja và các cộng sự trong [11] Với mục đích đó luận văn của chúngtôi có nhan đề là "Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong khônggian b-mêtric" và được trình bày thành hai chương.

Chương 1 trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gianmêtric, b-mêtric, giới hạn và ánh xạ làm cơ sở cho việc trình bày chương 2.Trong chương 2, đầu tiên chúng tôi trình bày lại một số kết quả về sự tồntại điểm bất động của các ánh xạ co kiểu Banach, Kannan, Chatterjea trongkhông gian b-mêtric đã có trong tài liệu tham khảo [9], chỉ ra những sai sóttrong [9] và đưa ra cách khắc phục (Nhận xét 2.1.7) Sau đó, chúng tôi đưa

ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co yếusuy rộng kiểu Kannan và Chatterjea trong không gianb-mêtric, đó là Định lý2.2.6 và các Hệ quả 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9, 2.2.11, 2.2.12 Các kết quả của chúngtôi là mở rộng của các kết quả chính trong các tài liệu tham khảo [4], [11],[12] Cuối cùng chúng tôi đưa ra Ví dụ 2.2.13 chứng tỏ Định lý 2.2.6 thực sựtổng quát hơn hai Định lý 4 và 5 trong tài liệu [11]

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Vinh năm 2015 dưới sựhướng dẫn tận tình của PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc của mình đến Thầy và xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệmkhoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa sư phạm Toán và quý thầy, cô trong

tổ Giải tích trường Đại học Vinh, Trường Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ chúngtôi trong thời gian học tập, rèn luyện và hoàn thành luận văn này

Qua đây, tác giả gửi lòng cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Chuyên

Lê Hồng Phong, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho tôi trong suốt thời gian học tập

Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạntrong lớp Cao học 21 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong

suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những hạnchế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp củaQuý thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng năm 2015

Tác giả

Nếu dãy{xn}không bị chặn trên (không bị chặn dưới) thì ta đặtlim sup

n→∞

xn =+∞ (lim inf

n} ta có1) lim inf

n→∞ xn ≤ lim sup

n→∞

xn;2) Tồn tại lim

n→∞ (xn+ yn) ≥ lim inf

n→∞ xn + lim inf

n→∞ yn.1.1.5 Bổ đề Giả sử f : R → R là hàm đơn điệu liên tục và {xn} là dãy bịchặn trong R Khi đó

n→∞ f (xn) ≥ f (lim inf

n→∞ xn).Chứng minh Đặt un = sup{xn+k : k = 0, 1, } Khi đó,

1.2 Không gian b-mêtric

1.2.1 Định nghĩa ([5]) Giả sử X là tập khác rỗng và s ≥ 1 Hàm d :

X × X → [0, +∞) được gọi là b-mêtric nếu với mọi x, y, z ∈ X ta có

1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

2) d(x, y) = d(y, x);

3) d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)] (bất đẳng thức tam giác)

Tập X cùng với một b-mêtric trên nó được gọi là không gian b-mêtric vớitham số s, nói gọn là không gian b-mêtric và được kí hiệu bởi (X, d) hoặc X.Chú ý 1) Từ đây về sau, khi nói tới không gian b-mêtric ta luôn hiểutham số của nó là s ≥ 1

2) Từ định nghĩa không gian mêtric và không gian b-mêtric ta thấy rằng,không gian mêtric là trường hợp đặc biệt của không gian b-mêtric khi s = 1

Ví dụ sau đây cho thấy rằng, lớp các không gian b-mêtric thực sự rộng hơnlớp các không gian b-mêtric

1.2.2 Ví dụ ([11]) 1) Giả sử (X, p) là không gian mêtric và d : X × X →[0, +∞) là hàm được cho bởi

d(x, y) = (p(x, y))2, ∀x, y ∈ X

Khi đó, d là b-mêtric với s = 2

2) Giả sử X =R và trên R ta xét mêtric thông thường Ta xác định hàm

d : R×R → [0, +∞) bởi

d(x, y) = |x − y|2, ∀x, y ∈ R

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tínhchất củakhông gianb-mêtric

Khi đó, d là mêtric với s = 2 (theo 1)) nhưng d không là mêtric trên R vì

d(1, −2) = 9 > 5 = d(1, 0) + d(0, −2)

1.2.3 Định nghĩa ([5]) Giả sử{xn}là dãy trong không gianb-mêtric(X, d)

Dãy {xn} được gọi là b-hội tụ (nói gọn là hội tụ) tới x ∈ X và được kíhiệu bởi xn → x hoặc limn→∞xn = x nếu với mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên

n0 sao cho d(xn, x) <  với mọi n ≥ n0 Nói cách khác, xn → x khi và chỉkhi d(xn, x) → 0 khi n → ∞

Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên

n0 sao cho d(xn, xm) <  với mọi n, m ≥ n0

Không gian b-mêtric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó đềuhội tụ

1.2.4 Bổ đề Giả sử {xn} là dãy trong không gian b-mêtric (X, d) và xn →

2) Giả sử xn → x và xn → y Khi đó, d(xn, x) → 0 và d(xn, y) → 0 khi

n → ∞ Theo bất đẳng thức tam giác

d(x, y) (1)

Chứng minh Theo bất đẳng thức tam giác ta có

2) Ánh xạ f được gọi là hội tụ dãy nếu với mọi dãy {xn} trong X mà

{f xn} hội tụ thì dãy {xn} hội tụ

3) Ánh xạ f được gọi là hội tụ dãy con nếu với mọi dãy {xn} trong X mà

{f (xn)} hội tụ suy ra tồn tại dãy con {xnk} của {xn} mà {xnk} hội tụ.4) Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f x = x

Khi đó, α được gọi là hằng số co của f.

2.1.2 Chú ý Nếu f : X → X là ánh xạ co kiểu Banach thì f liên tục theonghĩa, từ {xn} là dãy trong X và xn → x ∈ X kéo theo f xn → f x

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày một số kết quả đã biết vềsựtồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian b-mêtric Sauđó,chúng tôi đưa ra một vài kết quả mới mà đó là sự mở rộng của một số kếtquả đã biết về sự tồn tại điểm bất động trong không gian b-mêtric đã đượccông bố trong các tài liệu tham khảo [4], [11], [12]

Trong mục này, chúng ta trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bấtđộng của các ánh xạ co kiểu Banach, Chatterjea, Kannan, trong không gian

b-mêtric đã được giới thiệu trong tài liệu tham khảo [9]

Chứng minh Giả sử f là ánh xạ co kiểu Banach với hằng số α và {xn} làdãy trong X, xn → x ∈ X Khi đó, ta có

0 ≤ d(f xn, f x) ≤ αd(xn, x) → 0khi → ∞

Do đó, d(f xn, f x) → 0 khi n → ∞ tức f xn → f x

2.1.3 Định lý ([9]) Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy đủ và f :

X → X là ánh xạ co kiểu Banach với hằng số co α Khi đó, nếu α < 1s thì

f có điểm bất động duy nhất x∗ và fnx0 → x∗ với mọi x0 ∈ X

Chứng minh Lấy x0 ∈ X và xây dựng dãy {xn} trong X bởi

với mọi n = 1, 2, và mọi p = 0, 1, (vì sα < 1).

Do α ∈ [0, 1) nên 1−sαsαn d(x0, x1) → 0 khi n → ∞ Kết hợp với (2.1.3) suy ra

Giả sử y ∈ X cũng là một điểm bất động của f tức là f y = y Khi đó, tacó

2.1.4 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian mêtric và f : X → X.1) ([7]) Ánh xạ f được gọi là co kiểu Kannan nếu tồn tại α ∈ [0,12) saocho

d(f x, f y) ≤ α[d(x, f x) + d(y, f y)], ∀x, y ∈ X

2) ([3]) Ánh xạ f được gọi là co kiểu Chatterjea nếu tồn tại α ∈ [0,12) saocho

d(f x, f y) ≤ α[d(x, f y) + d(y, f x)], ∀x, y ∈ X

Nếu (X, d)là không gian mêtric đầy đủ thì Kannan [6] đã chứng minh mọiánh xạ co kiểu Kannan trên X có điểm bất động duy nhất còn Chatterjea[3] đã chứng tỏ mọi ánh xạ co kiểu Chatterjea trên X có điểm bất động duynhất.

Để mở rộng các kết quả trên đây của Kannan và Chatterjea cho trườnghợp không gian b-mêtric, trong [9] M Kir và H Kiziltunc đã đưa ra hai định

2.1.5 Định lý ([9] Theorem 2) Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric đầy

đủ với s ≥ 1 và f : X → X là ánh xạ sao cho tồn tại µ ∈ [0,

, ∀n = 0, 1,

) , ∀n = 1, 2, (2.1.5)

) , ∀n = 1, 2, (2.1.6)

Vì µ ∈ [0,12) nên 1−µµ < 1 Do đó, f là ánh xạ co Tiếp theo, bằng cách chứngminh tương tự như trong chứng minh Định lý 2.1.3 ([9] Theorem 1) ta kếtluận được {xn} là dãy Cauchy.

Vì X là đầy đủ nên tồn tại x∗ ∈ X sao cho xn → x∗ Sử dụng bất đẳngthức tam giác và điều kiện (2.1.4) ta có

d(f x∗, x∗) = 0 tức x∗ = f x∗ Như vậy x∗ là điểm bất động của f

Giả sử y ∈ X cũng là một điểm bất động của f Khi đó, theo điều kiện(2.1.4) ta có

f : X → X là ánh xạ sao cho tồn tại λ ∈ [0,

Chứng minh Giả sử {xn} ⊂ X là dãy được xây dựng như trong Định lý2.1.5 Theo điều kiện (2.1.9) ta có

đầy đủ nên tồn tại x∗ ∈ X sao cho xn → x∗

Bây giờ ta chứng tỏ x∗ là điểm bất động của f Ta có, với mọi n = 1, 2, d(x∗, f x∗) ≤ sd(x∗, xn+1) + sd(xn+1, f x∗)

= sd(x∗, xn+1) + sd(f xn, f x∗)

≤ sd(x∗, xn+1) + sλ[d(xn, f x∗) + d(x∗, xn+1)]

= sd(x∗, xn+1) + sλd(x∗, xn+1) + sλd(xn, f x∗) (2.1.12)Trong (2.1.12) cho n → ∞ ta được

d(x∗, f x∗) ≤ sλd(x∗, f x∗) (2.1.13)

Từ sλ ∈ [0, 12) suy ra d(x∗, f x∗) = 0 tức là x∗ = f x∗ Do đó x∗ là điểm bấtđộng của f

Giả sử y ∈ X cũng là điểm bất động của f Khi đó, theo điều kiện (2.1.9)

ta có

d(x∗, y) = d(f x∗, f y) ≤ λ[d(y, f x∗) + d(f y, x∗)]

= λ[d(y, x∗) + d(y, x∗)] = 2λd(x∗, y)

Kết hợp với λ < 12 suy ra d(x∗, y) = 0 tức là x∗ = y Vậy điểm bất động của

f là duy nhất

2.1.7 Nhận xét Trong việc chứng minh Định lý 2.1.5 và Định lý 2.1.6 (tứcTheorem 2 và Theorem 3 trong [9]), các tác giả M Kir và H Kiziltunc đãphạm các sai lầm sau đây

1) Nếu 1 − sµ ≤ 0 thì từ (2.1.7) không suy ra được (2.1.8)

2) Nếu b-mêtric d không liên tục thì từ (2.1.12) không suy được (2.1.13).Trong [6], N Hussain và các cộng sự đã đưa ra ví dụ chứng tỏ tồn tại nhữngb-mêtric không liên tục

Như vậy, từ (2.1.12) không suy ra được (2.1.13), mà ta chứng minh như sau.Theo (2.1.12) ta có

Đối với Định lý 2.1.5, sử dụng điều kiện (2.1.4) và (2.1.6) ta có

khi n, m → ∞ Do đó, {xn} là dãy Cauchy

Đối với Định lý 2.1.6, sử dụng điều kiện (2.1.9), bât đẳng thức tam giác

khi n, m → ∞ Do đó, {xn} là dãy Cauchy

Như vậy, trong Định lý 2.1.5 cần bổ sung thêm điều kiện sµ < 1, còntrong Định lý 2.1.6 cần bổ sung thêm điều kiện s2λ < 1

2.2 Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co yếu suy rộngkiểu Kannan và Chatterjea trong không gian b-mêtric

Trong mục này, chúng tôi sẽ đưa ra một số định lý về sự tồn tại điểm bấtđộng của các ánh xạ T-co yếu suy rộng kiểu Kannan và Chatterjea trongkhông gian b-mêtric và chỉ ra rằng, từ định lý này suy ra được một số kếtquả trong các tài liệu tham khảo [4], [11], [12]

Đầu tiên, chúng ta nhắc lại các định nghĩa của một số kiểu ánh xạ co màchúng là sự mở rộng của các kiểu ánh xạ co đã được trình bày trong mục 2.1

2.2.1 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian b-mêtric, f : X → X và

ϕ : [0, ∞)2 → [0, ∞) là hàm liên tục sao cho ϕ(x, y) = 0 khi và chỉ khi

Trong định nghĩa sau đây, ψ là hàm chuyển đổi khoảng cách còn ϕ :[0, ∞)2 → [0, ∞) là hàm liên tục và ϕ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 0

1 Ánh xạ f được gọi là T-co yếu suy rộng kiểu Chatterjea nếu với mọi

2.2.6 Định lý Giả sử (X, d)là không gian b-mêtric đầy đủ, f vàT : X → X

là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện

ii) Tồn tại ψ ∈ L, ϕ ∈ Φ và các số không âm α1, α2, α3 sao cho

Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng

1) Với mọi x0 ∈ X dãy {T fnx0} hội tụ

2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có điểm bất động duy nhất

3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mọi x0 ∈ X dãy {fnx0} hội tụ tớiđiểm bất động của f

Chứng minh 1) Giả sử x0 là điểm bất kỳ trong X Ta xây dựng dãy {xn}

≤ ψ(α1d(yn, yn) + α2d(yn−1, yn+1) + sα3[d(yn, yn+1) + d(yn−1, yn)])

− ϕ(α3d(yn, yn+1), α2d(yn−1, yn+1) + α3d(yn−1, yn))

≤ ψ(sα2[d(yn−1, yn) + d(yn, yn+1)] + sα3[d(yn, yn+1) + d(yn−1, yn)])

− ϕ(α3d(yn, yn+1), α2d(yn−1, yn+1) + α3d(yn−1, yn))

= ψ((α2 + α3)s[d(yn−1, yn) + d(yn, yn+1)])

− ϕ(α3d(yn, yn+1), α2d(yn−1, yn+1) + α3d(yn−1, yn))

≤ ψ(d(yn−1, yn) + d(yn, yn+1)

s + 1

3d(yn, yn+1), α2d(yn−1, yn+1) + α3d(yn−1, yn))

Từ ϕ là hàm không âm và ψ là hàm tăng cùng (2.2.4) suy ra

d(yn+1, yn) ≤ d(yn−1, yn) + d(yn, yn+1)

s + 1 ∀n = 1, 2,

Do đó,

d(yn, yn+1) ≤ 1

sd(yn−1, yn) ≤ d(yn−1, yn) ∀n = 1, 2,

Như vậy{d(yn, yn+1)}là dãy giảm gồm các số không âm Do đó, dãy{d(yn, yn+1)}

hội tụ Giả sử limn→∞d(yn, yn+1) = r ≥ 0 Từ (2.2.4) sử dụng tính liên tụccủa ψ và tính chất của ϕ, cho n → ∞ ta suy ra

Giả sử α3 = 0 Khi đó, nếu α2 = 0 thì theo điều kiện (2.2.3) ta có

0 ≤ ψ(d(yn, yn+1)) ≤ ψ(0) − ϕ(0, 0) ∀n = 0, 1,

− ϕ(α

và do đó d(yn, yn+1) = 0 với mọi n = 0, 1, Điều này chứng tỏ r = 0.Nếu α3 = 0 và α2 6= 0 thì từ (2.2.6) suy ra

{ymk} của dãy {yn} thỏa mãn nk là chỉ số bé nhất để cho nk > mk > k và

≤ ψ(α1d(ymk−1, ynk) + α2d(ynk−1, ymk) + sα3[d(ymk−1, ymk) + d(ynk−1, ynk

1d(ymk−1, ynk) + α3d(ymk−1, ymk), α2d(ynk−1, ymk) + α3d(ynk−1, ynk))

lim inf

k→∞ α1d(ymk−1, ynk) = 0 (2.2.17)và

lim inf

k→∞ α2d(ynk−1, ymk

Từ (2.2.13), (2.2.14), (2.2.17), (2.2.18) suy ra α1 = α2 = 0 Do đó theo(2.2.16) ta có ψ() = ψ(0) = 0 Điều này mâu thuẫn với  > 0 và tính chất

)])

− ϕ(α

của ψ Điều này chứng tỏ {yn} là dãy Cauchy Vì (X, d) đầy đủ nên tồn tại

y ∈ X sao cho yn → y khi n → ∞, tức là

lim

n→∞T fn+1x0 = lim

n→∞T f xn = lim

n→∞yn+1 = y (2.2.19)2) Bây giờ, giả sử T là ánh xạ hội tụ dãy con Ta chứng minh f có điểm bấtđộng VìT hội tụ dãy con và {T f xn} là dãy hội tụ nên dãy{f xn} có dãy con

{f xni} sao cho f xni → x ∈ X khi ni → ∞ Do T liên tục nên T f xni → T x.Kết hợp với (2.2.19) suy ra y = T x Sử dụng Bổ đề 1.9 và điều kiện (2.2.3)

≤ ψ(lim sup

n→∞

(α1d(T x, yn+1) + α2d(yn, T f x)+ sα3[d(T x, T f x) + d(yn, yn+1)]))

≤ ψ(sα2d(T x, T f x) + sα3

Vì ψ là hàm không giảm nên từ bất đẳng thức này ta suy ra

1

sd(T f x, T x) ≤ sα2d(T x, T f x) + sα3d(T x, T f x)) = (sα2 + sα3

Kết hợp điều kiện (2.2.1) suy ra 1sd(T x, T f x) ≤ s+11 d(T x, T f x) Do đó ta có

d(T x, T f x) = 0, tức là T x = T f x Vì T là đơn ánh nên x = f x Vậy x làđiểm bất động của f

Giả sử x0 ∈ X cũng là một điểm bất động của f Khi đó, theo điều kiện

d(T x, T f x))

)d(T x, T f x)

T x0 Nếu α1 = α2 = 0 thì từ (2.2.20) suy ra ψ(d(T x, T x0)) = 0 Do đó

d(T x, T x0) = 0, tức là T x = T x0 Vì T là đơn ánh nên từ T x = T x0 suy ra

x = x0 Như vậy điểm bất động của f là duy nhất

3) Giả sử T là ánh xạ hội tụ dãy Khi đó, từ {T f xn} hội tụ suy ra {f xn}

hội tụ Do đó, trong chứng minh 2) ở trên thay ni bởi n ta có

đủ với s ≥ 1; T, f : X → X là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện