DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ 2 ( , )

Một trong những lĩnh vực quan tâm hiện nay của các nhà toán học là các bài toán kinh điển được phát triển như thế nào trong các lĩnh vực khác nhau như tôpô kĩ thuật số chẳng hạn.. Và cũn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Hoàng Lâm

DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Lê Hoàng Lâm

DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG

Chuyên ngành : Hình Học và Tôpô

Mã số : 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN HÀ THANH

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Mục lục

Danh mục các kí hiệu

Danh mục các hình vẽ

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Không gian tôpô 5

1.2 So sánh các tôpô 6

1.3 Tập mở, tập đóng, lân cận 6

1.4 Các loại điểm, phần trong, bao đóng 8

1.5 Các tiên đề tách 10

1.6 Không gian liên thông 12

1.7 Không gian tôpô thương 14

Chương 2 TOÁN TỬ ĐÓNG KURATOWSKI – TÔPÔ ALEXANDROFF - TÔPÔ KĨ THUẬT SỐ 15

2.1 Toán tử đóng Kuratowski 15

2.2 Tôpô Alexandroff 18

2.3 Lý thuyết về tôpô kĩ thuật số 21

2.4 Một số tôpô trên mặt phẳng 2 26

Chương 3 DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN

TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ ( 2, )w 31

3.1 Đường cong Jordan, định lý đường cong Jordan 31

3.3 Mệnh đề 33

3.4 Định lý 35

3.5 Định lý 37

3.6 Định lý 39

3.7 Định nghĩa 40

3.8 Định lý 41

3.9 Định lý 44

3.10 Ví dụ minh họa 47

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

t : Không gian tôpô Khalimsky

u: Không gian tôpô Macrus

( )

T z : Tam giác cơ bản

Danh mục các hình vẽ

Hình 2.1 : Bảng II 16

Hình 2.2 : 4 – kề 17

Hình 2.3 : 8 – kề 17

Hình 2.4 : 4 – đường 18

Hình 2.5 : 8 – đường 19

Hình 2.6 : Liên thông trong II 19

Hình 2.7 : Một phần đồ thị liên thông của tôpô Khalimsky t 22

Hình 2.8 : Một phần đồ thị liên thông của tôpô Marcus u 23

Hình 2.9 : Một phần đồ thị liên thông của tôpô w 25

Hình 3.1 : Mô hình đường cong Jordan 27

Hình 3.2 : Sự phân hoạch của không gian tôpô  2, w bởi toàn ánh f 29

Hình 3.3 : Sự phân hoạch của không gian tôpô  2, w bởi toàn ánh g 32

Hình 3.4 : Sự phân hoạch của không gian tôpô  2, w bởi toàn ánh h 34

Hình 3.5 : Mô hình các loại đồ thị 37

Hình 3.6 : Mô hình đồ thị vuông - chéo 37

Hình 3.7 : Mô hình 4 loại tam giác cơ bản 38

Hình 3.8 : Sự phân hoạch của không gian tôpô  2  , w bởi toàn ánh g 41

Hình 3.9 : Một phần đồ thị con liên thông của w 41

Hình 3.10 : Ví dụ về dạng khác đường cong Jordan trong không gian  2

, w …43

chia mặt phẳng thành hai thành phần liên thông nhận đường cong đã cho là biên

Do đó, bất kỳ một đường liên tục nào nối một điểm của miền này với một điểm của miền kia đều phải cắt đường cong Jordan Một trong những lĩnh vực quan tâm hiện nay của các nhà toán học là các bài toán kinh điển được phát triển như thế nào trong các lĩnh vực khác nhau như tôpô kĩ thuật số chẳng hạn

Tôpô kỹ thuật số nghiên cứu các cấu trúc và tính chất tôpô trong ảnh kỹ thuật số (chủ yếu là ảnh số 2 chiều – 2D ( 2), và ảnh số 3 chiều – 3D ( 3)) Những khái niệm và kết quả của tôpô kĩ thuật số đã giải quyết được nhiều vấn

đề thực tiễn đặc biệt là trong lĩnh vực xử lí ảnh như tạo ảnh, lưu trữ, thao tác biến đổi và trình bày ảnh Tôpô kỹ thuật số được nghiên cứu vào cuối những

năm 1960 bởi Azriel Rosenfeld Thuật ngữ "tôpô kỹ thuật số" được ông đưa ra

trong bài báo của mình lần đầu tiên năm 1973 Ông đã có những đóng góp quan trọng trong việc xây dựng và phát triển lĩnh vực này Năm 1989, V Kovalevsky

đã mở rộng tôpô ô lưới do Alexandrov-Hopf xây dựng trước đó vào năm 1935

từ 2D lên 3D và lên không gian có số chiều lớn hơn

Mãi cho đến cuối những năm 80 của thế kỷ trước, để xây dựng cấu trúc tôpô kĩ thuật số trên mặt phẳng người ta đã sử dụng thuật ngữ 4 – kề và 8 – kề ([9], [10]) Tuy nhiên cách xây dựng này có những bất lợi nhất định Một trong những bất lợi đó là việc 4 – kề và 8 – kề không cho ta sự tương tự về định lý đường cong Jordan trong mặt phẳng kĩ thuật số Để khắc phục bất lợi này, năm

dựng hoàn toàn mới đó là sử dụng tôpô thuần túy để tiếp cận đến bài toán xây dựng cấu trúc tôpô cho mặt phẳng kĩ thuật số 2 ([3]) Từ đó có nhiều thuận lợi hơn cho việc xử lí ảnh Và cũng trong quá trình xây dựng theo cách này Khalimsky, Kopperman và Meyer đã giới thiệu một không gian tôpô mới có nhiều thuận lợi cho việc xây dựng cấu trúc tôpô kĩ thuật số trên mặt phẳng có tên là không gian tôpô Khalimsky ([2]) Ngày nay không gian tôpô Khalimsky là một trong những khái niệm quan trọng của tôpô kĩ thuật số, nó được nghiên cứu

và sử dụng bởi nhiều tác giả ([4], [7]) Trong [13], Josef Slapal tác giả của bài báo này đã giới thiệu và nghiên cứu một tôpô thuận tiện hơn trong mặt phẳng

2 được định nghĩa bởi w Josef Slapal chỉ ra rằng định lý đường cong Jordan trong không gian tôpô w có nhiều thuận lợi hơn không gian tôpô Khalimsky Không gian tôpô w sau đó đã được nghiên cứu tỉ mĩ hơn, sâu hơn trong [14] và cũng trong [14] tác giả cũng đã chứng minh tôpô thương của w cho không gian

tôpô Khalimsky và Marcus – Wyse [8] Như vậy một vấn đề đặt ra là liệu rằng

trong không gian tôpô w còn có lớp đường cong Jordan nào khác với lớp đường

cong Jordan mà Josef Slapal đã chỉ ra trong [13] mà có vẫn có những thuận lợi hơn so với không gian tôpô Khalimsky hay không? Và câu trả lời là có ngoài lớp các đường cong Jordan đã được Josef Slapal chỉ ra trong [13] thì Josef Slapal cũng đã chỉ ra rằng còn có một lớp các đường cong Jordan khác trong không

gian tôpô w mà vẫn có những thuận tiện hơn trong không gian tôpô Khalimsky

Nhằm tìm hiểu xem lớp các đường cong Jordan khác này có dạng như thế nào

và có những đặc điểm cũng như tính chất gì thuận tiện nên tôi chọn đề tài :

“Dạng khác của định lý đường cong Jordan trong không gian tôpô

2

( , )w ”

Luận văn được chia làm ba chương

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày sơ lược một số kiến thức cơ bản về tôpô đại cương cùng một số tính chất cơ bản của nó trong đó tính chất liên thông và các tiên đề tách được quan tâm đặc biệt làm nền tảng cho việc nghiên cứu các chương tiếp theo

Chương 2 TOÁN TỬ ĐÓNG KURATOWSKI – TÔPÔ ALEXANDROFF –

Chương này trình bày về toán tử đóng Kuratowski, tôpô Alexandroff, tôpô kĩ thuật số trong mặt phẳng 2, các loại tôpô kĩ thuật số như tôpô Khalimsky, tôpô Marcus – Wyse và đặc biệt là tôpô wcùng một số kết quả đã có để phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau

Chương 3 DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN

Chương này trình bày về dấu hiệu nhận dạng lớp các đường cong Jordan khác không gian tôpô ( 2, )w

Trong phần kết luận chúng tôi sẽ trình bày một số nhận xét và đưa ra hướng

mở rộng cho luận văn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Hà Thanh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này Trong quá trình học tập và làm luận văn, Thầy đã luôn động viên, giúp đỡ tôi tiếp cận với những hướng mới trong toán học hiện đại cũng những vấn đề lớn và các bài toán mở để tôi có được một cái nhìn bao quát về vấn đề mình đang nghiên cứu Chính nhờ sự giúp đỡ và động viên này đã khích lệ tôi rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn này Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới ông Josef Slapal người đã có những chia sẻ cũng như những góp ý quý báu trong quá trình tôi hoàn thành luận văn này Và tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tất cả các quý Thầy Cô trong tổ bộ môn Hình Học, Khoa Toán – Tin, Ban giám hiệu nhà trường, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin và Phòng Đào Tạo Sau Đại Học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập Cao học

Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn trong lớp Cao Học Hình Học và Tôpô khóa 23 đã động viên, giúp đỡ và góp ý cho tôi rất nhiều trong quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tôi xin gừi lời cám ơn chân thành nhất đến gia đình tôi, nơi đã động viên hỗ trợ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tơi chủ yếu nhắc lại các khái niệm, tính chất căn bản của khơng gian tơpơ Chương này sẽ là chương làm nền tảng cho việc nghiên cứu

về tơpơ kĩ thuật số và các loại tơpơ kĩ thuật số trên 2cũng như tơpơ w trong hai chương tiếp theo

1.1 Khơng gian tơpơ

1.1.1 Định nghĩa

Cho tập hợp X   Họ  các tập hợp con nào đĩ của X được gọi là một tơpơ trên X nếu thỏa :

(i)  ,X (ii) Nếu cĩ một họ  G  I 

a) Cho X là tập hợp tùy ý khác rỗng Họ    , Xlà một tơpơ trên X X,

được gọi là khơng gian tơpơ thơ (hoặc khơng gian phản rời rạc)

b) Họ  A A|  X là một tơpơ trên X X, được gọi là khơng gian tơpơ rời rạc

c) Cho tập hợp X vơ hạn Họ  A X A|   hoặc X \A hửu hạn Khi đĩ

 là một tơpơ trên X Tập hợp X với tơpơ này được gọi là tơpơ bù hữu hạn

Chú ý: Trên một tập hợp X có thể cho nhiều tôpô khác nhau

1.3.2 Định nghĩa

Cho A Xvà V  X V được gọi là một lân cận của tập hợp A nếu tồn tại :

G A G V Nếu A { }x thì V được gọi là lân cận của điểm x Nếu V là tập

mở thì V được gọi là lân cận mở của A

1.3.3 Định lý

G là tập hợp mở nếu và chỉ nếu G là lân cận của mọi điểm thuộc G

1.3.4 Định nghĩa

Họ tất cả các lân cận của x trong X, được gọi là hệ lân cận của x Ký hiệu

là x

1.3.5 Định nghĩa

Họ x x là một cơ sở lân cận của điểm x (hay cơ sở địa phương của

không gian X tại điểm x ) nếu Vx, B x:xBV

1.3.6 Định lý

Nếu x là họ tất cả các lân cận của x thì : (i) xV, V x

(ii) V V1, 2x V1V2x (iii) V1x,V2  V1 xV2x (iv ) Vx,  W x:Vy, y W Ngược lại nếu với mỗi điểm xX có họ x các tập con nào đó của X thỏa các tính chất (i), (ii), (iii), (iv) thì trên X có một tôpô duy nhất nhận họ x làm hệ lân cận của x

1.4 Các loại điểm, phần trong, bao đóng

+ int(int )A  intA + Nếu A B intA intB

+ int(AB)  int( )A  int( )B + int(AB)  intA  intB

1.4.3.3 Định lý

(i)    , X  X (ii) A A

(iii) A  B A B (iv) A  B A B (v) A  B A B

b) Đường thẳng thực với tôpô tự nhiên là T0- không gian

c) Không gian tôpô rời rạc là

X là tập đóng

1.5.4 T2 - không gian (Không gian Hausdorff)

1.5.4.1 Định nghĩa

Không gian tôpô X, gọi là T2- không gian nếu với mỗi cặp điểm bất

kỳ khác nhau của không gian luôn có các lân cận rời nhau

Không gian tôpô X, gọi là T3- không gian (hay không gian chính qui)

nếu X là T1- không gian và với mỗi tập con đóng F của X không chứa x luôn tồn tại các con tập con mở U và V sao cho x U , F V sao cho U  V .

Không gian tôpô X, gọi là T4- không gian (hay không gian chuẩn tắc)

nếu X là T1- không gian và với hai tập con đóng bất kì A B, không giao nhau trong X luôn tồn tại tập U mở chứa A và tập V mở chứa B sao cho U  V .

1.5.6.2 Định lý

X, là T4- không gian khi và chỉ khi A đóng, G mở, AG, Umở sao choA  U U G

1.7 Không gian liên thông

1.7.1 Định nghĩa

Không gian tôpô X, được gọi là không gian liên thông nếu và chỉ nếu chỉ

có  và X là hai tập vừa đóng vừa mở trong X,

1.7.2 Nhận xét

X, không liên thông nếu tồn tại một tập M khác  và X, M là tập vừa đóng vừa mở

1.7.3 Các định nghĩa tương đương

a) X, liên thông nếu và chỉ nếu A là tập vừa đóng vừa mở thì A hoặc AX

b) X, liên thông nếu và chỉ nếu không tồn tại hai tập mở G G1, 2 khác rỗng sao cho G1G2 X và G1G2  

1.7.4 Định nghĩa

Cho AX, A được gọi là liên thông nếu A với tôpô cảm sinh trên A bởi tôpô trên X là không gian liên thông

1.7.5 Định nghĩa

Hai điểm x y, X được gọi là liên thông nếu tồn tại tập liên thông E trong

X sao cho E chứa cả x y,

1.7.6 Định nghĩa

Giả sử f là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X, vào không gian tôpô

Y, '  Nếu A là tập liên thông trong X thì f A( ) là tập liên thông trong Y

1.8 Không gian tôpô thương

(ii) Tập hợp F là đóng trong không gian thương X\ khi và chỉ khi i1( )F

đóng trong X

Chương 2 TOÁN TỬ ĐÓNG KURATOWSKI – TÔPÔ ALEXANDROFF -

TÔPÔ KĨ THUẬT SỐ

Vì trong suốt luận văn này tất cả các tôpô được đề cập đều được cho bởi

toán tử đóng, toán tử đóng đó có tên gọi là toán tử đóng Kuratowski và tất cả các tôpô được cho bởi toán tử đóng Kuratowski được gọi là tôpô Alexandroff Các

tôpô Alexandroff trong suốt luận văn này được xây dựng trên mặt phẳng kĩ thuật

số 2 nên chúng còn được gọi là tôpô kĩ thuật số Vì vậy để có sự nghiên cứu

kỹ về tôpô kĩ thuật số, chúng tôi sẽ dành riêng chương 2 để trình bày về toán tử đóng Kuratowski, tôpô Alexandroff, tôpô kĩ thuật số và một số kết quả có liên quan để phục vụ cho chương 3 là chương chính của luận văn này

Bây giờ cho u, v là các toán tử đóng trên X , chúng ta nói:

(i) uv nếu uAvA với mọi AX (ii) u được gọi là cộng tính nếu A B,  X u A( B) uAuB (ii) u được gọi là lũy đẳng nếu A X uuA uA

Một toán tử đóng u trên X vừa cộng tính, vừa lũy đẳng được gọi là một toán tử

Sau đây là một số kết quả liên quan đến toán tử đóng:

f uf  B đóng trong ( , )Y v với BY Vì B f uf( 1( ))B nên chúng ta có

1 ( ( ))

vB f uf B Vì f là một toàn ánh liên tục nên ta có f uf( 1( ))B vB Do đó : ( , )X ( , )Y

( )

f C  và v là toán tử đóng lũy đẳng nên 1

Vì f uf( 1( )C B đóng trong B nên ta cũng có f uf( 1( )C f1( ))B đóng trong không gian con B của ( , )Y v Do đó, theo Bổ đề 1 ta có: 1

( )

f

f B là một ánh xạ thương 

2.1.4 Bồ đề

Cho ( , );( , )X u Y v là các không gian đóng, v là toán tử đóng lũy đẳng và : ( , )X ( , )Y

f u  v là một ánh xạ thương có tính chất với mỗi y Y ta có f1( { }y )

liên thông trong ( , ).X u Khi đó, ( , )X u liên thông khi và chỉ khi ( , )Y v liên thông

Chứng minh

Nếu ( , )X u liên thông thì ( , )Y v liên thông vì f liên tục Ngược lại giả sử ( , )Y v

liên thông Khi đó ta dặt X  X1X2 với X X1, 2 là các tập đóng phân biệt của

( , )X u Đặt Y i  f(X i),i 1,2 Vì với mỗi y Y ta có 1

{ }

( )

f y liên thông trong

( , )X u nên Y1Y2   (vì với mỗi tập con liên thông C X rõ ràng chúng ta có

Trước khi trình bày một số kết quả về tôpô Alexandroff chúng ta nhắc lại một

số kết quả và các khái niệm về lý thuyết đồ thị đã có sau:

(i) Một đồ thị G là một bộ gồm 2 tập hợp V và E, trong đó V   Các phần tử của V được gọi là các đỉnh, các phần tử của E được gọi là các cạnh,

mỗi cạnh tương ứng với 2 đỉnh trong đó:

+ Nếu cạnh e tương ứng với 2 đỉnh a,b thì ta nói a và b là 2 đỉnh kề

với nhau Ký hiệu eab Cạnh eaa tương ứng với 2 đỉnh trùng nhau gọi là

một vòng hay khuyên (loop) tại a

+ Mỗi đỉnh của đồ thị được biểu diễn bằng một điểm (vòng tròn nhỏ, ô vuông nhỏ)

+ Mỗi cạnh được biểu diễn bởi một đường (cong hay thẳng) nối 2 đỉnh

(v) Một chu trình trong một đồ thị là một đường đi qua ít nhất ba đỉnh sao

cho đỉnh đầu và đỉnh cuối là kề

(vi) Một đường cong đóng trong không gian tôpô ( , )X p là một chu trình trong đồ thị liên thông của tôpô p trên ( , )X p Do đó, mọi đường cong đóng là một tập khác rỗng, hữu hạn và liên thông

(vii) Một đường cong đóng CX trong ( , )X p được gọi là đơn nếu với

mỗi điểm x C có chính xác hai điểm của C kề với x trong đồ thị liên thông của p

(viii) Một đường cong đóng đơn C trong ( , )X p được gọi là một đường cong Jordan nếu nó chia ( , )X p thành chính xác hai thành phần liên thông tức là không gian con X C của ( , )X p gồm chính xác hai thành phần liên thông

Sau đây là một số kết quả của tôpô Alexandroff:

2.3.1 Bổ đề

Cho ( , )X p ; ( , )Y q là các không gian tôpô Alexandroff và e : X Y là một

toàn ánh Khi đó, q là tôpô thương của p sinh bởi e khi và chỉ khi hai điều kiện

sau tương đương:

(i) Với mọi cặp điểm x y Y,  luôn tồn tại các cặp điểm a b, X sao cho

1 ( )

ae x , be1( )y thỏa ap b{ } (ii) xq y{ } với x y Y, 

Chứng minh

Dễ thấy q là tôpô thương của p sinh bởi e thì ta luôn có (i) và (ii) Ngược lại

giả sử có a b, X là các điểm sao cho a p b { } Khi đó ta đặt xe a( ) và ye b( ), chúng ta có ae1( )x và b e 1( )y Do đó e a( )  x q y{ } q e b{ ( )} Chúng ta chứng minh rằng e: ( , )X p  ( , )Y q là liên tục với q là tôpô nhỏ nhất trên Y Cho

tập con và xqB là một điểm Khi đó có một điểm yB với xq y{ } Suy ra có các điểm 1

( )

ae x và b e 1( )y sao cho ap b{ } Mặt khác ap b{ } p e{ 1( )}y  p e{ 1( )}B Do đó

1 ( ) '( ( ( ))) '

xe a q e e B q B Suy ra qBq B' hay qq'.Vậy ta có được điều phải chứng minh 

Chứng minh

Nếu e1( )B liên thông thì B liên thông vì Be e( 1( ))B Ngược lại, nếu B liên thông và cho x y, e1( )B là một cặp điểm tùy ý, khi đó có một đường

0 1 ( )x z z, , ,z n ( )y

e  e trong đồ thị liên thông của p chứa trong B Do đó, chúng ta có z iq z i1 hoặc z i1 q z i với mỗi i1,2, ,n Suy ra với mỗi

x p y Điều đó có nghĩa là với mỗi i1,2, ,ncó một điểm trong e1 ( )z i

kề với một điểm của 1

1 ( i )

e z trong đồ thị liên thông của p Vì 1

0( )

x e  z ,

1 ( )n

ye z và e1(z )i là liên thông với mỗi i1,2, ,nnên có một đường trong

đồ thị liên thông của p chứa trong e1( )B và nối x với y Do đó 1

( )B

e là liên thông trong ( , )X p 

2.1 Lý thuyết về tôpô kĩ thuật số

2.1.1 Giới thiệu

Như chúng ta biết không gian tôpô  2 

, w được xây dựng chủ yếu dựa vào một loại tôpô đặc biệt trên mặt phẳng 2 đó là tôpô kĩ thuật số Vì vậy để có sự tìm hiểu kỹ về không gian tôpô  2 

, w cũng như có sự nghiên cứu về định lý đường cong Jordan trong không gian tôpô  2 

, w , sau đây chúng tôi sẽ trình một cách khái quát về tôpô kĩ thuật số cũng như một số kết quả cơ bản có liên quan để giúp cho chúng ta dễ dàng nghiên cứu những phần tiếp theo Vì tôpô kĩ thuật số là loại tôpô đặc biệt được xây dựng chủ yếu dựa trên quan hệ 4 – kề, 8 – kề và các khái niệm về liên thông nên ta sẽ bắt đầu bằng những khái niệm cơ bản sau:

2.1.2 Mặt phẳng kĩ thuật số

Mặt phẳng kĩ thuật số trên 2là một bảng gồm những điểm trong mặt phẳng 2 có tọa độ nguyên dương ( , )x y với 1  x M;1  y N M N; , 

Nếu ( , )x y là một điểm biên của  tức là nếu x 1 hoặc xM, y 1 hoặc

yN Khi đó một số điểm kề sẽ không tồn tại Trong  nếu hai điểm P và Q

có quan hệ kề nhau thì P và Q có quan hệ là 4 –kề hoặc 8 – kề