K lý thuyết đối với không gian phân lá của phân lá reeb và một vài MD phân lá

Đồng thời với việc mô tả các c* -đại số bằng phương pháp K - hàm tử, ở gốc độ nào đó luận văn tiếp cận được một số vấn đề của đại số toán tử.. Chương 3: Chương này chứa nội dung chính củ

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hiếu Thảo

K - LÝ THCYỆT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN PHÂN LẢ CỦA PHẦN LÁ REEB VÀ MÔT VÀI MD - PHẲN LẢ

Chuyên ngành : Hình học và tôpô

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẦN KHOA HỌC:

PGS TS LÊ ANH vũ

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

AUB họp rời của A và B

à hoặc A~ c* - đại số bổ sung đon vị của c* - đại số A

A = Ax a H tích xiên của A và H bởi tác động a

C\V,F) c* -đại số liên kết với phân lá (V,F)

C c (H,A) các hàm phức liên tục có giá compact từ H vào A

Ext{B, J) KK - nhóm của Kasparov

Index A chỉ số của c* - đại số A

Xị(A) Kị - nhóm của c* - đại số A

(V,F) phân lá F trên đa tạp V

MỞ ĐÀU

1 Lí do chọn đề tài

Đa tạp phân lá là một nhánh tương đối mới mẻ thuộc lĩnh vực Hình học vi phân

Mặc dù ở địa phương, mọi phân lá k chiều trên một đa tạp vi phân n chiều đều hoàn

toàn giống nhau-cụ thể là chúng luôn có “dáng điệu” của phân lá tầm thường nhưngtrên toàn cục thì chúng có thể rất khác nhau Bởi thế, khi nghiên cứu phân lá, ta chỉquan tâm đến các vấn đề toàn cục, tức là nghiên cứu những yếu tố bất biến qua cácphép tương đương tôpô Chẳng hạn như tìm hiểu số các lá đóng, lá tuần hoàn, lá trùmật hay lá compact, của từng kiểu phân lá

Một yếu tố phản ánh khá tốt thông tin của phân lá ( V , F ) là không gian lá V / F

của phân lá đó Tuy nhiên, dù các đa tạp phân lá có tôpô tốt (do có cấu trúc vi phân),nhưng không gian lá của nó thường lại rất xấu, có thể không Hausdorff, thậm chí là

không nửa tách Mà ta đã biết, khi tính K - lý thuyết hình học của một không gian tôpô

X , ta hay thay X bởi một c* - đại số C Q {X) Với tôpô xấu của V / F thì cách thay

thế này không còn phù họp vì C0(U/F) không cho ta thông tin cần thiết về phân lá

( V , F ) Đây là một cản trở lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá.

Đẻ khắc phục nhược điểm trên, Alain Connes đã liên kết chính tắc một phân lá

( V , F ) với một c* - đại số C * ( V , F ) nhưng vẫn cho ta thông tin cần thiết về phân lá (V , F ) Cần chú ý rằng trong trường hợp phân lá cho bởi phân thớ p : V —» B (có không gian lá là B với tôpô tốt) thì K - lý thuyết của C * ( V , F ) chính là K - lý thuyết hình học của không gian lá V / F = B như thông thường.

Khái niệm c* - đại số có nguồn gốc vật lý và do Gelíand - Naimark đưa ra năm

pháp mô tả hiệu quả các c* - đại số là phương pháp K - hàm tử do Đỗ Ngọc Diệp đưa

ra vào năm 1974 Nhờ phương pháp này các nhà toán học đã mô tả được khá nhiều cácc* - đại số Việc dùng phương pháp K - hàm tử để mô tả c* - đại số liên kết của một

phân lá gọi là K - l ỷ t h u y ế t c ủ a p h â n l á đó.

Ta đã biết K — lý thuyết của một số phân lá đơn giản đã được giải quyết Năm

1980, Pimsner và Veiculeseu đã tính Ẫ^-lý thuyết của phân lá Kronecker Ngay sau

đó, c* - đại số liên kết của phân lá Reeb trên s3 cũng được mô tả Năm 1984, A M

thành công trong trường họp phân lá tạo bởi các K - quĩ đạo chiều cực đại của lóp nhóm Lie M D 4

Sau khi tìm hiểu và nhìn nhận vấn đề, chúng tôi thấy thú vị với việc mô tả

làm mở đối với nhiều phân lá Vì vậy, với luận văn tốt nghiệp này, chúng tôi quyết

định tìm hiểu công việc trên và đã chọn đề tài “ K - L ý t h u y ế t đ o i v ớ i k h ô n g

l ả c ủ a p h â n l á R e e b v à m ộ t v à i M D - p h â n l á ”

2 Nội dung và phưong pháp nghiên cứu

Nội dung chính của luận văn là tìm hiểu kĩ thuật tính K — lý thuyết của Torpe

cho một số phân lá đơn giản trên trụ [0,1] X sx và trên xuyến T2 Ngoài ra, vì các phân

lá này đều nhận được bởi tác động của nhóm Lie R và khi tính K - lý thuyết thì các

Nên chúng tôi đã mở rộng hơn phạm vi các phân lá bởi việc tìm hiểu công trình của Lê

Anh Vũ về K — lý thuyết của phân lá kim cương thực Phân lá này là một M D - phân

lá được cho bởi tác động của R 2 và c* - đại số của nó không nhúng được vào một mởrộng đơn mà phải dùng đến dãy mở rộng lặp hai tầng

về phương pháp nghiên cứu, trước tiên chúng tôi phân tích một số công trình

nghiên cứu có liên quan để khái quát được con đường chung của quá trình tính K - lý

thuyết của một phân lá Sau đó chúng tôi cố gắng cụ thể hóa quy trình chung đó chomột số phân lá cụ thể để từ đó vấn đề đuợc sáng tỏ hon.

3 Ý nghĩa khoa học của luận văn

Đen nay số lượng công trình về tính K — lý thuyết của phân lá còn khá khiêm tốn, K — lý thuyết của rất nhiều phân lá vẫn chưa được nghiên cứu Do vậy, luận văn ít

nhiều cung cấp được các kiến chuẩn bị hữu ích cho những độc giả mới bắt đầu tìm hiểu

K — lý thuyết của phân lá Đồng thời với việc mô tả các c* -đại số bằng phương pháp

K - hàm tử, ở gốc độ nào đó luận văn tiếp cận được một số vấn đề của đại số toán tử.

4 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và phần kết luận

Phần mở đầu: Khái quát lịch sử và nội dung vấn đề, cũng như phạm vi và

phương pháp nghiên cứu đề tài

Chương 1: Gồm một số vấn đề cơ bản về c* - đại số và K — lý thuyết của

chúng Ở đây chúng tôi chỉ trình bày các vấn đề và tính toán cần thiết cho chương 3

Chương 2: Gồm một số vấn đề về tôpô phân lá và K — lý thuyết của phân lá.

Chương này cũng đóng vai trò cung cấp các kiến thức chuẩn bị cho chương 3

Chương 3: Chương này chứa nội dung chính của luận văn, trình bày K — lý

thuyết của các thành phần Reeb, vài phân lá trên xuyến T2 và phân lá kim cương thực

Phần kết luận: Chúng tôi khái quát lại các vấn đề đã làm trong luận văn và nêu

lên hướng nghiên cứu mà chúng tôi sẽ tiếp tục sau khi hoàn thành luận văn này

5 Ký hiệu trong luận văn

Các ký hiệu được dùng trong luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng cóliệt kê trong Danh mục các ký hiệu hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu

Để trích dẫn một kết quả hay tài liệu tham khảo, chúng tôi cũng viết theo cácquy cách chung Chẳng hạn, nếu ghi “2.1.3” có nghĩa là tiểu mục 3 trong mục 1 ởchương 2, còn nếu ghi “[1, tr.44-45]” tức là chỉ từ trang 44 đến trang 45 của tài liệu

tham khảo số 1

Chương 1

MỘT SỐ VẤN ĐÈ VÈ K-LÝ THUYẾT CỦA c* - ĐẠI SỐ

Trong chưcmg này, phần đầu chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức chuẩn

bị về c* - đại số cần thiết cho các tính toán ở các chương 2 và 3 Bên cạnh đó, cùng

với việc xây dựng các K - nhóm và các dãy khớp K - nhóm, chúng tôi có tính chi tiết các K -nhóm của một vài c* - đại số như c, C ( S l ) , C0(R) hay M n { C) Đây chính

là xuất phát điểm để chúng tôi tính toán các K - nhóm được đề cập đến trong phần

chính của luận văn Một trình bày đầy đủ hơn về nội dung của chương này, độc giảquan tâm có thể tham khảo trong [4], [5], [10] và [12]

1.1 Một số vấn đề về c* - đại số

Mục tiêu của phần này là cung cấp cho độc giả các ví dụ kinh điển về c* - đại

số cùng với hai dạng tích thớ và tích xiên của nó Các c* - đại số liên kết của các phân

lá được xét đến trong luận văn của chúng tôi đều có một trong hai dạng này

1.1.1 Định nghĩa (xem [10, tr.35-37])

Một c* - đ ạ i s o A là một đại số Banach trẽn trường số phức c cùng với ánh

xạ đối hợp *: A —» A , X I—> X* thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Với x , y e A , Ả E c, ta có: (x + y ) * = X * + y *, (xy)* = y * x * >

( Ẫ x ) * = Ã x * và (x*)* = X.

(ii) Thỏa c* - đồng nhất ||x*x|| =||x||2 (điều này tương đương với ||xx* II = ||x||2)

Một ánh xạ tuyến tính bị chặn n : A — > B giữa các c* - đại số được gọi là một

* - đ ồ n g c ẩ u nếu với V x , y e A , ta có 7 r ( x y ) = f t ( x ) 7 r ( y ) và 7 r ( x * ) = 7 r ( x )*.

Từ

c* - đồng nhất ta suy ra n bị chặn với chuẩn < 1.

1.1.2 Các ví dụ

(i) Đại số M n (C) là một c* - đại số nếu xét các ma trận như là các toán tử trên

không gian Euclide C", và dùng chuẩn toán tử ||/|| = sup |||/(v)||:veC\||v|| = lỊ cho

các ma trận Còn ánh xạ đối họp chính là phép chuyển vị và liên họp *: A h-» A * (ii) Không gian C ( T i ) các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert T i

là một c*-đại số với ánh xạ đối họp * : x i — l à toán tử phụ họp của toán tử

X T í —ỳ ’ T i

(iii) Xét không gian Hausdorff compact địa phưong X , không gian C Q (X) các

hàm liên tục nhận giá trị phức trên X triệt tiêu ở vô cùng làm thành một c* - đại số

giao hoán với phép nhân, phép cộng và phép đối họp theo từng điểm C 0 ( X ) có đơn vị

nhân khi và chỉ khi X compact Tuy nhiên trường họp X Hausdorff compact địa phương thì C 0 ( X ) vẫn có p h ầ n t ử đ ơ n v ị x ấ p x ỉ như sau: Xét tập định hướng các

tập

con compact của X , với mỗi tập compact K ta ký hiệu f K là hàm đồng nhất 1 trên

K Các hàm như vậy tồn tại theo định lí mở rộng Tietze và X luôn được phú bởi các

tập compact K như thế, ta gọi { f K } K là phần tử đơn vị xấp xỉ của c* - đại số C 0 ( X ).

Ta có kết quả quan trọng về các c* - đại số như sau:

Đ ị n h l í G e ỉ f a n d - N a i m a r k A là một c* - đại số giao hoán có đơn vị nếu

nếu A = C ( X ) , c* - đại số các hàm phức liên tục trên không gian Hausdorff compact

X Và A là một c* - đại số nếu và chỉ nếu A *-đẳng cấu với một *-đại số con đóng của C ( T Í ) , c* - đại số các toán tử bị chặn trên một không gian Hilbert T í

(iv) Xét T i là không gian Hilbert vô hạn chiều khả tách Đại số k ( T i ) các toán

tử compact trên T í là một đại số con đóng với chuẩn của c* - đại số C ( T Í ) k { T i )

cũng đóng với phép đối họp nên nó cũng là một c* - đại số

1.1.3 Tích xiên (xem [4, tr 175-177])

Cho A là một c* - đại số, H là nhóm Lie compact địa phương và

a : H —» A u t A là một tác động liên tục của H lên A Tức là với mỗi h e H ,

a h e A u í A là một *—tự đẳng cấu của A và với mồi a e A , ánh xạ h a h { a ) liên tục

theo chuân Khi đó, ta xác định một c* - đại số A - A x ư H gọi là t í c h x i ê n của A và

H bởi tác động a như sau:

Xét không gian véctơ C c { H , A ) (các hàm phức liên tục có giá compact từ H

vào A ) với phép nhân và phép đối họp như sau ( d h là độ đo Haar trái trên H ):

7T H (h).7r A (a).7ĩ H (h~ ỉ ) = 7T Ẩ (a h (a)), VheHyaeA

Với mỗi 7 1 ta định nghĩa một biểu diễn đối họp ũ của C c ( H , A ) như sau:

*(/) = I^ (m).x H ch)dh, V/ € C c (H,A)

Khi đó ta định nghĩa A là c*-đại số bổ sung của *-đại số C c ( f í , A ) bởi

chuẩn ||/|| = sup {|^(/)|: V^-Ị (với 7 Ĩ là biểu diễn hiệp biến của (A , a )).

Tỉnh chất của tích xiên:

(i) Nếu /: A — > B là một *-đồng cấu H - đẳng biến giữa các c* - đại số, thì

nó sẽ cảm sinh một * - đ ồ n g c ẩ u đ ố i n g ẫ u f : A — > B xác định bởi công thức:

E H .

2 ơ 2

11

(ii) Nếu 0 —> J — J — ^ A —>5 —> 0 là một dãy khớp ngắn (chẻ ra) H - đẳng

biến ( H tác động liên tục lên các c*-đại số J , A , B ), thì dãy các tích xiên sau đây

cũng khớp (chẻ ra) 0 —» J XI //

-1.1.4 Tích thớ

+ AxH- ■>BxiH -> 0.

Cho A Ỉ ,A 2 ,A' là các c*-đại số, ơ ị : A ị -> A ' (ị = 1,2) là các *-đồng cấu.

c* - đại số ^4 và cặp đồng cấu p ị i A - > A ị ( i = 1,2) đuợc gọi là tích thớ (hay còn gọi

là sơ đồ kéo lại) của cặp (ơ ì , ơ2) nếu thỏa 2 điều kiện sau:

(i) Có sơ đồ giao hoán:

A —>4

P 2 ị ị ơ ì

A 2 — —> A ’

(ii) Bộ ba ( A , p x , p 2 ) có tính chất phổ dụng, tức là với mọi bộ ba ( B , q x , q 2 ) có

tính chất tương tự và làm cho sơ đồ sau giao hoán:

K - lý thuyết đại số là một lý thuyết đồng điều suy rộng và việc tìm hiểu K — lý

thuyết là một vấn đề không hề dễ dàng Tuy nhiên, vì mục tiêu của luận văn, ở đây

chúng tôi chỉ trình bày một cách đơn giản nhất việc xây dựng K — lý thuyết cho một

c* - đại số Các ví dụ trong phần này đều là các kết quả cần thiết cho việc tính toán

K — lý thuyết của các phân lá trong chuông 3.

1.2.1 Phân thớ véctơ (xem [5, tr.4- 9])

Một p h â n t h ớ v é c t ơ n chiều trẽn không gian Hausdorff compact X là cặp (E , p ) gồm không gian tôpô E và ánh xạ liên tục p : E —» X thỏa các điều kiện sau:

(i) Mỗi X e X , t h ớ E x = ĩ r ~ x { x ) trên X có cấu trúc của một không gian véctơ

Neu ( E , p ) là một phân thớ véctơ trên X , một n h á t c ắ t của E là một hàm liên tục f : X —» E sao cho J ( JC ) G E x , Vx E X Tập r ( E ) các nhát cắt của E có cấu trúc

không gian véctơ một cách tự nhiên với ( a s + Ị 3 t ) { x ) - a s ( x ) + Ị 3 t ( x ) , trong đó tổ

họp

tuyến tính trong vế phải được thực hiện trong không gian véctơ Ex Thực ra r ( E ) là một môđun trên C ( X ) theo cách tự nhiên với (/’.5')(x) = /(x).s(x).

Đ ị n h l í S e r r e - S w a n Neu ( E , p ) là một phân thớ véctơ trên không gian

Hausdorff compact X , thì r { E ) là một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên C ( X ) (tức là tồn tại S ị , s 2 , — , s n G r ( E ) sao cho r ( E ) = ỵ ^ j n = Ị C ( X ) si) Ngược lại, mọi môđun xạ

ảnh hữu hạn sinh trẽn C { X ) đều có dạng này.

1.2.2 Xây dựng các X-nhóm (xem [12, tr 144-154])

Xét A là một c* - đại số có đơn vị, thì một cách tự nhiên M n ( Á ) cũng là một

trên M n ( Á ) cũng thu được một cách tự nhiên Do đó, nếu nhúng A -» C { H ) (C* - đại

số các toán tử bị chặn trên không gian Hilbert T i ), thì ta có thể nhúng

Ta đã biết, nếu s là một vị nhóm aben, thì tập { a - b : a , b E S } các hiệu hình

thức trong s , trong đó (a - b = c - d ) < ^ ( a + d + f = c + b + /), /e5, làm thành một nhóm, gọi là n h ó m G r o t h e n d i e c k của s .

Đ ị n h n g h ĩ a Neu A là một c* - đại số có đơn vị, ta định nghĩa:

(i) K ữ ( Á ) là nhóm Grothendieck của vị nhóm aben ^o(^) •

(ii) K ^ Á ) là nhóm thương của nhóm U ^ i A ) trên nhóm con chuẩn tắc Í/O0(y4)(0)

(thành phần liên thông của phần tử đơn vị trong U ^ A ) )

= [w@v], u,v e Ư^Á)

Một số tỉnh chất của các K-nhóm:

(i) K ị ( i = 0,1) là các h à m t ử h i ệ p b i ế n từ phạm trù các c* - đại số đếnphạm trù

A b các nhóm aben, tức là nếu 0 G H o m ( A , B) là một đồng cấu giữa các c* - đại số,

thì tồn tại các đồng cấu nhóm K ị { 0 ) = 0 *: K ị ( A ) —» K ị ( B ) ( ; i = 0,1) thỏa mãn các

điều

kiện của hàm tử

bởi số phần tử sinh của nó, do đó £0(C) = Z+, nên ta có K 0 ( C ) = Z Ta cũng có

U ^ i C ) liên thông đường vì một ma trận unita bất kì trong M n(C) đều biến đổi được

về ma trận đon vị I n bằng các phép biến đổi sơ cấp (tức nối được với ĩn) Do đó,

(iii) Nếu 0 :A->M n (A), 0{a) = ị a <*

v0 0, , thỉ 0 : K , ( A ) - > K ( )) là đẳngCấu nhóm

(iv) B ấ t b i ế n đ ồ n g l u â n Nếu { 0 t : t e [0,1]} là một họ liên tục các đồng

cấu từ A

đến B (tức là tồn tại một đồng cấu (^(ứ)) G C([0,1],£)), thì (0o)* = (^ì)* •

Từ điều này ta suy ra, nếu X , Y là hai không gian Hausdorff compact đồng luân, thì

hai c* - đại số của chúng đẳng cấu, C { X ) = C ( Y ), nên K ị ; (C(X)) = ^, (0(7)).

(v) Đ ẳ n g c ẩ u T h o m - C o n n e s Neu R” (nhóm Lie trung bình hóa) tác động

liên

tục a lên c*-đại số A , thì ta có các đẳng cấu nhóm (ỊỸ a : K ị ( A ) = K i + n ( A ỵ \ a R")

V ỉ d ụ Nếu X là không gian co rút được thì K ị (C(X)) = K ị ( C) Thật vậy, ta gọi

{ h t : t e [0,1]} là phép đồng luân với \ - i d ỵ , /z 0(x) = x ữ E X , Vx e X

Xét

0 l :C(X)^C(X),(0 l (f))(x) = f{h l (x)), thì và í>0(/) làhàm hằng /(x0),v/ e C ( X ) Neu ta xét ánh xạ nhúng j : c — > C ( X ) , j { a ) là hàm hằng nhận giá trị bằng a , và ký hiệu e v 0 : C { X ) -> c , e v 0 ự ) - /(x0), thì ta có cácbiểu đồ giao hoán sau:

Vì (0O)* = (<í>1)Nc = i d , nên từ sơ đồ thứ hai ta thấy ngay ỹ* là đẳng cấu và

=(evo)*-Bây giờ ta xét các c* - đại số không có đơn vị A (tương ứng với việc xét các

phân thớ véctơ trên các không gian Hausdorff compact địa phương không compact)

Nếu A là một c* -đại số, thì Ã = A X c là một c* - đại số có đơn vị với phép nhân và

chuẩn như sau:

Với phép cộng và phép đối họp theo từng thành phần và đơn vị là (0,1) Hơn

nữa ánh xạ s : Ả —» c, s ( x , Ã ) = Ã là một *-đồng cấu giữa các c* -đại số có đơn vị và

k e r s - A

V ỉ d ụ Xét A = C 0 ( X ) là đại số các hàm liên tục triệt tiêu ở vô cùng trẽn một

không gian Hausdorff compact địa phương X , thì Ã chính là C ( X ) , ì = Iu {oo} là không gian compact hóa một điểm của X , và s ( f ) = f (ao).

(x,Ã ).{y,ju) = (xy + Ẫỵ + jux,Ẳju)

vàà ||(x,/l)|| = sup|||XÚ! + À ữ ị ị : a E A , ị a ị = lỊ

ổ 0^ ịậị

Với c*-đại số không có đơn vị Ả , ta định nghĩa K ị ( Ẩ ) = ker£* trong đó

s m : K i ( Ả ) - ^ K i ( C ) ( / = 0,1)

1.2.3 Dãy khớp 6 thành phần trong K -lý thuyết

Nếu 0 —» J — — > Ẩ — — > 0 (1.1) là dãy khớp ngắn các c* -đại số, thì

tồn tại một dãy khớp 6 thành phần các K - nhóm liên kết với dãy khớp ngắn trên:

K ữ (B)^-K ữ (A)^-K ữ Ụ)

Trong đó, S ị (/ = 0,1) được gọi là các đồng cấu nối.

Trường hợp đặc biệt khi dãy khớp trên chẻ ra (tức là tồn tại một *-đồng cấu

s : B —» A sao cho 7 T ° S = i d B) thì /r* cũng là một toàn cấu, và khi đó cả 2 đồng cấunối đều là đồng cấu không Do đó dãy khớp 6 thành phần trên chẻ ra thành 2 dãy khớp

Cuối cùng vì M n ( C) = C" nên K ị ( M n ( C)) = K ị { C" ) = K ị { C) (do qui nạp của

^(C2) = ^(C) ® ^(C) = 0, X0(C2) = ^o(c) ® K 0 ( C ) = Z), nên ta có kết quả:

Nếu một trong hai *-đồng cấu ơ ị , ơ 2 là toàn cấu, thì tích thớ trên sẽ sinh ra

dãy khóp Mayer-Vietoris như sau:

Việc tính các *-đồng cấu (TỊ* -<T2* cho ta thông tin về c* - đại số A

1.3 JĨJĨ-nhóm của Kasparov (xem [1, tr.64-67])

Giả sử J , B là các c* - đại số cho trước, J có đơn vị xấp xỉ, còn B hạch và

Lưu ý rằng có một song ánh giữa các mở rộng (1.1) và các mở rộng (1.6) Mà

các mở rộng dạng (1.6) lại tương ứng 1-1 với các đồng cấu ( p : B —» o ụ ® k ) từ B vào đại số đa nhân tử ngoài trên J ® k , ọ được gọi là b ấ t b i ế n B u s b y của mở rộng (1.6) Ta sẽ đồng nhất mở rộng (1.6) với A cũng như với bất biến Busby ( Ọ của nó Hai mở rộng ( Ọ x , ( p 2 dạng (1.6) được gọi là tương đương unita nếu có một toán

tử unita u EM Ụ ®k ) (đại số đa nhân tử trên J ® k ) sao cho với mỗi XeB ta có

( p 2 ( x ) ũ — ũ ( P ị (x), ở đây ũ - w(modJ® k ) Tổng ( Ọ ì @ ( p 2 của các mở rộng

( p x , ( p 2

được định nghĩa như tổng trực tiếp Ta ký hiệu:

(i) S x t ( B , J ) là tập các lóp tương đương unita các mở rộng dạng (1.6).

(ii) S x t ( B , J ) là tập các lóp tương đương unita các mở rộng chẻ ra dạng (1.6).

Cả hai tập này đều là các nhóm cộng và S x t ( B , J ) là nhóm con chuẩn tắc trong

Mặc dù mỗi mở rộng ( Ọ xác định một phần tử duy nhất của E x t ( B , J ) Nhưng mỗi phần tử E x t ( B , J ) không đủ xác định một mở rộng ( p mà chỉ xác định duy nhất

một lóp tương đương unita các mở rộng hấp thụ, tức là một phần tử của nhóm

E x t a ( B , J ) Nói rõ hơn E x t ( B , J ) = E x t a ( B , J )

Tuy nhiên, với mỗi mở rộng ( Ọ dạng (1.6) hoặc (1.1) có duy nhất một mở rộng hấp thụ ( Ọ x sao cho ( p ® ( p x lại hấp thụ Bởi vậy, một phần tử của E x t ( B , J ) chỉ xác định cái gọi là “k i ể u ổ n đ ị n h ” của mở rộng ( Ọ

B ấ t b i ế n c h ỉ s ố c ủ a c* - đ ạ i s o Theo trên, mỗi mở rộng dạng (1.1) xác

z (K t ( B ) , K ị ự ) ) = 0 (/ = 0,1) Khi đó dãy khóp (1.7) cho ta ơ là một đẳng cấu,

nên ta có thế đồng nhất i n d e x A với cặp (É>OA) • Nói cách khác chính cặp (£>0 A) xác

định kiểu ổn định của c* - đại số A Đặc biệt khi mở rộng (1.1) là hấp thụ, thì (<So>í>i)

xác định duy nhất c* - đại số A , sai khác một tương đương unita.

Chương 2

MỘT SÓ VẤN ĐÈ VÈ PHÂN LÁ VÀ K-LÝ THUYẾT CỦA PHÂN LÁ

Tôpô phân lá xuất hiện một cách tự nhiên từ việc tìm nghiệm của các phươngtrình vi phân và các hệ khả tích, và trở thành một lĩnh vực được nghiên cứu độc lập saucông trình nổi tiếng của Ehresmann và Reeb Kể từ đó lý thuyết phân lá không ngừngđược phát triển và trở thành một ngành toán học khá phong phú bởi Reeb (1952),Haeíliger (1956), Novikov (1964), Thurston (1974), Molino (1988) và đặc biệt là AlainConnes với công trình xây dựng c* - đại số liên kết với phân lá

2.1 Một số vấn đề về tôpô phân lá

Mục tiêu của phần này là cung cấp cho độc giả một số kiến thức mở đầu về đatạp phân lá, và ví dụ mà chúng tôi dùng thường xuyên để minh họa cho các khái niệm

ở đây là phân lá Kronecker Phần lớn nội dung ở đây được tham khảo từ [1], [11]

2.1.1 Định nghĩa phân lá (xem [1, tr.41 -42])

Cho V là đa tạp vi phân n chiều, T V là phân thớ tiếp xúc trên V , F là phân thớ con k chiều của T V { F còn được gọi là p h â n b ố k c h i ề u trên V ) Phân thớ F được gọi là k h ả t í c h nếu một trong bốn điều kiện tương đương sau đây thỏa mân: (i) Mỗi x e V , tồn tại đa tạp con k chiều w của V , sao cho Vx E W : F y = T y W ,

với Vy e w , ở đó F là thớ trên y của F (ii) Mỗi X E V , 3 U c z V , u mở chứa X, và một phép ngập p : U —» R"-* thỏa

mãn F y = k e r p*y, Vy E u Tập u được gọi là tập c o n m ở đ o n .

(iii) C°°(F) = {X E C00(7T) :X X E F X ,V X E V} là một đại số Lie.

(iv) Ideal J ( F ) các dạng vi phân ngoài trơn, triệt tiêu trên F ổn định với phép

lấy vi phân ngoài

Tập w trong (i) được gọi là một đ a t ạ p c o n t í c h p h â n của phân bố F đi qua

điểm X E V Mỗi phân bố khả tích k chiều F trên V được gọi là p h â n l á ( t r o n ) k

c h i ề u (đối chiều n - k ) trên V , ký hiệu là ( V , F ) ; V được gọi là đ a t ạ p p h â n l á

Mỗi

đa tạp con liên thông đường tối đại của F trong V được gọi là một l á của phân lá

( V , F ) Mỗi lá là một đa tạp con dìm k chiều của V , ta cũng ký hiệu tập các lá này

bởi chính ký hiệu F

Một tập con A của đa tạp phân lá V được gọi là b ả o h ò a đối với phân lá ( V , F ) nếu A là họp của các lá.

Cho T là một đa tạp con dìm của V , c ó s ố chiều bằng đối chiều của phân lá

( V , F ), T được gọi là t ậ p c o n h o à n h (hay tập hoành) của phân lá ( V , F ), nếu tại mỗi

x e T ta có T X V = T X T ©T X L X , trong đó L x là lá chứa X

2.1.2 Các ví dụ

V ỉ d ụ 1 Xét hàm số /: (-1,1) —» R, X h-» e x ^ ~ x —1, F = [-l,l]xR và họ

F = { L a = (x,tf+ /(*)),*e(-l,l)}aeRu{I+,Z,_}, với L ± = { ( ± ì , y ) , y e R }

Ta sẽ kiểm tra ( V , F ) là phân lá 1 chiều Thật vậy, xét phân bố 1 chiều trên V (vẫn ký hiệu là F ) như sau: Với ( x 0 , y 0 ) e V , t ã định nghĩa trường vécto:

Ổ

nếu X Q = -1, ày

F là một trường vécto tron một chiều trên V , do đó tính khả tích của nó là tầm

thường Hơn nữa, các đường cong tích phân thông thường của trường véctơ này chính

là họ F được xác định như trên, cần chú ý rằng đa tạp V có biên là họp của các

đường cong tích phân, đây là một đặc điểm quan trọng của các đa tạp phân lá có biên

Như vậy F xác định một phân bố trơn một chiều trẽn V , và theo định nghĩa ta

có ( V , F ) là một phân lá l chiều, đối chiều l (Hình 2.1).

1 0 1Hình 2.3

V ỉ d ụ 2 (P h â n l ả K r o n e c k e r ) Xét M = {(x,y): X E [0,1], y E [0,1]} , phân hoạch

M thành P { M ) họ các đoạn thẳng song song có hệ số góc k (ta chỉ cần xét k > 0).

Đồng nhất các biên đối diện của M ta thu được xuyến T2 Khi đó mỗi họ các đoạn

thẳng của P ( M ) “nối được” với nhau (tức điểm cuối của đoạn này đồng nhất với điểm

đầu của đoạn kế tiếp) sẽ tạo thành một lá trên T2 Tức ta thu được một phân lá trên

T2, phân bố khả tích 1 chiều xác định phân lá này là ảnh của trường véctơ song song

phôi với sx (là một đường khép kín quấn quanh T2 m vòng).

Neu k Ể Q (Hình 2.3), thì quá trình nối đuôi sẽ diễn ra vô hạn không lặp lại (vì với mọi số nguyên n e N, thì n / k ẹ Ẽ N ) Do đó mỗi lá đều đồng phôi với K (quấn

quanh T2 một cách vô hạn) và trù mật trong T2

1Ịk

2.1.3 Kiểu tôpô phân lá

Cho (Y ị ^ ị ) là các phân lá k ị chiều trên các đa tạp ĩ i ị chiều V ị ( i = 1,2) Hai

phân lá (F1,F1),(C2,F2) đuợc gọi là cùng kiểu tôpô phân lá nếu tồn tại phép đồng phôi

/: V ị —» F2 biến mỗi lá L G Fj thành lá /(Z) E F2.

N h ậ n x é t Vì phép đồng phôi bảo toàn số chiều của đa tạp, nên hai phân lá cùng

kiểu tôpô thì chúng cùng chiều và đối chiều Ta có, quan hệ cùng kiểu tôpô là quan hệtuơng đuơng và trong nghiên cứu tôpô phân lá, hai phân lá cùng kiểu tôpô đuợc xem làmột (tức là xét không gian các lóp tôpô phân lá với quan hệ tuơng đuong trên)

V ỉ d ụ Tất cả các phân lá Kronecker ứng với k e Q đều cùng kiểu tôpô với

nhau, và cùng kiểu với phân lá j s l X {a}Ị của T2.2.1.4 Không gian lá

Đ ị n h n g h ĩ a Cho ( V f F ) là một phân lá, không gian V / F nhận đuợc từ V sau

khi dán mỗi lá thành một điểm (tức là không gian thuơng của V trên quan hệ tuơng

đuơng thuộc cùng một lá) đuợc gọi là không gian lá của phân lá đã cho Rõ ràng, haiphân lá cùng kiểu tôpô thì các không gian lá của chúng đồng phôi với nhau

V í d ụ Ta xét ví dụ 1, rõ ràng về mặt tập hợp F/F = tu{-}u|+} Gọi

p : V — > v / F là phép chiếu tự nhiên, khi đó tập ơ cz V / F là tập mở khi và chỉ khi

p ~ l ( G ) mở trong V

Truông họp 1 G c R c 1 u {-} u {+} = F/F Tức là R xem nhu là không gian

con của V / F với tôpô cảm sinh (trùng với tôpô thông thuờng trên M).

Khi đó, G mở với tôpô thuơng trong V ị F khi và chỉ khi G mở thông thuờng

trên R

Truông họp 2 G - Ẩ u {-} (Z F/ F ,/lcR.

< = > { p {A) K J L_ là lân cận mở của L _ trong V )

(p ~ l ( A ) chứa trọn vẹn một đường thẳng nào đó song song với L _ trong V )

oJ = loơ = lu{-}

Trường hợp 3 G - A u {+} hoặc G - A u {-} u {+}, A c= R , lập luận tương tự trường họp 2 ta cũng có A = R

K e t l u ậ n V / F = R u {-} u {+} với tôpô gồm các tập G mở như sau: G mở

thông thường trong R, ơ = 1Ru{-}, G = lu{+}, G = v / F

N h ậ n x é t Không gian \ ấ V / F không Hausdorff vì {-} và các điểm thuộc R là

không tách được

Ta xét phân lá Kronecker trên T2 Khi k e Q, nó cùng kiểu phân lá vói phân lá

{ s l x { a } } J , nên không gian lá của nó là s ] với tôpô thông thường trên s ] (tức tôpôcảm sinh từ tôpô thông thường trên R)

Còn khi k < £ Q, thì không gian lá về mặt tập họp là một tập vô hạn điểm rời rạc,

còn tôpô chỉ là tôpô thô

2.1.5 Hai kiểu phân lá điển hình

P h â n l á c h o b ở i p h â n t h ớ Xét phân thớ p : V —» B , ta bảo phân thớ này

lóp c r (0 < r < +oo), nếu V và B là hai đa tạp khả vi lóp c r và p là ánh xạ khả vi

lóp c r , ta có kết quả: Mồi phân thớ khả vi p : V B đều xác định một phân lá trên V

mà mỗi lá là và chỉ là một thớ Không gian lá trong trường họp này chính là không

gian đáy B (có tôpô tốt).

Cho ( V , F ) là một phân lá, phân lá ( V , F ) được gọi là cho bởi phân thớ nếu tồn tại một phân thớ khả vi p : V —» B sao cho mồi lá là và chỉ là một thớ của phân thớ này Theo trẽn ta có V l F - B

P h â n l ả c h o b ở i t á c đ ộ n g c ủ a n h ó m L i e Cho ( V , F ) là một phân lá,

một nhóm Lie Nếu H tác động liên tục lên đa tạp phân lá V sao cho mỗi lá là và chỉ

là một H - quĩ đạo, thì phân lá ( V , F ) được gọi là cho bởi tác động của nhóm Lie H Khi đó, không gian lá V Ị F chính là không gian V j H các H - quĩ đạo.

2.1.6 Phân lá đo được (xem [1, tr.44-45])

Xét phân lá ( V , F ) và T là một đa tạp con hoành của phân lá ( V , F ) Khi đó ta

có thể chọn một bản đồ phân lá ( U , < p ) quanh mỗi p GĨ sao cho các tấm trong u tương ứng 1-1 với các điểm của T n ư , tức là mỗi tấm trong u cắt T tại một và chỉ một điểm Một tập con Borel B của đa tạp phân lá V được gọi là tập hoành Borel nếu

là họp đếm được của các tập hoành Borel B kiểu sau: Tồn tại đơn ánh y / : B -+ T7 từ B vào một đa tạp con hoành T nào đó sao cho y / ( x ) thuộc lá chứa X với mỗi x e B

Đ ị n h n g h ĩ a Một đ ộ đ o h o à n h A đối với phân lá ( V , F ) là một ánh xạ ơ

(A2) A( K ) < +00 nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành.

Phân lá ( V , F ) cùng với một độ đo hoành được gọi là p h â n l ả đ o đ ư ợ c

2.1.7 Holonomy lá (xem [11, tr.22-27])

Holonomy lá là một bất biến cơ bản mô phỏng tính phức tạp toàn cục của mộtphân lá

Xét L là một lá của phân lá ( V , F ) và T , T ' là hai tập con hoành lần lượt đi qua

hai điểm x0,x0' của lá L Mục tiêu của ta là xây dựng một ánh xạ địa phương từ T

Trước tiên ta xét trường họp phân lá đơn cho bởi phép ngập p : V -» B (tức

F x = k e r p ^ x , \ / x e V ) , vì p(*0) = p ( x 0 ' ) = y 0 e B Nên p sẽ cảm sinh các e t a l e

-á n h

x ạ (tức là ánh xạ có ánh xạ tiếp xúc đơn ánh tại mọi điểm) từ các đa tạp hoành đến B

Do đó, tồn tại các lân cận mở v,v' theo thứ tự của x0,x0' trong T , T ’ sao cho p:v—»p ( v ) , p : v ' p(v') là các vi phôi Khi đó, bằng cách thu hẹp v,v' sao cho

p { v ) = p ( v '), ta thu được một vi phôi 0 : V -» v' bảo toàn tính thuộc lá của mỗi điểm,

và 0 được gọi là t r ư ợ t d ọ c c á c l á Bây giờ với một phân lá tổng quát ta sẽ xây dựng một x í c h c á c t ậ p m ở đ ơ n từ x ữ đến xữ'

Để làm điều đó trước tiên ta chọn một đường liên tục Ỵ : [0,1] —» L , y(0) = x0,/(1) = x0L ấ y t 0 - 0 < t ị < t 2 < < t k - 1 là một phân hoạch của [0,1] sao cho: Với

mồi ỉ ( i = 1 , k ) thì ỵ ( [ t ị _ i , t i ] ) chứa trong một tập con mở đơn U ị của V (điều này có

được do tính compact của /([0,1]) và phủ {ơ/(í)}íe[0!] các tập con mở đơn của nó)

Khi đó ta có được một x í c h c á c t ậ p m ở đ ơ n { U x , , U k } phủ Ỵ Vì /([*/_!,*/])

liên

thông nên nó nằm trong một tấm của u ị Với mỗi ỉ , ta gọi T ị là một tập con hoành của

U ị đi qua X ị = ỵ ( t ị ) ( i = ì , k - 1), ta cũng viết T - T 0 , T ' - T k

Như trường họp phân lá đơn ở trên ta xây dựng được các vi phôi 0 ị từ lân cận

mở V ị _ ị của JE Mtrong T ị ( ỉ = \ , k ) Nếu cần thiết ta có thể thu hẹp các V ị , khi đó ta thu

được vi phôi 0 - 0 k ° < í ,

k _ ì O O0 1 : v0 v k Rõ ràng 0 không phụ thuộc vào

T ị , , T k _ ị , ta ký hiệu mầm của vi phôi này tại x0 là h ỵ Nó là một vi phôi từ mầm của

T tại v0 lên mầm của T ' tại v 0 ' Dễ thấy rằng h ỵ cũng không phụ thuộc vào xích mở

đơn { U l , , U k } mà chỉ phụ thuộc vào ỵ , chính xác hơn là chỉ phụ thuộc vào lóp đồng

Đặc biệt khi x 0 ' = x 0 , T r = T thì h ỵ là một mầm tại x0 của một vi phôi địa

phương của T bảo toàn x0 Neu Y \ là một loop khác tại x0 trong L và nếu Y * ĩ \ là tích của hai loop thì h ỵ m y = h ỵ o h ỵ

Vì h Ỵ chỉ phụ thuộc vào [ ỵ ] nên tương ứng [/] -> h xác định một đồng cấu nhóm h : ỉ ĩ ị ( L , x o) - > D i f f ( T ) từ nhóm cơ bản của L tại x0 đến nhóm các mầm

của các vi phôi địa phương của T bảo toàn x0 Khi đó h x được gọi là b i ể u d i ễ n

h o l o n o m y của L tại x0, và nhóm h x ( ỉ ĩ ị ( L , x o)) được gọi là n h ó m h o l o n o m y của lá L

tại x0 Ta để ý rằng nếu T ' là một tập hoành khác qua x0 thì trượt dọc các lá trong mộtlân cận mở đơn tùy ý của x0, ta có sự đồng nhất chính tắc giữa mầm của T tại x0 với

mầm của T ' tại x0, do đó đồng nhất D i f f x (T ) với D i f f x ( T } ) Qua phép đồng nhất

này thì nhóm holonomy của L tại x0 được định nghĩa không phụ thuộc vào T Do đó

nếu cần, thay vì tính toán trên các mầm của các đa tạp con hoành ta có thể xem

h Ỵ = h X ữ ( [ y ] ) như là một mầm của một vi phôi địa phương của một đa tạp thương địa

2.2 c* - đại số liên kết vói phân lá

Đây là một đóng góp đặc sắc của Alain Connes đối với sự phát triển của lýthuyết phân lá Trong phần này chúng tôi nêu lại các bước xây dựng c* - đại số liênkết với phân lá cùng các tính chất của nó, và đặc biệt quan tâm đến trường họp phân lácho bởi phân thớ cũng như phân lá cho bởi tác động của nhóm Lie Độc giả muốn tìmhiểu đầy đủ hơn nội dung này có thể tham khảo trong [3]

2.2.1 Đồ thị của phân lá (xem [1, tr.58])

Cho (V , F ) là một đa tạp phân lá, ta sẽ xây dựng một đa tạp G , có số chiều

d i m G = d i m V + d i m F gọi là đồ thị của phân lá (V , F ).

Một phần tử ỵ của G được cho bởi hai điểm X = s ( ỵ ) , y = r ( ỵ ) trong V và một lóp tương đương của các đường trơn ỵ ( t ) , t E [0,1],/(0) = x , ỵ ( ì ) = y tiếp xúc với phân

lá F (tức là y \ t ) e F ỵ ụ y Ví E [0,1], điều này suy ra x , y thuộc cùng một lá) bởi quan

hệ tương đương sau: Y \ tương đương với ỵ 2 nếu holonomy của đường ỵ 2 * Y \ tại X là

phép đồng nhất Với cách xây dựng trên thì G là một đa tạp n + k chiều Trong G có phép nhân tự nhiên, với Ỵ , ỵ ' E G thì ỵ * ỵ ' có nghĩa khi s ( ỵ ) = r ( ỵỊ) Với phép toán

này thì G là một phỏng nhóm, do đó G còn được gọi là p h ỏ n g n h ó m h o l o n o m y của phân lá ( V , F ) Neu lá L chứa x , y không có holonomy thì lóp trong G chỉ phụ thuộc

vào X và y

Neu cố định X E L thì ánh xạ từ G x - { ỵ E G : s ( ỵ ) = x} vào L xác định bởi

ỵ E G h-» y = r ( ỵ ) được gọi là phủ holonomy của lá L tại X Ta thấy các ánh xạ r , s từ

G vào V là các phép ngập, và ánh xạ (r , s ) là một phép dìm có ảnh là tập

{(x,y) e V x V : x , y E L 0 E V / F }, thường là tập kì dị Nói về tính Hausdorff của G ta

có định lí sau đây

Đ ị n h l í (xem [6, tr.9]) Đồ thị G là Hausdorff nếu và chỉ nếu với mọi cặp ( x , y )

thuộc cùng lá ta có: Các ánh xạ holonomy dọc hai đường bất kì Ỵ X , Ỵ 2 từ x đến y đối

với cùng các tập hoành là trùng nhau nếu nó đồng nhất trên một tập con mở của miềnxác định có bao đóng chứa X.

2.2.2 Không gian các nửa mật độ

Cho ( V , F ) là phân lá k chiều định huớng được, mỗi X E V ta định nghĩa:

n'J 2 := ịp: Á k F x ->c: p(Ầv) = |/t|V2 Vv e V/l

e K}

Trong đó A k F x là không gian véctơ thực một chiều các k - dạng tuyến tính đan trên F x (tức là với một bản đồ địa phương của L tại X thì A k F x có cơ sở là

{ d x l A ắ x 2 A A d x k } ) Ta thấy ngay Q x ị 2 cũng là một không gian véctơ phức một

chiều Ta gọi ( O l J 2 ) x & v là p h â n t h ớ c á c n ử a m ậ t đ ộ trên V Nếu ỵ EƠ, s ( ỵ ) =

x ,

r ( ỵ ) = y và đặt Q x ị 2 = O l J 2 ® Q x ị 2 , thì fỷị 2 là không gian véctơ phức một chiều.

Bây giờ ta xây dựng không gian các nửa mật độ cho trường hợp G Hausdorff.

Ta đặt:

C”(G,/3‘/2) :={/:/ e G h-> /00

là không gian các hàm trơn có giá compact

Vì V định hướng nên ( A k F x ) x e V là phân thớ tầm thường trên V , nên (O l J 2 ) X Ẽ ỵ

cũng là một phân thớ tầm thường Ta chọn một tầm thường V, tức là đã cố định một cơ

sở cho mỗi i?y2, do đó cũng cố định cơ sở cho mỗi Q x ị 2 , Ỵ E G Do vậy ta có thể đồng

nhất hàm / E C ™ ( G ) với /.(vo s ® vo r ) E c/ (ơ,///2) theo cách sau: Với ỵ e G ,

(/.(v o s <8> V o r ) ) ( ỵ ) - f (/).(V o s ( y ) ® V o r ( ỵ )),

Trong đó (vo^(y)®vor(y)) là một cơ sở cố định qua V của Q x ị 2, nên khi đó

/ ì * / 2 = /

Trường họp G không Hausdorff Ta dùng cấu trúc đa tạp của G để định nghĩa

c ™ (Ơ,i71//2) như sau: Với mỗi bản đồ địa phương ( U , h ) của đa tạp G ta xét các hàm thực c p G C^°(Rn + k), s u p p ọ <= h ( U ) , ta có c p o h e C ™ (u ) Vì u Hausdorff nên có

thể

đồng nhất ( p o h e C ™ (u ) với c* (£/,i7ly/2) như trong trường họp trên

Do đó, nếu ta định nghĩa c ™ (ơ) là tập các tổ họp tuyến tính hữu hạn của các

( p o h như thế, thì ta hoàn toàn có thể đồng nhất c*(G) với c*( G , í ì ^ 2 ) là tập các tổ

họp tuyến tính hữu hạn của các / G C ^ ( U , Í 2 ^ 2 ) Vậy cả hai trường hợp của G ta đã

định nghĩa được c* (G , Í 2 ^2), nó là một không gian véctơ và được gọi là k h ô n g g i a n

c á c n ử a m ậ t đ ộ trơn trên G

2.2.3 Xây dựng c* - đại số C*(V,F) (xem [3, tr.15-21])

Trên không gian véctơ c* (ơ,/?1/2) ta định nghĩa tích chập và phép đối họp

như sau: Với /,gG C ^ ( G , Í 2 ^ 2 ) ta định nghĩa:

f*g(ỵ)= L y = Y f(yù-g<Jì) và f*(y) = f(r~ ỉ

)-Với hai phép toán này thì c*( G , Í 2 ^ 2 ) là một *-đại số.

Mỗi X e V , G x - { ỵ e G , s ( ỵ ) = x} là phủ holonomy của lá chứa X, thì có một

biểu diễn tự nhiên 7 1 x của c*( G , Í 2 ^ 2 ) trên Ứ ( G X , Í 1 ^ 2 ) (không gian các nửa mật độ

trên G x bình phương khả tích) như sau:

(x x ư)ij)(ỵ)= L„ = Y f(ri)-n(72)> n^L 2 (G x ,n ỉ / 2 )

•VI *7i=y

Với định nghĩa này 7 T x ( f ) là một toán tử trơn, bị chặn trên l } { G x , í 2 ^2) Ta

xác định một chuẩn trên C ^ { G , Í 2 ^ 2 ) bởi |/| = supjeep||/re(/)||, khi đó C ^ ( G , Í 2 ^ 2 )

trở thành một không gian định chuẩn Đen đây ta định nghĩa C * ( F , F ) là c* - đại số

bổ sung đầy đủ của c* (ơ,/21//2) vởi chuẩn trên

Một so tính chất của C*(V,F ): (xem [1, tr.61 -63])

(i) C * ( F , F ) ® k = C * ( Ỵ , F ) nếu d i m F > 0 (ta luôn ký hiệu k là c*-đại số

các toán tử compact trên một không gian Hilbert vô hạn chiều tách đuợc), tức là

C * ( V , F ) có tính ổn định.

(ii) Các phân lá cùng kiểu tôpô phân lá cho ta các c* - đại số đẳng cấu

(iii) Nếu phân lá (V , F ) đuợc cho bởi phân thớ (phép ngập) p : V -» B , thì

( F , F ) không có holonomy và đồ thị G = {(x,y) G F x V: p ( x ) - p { y ) } là đa tạp con

của F x F , khi đó C*(V,F) ^C 0 (B)®k.

(iv) Nếu ( V , F ) đuợc cho bởi tác động a của nhóm Lie compact địa phương

H sao cho đồ thị G = F x H , thì C * ( F , F ) = C 0 ( V ) x ắ H

2.2.4 Phức c* - đại số ứng với tập con mở bảo hòa (xem [6, tr.21 -22])

Xét V ' là tập con mở bảo hòa đối với phân lá ( F , F ) , thì ta có C * ( F \ F ) là một ideal của C * ( F , F ) Hơn nữa đồ thị G ' của C * ( F \ F ) là một tập con mở trong G , khi

đó G \ G ' đóng trong G Nói chung G \ G ' không phải là đồ thị của phân lá (V \ V \ F ) Tuy nhiên ta vẫn có thể xác định biểu diễn 7 Ĩ X ( x e F \ F f ) của *-đại số

c* ( G \ G ' , f 2 ỉ j / 2 ) trong L 2 ( G x , n ^2) Bổ sung theo chuẩn tương tự như trong xây dựng

C * ( F , F ) , ta thu được một c*-đại số, và vẫn ký hiệu là C * ( F \ F \ F ) Phép lồng

i : G \ G ’ — > G cho ta một *-đồng cấu ơ ' : C “ ( bàng cách

thu hẹp Vì chuẩn được định nghĩa theo lá nên ơ ' mở rộng được thành *-đồng cấu

a : C * ( F , F ) —» C * ( F \ F \ F ) Rõ ràng C * ( F \ F ) c z k e r ơ , và vì mỗi phần tử bất ki

của

C ™ { G \ G ' , f } ^ 2 ) đều mở rộng được thành một hàm của c*(ơ,/2ly/2) nên ơ là toàn

cấu Nên ta có dãy nửa khớp 0 -> C*(V',F) -> C * ( V , F ) -> c\v \V',F)-> 0.

B ổ đ ề Khi ( V , F ) được cho bởi nhóm Lie trung bình hóa (các nhóm Lie R n là

trung bình hóa) H , sao cho G \ G ' = V 1V 'x H thì dãy nửa khớp trên là khớp.

2.3 K -lý thuyết của phân lá

Ta đã biết K — lý thuyết hình học và K — lý thuyết đại số có liên hệ chặt chẽ với nhau bởi K ‘ { X ) = K È (C0(X)) Như đã đề cập trong phần mở đầu, đối với không gian

lá V Ị F thì K — lý thuyết hình học của nó không phản ánh được thông tin cần thiết về

phân lá Nội dung của phần này là khắc phục nhược điểm trên bằng cách đưa thành quả

của Connes vào K — lý thuyết-tức là ta thay C0(F/F) bởi C * ( V , F ) mà K - lý thuyết của nó vẫn cho ta thông tin đủ tốt về phân lá Như vậy K — lý thuyết của phân lá chính

là việc dùng phưong pháp K - hàm tử để mô tả c* - đại số liên kết của một phân lá.(i) Trong trường hợp phân lá đơn giản (như các thành phần Reeb) ta tìm cách

Mặt khác, dãy khớp trên cũng xác định một phần tử I n d e x C * ( V , F ) của ẪX-nhóm E x t ( B , J ) Khi K ị ( B ) là các nhóm aben tự do, theo định lí Rosenberg về

hệ tử phổ dụng ta có đẳng cấu:

Ext(B,J) = Hom z (K 0 (B),K í ự))®Hom z (K^BịKoự)) IndexC'(V,F) 1-^ (<50A)

Khi đó cặp (ÍSQ,^) xác định kiểu ổn định của C * { V , F ) (xem mục 3 chương 1)

Hơn nữa, nếu mở rộng trên là hấp thụ, ta có E x t ( B , J ) = E x t a ( B , J ) nhóm các

lóp tương đương unita của các mở rộng hấp thụ Do đó, ( ổ Q ^ ị ) xác định duy nhất

[ ( p \ G E x t a ( B , J ) , nên nó cũng xác định duy nhất mở rộng (2.1) (tương ứng 1-1 với ( p ) sai khác một tương đương unita, tức là (ÍSQ,^) xác định C * ( V , F ) một cách duynhất

(ii) Còn đối với phân lá phức tạp hơn (như phân lá kim cương thực) ta không thể

tự nhiên hữu hạn nào đó Bấy giờ tất cả các phần tử Ỵ ị , Ỵ 2 , - - ; Ỵ h theo thứ tự trong các

ẪX-nhóm E x t ( B ị , J ị ) ( ỉ = 1 , h ) lần lượt tương ứng với các mở rộng trong (2.2) mới

đủ xác định kiểu ổn định của C * ( V , F ) như là một phần tử của ® h

i = ì E x t ( B ị , J ị )

(iii) Xét phân lá (V , F ) thu được bằng cách dán các biên chung của hai phân lá thành phần (PỊ,/*!), i ỵ 2 , F 2 ) Nếu (V , F ) được cho bởi tác động của nhóm Lie trung

bình hóa H ị sao cho ( V ị ,F { ) có đồ thị G ị - V ị X H ị và ( V 2 , F 2 ) có đồ thị G 2 =

Với L là biẽn chung của V ị , v 2 , các ánh xạ P ị p 2 \ ơ2' là các ánh xạ thu hẹp,

còn ánh xạ ơ ị ' là hợp thành của ánh xạ thu hẹp lên L x H ị và ánh xạ