lý thuyết về phương trình trong không gian bannach có thứ tự

Việc tập hợp các kết quả về một số lớp phuơng trình cơ bản nhất và trình bày chúng một cách có hệ thống là việc làm cần thiết.. Mục tiêu của luận văn là trình bày một số kết quả về sự tồ

Nguyễn Quang Vũ

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

Em xin chân thành cảm ơn tập thể quý Thầy Cô đã tham gia giảng dạy lớp Cao học chuyên ngành Giải tích khóa 17- trường Đại học Sư Phạm TP.HCM.Thầy Cô đã mang đến cho em những kiến thức Toán học sâu rộng,

Luận văn chắc hẳn còn có những thiếu sót

Kính mong nhận được sự góp ý của quý Thầy Cô

MỞ ĐẦU

Lý thuyết về phương trình trong không gian Banach có thứ tự được bắt

đầu từ những năm 1940 và được phát triển cho đến ngày nay

Lý thuyết này tìm được những ứng dụng có giá trị trong nhiều lĩnh vực như Vật lý, Sinh học, Hoá học, Kinh tế …

Trong lý thuyết này nhiều lớp phương trình đã được nghiên cứu bằng các phương pháp khác nhau bởi các nhà toán học từ nhiều trường phái Việc tập hợp các kết quả về một số lớp phuơng trình cơ bản nhất và trình bày chúng một cách có hệ thống là việc làm cần thiết

Mục tiêu của luận văn là trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm dương của các lớp phương trình cơ bản trong không gian có thứ tự và phương trình trong không gian Banach có thứ tự đề chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình vi phân và tích phân

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản về mặt nón và các dạng nón

trong không gian Banach có thứ tự,lý thuyết bậc topo trên mặt nón,các kết quả về điểm bất động dương của ánh xạ compac và điểm bất động của ánh xạ tăng

Chương 2: Trình bày về sự tồn tại nghiệm dương của một lớp phương

trình vi phân,tích phân.Trong đó,chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm dương tuần hoàn của phương trình tích phân,nghiệm dương của bài toán biên 3_điểm và nghiệm của phương trình vi phân hàm

Chương 3: Trình bày về phương trình vi phân chứa tham số, trong đó

ứng dụng định lý phân nhánh toàn cục vào một mô hình lò phản ứng hạt nhân

và hệ phản ứng khuếch tán

Chương 1: PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN

y    (  ) 



2) Suy từ tính chất đóng của K

3) Cho m trong bất đẳng thức x n  x nm

1.1.2.Nón chuẩn

Định nghĩa :

Nón K gọi là nón chuẩn nếu:  N 0 :    x y x N y.

Mệnh đề 2 :

Giả sử “” là thứ tự sinh bởi nón chuẩn, khi đó

1) Nếu uv thì đoạnu v,    : {x X u x v:   }bị chặn theo chuẩn 2) Nếux n  y n z n(nN* ) và limx n  lima, z n a thì limy n a

3) Nếu {xn} đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thì limx n a

Chứng minh

1) xu,v   xuvu xu  N.vu

v u N u

n n

Chứng minh

Giả sử K là nón chính quy nhưng không là nón chuẩn, khi đó:

n n

n n n

x N

X x u x r x u x r

  ,n o Gmở : noCG (do định lý Baire)

n

G n C C C C

o

1 2

1 2

1 2

1.2 Điểm bất động dương của ánh xạ compắc

1.2.1 Bậc topo của toán tử dương

Định nghĩa:

Cho X là không gian Banach với nón K

thoả (*)

Xét ánh xạ F x t( , ) t A x( ) (1  t A x) ( ) ta có:

deg( , , ) deg( , , ) ( ,0) ( ), ( ,1) ( )

Có thể coi ( nếu không ta xét dãy con)

x K  G

Hệ quả:

riêng trong K với giá trị riêng bằng 1.Khi đó:

1) i B G k( , ) 1  nêú B không có vectơ riêng trong K với giá trị riêng   1

2) i B G k( , ) 0  nếu B có vectơ riêng trong K với giá trị riêng   1

Khi đó:i A B k( , ( , )   i A B k( ' , ( , ))   với   0 đủ nhỏ

không có trong K vectơ riêng với giá trị riêng bằng 1

1.2.3 Tồn tại điểm bắt động dương:

1) A' , ' A không có trong K vectơ riêng với giá trị riêng bằng 1

1.3.Điểm bất động của ánh xạ tăng

1.3.1 Nguyên lý Entropy ( Brezis-Browder)

Giả sử

i) X là tập sắp thứ tự sao cho mỗi dãy đơn điệu tăng trong X có cận trên ii) S X:    [ , ) là một hàm đơn điệu tăng (u v S u( ) S v( )) và bị chặn trên

ii) F biến mỗi dãy tăng thuộc M thành dãy hội tụ

Khi đó F có điểm bất động trong M

Hệ quả 1:

i) u F u F v ( ), ( ) v

ii) F(<u,v>) là tập compắc tương đối, K là nón chuẩn

Khi đó F là điểm bất động trong <u,v>

Suy ra { ( )}F x n hội tụ (do F x( )n tăng, K là nón chuẩn)

Hệ quả 2:

i) u Fu Fv v , 

ii) K là nón chính quy

Khi đó F có điểm bất động trong <u,v>

1.4 Phương trình chứa tham số

1.4.1 Nhánh liên tục các nghiệm dương

Cho không gian Banach X được sắp bởi nón K và ánh xạ

ii)g: [0,)x K  X là compắc và g(,x) = 0 (|| x ||) khi || x ||  0 và sự

Chúng ta sẽ xét phương trình:

Định lý 1:

0

riêng trong K và thoả:

một trong các tính chất sau :

Chứng minh

0

0

1, [0, ) d(I – A( ,.), (0) ,0)

Do đó, (0,0) là điểm phân nhánh duy nhất của nghiệm dương của (1)

n

n

x

Thì chứng minh tương tự trong định lý phân nhánh toàn cục của Rabinowitz

ứng với một giá trị riêng lớn hơn 1 và không có trong K vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng bằng 1

Chương 2 : NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN

2.1.Nghiệm dương tuần hoàn của một phương trình tích phân

Một số bài toán về sự lan truyền bệnh dịch dẫn đến việc tìm nghiệm

Với các giả thiết

1) f R:  [0, )   [0, )  liên tục, có chu kỳ  theo biến thứ nhất f t( ,0) 0  ;

2.2 Nghiệm dương của một bài toán biên 3 điểm

Chúng ta quan tâm tới sự tồn tại nghiệm bội dương đối xứng hai chiều của bài toán biên 3 điểm:

:[0,1] [0, ) [0, )

dương Cơ sở chứng minh của chúng tôi là định lý điểm bất động Krasnoselskii trên mặt nón

2.2.1 Các bổ đề

Định nghĩa :

2) Một hàm u* được gọi là nghiệm dương đối xứng của BVP (1.1), (1.2) nếu u* là dương và đối xứng trên [0,1] và thỏa mãn phương trình vi phân (1.1) với điều kiện biên (1.2)

Chúng tôi xét không gian Banach C[0,1] tương ứng với chuẩn

1

0

| ) (

, (t s y s ds

) 1 (

1 0

) 1 (

s

s t s

t s

1 2

1

2

1 0

2

1 ) (

2

s s

s s

s G

( '

0

1

0

) ( )

(

s d s y ds

s y ds

s y ds

s y B

1 ).

( 2

1 ).

( 2

1 ) ( 2 1

t

ds s y s ds

s y ds

s y ds

s y

1 ( )

( 2

1 ) ( 2

1 ).

( 2 1

1 ( ).

( ).

( )

(

0

) ( ) 1 ( ' ) 0 ( ' u y s ds u

1 ( 2

1 ) ( ).

2

1 ( ) 2 /

0

1

0

) ( ).

1 ( 2

1 ).

( ).

2

1 ( )

(s ds s y s ds s y s ds y

) ( ).

1 ( 2

1 ) ( ).

2 1 ( s y s ds s y s ds

Cho nên bài toán 3 điểm (2.1), (2.2) có duy nhất nghiệm đối xứng



 t t s y s ds t s y s ds s y s ds s y s ds t

0

1

2 1

) ( ).

1 ( 2

1 ) ( ).

2 1 ( ).

( ).

1 ( ) ( ).

( )

(

1 (t,s).y(s)ds G (s).y(s).ds G(t,s).y(s)ds G

) 1 (

1 0

) 1 ( )

,

(

1

t s t

s

s t s

t s

1 2

1

2

1 0

2

1 ) (

2

s s

s s

s G

2

1 [



Bất đẳng thức thứ 2 là rõ ràng Vậy bổ đề đã được chứng minh

Bổ đề 2.3:

Cho y C [0,1] thì khi đó nghiệm đối xứng duy nhất u(t) của BVP (2.1),

Chứng minh

của u(t) là lõm trên [0,1] Từ (2.2) và (2.3) ta có

0 ) ( ).

1 ( 2

1 ) ( ) 2 1 ( ) 0 ( )

] 1 , 0 [

u t

, ( )

( ).

, (

3 ) ( ).

, ( )

(t G t s y s ds G s s y s ds

Từ (2.5), (2.6) ta có (2.4) thỏa mãn

Chúng ta sẽ sử dụng các giả thiết sau:

 1

0

) ( ) , (

0 G s s a s ds

(A2): f :[0,1] [0,    ) [0,  ) là liên tục và f(.,u) là đối xứng trên [0,1]

Ta dễ dàng thấy rằng BVP (1.1), (1.2) có nghiệm u = u(t) nếu và chỉ nếu

u là điểm bất động của toán tử T định nghĩa ở (2.7)

liên tục

1 0

1

1 1

1 inf ( ) 0

n

s n

( ).

, ( )

G(t,s) a(s) là liên tục trên [0,1]x[0,1]

, (

0 )

( ).

, ( lim

|

| )).

( , ( ).

, ( )].

( ) ( [

|

| ) ( )

(

|T n u t Tu t a s a n s G t s f s u s ds M R a s a n s G t s ds

1 ( )

( ) ( , ) 0,

R e n

bị chặn của K Do vậy T là hoàn toàn liên tục

Chúng ta sẽ dùng các ký hiệu dưới đây

x

x t f f

t x t

x

) , ( min inf lim

; ) , ( min inf lim

] 1 , 0 [ ]

1 , 0 [ 0 0

9

16 )

BVP (1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm dương đối xứng

( ).

, ( 9

16 ))

( , ( ).

( ).

, ( )

( ).

, ( 4

3 9

16

u ds u s a s s G A

Mặt khác, từ f   A suy ra tồn tại R_  0 sao cho

ta có

] 1 , 0 [ )

( )) ( , ( 4

0 1

0 0

( , ) ( ) ( , ( )) ( , ) ( ) ( ) ( )

* K 2 1

Do vậy u* là một nghiệm dương đối xứng của bài toán BVP (1.1) và (1.2)

Chứng minh

Trước hết từ

) , 0 ( 9

16 ).

( ).

, ( ))

( , ( ).

( ).

, (t s a s f s u s ds G t s a s Au s ds G

( ).

, ( 4

3 9

16

u ds u s a s s G A

16 ).

( ) , ( ))

( , ( ).

( ).

, ( )

( ).

, ( 4

3 9

16

u ds u s a s s G A

, ( ))

( , ( ).

( ).

, ( )

(t G t s a s f s u s ds G t s a s Au s ds

Tu

, (s s a s u ds u G

A

Cả hai đều là nghiệm dương đối xứng của BVP (1.1), (1.2)

; 1 , min 25

16

u

u t t u

u t f t t

Ví dụ 4.2: Xét bài toán 3 điểm

) 4 4 ( ) 2

1 ( ) 1 ( ' ) 0 ( );

1 ( )

(

) 3 4 ( 1 0 0

] ))

1 ( 1 [(

25

44 ''

' 2 2

u u

u t u

t

u

t e

e t t

e u

e u u

t f t

2

)).

1 ( 1 (

11 )

, ( , 25

4 ) (

16 ( 11 ),

2

1 ( ) 1 ( ) 0 ( ' );

1 ( )

(

) 5 4 ( 1 0 0 ] ).

) 1 2 ( 1 (

|) 1 2

| 1 )[(

1 (

u u

u t u

t

u

t u

t u

t t

1 ( ) 1 ( ' ) 0 ( ' );

1 ( )

(

) 7 4 ( 1 0

0

].

1 , min 1 [ 225

48

u u

u t u

t

u

t e

u t t

8 2

9

16 8 2

9 9

16

64 ) ,

2.3.2 Bài toán giá trị đầu

Cho T>0 cố định và xét bài toán giá trị đầu sau:

Định lý 2.1:

);

, ( inf lim ) , ( ) , ( sup

x y r

3) Tồn tại  L I1 ( ) sao cho tI (h.k.n) và xR ta có | f(t,x) |   (t)

Định nghĩa 2.2 :

)), ( , ( )

(

' t f t  t

tương tự với bất đẳng thức ngược lại

trị trên [ ,  ]

Định lý 2.3 :

);

, ( inf lim ) , ( ) , ( sup

x y x

3) R 0 tồn tại R L1 (I) sao cho tI (h.k.n) và xR với |x| R ta có:

nói riêng, suy ra rằng mọi nghiệm của (2.2) là một nghiệm của (2.1) trên

Giả sử trái lại, tồn tại t1, t2 I sao cho t1<t2

( ' )

( )

( ' )

( )

1 2

Bổ đề 3.1:

Cho Y là tập hợp con của không gian metric có thứ tự X, [a,b] là đoạn

Tiếp theo ta đưa ra các khái niệm dưới nghiệm và trên nghiệm cho bài

Vì vậy, ta nói rằng u là nghiệm của (P) nếu nó là dưới nghiệm và trên nghiệm

Định lí 3.3:

Ta định nghĩa G trên [0,T] như là nghiệm cực tiểu của (3.3) nằm giữa

Cho { } [ , ] n    là dãy đơn điệu

Rõ ràng ,   y  trên [-r,T]

r

y S

hàm đo đươc trên [-r,0]

Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHỨA THAM SỐ

3.1 Nghiệm tuần hoàn của môt lớp phương trình vi phân cấp 2

Xét bài toán tìm nghiệm tuần hoàn (chu kỳ chưa biết) của phương trinh: x’’(t)+f[x(t)]=0 (1)

3.1.1 Đưa về phương trình chứa tham số:

Đầu tiên ta đặt giả thiết sau lên hàm f:

Thật vậy, ta có

( )

0 0

0

( '( )) 1

: (0,1), 0 ( )

Ta đã có các điều kiện i), ii) của định lí 2

Để có điều kiện iii) ta sẽ chứng minh:

lim ( ) 1

x

B x x

3.2 Nghiệm dương của một số phương trình khuếch tán

3.2.1 Một mô hình của lò phản ứng hạt nhân:

( , ) ( , )

Với toán tử A: KK1, B: K K2 thoả mãn:

Fréchet tại (0,0) và có đạo hàm là toán tử

Do đó, L0có trong K một vectơ riêng ứng với một giá trị riêng Mặt khác

tu=[L11u + L12(I – L22)-1L21u] + (1 – t ) L12(I – L22)-1v

Đẳng thức trên có thể viết lại dưới dạng:

Suy ra 1 - t > 0 do tính dương của u và w

2. Trong một mô hình lò phản ứng hạt nhân sự phân bố nhiệt độ v và sự chuyển động của neutron u được mô tả bởi hệ [3]

dương và được nghiên cứu ở định lý 2

Chứng minh

ta chỉ cần chứng minh (2)

Giả sử trái lại tồn tại số r >0 thoả :

(, (u,v))  S(0)  || v ||  r thì với mỗi (,(u,v))S(0) với u  0,

3.2.2 Nghiệm dương của hệ phản ứng - khuếch tán

Trong phần này ta sẽ nghiên cứu phân nhánh toàn cục của nghiệm dương của hệ:

1

2

0 (8.1) 1

chặn với biên trơn

0

Ta chứng minh rằng dưới giả thiết thích hợp hệ (8) chỉ có nhánh S0 của

nghiệm dương hoặc có thành phần liên thông khác của nghiệm dương là bị chặn

Ta có mệnh đề dưới đây:

Mệnh đề 1:

Chứng minh

( )

2

a

Thì (9) cho ta : G(u) – G(u’) = aH[G(u’)(u’ – u)]

Do đó, tính liên tục của G tại u thu được là do tính liên tục của H và tính

sự tồn tại nghiệm dương của phương trình sau:

Và sử dụng tính liên tục của G tại 0 và mệnh đề 2 dưới đây Ta kết luận

L(u) = K(av0u)

Mệnh đề 2:

Chứng minh

Vì (K - K’)(u) = (’ - ).K’.K(u)

|| K – K||  |’ - |.||k’||.||K||

Mệnh đề 3:

( )

  

Chứng minh

điểm phân nhánh của nghiệm dương của (11) Phương trình (11) và vì vậy hệ

Hernardlez chứng minh rằng tồn tại số c >0 không phụ thuộc  thoả || u ||

KẾT LUẬN

Trong Luận văn,em đã trình bày một số kết quả cơ bản về Lý thuyết mặt nón và các dạng nón trong không gian Banach có thứ tự,các kết quả về điểm bất động ánh xạ tăng,điểm bất động ánh xạ dương compac và lý thuyết bậc topo trên mặt nón Qua đó em cũng đã ứng dụng các kết quả trên vào việc giải một số lớp phương trình cơ bản như Bài toán biên 3- điểm,phương trình vi phân hàm,hệ phản ứng khuếch tán,…

Tuy nhiên Lý thuyết về phương trình là một lĩnh vực rất rộng và vì thời gian hạn chế nên em chưa trình bày hết những dạng khác nữa.Nếu có điều kiện em sẽ nghiên cứu sâu hơn vào các chuyên đề sau

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Existence theory for first order Discontinuous functional differential equations,

Proceedings of the American Mathematical Society,2002

On the applications of a Global Bifurcation theorem to the

Reaction_Diffusion systems,

Pergamon,1995