LÝ THUYẾT DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy Cô – những đồng nghiệp của tôi Trường THPT Mạc Đĩnh Chi đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong công việc để tôi được thuận lợi hơn trong quá trình học t

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS ĐẬU THẾ CẤP

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

LỜI CÁM ƠN

Lời cám ơn sâu sắc nhất, tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy của tôi – PGS - TS Đậu Thế Cấp, người đã giảng dạy cho tôi trong khóa học, cũng như đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thạc sĩ này

Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn

đã dành thời gian đọc và cho tôi những nhận xét về luận văn

Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, quý Thầy Cô của Khoa Toán - Tin học, quý Thầy Cô thuộc Phòng Quản Lý Khoa Học Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm TP HCM đã trang bị cho tôi kiến thức cũng như

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy Cô – những đồng nghiệp của tôi Trường THPT Mạc Đĩnh Chi đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong công việc để tôi được thuận lợi hơn trong quá trình học tập

Tôi cũng xin cám ơn các bạn học viên cùng lớp Cao học Giải Tích khóa

16 đã chia sẻ, giúp đỡ nhau trong suốt quá trình học tập

Cuối cùng là lời cám ơn tôi dành cho những người thân trong gia đình tôi, những ngườiluôn động viên tôi trong suốt thời gian qua

TP Hồ Chí Minh, ngày 1 tháng 10 năm 2008 Phan Phụng Hiệp

MỤC LỤC

Lời cám ơn ……… 1

Mục lục ………2

MỞ ĐẦU ……….3

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ……… 5

1.1 Độ đo ……… 5

1.2 Hàm đo được… ……….……… 18

1.3 Bổ đề Urysohn………19

Chương 2: DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ ………….21

2.1 Các định nghĩa và tính chất ……… 21

2.2 Mối liên hệ giữa dung lượng và độ đo ……… 28

2.3 Một số dung lượng đặc biệt ……… 29

Chương 3: TÍCH PHÂN CHOQUET THEO DUNG LƯỢNG ……… 35

3.1 Định nghĩa ……….35

3.2 Tính chất……….36

KẾT LUẬN ……… 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 46

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết dung lượng được đưa ra bởi G Choquet và được tiếp tục phát triển bởi nhiều tác giả trong thời gian qua Dung lượng đã được xét trong không gian đo được bất kỳ như là một khái quát của độ đo và gần đây là trong không gian mêtric n

R với σ - đại số Borel của hai tác giả Nguyễn Nhụy và Lê Xuân Sơn Vì vậy, tiếp tục mở rộng các kết quả trên một không gian tôpô tổng quát đó là lí do mà chúng tôi chọn đề tài này

2 Mục đích nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi đưa ra khái niệm dung lượng và khái niệm tích phân Choquet theo dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff tổng quát với σ- đại số Borel

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff với σ - đại số Borel, khảo sát một số trường hợp dung lượng

có giá là tập hữu hạn, và một số tính chất của tích phân Choquet theo các dung lượng có giá là tập hữu hạn

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn

Các kết quả có được của luận văn là một trường hợp cho lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff với σ- đại số Borel

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn được trình bày 3 chương:

- Chương 1: Trình bày một số vấn đề về lí thuyết độ đo có liên quan và bổ đề Urysohn

- Chương 2: Trình bày định nghĩa của dung lượng trên không gian tôpô Hausdorff cùng một số tính chất của nó, mối liên hệ giữa dung lượng với độ

đo và một số dung lượng đặc biệt

- Chương 3: Trình bày định nghĩa tích phân Choquet theo dung lượng và chứng minh một số kết quả trong trường hợp dung lượng có giá là tập hữu hạn

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

và σ- đại số M E( )E được gọi là σ- đại số sinh bởi EEEE

Với các họ tập con EEEE, FFFF của X ta có

Định nghĩa 1.1.2

Cho X là một không gian tôpô Ta gọi σ- đại số Borel trên X là σ- đại

số sinh bởi họ các tập con mở của X, kí hiệu là B( ) Mỗi phần tử thuộc XX

B( ) gọi là một tập Borel

Như vậy tập Borel bao gồm các tập mở, các tập đóng, giao của đếm được các tập mở, hợp của đếm được các tập đóng… của X Đặc biệt nếu X là không gian Hausdorff thì mọi tập con compăc là tập Borel Ta gọi một tập bằng giao của đếm được các tập mở là tập Gδ, một tập bằng hợp của đếm được các tập đóng là tập Fσ

Ta gọi σ- đại số tích của các σ- đại số trên Xα là σ- đại số trên X sinh bởi

họ tập { πα− 1(Eα) /Eα∈Mα,α∈I}

Ta kí hiệu σ- đại số này là

I α α∈⊗ M , nếu I ={1, ,n} thì ta kí hiệu

1

n j

Ta gọi một gian trong n

R là một tập dạng G1× × Gn, trong đó G là ikhoảng mở, khoảng đóng, hoặc khoảng nửa mở trong R

E bằng hợp của hữu hạn các tập rời nhau của EEEE

( )

j j

Độ đo µ trên M gọi là σ- hữu hạn nếu tồn tại dãy { }Ej +∞j 1

= ⊂M, (Ej) , j

µ < +∞ ∀ và

1

j j

∈

U A thì

1 1

a Tồn tại độ đo µ trên M mở rộng của µ, cụ thể là µ µ= ∗|M, µ∗ là

độ đo ngoài trên X xác định bởi

∀ ∈M, dấu đẳng thức xảy ra khi ( )µ E < +∞

c Nếu µ là σ- hữu hạn thì µ là mở rộng duy nhất của µ thành độ đo trên M

Kí hiệu EEEE là họ các khoảng mở bên trái (hữu hạn và vô hạn) của R và tập rỗng Ta có EEEE là một họ sơ cấp Gọi A là đại số sinh bởi EEEE Ta có( )= ( )= ( )R

Chứng minh:

Nếu {( ; ]a bj j }1n là các khoảng rời nhau và

1( ; ] ( ; ]n

Bây giờ giả sử { }Ii 1n, { }Jj 1m là hai họ các khoảng mở bên trái rời nhau,

Vậy định nghĩa µ là hợp lí và µ cộng tính hữu hạn

Bây giờ ta sẽ chứng minh nếu { }Ij 1+∞ là một dãy các khoảng rời nhau trong

A thì

1 1

Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, trước hết xét trường hợp I =( ; ]a b

Cố định ε >0 Với mỗi Ij =( ; ]a bj j , chọn δj sao cho 0 2 j

j

< < Họ các khoảng mở ( ;a bj j +δj) là một phủ mở của tập compắc [a+ε; ]b nên có phủ con hữu hạn

Bằng cách loại các khoảng được chứa trong một khoảng khác và đánh số lại phủ con hữu hạn này ta có các khoảng ( ;a b1 1+δ1),…, (a bN; N +δN) phủ [a+ε; ]b , a1<a2 < < aN và bj +δj ∈(aj+1;bj+1+δj+1), j=1, ,N −1

Khi đó:

( ; )

I = a +∞ thì ( )

1( ,a M] ( ) 2 Ij

Cho M → +∞ và ε →0 ta có

1( )I ( )Ij

Theo định lí Hahn, tồn tại duy nhất độ đo µ trên ( )B R mở rộng của µ

Kí hiệu m là bổ sung đầy đủ của µ , gọi là độ đo Lebesgue trên R, kí hiệu miền của độ đo này là L Rõ ràng ( )B R ⊂L Mỗi tập thuộc L gọi là tập đo được Lebesgue

1

( )I b (a ) (bN N) a

µ = − +ε + ≤ε +δ − +ε

Vậy ( )ν E ≥m E( ) Bất đẳng thức ngược lại là hiển nhiên nếu ( )m E = +∞

Trường hợp ( )m E < +∞, ∀ > , tồn tại ε 0 {( , ]a bj j }1+∞ sao cho

1( , ]j j

b) Nếu U ⊃ E, U mở thì ( )m U ≥m E( ) Mặt khác nếu U bằng hợp của đếm

được các khoảng ( , )a bj j phủ E thì U mở, U ⊃E và ( )

1( ) ( , )j j

m U m a b

+∞

≤∑ Vậy b) suy ra từ a)

c) Trước hết ta giả thiết E bị chặn Nếu E= E thì E compắc, kết quả là hiển nhiên Nếu E không đóng thì theo b) với mọi ε > , tồn tại tập mở U sao cho 0

bị chặn, mọi n∈N tồn tại tập compắc Kj ⊂ Ej sao cho

1( j) ( j) 2 j

Cho các không gian độ đo (Xj,Mj,µj), j=1, ,n

Ta gọi gian trong

1

n j

X

∏ là các tập dạng A1× × An, trong đó A ∈j Mj gọi là các cạnh của gian

Với mọi gian A1× × An ta có

là hợp của các gian rời nhau

Ta có ∅ là gian và giao của hai gian là gian nên họ các gian trong

1

n j

Xét trường hợp Xj = R và µj =m trên ( )B R với j=1, ,n thì ta có độ

đo tích m× × m trên σ- đại số Borel ( ) ( ) ( n)

nó kí hiệu là L Một cách tương đương cũng có thể coi n mn là bổ sung đầy

đủ của độ đo tích m× × m trên L ⊗ ⊗ L n| ( n)

m B R gọi là độ đo Borel trên n

Tương tự như trong chứng minh định lí 1.1.14 ta có

( ) sup

m E = { ( ) |m K K ⊂E và K compăc}

1.2 Hàm đo được

Định nghĩa 1.2.1

Cho ( ,X M) và ( ,Y N) là hai không gian đo được Ánh xạ f X: →Y

gọi là (M, N)- đo được nếu mọi B ∈N đều có f−1( )B ∈M

Hàm :f X →R gọi là đo được nếu f là (M, B ( )R )- đo được

Nếu X là không gian tôpô thì hàm f X: →R gọi là đo được Borel nếu

Trước hết ta chứng minh với mỗi số hữu tỉ dạng 2 n (0;1]

r =k − ∈ thì tồn tại một tập mở Ur sao cho A⊂Ur ⊂ X B U\ , r ⊂Us với r <s

Giả sử đã chọn được U với r 2 n

< ≤ = = đã có theo giả thiết quy nạp)

Ta có Uj 2 1 − N và X U\ ( j + 1).2 1 − N là hai tập đóng rời nhau (ở đây đặt U0 = ) nên A

tương tự như trên, chọn được Ur sao cho

Chương 2: DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ

{ }

# 1

{1, , } ( )

Hàm : ( )T B X →[0;+∞) được gọi là có tính liên tục trên nếu với mọi

dãy giảm C1⊃C2 ⊃ ⊃ Cn ⊃ của các tập Borel trong X và 0

1

n n

Cho không gian định chuẩn ( , ), X X ≠{ }0

Hàm : ( )T B X →[0;1] được xác định như sau

Khi đó T là dung lượng trên X nhưng T không có tính liên tục trên Chứng minh:

Trước hết ta kiểm tra T là một dung lượng

Vậy T là dung lượng trên X

Tiếp theo ta chứng minh T không có tính liên tục trên

Với mỗi n = 1, 2, … ta đặt

1: 0

2.2 Mối liên hệ giữa dung lượng và độ đo

Với k = 2, do µ là độ đo hữu hạn ta có

Đặt

1

n i i

Độ đo Borel chính quy hữu hạn trên X là dung lượng trên X

Đặc biệt, với mọi tập con Borel bị chặn A của n

R , thu hẹp của độ đo Lebesgue trên ( )B A là dung lượng trên A

Như vậy, lớp các dung lượng trên X chứa lớp các độ đo Borel chính quy hữu hạn và lớp của những độ đo cực đại

2.3 Một số dung lượng đặc biệt

Ta có T Cx( ) inf= {T Gx( ) : G∈G( ), X G ⊃C}, ∀ ∈KC ( )X Thật vậy:

Nếu x C∈ thì ( ) 1T C = và x T Gx( ) 1, = ∀ ∈G G ( ) X , G⊃C nên đẳng thức đúng

Vậy T là dung lượng trên X x

Hiển nhiên suppT ={ }x và Tx( ) { }x = nên 1 T là dung lượng xác suất trên X x

Chứng minh:

Ta có T ∅ = C( ) 0

Ta có T là cực đại Thật vậy, C ∀A B, ∈B( )X :

Nếu (A∪B)∩ ≠ ∅ thì C T AC( ∪B)=max{T AC( ), T BC( )}= 1

Nếu K ∩ = ∅ thì ( ) 0C T K = Ta có C X C là một tập mở chứa K Mà \( \ ) 0

C

T X C = nên đẳng thức cũng đúng

Vậy T là dung lượng trên X C

Hiển nhiên suppTC = và ( ) 1C T C = nên C T là dung lượng xác suất trên X C

0

i i A

x là tập compăc chứa trong B và ( ) { }* *

A i i

T x = Tất nhiên t( ), A( ) i

Vậy T là dung lượng trên X A

Hiển nhiên suppTA =A0

Nếu max{t ii, =1, ., k}= thì 1 T A = và ta có A( 0) 1 T là dung lượng xác suất Atrên X

i x i

T tδ

=

=∑ được xác định như sau

T là dung lượng trên X

( ) ( )

i i

Vậy A

T là dung lượng trên X

Hiển nhiên sup p A 0

Chương3: TÍCH PHÂN CHOQUET THEO DUNG LƯỢNG

Trong trường hợp tổng quát, cho : Xf → là hàm đo được Borel R

Kí hiệu f+( )x =max{f x( ), 0} và f −( )x =max{−f x( ), 0}

Nếu f+ hoặc f− khả tích thì ta định nghĩa tích phân Choquet của f theo dung lượng T trên tập A∈B( )X như sau

fdT = f dT+ − f dT−

Cho X là không gian tôpô chuẩn tắc và T là dung lượng trên X

Nếu ∃ ∈x X, ∫ fdT = f x( ), ∀ ∈f C+( )X thì suppT ={ }x , trong đó C+( )X

là tập hợp các hàm liên tục, không âm trong X

Định lí 3.2.4

Cho X là không gian tôpô chuẩn tắc

a.Nếu : Xf →R+ là hàm đo được Borel thì ta có

( ), x

fdT = f x ∀ ∈x X

b Ngược lại, nếu T là dung lượng trên X thỏa

∃ ∈x X, ∫ fdT = f x( ), ∀ ∈f C+( )X thì T = TxChứng minh:

Nếu x∉ thì ( ) 0A T A =x Vì T A( )≤T X( \{ }x )= nên ( )0 T A =T Ax( ) Nếu x∈ thì A T A =x( ) 1 Vì 1=T( ) { }x ≤T A( )≤T X( )= nên 1( ) x( )

Cho X là không gian tôpô chuẩn tắc

a Nếu : Xf →R+ là hàm đo được Borel thì

sup ( ) : C

fdT = f x x∈C

b Ngược lại, nếu T là dung lượng trên X thỏa

∃ ∈C K( ), X ∫ fdT =sup{f x( ) : x∈C}, ∀ ∈f C+( )Xthì T =TC và suppT = C

C

0

Mdt

= ∫ = M =sup{f x( ) : x∈C}

b Trước hết ta chứng minh ( )T K =T KC( ), ∀ ∈K K( )X

Nếu K∩ = ∅ thì ( ) 0C T K =C và tồn tại một tập mở G1⊃ K G, 1∩ = ∅ C

Xét hai hàm fK (là hàm đặc trưng trên K) và

n i

t j i k dt

α α

Nếu K∩ A0 = ∅ thì ( ) 0T K = A

1 1 0

i x i

i i i

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f x( )1 ≤ f x( ) 2 ≤ ≤ f x( )kVới ∀ =i 1, ., , k đặt

t f x

=

=∑

KẾT LUẬN

Trong chương 2, chúng tôi đã đưa ra định nghĩa dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff, chứng minh các tính chất cơ bản, đưa ra những lớp dung lượng gồm: lớp các độ đo cực đại, lớp các độ đo Borel chính quy hữu hạn, lớp độ đo Lebesgue trên các tập Borel bị chặn của n

R và xây dựng các dung lượng có giá hữu hạn

Trong chương 3, chúng tôi đã trình bày một số tính chất của tích phân Choquet theo các dung lượng có giá hữu hạn đã nêu trong chương 2

Cuối cùng, tôi kính mong sự nhận xét và sự chỉ bảo tận tình của Quý Thầy Cô để tôi có thêm kinh nghiệm cũng như được học hỏi nhiều hơn nữa trên con đường học vấn của mình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đậu Thế Cấp, Tôpô đại cương, NXB Giáo dục, 2005

2 Đậu Thế Cấp, Độ đo và tích phân, NXB Giáo dục, 2006

3 Nguyen Nhuy, Le Xuan Son, Probability capacities in Rd and the Choquet integral for capacities, Acta Mathematica Vietnamica

29 (2004), pp 41-56

4 Nguyen Nhuy, Le Xuan Son, The weak topology on the space of

probability capacities in Rd, Vietnam Journal of Mathematics.33

(2005), pp 241-251