phương pháp biểu diễn tổng và bài toán thấm đối xứng trục trong môi trường không đồng chất

PHƯƠNG PHÁP BIÊU DIEN TONG VA BAI TOAN THẤM ĐỐI XỨNG TRỤC TRONG MÔI TRƯỜNG KHÔNG ĐỒNG CHẤT Bản luận án này, tiếp tục theo phương bưởng của G.N.Pôlôdi và những kết quả mới đạt được của

2C VÀ TRUNG HỌC CHUYÊN NGHIỆP

¡ở ĐẠI HỌC TONG HOP HÀ NỘI

L218+

PHẠM HỮU VĨNH

-

PHƯƠNG PHAP BIEU DIEN TONG VA

BAI TOAN THAM DOI XUNG TRUC

TRONG MOI TRUONG KHONG

DONG CHAT

— Luận án Phó Tiển sỉ —

(Tóm lát nội dụng )

HÀ NỘI — 1978

Luận án được hoàn thành tại Viện Toán học thuộc Viện Khoa học Việt nam,

Người hướng dẫn :

1, Giáo sư tiến sĩ Lê văn Thiêm, Viện trưởng Viện Toán học

2 Phó tiến sĩ Ngô văn Lược, Viện Toán học

Người nhận xéL luận án :

1, Phó tiến sĩ Trịnh quang Khuynh, Viện Khoa học tính toán và điều khiển

2 Phó tiến sĩ Trần Anh Bảo, trường Đại học Sư phạm IJ,

Ha-ndt,

vao

Cơ quan nhận xét luận ấn;

Trường Đại học Thủy lợi, Hà-nội

Bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án của Nhã nước

giờ ngày tháng nằm tại

Có thể đọc luận án tại:

1 Thư viện Viện Toản học

2 Thư viện trưởng Đại học Tông hợp, Hà-nội

Ý kiến nhận xét xin gửi về :

Viện Toán học, 208ĐÐ Đội cấn Hà-nội

ngày tháng nắm 19

PHƯƠNG PHÁP BIÊU DIEN TONG VA BAI TOAN THẤM ĐỐI XỨNG TRỤC TRONG MÔI TRƯỜNG

KHÔNG ĐỒNG CHẤT

Bản luận án này, tiếp tục theo phương bưởng của G.N.Pôlôdi và những kết quả mới đạt được của một

số tác giả thuộc trường phái phương pháp biều điễn

tông, xây dựng nghiệm giải tich-số của bài toán thế,

đổi xứng trục, đừng và không dừng, trong môi trường khong đồng chất, đồng thời áp dụng các kết qua dat

được về mặt lý thuyết đề giải các bài toán thấm đối

xứng trục trong môi trường khòng đồng chi

San đây, chủng tôi trình bày về ý nghĩa và nội dung co bản của luận án

Trong còng trình đầu tiên công bố năm 1960 [21 ] G.N.ĐPôlôdi đã đưa ra một phương pháp mới bằng số

có hiệu lực giải các bài toán biên hai chiều và ba chiều, gọi là phương pháp Biều diễn tông và P — biến dang Thực chất của phương pháp này là đưa việc tìm các giả trị riêng va vécto riêng của ma trận, xuất hiện khi thay bài toán biên của phương trình vật lý — Toán bằng bài toán sai phân tương ứng, về việc giải chính xác các bài toán sai phân hữu bạn bình thường Nghiệm của bài toán được cho đườởi đạng hiền, hoặc đưới dang các công thức giải tích, chỉ chứa một số íl thòng số (ít.hơn rất nhiều lần sơ với các điềm nút lưới) được

xác định bởi hệ phương trình đại số luyến tính khép kín Tỉnh ưu việc của phương pháp Biều diễn tổng là:

1 Mặc dù số điềm nủt lưới rất lớn (thậm chị kề cả

đối với miền vô hạn), nhưng kbi dùng phương pháp

Biền diễn tông thì số thông số tham gia vào bài loán

không lớn Do đó, hệ phương trình đại số luyến tính phải giải sẽ không lớn Điều này có một ý nghĩa rất quan trọng Bởi vì nó khắc phục được nhược điềm của một số phương pháp sai phản trước đây là số điềm nút lưới tương ứng với số phương trình, và khi tăng số điềm nút lưới để giảm độ sai số của phương pháp thì

số phương trình phải giải sẽ tương ứng tăng theo Nhờ tính ưu việt kề trên của phương pháp Biều điễn tông

mà khối lượng tính toán được giảm đi đáng kể và như vậy tránh được sự tích lũy sai số trong quả trình tính

toán

2 Nghiệm của bài toán cho đưới dạng hiền, được viết dưới đạng biều thức giải tích có thể tỉnh bằng số một cách đơn giản tại bất kỳ điểm nào của miền nghiệm, Cũng vì lý do này mà người ta thường gọi nghiệm của bài toán xây dựng bằng phương pháp Biều diễn tông là nghiệm giải tích — số

3 Bằng phương pháp Biéu diễu tông ngoài tính chất định lượng, ta còn có thể nghiên cứu một số tính chất định tính của nghiệm bài oán biên, như ảnh hưởng của điều kiện biên và điều kiện ban đầu vào nghiệm của bài toán

Tiếp tục của công trình của G.N, Pôlôdi, năm 1963

trong luận án tiến sĩ của mình LI Liatscô đã trực tiếp phát triển phương pháp Biều diễn tông vào một lớp các bài loán biên đối với phương trình Poatxdng trong miền vô bạn và áp dụng giải các bài toán thấm có áp đưởi các công trình thủy lợi[ 11 Tuy hiện nay những thành tựu đạt được trong lĩnh vực phương pháp Biều

diễn tông đã vượi khá xa lúc đỏ và kết quả áp dụng

phương pháp Biều diễn tông để giải các bài toán thấm

đã đa dạng và phong phủ hơn nhiều, song có thê xem

6

1.1 Liatseô là người đầu tiên mở ra một giai đoạn mời

áp dụng một cách có hiệu quả phương pháp Biều điễn” tống vào lĩnh vực các bài toán thấm, Tiếp theo I I: Lia- tseô, hàng loạt các công trình khác của A.À GIasencô, 1.M Vẻlieô Ivanhencô, B L Macarôp, A E, Grisencd, G.E.MIittêski đã ra đời Có thể kề ra đây một số thị

dụ quan trong A A Glusencd da phat triền phương pháp Biểu điễn tông của G.N.Pôlôdi đề giải các bài toán biên hỗn hợp ba chiều đối với phương trình Hem- hòn và Poalxông trong miền vò hạn [3] Trên cơ Sở những nghiệm nhận được trong miền vô hạn ba chiều, A.A.Glusencò đã đưa ra phương pháp giải một lớp

khá rộng các bài toán thấm không gian, dừng có ap

trong môi trường đồng chất và phân lớp I 1 Liatseô: 7

và LM, Vêlieô Ivanhencô đã xây dựng nghiệm giải tích

số của các bài toán thấm trong môi Wrong nhiều lớp, xây dựng công thức biển diễn tổng đối với phương trình đỉy (X grad ø) = E trong đó % là hàm hằng số lửng khủe [13] Trường hợp khi X là một hàm cũng được nghiên cửu nhiều trong thời gian gần day B L Maca- ròp chuyên nghiên cứu cáo bài toán thế đối xứng Irục trong môi trường đồng chất, Mở rộng phương pháp Biều điễn tông của G.N Polodi, V.L Macarép đã xây dựng các hàm đặc biệt của đối số rời rạc loại 1 và loại

2 của bài toán thế đối xứng trục, xét cấu trúc các hệ

thức giữa các hàm đặc biệt đó và trên cơ sở: nghiên

cứu tỉnh chất các hàm thu được mà mở rộng xây dựng nghiệm của bài toán thế đối xứng trục cbo các miền

vo han [23], {24}, [2ð1.(171.[18}-[19] [20]

Ở Việt nam, trong hơn 10 năm qua đã hình thành

một nhóm các người nghiên cứu về phương pháp Biểu điển tông và áp dụng phương pháp Biều diễn tông đề

7

giải các bài toán thấm, Các đồng chí Trịnh Quang

Khuynh, Ngò Văn Lược, Hoàng Định Dung và lác giả đã đạt được một số kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực này

(4-5 J [6], [7-10], [27-35 j,

Bay gio, chung tôi xin trình bày về nội dung cha hẳn luận án, V.L.Macarôp liên tiếp Irong các công trình của mình [23,21], [25 ] [17] đã xây dựng

nghiệm đưởi dạng công thức Biểu diễn tông của bài toán thế đối xửng Irục Những kết quả dạt được có thề

áp dụng đề giải các bài toán [hấm dừng, đối xứng trục trong môi trường đồng chất Song, Irong thực tế ta thường gặp các bài loán thấm trong môi trường hai lớp hoặc nhiều lớp Bề giải lớp các bài toán này, ta

có thể sử dụng nghiệm đã được B L Macarỏp xày dựng Khi đö, ta phải viết nghiệm trong từng lớp phụ thuộc vào các thòng số khác nhau Các thong 86 nay sé được xác định nhờ điều kiện liên hợp trên biên phân chia giữa hai lớp đất, bằng cách đưa về giải hệ phương trình đại số tuyến tính khép kin tương ứng với số thòng số

Số thong sd này bằng số các điềm núi lưới trên biên

phân chia Nhưng vì kích thước của miền thấm lớn hơn rất nhiều so với kích thước của các công trình thủy lợi, nên số thòng số phải xác định (tương ửng với

số phương trình đại số tuyến tính phải giải) sẽ khả lớn và vấn đề trở nên khòng thề giải quyết được nến miền thấm trở thành miền vò hạn (thi đụ nửa dải ngang hoặc dải ngang) Vấn đề đặt ra là có thể khắc phục được khó khăn và bế tắc nói trên hay không? Nói cách khác có thể giải phóng được các thông số, thực

ra không cần thiết, đã tham gia vào nghiệm của bài

toán trong quá trình giải hay không? Đề giải đáp vấn

đề đặt ra, ta phải giải quyết những vấn đề sau đây:

8

1 Xây đựng nghiệm trong toàn bộ miền thấm chưa

c biên phân chía, tức ià ta phải ehuy &n sang giải bài

toán thế đối xứng Irục trong môi trưởng không đồng chất

2, Ta có thê mở rộng kết quả nhàn được sang miền

vò bạn được không ? Và do đỏ ta có thể xảy đựng được nghiệm cho bài (oán thấm đối xứng trục trong môi

trường không sống chal đối với miền vò hạn được không?

3 Từ trường bợp môi trường hai lớp, ta có thê xây

đựng nghiệm (rong miền nhiều lớp và hơn nữa trong

miền không đồng chal bất kỳ được không ? Cũng tức là

từ việc giải bài toán với bai hệ số thấm khác nhau (môi trường hai lớp), ta cô thể chuyền sang giải bài toán với hệ số thấm là hàm hằng số từng khúe, và hơn nữa

là hàm của một biến được không ?

4 Nếu có yếu tố thời gian tham gia trong phương trình (thí dạ cáo đặc trưng của dong thấm phụ thuộc theo thời gian) thì phương trình loại enliplie đã xét ở

trên trở thành loại parabòlic, Đối với lớp phương trình

này, các vấn đồ 1 2 3 có giải quyết được không ? Nói cách khác ta có thê chuyền từ bài toán thấm dừng Lrong

môi lrường không đồng chất sang bài toán thầm không

dừng được khòng ? Khó khăn chủ yếu ở đây là ta có thể chuyển từ bài toán phẳng (hai biến) sang bài toán không gian (ba biến, trong đó biến thứ ba là thời gian) được không ?

Tất cả những vấn đề đặt ra ở trên đã được tác giả

nghiên cứu giải quyết và đó là nội dung chính của bản

luận án này Ngoài chương mở đầu trình bày cơ sở lý thuyết thấm đối xửng trục và phương pháp biều diễn

tông, bản luận án gồm 3 chương (đài 282 trang) bao

gồm những kết quả đạt được của táo giả về lĩnh vực nói trên,

Chương I — Xay dựng nghiệm giải tich-số của bài

toán thế, dừng, đối xứng trục Irong môi trường Không

đồng chất, gồm 3 phần :

Phần À xét bài toán biên :

3 ừ du }* - ở ứ dụ )+ x —— du =l(,y) ( :

trong miền hình chữ nhật :

Xạ <Š X S Xm+l YoS¥ S Yau

trong dé % = % (y) va f (x, y) là hàm cho trước, với

¬ B® YoS¥< My

L1 Yn SYS Ynt

Ở đây X là đại lượng đặc trưng cho tính chất Vật

lý nào đỏ của môi (trường, ÿ = Yn, 1a biên ngang phân

chia giữa hai môi trường có tỉnh chất Vật lý khác nhan

Hàm phải tim tu (x, y) thỏa mãn các điều kiện biên sau

đây :

(2)

UG Y) | yevo = G1 (8),

` ¬= fs

UK Y)laex, = hy) (3)

(SY) | xox, = Pa):

(Œó thê xót các điều kiện biên hỗn hợp mà không

gặp khó khăn gì đặc biệt như trong chương Ì và chương

II của bản luận án đã chỉ ra) Ngoài ra, trên biên phan

chia y = yạ, hàm u(x, y) phai thỏa mãn điều kiện liên hợp

`" -a

% 9% vn, 0 ko PY ly +

10

Phối hợp các phương pháp của G ẤN Polôdi [ 22],

L1 Liatseô [12], và V L Maearôp [23124] {25 ], tác

giả đã xây đựng được nghiệm giải tích-số của bài toán đặt ra Nghiệm phải tìm được biểu diền qua các hàm đặc biệt của đối số rời rạc loại 1 và loại 3 củ› bài toán thế đối xứng trục Đối với bài toán đang xét, các hàm

đặc biệt được biểu diễn qua các ẩa thức Logiăngđrơ

và hàm Lơgiăngđrơ loại hai Do đỏ, việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn, vì các đa ¡hức Lơgiắngđrơ đã được nghiên cứu kỹ và rất quen thuộc đối với chúng la

Xây dựng hệ thức các mối quan hệ giữa các hàm

đặc biệt loại 1 và 2 của bài toán nghiên cứu các lính

chất của chúng và sử đụng kết quả đã tìm được ở trên, bằng cách chuyển qua giới hạn, lác giả đã xây dung được nghiệm giải tích-số của bài toán irong nửa dải ngang, tức là đã xây dựng được nghiệm lrong miền

vỏ hạn Tuy nhiên, việc xây dựng nghiệm trong nửa mặt phẳng vẫn chưa giải quyết được

Trong một số bài loán Vật lý và Cơ học, ta thường

gặp trường hợp chỉ cần tìm được nghiệm ngay trên trục đối xứng, còn tại các điểm khác thi khòng cần thiết đến Cho nên, vấn đề đặt ra là từ các kết quả nhận

được ở trên, ta có thể xây dựng được nghiệm giải tích-

số ở trên trục đối xứng biểu uiễn qua các điều kiện

biên và qua các giá trị của vế phải phương trình vi phan hay khong? Thue chit của vấn đề là: ta phải giải bài toán (1), (2) (3), (4), nhung thay cho điền kiện

trên biên đọc x = x¿ của (3) là điều kiện trên trục đối

xửng :

ở x du xX dầu 3 x du | = {(0, :

[ ax ( Ox }* dx? + oy ( dy )| x=a (0.7)

11

Bằng các phép biến đôi, sử dụng phương pháp của

I1 Liasencô [16 ] và những kết quả đạt được ở trên, tac gia đã xây đựng được nghiệm trong miền hữu hạn

va vo han với các điều kiện biên hỗn hợp

Phần B xét phương trình (1), trong đỏ

Xụ, Yo < Y < Yu, *

Vv

ke Yn, < < Yn, `

tv Yuy 4 SYS Yay,

kn > Joy << Yn +1

u"u(Œ,yY)ly.v 74 (x, y) | 4

Xe dy

x

Bai toam dua vé xdc dinh cac gia iri riéng va véc-

lo riéng cha ma (ran cO N—1 hang cgiản đoạn» (ứng

voi N—1 biên phân chia) Dùng phương phap ctia I 1

Liatscé va A E Grisenes [14] viét nghiệm Irong lừng lớp phụ thuộc các Lhòng số và xác định các thông số

đó bằng cách khâu nghiệm dọc theo các biên phân chỉa,

su đó sử đụng kết quả trong phần Á, tác gia đã xây dựng nghiệm giải tích số của bài toán thế, dừng, đối

xứng trục trong moi trường nhiều lop Van dé tim nghiệm trên trục đối xứng cũng được xét đến và giải

Phần € — Xét phương trình (1) trong đó X = X%(y)

là hàm của biến y, với giả thiết nó liên tục tới đạo hàm

12

hạng hai và có tồn tại đạo hàm hạng ba giới nội, với các điều kiện biên :

(- ou + ku == Pr (x),

(= + ise = 1 (Xx)

dy

1

Ox

( —+ katt) ox x=x = 8 (¥)

m1 lrong d6 r, ry, 8, 8y]a nhtrng ham cho trirde ; ky, ky Ke, k; là những hằng số không âm

Vì hài Loán sai phân Lương ứng không phải là bài loin tu lién hop Lheo nghĩa Lagiănggiơ, nên để chuyền sang bài Loán Lự liên hợp, lac gia đã sử dụng phương pháp của V.L Macarỏp [18] nhân mỗi phương trình của hệ với một thửa số xác định và nhận được ma trận

các hệ số của bài toán lyr liên hợp trùng với ma trận

các hệ số của bai loan sai phan Sau khi thiết lập công thức tương tự như công thức Cristôphen-Đacbu trong

lý thuyết các đa thức trực giao [1] [2] và sử dụng các kết quả đã đạt được trong phần A, tác giá đã đi đến

công thứe biêu diễn tông cho nghiệm của bài toán thế,

dừng, đối xứng trục trong môi trường không đồng chất, Sau đó, tác giả cũng đã xây dựng được nghiệm giải tíich-số lrên trục đối xứng của bài toán đặt ra

Chương II — Xây đựng nghiệm giải tích-số của bài loan thế, không dừng, đối xứng trục trong mới trường không đồng chất

1 Xét phương trình

13