Về không gian các dãy nhận giá trị trong không gian p định chuẩn

MÐ †UTrong gi£i t½ch h m, lîp khæng gian ành chu©n câ vai trá quan trång l lîp khæng gian c¡c d¢y.. Khæng gianc¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian ành chu©n ÷ñc nghi¶n cùu têngqu¡t tron

2 Khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian p - ành

2.1 Khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian p - ành chu©n 202.2 Mët sè t½nh ch§t v  v½ dö 26K¸t luªn 32

T i li»u tham kh£o 33

MÐ †U

Trong gi£i t½ch h m, lîp khæng gian ành chu©n câ vai trá quan trång

l  lîp khæng gian c¡c d¢y Khæng gian c¡c d¢y cê iºn ÷ñc x²t vîi d¢ynhªn gi¡ trà trong tr÷íng væ h÷îng, c¡c t½nh ch§t cõa khæng gian c¡cd¢y l  nhúng v½ dö kh¡ iºn h¼nh cõa gi£i t½ch h m cê iºn Khæng gianc¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian ành chu©n ÷ñc nghi¶n cùu têngqu¡t trong [2] Khæng gian p - ành chu©n (0 < p 6 1)l  lîp khæng gianv²ctì tæpæ têng qu¡t hìn khæng gian ành chu©n, chóng l  khæng gian

bà ch°n àa ph÷ìng nh÷ng khæng lçi àa ph÷ìng n¸u p 6= 1 (n¸u p = 1th¼ chóng trð th nh khæng gian ành chu©n) Khæng gian p - ành chu©n

÷ñc giîi thi»u bði Kothe ([4])v  nghi¶n cùu th§u ¡o bði Bayoumi ([3]).Möc ½ch cõa luªn v«n l  nghi¶n cùu c¡c khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ tràtrong khæng gian p - ành chu©n V¼ vªy, chóng tæi lüa chån · t i choluªn v«n cõa m¼nh l : V· khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khænggian p - ành chu©n

Nëi dung cõa luªn v«n tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ ¢ bi¸t v· khæng gian

ành chu©n c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian ành chu©n, x¥y düngc§u tróc p - ành chu©n cho khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khænggian p - ành chu©n v  ÷a ra mët sè t½nh ch§t cõa chóng C¡c nëi dungcõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y k¸t qu£ c«n b£n v· khæng gian p - ành chu©n v khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian ành chu©n ¢ ÷ñc

· cªp ð d¤ng têng qu¡t hìn trong [2]

Ch÷ìng 2 nghi¶n cùu c¡ch x¥y düng c§u tróc p - ành chu©n èi vîikhæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian p - ành chu©n v  mët

sè t½nh ch§t cõa chóng C¡c nëi dung ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng n y

÷ñc chóng tæi · xu§t v  chùng minh düa tr¶n nhúng k¸t qu£ quenthuëc cõa tr÷íng hñp khæng gian c¡c d¢y væ h÷îng

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh d÷îi sü h÷îngd¨n cõa Th¦y gi¡o TS Ki·u Ph÷ìng Chi T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t

ìn s¥u s­c nh§t ¸n th¦y Nh¥n dàp n y t¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìnBan chõ nhi»m Khoa S÷ ph¤m To¡n håc, Ban l¢nh ¤o Pháng  o t¤oSau ¤i håc, quþ Th¦y Cæ trong khoa S÷ ph¤m To¡n håc - Tr÷íng ¤ihåc Vinh ¢ gióp ï trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªnv«n Cuèi còng xin gûi líi c£m ìn tîi Ban Gi¡m hi»u, tê To¡n tr÷íngTHPT C©m Xuy¶n - H  T¾nh, gia ¼nh, çng nghi»p, b¤n b±, °c bi»t

l  c¡c håc vi¶n cao håc To¡n Gi£i t½ch khâa 21 t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh

¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi gióp t¡c gi£ ho n th nh nhi»m vö trong suètqu¡ tr¼nh håc tªp M°c dò ¢ câ r§t nhi·u cè g­ng nh÷ng do thíi gian

v  n«ng lüc h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸,thi¸u sât T¡c gi£ r§t mong nhªn ÷ñc nhúng líi ch¿ b£o quþ b¡u cõa c¡cth¦y cæ v  nhúng gâp þ cõa b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Ngh» An, th¡ng 10 n«m 2015

Vã Húu H 

CH×ÌNG 1KHÆNG GIAN CC D‚Y NHŠN GI TRÀ TRONG

KHÆNG GIAN ÀNH CHU‰N

Ch÷ìng n y tr¼nh b y nhúng ki¸n thùc cì sð c¦n dòng v· sau, °cbi»t l  lîp khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian ành chu©n.1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Möc n y nh­c l¤i mët sè k¸t qu£ v· khæng gian ành chu©n, khænggian Banach c¦n dòng v· sau C¡c k¸t qu£ n y câ thº t¼m th§y trong [1].1.1.1 ành ngh¾a Cho E l  khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng K H mk.k : E → R ÷ñc gåi l  mët chu©n tr¶n E n¸u tho£ m¢n c¡c i·u ki»nsau:

1) kxk > 0, vîi måi x ∈ E v  kxk = 0 ⇔ x = 0;

2) kλxk = |λ|kxk, vîi måi λ ∈ K v  vîi måi x ∈ E;

3) kx + yk 6 kxk + kyk, vîi måi x, y ∈ E

Khi â (E, k.k) ÷ñc gåi l  mët khæng gian ành chu©n

Khæng gian ành chu©n l  khæng gian m¶tric vîi m¶tric sinh bði chu©nd(x, y) = kx−yk, ∀x, y ∈ E Khæng gian ành chu©n E ÷ñc gåi l  khænggian Banach n¸u E ¦y õ vîi metric sinh bði chu©n Vîi tæpæ sinh bðim¶tric sinh bði chu©n c¡c ph²p to¡n cëng v  nh¥n væ h÷îng tr¶n E l li¶n töc Cho E, F l  c¡c khæng gian ành chu©n Kþ hi»u L(E, F ) l  tªphñp c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc tø E v o F Ta ¢ bi¸t L(E, F ) l 

khæng gian ành chu©n vîi chu©n

C¡c lîp khæng gian Banach quen thuëc sau ÷ñc quan t¥m nhi·utrong luªn v«n cõa chóng tæi

1.1.2 V½ dö Gi£ sû K l  tr÷íng c¡c sè thüc ho°c c¡c sè phùc Kþ hi»u

Vîi c¡c ph²p to¡n cëng c¡c d¢y v  nh¥n mët sè vîi mët d¢y thæng th÷íng

ta câ l∞(E) l  khæng gian tuy¸n t½nh v  C, C0 v  lp l  c¡c khæng giancon cõa l∞ Hìn núa

èi vîi lp, ng÷íi ta x²t chu©n x¡c ành bði cæng thùc

Ta nh­c l¤i r¬ng khæng gian m¶tric X ÷ñc gåi l  khæng gian kh£ lyn¸u trong X câ tªp con ¸m ÷ñc trò mªt trong X

Trong gi£i t½ch h m ta ¢ bi¸t c¡c khæng gian C0, C, lp l  khæng giankh£ ly, cán l∞ l  khæng gian khæng kh£ ly

1.1.3 ành ngh¾a Cho (X, d), (Y, ρ) l  c¡c khæng gian m¶tric v  ¡nhx¤ f : X → Y

1) ¡nh x¤ f ÷ñc gåi l  li¶n töc n¸u vîi måi d¢y {xn} ⊂ X v  xn → xth¼ f(xn) → f (x)

2) ¡nh x¤ f ÷ñc gåi l  li¶n töc ·u n¸u vîi måi ε > 0 tçn t¤i δ = δ(ε)sao cho:

2) d v  ρ ÷ñc gåi l  t÷ìng ÷ìng ·u n¸u ¡nh x¤ çng nh§t id :(X, d) → (X, ρ) v  ¡nh x¤ ng÷ñc cõa nâ li¶n töc ·u

Ng÷íi ta chùng minh ÷ñc d v  ρ ÷ñc l  t÷ìng ÷ìng ·u n¸u v  ch¿n¸u tçn t¤i a, b > 0 sao cho

ad(x, y) 6 ρ(x, y) 6 bd(x, y)vîi måi x, y ∈ X

Hai chu©n k.k1 v  k.k2 tr¶n khæng gian tuy¸n t½nh E ÷ñc gåi l  t÷ìng

÷ìng n¸u tçn t¤i a, b > 0 sao cho

akxk1 6 kxk2 6 bkxk1vîi måi x ∈ E Rã r ng hai chu©n t÷ìng ÷ìng sinh t÷ìng ùng ra haim¶tric t÷ìng ÷ìng ·u

1.1.5 ành lþ N¸u E, F l  c¡c khæng gian ành chu©n v  f : E → F l mët song ¡nh Khi â, n¸u

mkxk6 kf (x)k6 M kxkvîi måi x ∈ E th¼ f l  mët ¯ng c§u

Nh÷ vªy, n¸u hai chu©n k.k1 v  k.k2 tr¶n khæng gian tuy¸n t½nh E l t÷ìng ÷ìng th¼ (E, k.k1) v  (E, k.k2) l  ¯ng c§u

1.1.6 ành ngh¾a Khæng gian v²ctì tæpæ l  mët khæng gian v²ctì còngvîi mët tæpæ tr¶n â sao cho c¡c ph²p to¡n cëng v  nh¥n væ h÷îng l li¶n töc

Tªp con U trong khæng gian v²ctì X ÷ñc gåi l  c¥n n¸u αU ⊂ U vîimåi α ∈ K v  |α| < 1; tªp U ÷ñc gåi l  hót n¸u vîi måi x ∈ X tçn t¤i

δ > 0 sao cho αx ∈ U vîi måi |α| < δ

Trong khæng gian v²ctì tæpæ luæn tçn t¤i cì sð l¥n cªn U cõa 0 gçmc¡c tªp c¥n, hót v  vîi måi U ∈ U tçn t¤i V ∈ U sao cho V + V ⊂ U.1.1.7 ành ngh¾a Tªp con U cõa khæng gian v²ctì X ÷ñc gåi l  lçin¸u vîi måi x, y ∈ U, vîi måi 0 6 λ 6 1, th¼ λx + (1 − λ)y ∈ U

Khæng gian v²ctì tæpæ ÷ñc gåi l  lçi àa ph÷ìng n¸u nâ câ cì sð l¥ncªn U cõa 0 gçm c¡c tªp lçi

1.1.8 ành ngh¾a Tªp con U cõa khæng gian v²ctì tæpæ E ÷ñc gåi l 

bà ch°n n¸u vîi måi l¥n cªn V cõa 0 tçn t¤i s > 0 sao cho U ⊂ tV vîimåi t > s

Khæng gian v²ctì tæpæ ÷ñc gåi l  bà ch°n àa ph÷ìng n¸u nâ tçn t¤ilªn cªn cõa 0 l  tªp bà ch°n.

Méi khæng gian bà ch°n àa ph÷ìng luæn câ cì sð ¸m ÷ñc c¡c l¥ncªn cõa 0 M°t kh¡c, n¸u khæng gian v²ctì tæpæ câ cì sð l¥n cªn cõa 0 l 

¸m ÷ñc th¼ nâ kh£ m¶tric V¼ vªy, méi khæng gian bà ch°n àa ph÷ìng

l  kh£ m¶tric

1.1.9 ành ngh¾a Khæng gian v²ctì tæpæ E ÷ñc gåi l  F -khæng giann¸u tçn t¤i m¶tric d b§t bi¸n tr¶n E (tùc l  d(x, y) = d(x + z, y + z) vîimåi x, y, z ∈ E) sao cho (E, d) ¦y õ v  m¶tric d sinh ra tæpæ cõa E.Nh÷ vªy, méi khæng gian bà ch°n àa ph÷ìng l  F - khæng gian.1.1.10 ành ngh¾a Méi F -khæng gian v  lçi àa ph÷ìng ÷ñc gåi l khæng gian Frechet

Rã r ng méi khæng gian ành chu©n l  mët khæng gian lçi àa ph÷ìng

v  bà ch°n àa ph÷ìng Bði v¼ Bn = {x ∈ E : kxk < 1

n}, n = 1, 2, l 

cì sð l¥n cªn gçm c¡c tªp lçi, bà ch°n cõa E Hìn núa, ng÷íi ta chùngminh ÷ñc k¸t qu£ quan trång sau:

1.1.11 ành lþ Khæng gian v²ctì tæpæ l  kh£ ành chu©n khi v  ch¿ khi

nâ lçi àa ph÷ìng v  bà ch°n àa ph÷ìng

V½ dö sau cho th§y méi khæng gian bà ch°n àa ph÷ìng câ thº khænglçi àa ph÷ìng

1.1.12 V½ dö X²t khæng gian lp = {x = {xn} ⊂ R :P∞

n=1|xn|p < +∞}vîi 0 < p < 1 Khi â, lp l  khæng gian v²ctì vîi c¡c ph²p to¡n cëng v nh¥n væ h÷îng theo sè h¤ng t÷ìng ùng cõa d¢y Hìn núa, lp l  F −khænggian vîi m¶tric b§t bi¸n x¡c ành bði

V½ dö sau l¤i chùng tä méi lçi àa ph÷ìng câ thº khæng bà ch°n àaph÷ìng.

1.1.13 V½ dö Gi£ sû R∞ = {x = {xn} : xn ∈ R} l  khæng gian v²ctìc¡c d¢y sè thüc vîi c¡c ph²p to¡n cëng v  nh¥n væ h÷îng theo sè h¤ngt÷ìng ùng cõa d¢y Khi â, R∞ l  F − khæng gian vîi kho£ng c¡ch x¡c

nh÷ sau

pn(x) = |xn|vîi måi x ∈ R∞ Nâi c¡ch kh¡c R∞ l  khæng gian Frechet

1.2 Khæng gian c¡c d¢y nhªn gi¡ trà trong khæng gian ànhchu©n

C¡c k¸t qu£ trong möc n y cì b£n ¢ ÷ñc tr¼nh b y ð d¤ng têng qu¡ttrong [2] º ti»n cho vi»c theo dãi chóng tæi tr¼nh b y l¤i theo möc ½chcõa m¼nh Gi£ sû E l  khæng gian ành chu©n tr¶n tr÷íng K Kþ hi»u

Vîi c¡c ph²p to¡n cëng c¡c d¢y v  nh¥n mët sè vîi mët d¢y thæng th÷íng

ta câ l∞(E) l  khæng gian tuy¸n t½nh v  C(E), C0(E) v  lp(E) l  c¡ckhæng gian con cõa l∞(E) Hìn núa

lp(E) ⊂ C0(E) ⊂ C(E) ⊂ l∞(E)

N¸u E = K th¼ ta nhªn ÷ñc c¡c khæng gian ¢ tr¼nh b y ð V½ dö 1.1.2.1.2.1 ành lþ ([2]) l∞(E) l  khæng gian ành chu©n vîi chu©n ÷ñc x¡c

1.2.2 ành lþ ([2]) C(E) v  C0(E) l  c¡c khæng gian con âng cõa

l∞(E) °c bi»t, n¸u E l  khæng gian Banach th¼ C(E) v  C0(E) côngvªy

1.2.3 ành lþ ([2]) lp(E) l  khæng gian ành chu©n vîi chu©n x¡c ànhbði

1.3 Khæng gian p - ành chu©n

Trong möc n y chóng tæi tr¼nh b y nhúng k¸t qu£ cì sð v· khæng giantuy¸n t½nh p - ành chu©n hay vi¸t gån l  khæng gian p - chu©n C¡c k¸tqu£ ch½nh cõa möc n y cì b£n ÷ñc tr½ch ra tø [3]

Trong möc n y, c¡c khæng gian v²c tì ÷ñc x²t tr¶n tr÷íng K = Rho°c C

1.3.1 ành ngh¾a Cho p ∈ (0; 1], mët p - chu©n tr¶n khæng gian v²ctì

E l  ¡nh x¤ k.k : E →R+ tho£ m¢n c¡c t½nh ch§t sau

i) kxk = 0 khi v  ch¿ khi x = 0;

ii) kλxk = |λ|pkxk, vîi måi λ ∈ K, x ∈ E;

iii) kx + yk 6 kxk + kyk, vîi måi x, y ∈ E

(E, k.k) gåi l  khæng gian tuy¸n t½nh p - chu©n, hay vi¸t gån l  khænggian p - chu©n

1.3.2 V½ dö X²t tªp R vîi c§u tróc tuy¸n t½nh thüc thæng th÷íng Vîi

0 < p 6 1 cè ành, x²t cæng thùc

kxk = |x|p, ∀x ∈R.Khi â, cæng thùc tr¶n x¡c ành mët p - chu©n tr¶n R

1.3.3 ành ngh¾a Mët tüa chu©n tr¶n khæng gian v²ctì E tr¶n tr÷íng

K l  ¡nh x¤ k.k : E → R+ tho£ m¢n c¡c t½nh ch§t sau:

i) kxk = 0 khi v  ch¿ khi x = 0;

ii) kλxk = |λ|kxk, vîi måi λ ∈ K, x ∈ E;

iii) kx + yk 6 σ(kxk + kyk), vîi måi x, y ∈ E, trong â σ > 1 l  h¬ng

3) Ng÷íi ta cán chùng minh ÷ñc r¬ng: n¸u E l  khæng gian bà ch°n àaph÷ìng th¼ tçn t¤i mët p - chu©n k.k tr¶n E sao cho dp(x, y) = kx − yk1p

l  m¶tric sinh ra tæpæ tuy¸n t½nh tr¶n E Do â, méi khæng gian bà ch°n

àa ph÷ìng ho n to n x¡c ành bði mët p - chu©n n o â, tùc l  nâ ÷ñcxem nh÷ mët khæng gian p - ành chu©n

1.3.5 ành ngh¾a Khæng gian p - ành chu©n E ÷ñc gåi l  p-Banachn¸u nâ ¦y õ vîi m¶tric sinh bði p - chu©n

Nh÷ vªy méi khæng gian p-Banach l  F - khæng gian

1.3.7 M»nh · Méi p - chu©n l  mët h m thüc li¶n töc

Chùng minh Gi£ sû k.k l  mët p - chu©n tr¶n E Ta chùng minh b§t

¯ng thùc sau

|kxk − kyk| 6 kx − ykvîi måi x, y ∈ E

Thªt vªy, vîi måi x, y ∈ E

Tø (1.5) v  (1.6) suy ra

|kxk − kyk| 6 kx − yk

B§t ¯ng thùc n y chùng tä p - chu©n li¶n töc

1.3.8 ành ngh¾a Cho E v  F l¦n l÷ñt c¡c khæng gian p - chu©n, khænggian q - chu©n ¡nh x¤ A : E → F ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ tuy¸n t½nh n¸uA(tx + y) = tA(x) + A(y) vîi måi x, y ∈ E v  vîi måi t ∈ K

V½ dö sau cho th§y ¡nh x¤ tuy¸n t½nh giúa c¡c khæng gian p - chu©n

câ thº khæng li¶n töc

1.3.9 V½ dö Cho E = C(I,K) l  khæng gian p-chu©n chùa t§t c£ c¡c

h m li¶n töc tr¶n o¤n I = [0, 1] nhªn gi¡ trà trong K, x¡c ành bði p chu©n (0 < p6 1)

-kf kp = sup

x∈I

|f (x)|p.Cho F l  khæng gian con cõa E chùa t§t c£ c¡c h m f ∈ E sao cho f câ

¤o h m df li¶n töc tr¶n I

X²t ¡nh x¤ D : F → E x¡c ành bði D(f) = df vîi måi f ∈ F Khi

â, d¹ th§y D l  ¡nh x¤ tuy¸n t½nh Tuy nhi¶n D khæng li¶n töc Thªtvªy, x²t d¢y {fn} ∈ F x¡c ành bði fn(x) = sin nx

sin nxn

pi1p

6 1

n.Suy ra kfnkp → 0 khi n → ∞ V¼ vªy {fn} hëi tö tîi 0 trong F Tuynhi¶n

pi1p

= 1vîi måi n Ta nhªn ÷ñc Dfn khæng hëi tö tîi 0 trong E Vªy D khængli¶n töc

1.3.10 ành ngh¾a Cho E v  F l¦n l÷ñt c¡c khæng gian p-chu©n, khænggian q-chu©n (0 < p, q 6 1) ¡nh x¤ tuy¸n t½nh A : U ⊂ E → F ÷ñcgåi l  bà ch°n tr¶n U n¸u tçn t¤i C > 0 sao cho

1.3.11 ành lþ Cho E v  F l¦n l÷ñt c¡c khæng gian p - chu©n, khænggian q - chu©n (0 < p, q 6 1) v  ¡nh x¤ tuy¸n t½nh A : E → F Khi â,c¡c m»nh · sau l  t÷ìng ÷ìng:

(a) A li¶n töc;

(b) A li¶n töc t¤i 0;

(c) Tçn t¤i M > 0 sao cho kA(x)k 6 M kxkqp, vîi måi x ∈ E;

(d) A bi¸n méi tªp bà ch°n trong E th nh tªp bà ch°n trong F

Chùng minh Rã r ng (a) ⇒ (b) v  (c) ⇔ (d) Ta chùng minh (b) ⇒ (c).N¸u A li¶n töc t¤i 0 Khi â, tçn t¤i r > 0 sao cho BE(0, r) câ £nh qua

A n¬m trong BF(0, 1) Khi â, vîi x 6= 0 th¼ r1p x

trong â M = h1

r

ipq

Rã r ng x = 0 b§t ¯ng thùc tr¶n luæn óng V¼vªy (c) ÷ñc chùng minh

Cuèi còng ta ch¿ c¦n chùng minh (c) k²o theo (a) N¸u (c) óng th¼

kA(x) − A(y)k 6 M kx − yk

p q

vîi måi x, y ∈ E B§t ¯ng thùc n y chùng tä A li¶n töc ·u tr¶n E

1.3.12 Nhªn x²t N¸u p = q th¼ (c) câ d¤ng kA(x)k 6 M kxk t÷ìng tünh÷ trong khæng gian ành chu©n

Cho E v  F l¦n l÷ñt c¡c khæng gian p - chu©n, khæng gian q-chu©n(0 < p, q 6 1) v  L(E, F ) khæng gian c¡c ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc tø

E v o F Khi â, L(E, F ) l  khæng tuy¸n t½nh vîi c¡c ph²p to¡n cëng

kxk 6 1,x6=0

kA(x)kkxkqp

Do t½nh tuy¸n t½nh cõa A v  t½nh ch§t cõa q chu©n ta câ

kAk = sup

x∈E\{0}

kA(x)kkxkqp

= sup

x6=0

kA xkxk1p

kxk 6 1,x6=0

kA(x)kkxkqp > sup

kxk 6 1,x6=0

kA(x)kkxkqp

Chùng minh Vîi méi A ∈ L(E, F ) ta câ

Suy ra {An(x)} l  d¢y Cauchy trong F V¼ F ¦y õ n¶n {An(x)} hëi

tö tîi y ∈ F Ta x¡c ành ¡nh x¤ A : E → F x¡c ành bði A(x) =

y = lim

n→∞An(x) Khi â, d¹ d ng kiºm tra ÷ñc A l  ¡nh x¤ tuy¸nt½nh Tø {An} l  d¢y Cauchy suy ra {kAnk} l  d¢y sè bà ch°n Do âsupn>1kAnk = C < +∞ Ta nhªn ÷ñc

kA(x)k = k lim

n→∞kAnkkxkpq 6 sup kAnkkxkpq = Ckkxkpq.Vªy A li¶n töc

Vîi méi ε > 0, tçn t¤i N ∈ N sao cho

kAm − Ank < εvîi måi m, n > N Khi â, vîi méi x ∈ E ta câ

k(An− A)(x)k = lim

m→∞k(An− Am)(x)k < εkxk

p q

vîi måi n > N Suy ra kAn− Ak < ε vîi måi n > N Do â {An} hëi tötîi A trong L(E, F )

ành lþ sau ¥y tr¼nh b y sü mð rëng ¡nh x¤ tuy¸n t½nh l¶n khænggian con âng

1.3.15 ành lþ ([3]) Cho E l  khæng gian p-chu©n, M l  khæng giancon cõa E v  F l  khæng gian q-Banach N¸u A : M → F l  ¡nh x¤tuy¸n t½nh li¶n töc th¼ tçn t¤i duy nh§t mët mð rëng tuy¸n t½nh li¶n töc

A0 cõa A l¶n bao âng M cõa M sao cho

kAk = kA0k

Chùng minh D¹ d ng chùng minh ÷ñc bao âng cõa M l  khæng giancon âng cõa E L§y x ∈ M Khi â, tçn t¤i d¢y {xn} ∈ M sao cholimn→∞xn = x Ta câ

kA(xn) − A(xm)k 6 kAkkxn − xmkqp.Bði v¼ méi d¢y hëi tö l  d¢y Cauchy n¶n kxn−xmkqp → 0, khi m, n → ∞.Suy ra {A(xn)}l  d¢y Cauchy trong F V¼ F Banach n¶n limn→∞A(xn) =

y := A0(x) Khi â A0(x) x¡c ành (khæng phö thuëc v o d¢y {xn}) Thªtvªy, gi£ sû {un} ⊂ M v  limn→∞un = u Khi â,

kA(xn) − A(un)k 6 kAkkxn− unkqp = kAkkxn− x + x − unkqp → 0khi n → ∞ V¼ vªy limn→∞A(xn) = limn→∞A(un) = A0(x) D¹ d ngkiºm tra ÷ñc A0 l  ¡nh x¤ tuy¸n t½nh v  rã r ng A0 = A tr¶n M

Ti¸p theo ta chùng minh A0 bà ch°n Bði v¼ méi q - chu©n l  li¶n töcn¶n

kA0(x)k = lim

n→∞kA(xn)k

M°t kh¡c

kA(xn)k 6 kAkkxnkpq.Suy ra

kA0(x)k 6 kAk lim kxnkqp = kAkkxkqp

vîi måi x ∈ M Do â A0 bà ch°n v  kA0k 6 kA Rã r ng kA0k > kAk

Do â kA0k = kAk

Ta nhªn ÷ñc trüc ti¸p h» qu£ sau

1.3.16 H» qu£ Cho E l  khæng gian p - chu©n, M l  khæng gian contrò mªt trong E v  F l  khæng gian con q - Banach N¸u A : M → F l 

¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc th¼ tçn t¤i duy nh§t mët mð rëng tuy¸n t½nhli¶n töc A0 cõa A l¶n E sao cho

p< /small>i1p< /sub> < /p>

6 1 < /p>

n.Suy kfnkp< /sup> → n Vẳ vêy {fn} hởi tử tợi F Tuynhiản < /p>

p< /small>i1p< /sub>... < /p>

x6=0 < /p>

kA xkxk1p< /small> < /p>

kxk 1,x6=0 < /p>

kA(x)kkxkqp< /small> > sup < /p>

kxk 1,x6=0 < /p>

kA(x)kkxkqp< /small>... class="page_container" data-page="18">

Do tẵnh tuyán tẵnh cừa A v tẵnh chĐt cừa q chuân ta cõ< /p>

kAk = sup < /p>

xE\{0} < /p>

kA(x)kkxkqp< /small> < /p>

= sup < /p>

x6=0