toán tổng hợp hình oxy và hệ phương trình thầy hùng

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M là trung điểm của cạnh AB và A có hoành độ dương.. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết rằng hai điểm B, C thuộc đường th

TỔNG HỢP VỀ OXY VÀ HỆ PT (Lớp off) – PHẦN 2

Thầy Đặng Việt Hùng ĐZ

3

( , )

3 3 2 4 2 2 5 5 2 3 (2)

x y



∈



3

1 2 1 (1)

( , )

x y



∈





ℝ

Bài 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình

3 2

2

x

+









Bài 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình

2 2

2 2







2







( )

2 2

3

2 3 4 1 (1)

( , )

x y



∈





ℝ

Bài 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình

2







y

Bài 8: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn

( ) 2 2

C x +y + x− y+ = và M( )0;1 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M là trung điểm của cạnh AB và A có hoành độ dương

Đ/s: A( ) (1; 2 ,B −1; 0 ,) (C −1; 4 )

Bài 9: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x: − − =y 3 0 và điểm A( )2; 6 Viết

phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết rằng hai điểm B, C thuộc đường thẳng d, tam giác ABC vuông tại A và có diện tích bằng 35

2 Đ/s: ( ) ( ) (2 )2

T x− + y− = hoặc ( ) ( ) (2 )2

T x− + y− =

Bài 10: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD và A(−1; 2 ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và DC, E là giao điểm của BN và CM Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BME biết BN nằm trên đường thẳng 2 x+ − =y 8 0 và B có hoành độ lớn hơn 2

Đ/s: ( ) ( ) (2 )2

T x− + y− =

Bài 11: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:x+ + =y 3 0, d2:x− + =y 1 0 và điểm M( )1; 2 Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt d tại hai điểm A và B sao cho 1 AB=8 2 và đồng thời tiếp xúc với d 2

Đ/s: ( ) ( ) (2 )2

T x− + y+ = hoặc ( ) ( ) (2 )2

T x+ + y− =

Bài 12: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm

( )4; 0

I và phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A

của tam giác là d1:x+ − =y 2 0 và d2:x+2y− =3 0 Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh của tam

giác ABC biết B có tung độ dương

Đ/s: Phương trình BC x: − − =y 6 0, phương trình AB y: =1, phương trình AC: 2x+ −y 3

LỜI GIẢI BÀI TẬP

3

( , )

3 3 2 4 2 2 5 5 2 3 (2)

x y



∈





ℝ

Lời giải:

ĐK:

2

3

x





≥





+ ≥



(*)

(1)⇔ x+2y x− +y 2x +3xy+4y − +x 2y =0

( )( ) 2 2 32 4 2 22 4 2 4

x y x y

x x y

x y x y

−

x

5

Kết hợp với 2x+ ≥y 2⇒(x+5y+ +2) (2x+y)>2⇒3(x+2y)>0⇒x+2y>0

Mặt khác

2

x

Do đó (3)⇔ − = ⇔ =x y 0 y x

3 3x− +2 4 3x− =2 5 6x+ − ⇔2 3 5 6x+ −2 7 3x− − =2 3 0

Đặt 3

2

3 2

3

5 3

6 2 ; 3 2

5 3

7

a b

a b

a

a

−



=



−



7

a

49a 50a 60a 312 0 a 2 49a 48a 156 0

3

x≥ ⇒a= x+ > ⇒ a + a+ > Khi đó (4)⇔ − = ⇔ =a 2 0 a 2

6x 2 2 x 1 y 1

⇒ + = ⇔ = ⇒ = Thử lại x= =y 1 đã thỏa mãn hệ đã cho

Đ/s: Hệ có nghiệm là ( ) ( )x y; = 1;1

3

1 2 1 (1)

( , )

x y



∈





ℝ

Lời giải:

ĐK:

( )2 2 2

0

x y

x y







(*)

Khi đó ( )2 2 2

( )

( )

( )

2 2 2 2

Do x− ≥y 0⇒x− + ≥ >y 1 1 0 nên ( )2 2 2

1 0

x y x y

+ ≥



(4)

Từ (1) và (2) ta có

3

 (2x y 1) (x 2y 2) (x 3y 3) 0 4(x y) 4 x y 1 2 0

0

Thế y=x vào (2) ta được 3

1 2 3+ x− =2 3 4x−3

2

2 3

3

3 1

3 2 0; 4 3

3 1

2

b a

a b

b

b

−



=



−



Ta có

2

3 3 2

0

2

2

b b

b

=



−



2

b= ⇒a= − ⇒ Loại vì a≥0

Thử lại ( ) ( ) 11 11

; 1;1 , ;

4 4

  đều thỏa mãn hệ đã cho

Đ/s: Hệ có nghiệm là ( ) ( ) 11 11

; 1;1 , ;

4 4

Bài 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình

3 2

2

x

+









Lời giải:

5 1 0

xy x





− + ≥

0

2y− +1 y− = +2 1 2y −5y+1

y

 Vậy x=6;y=3 là nghiệm của PT đã cho

Bài 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình

2 2

2 2







Lời giải:

2 2

2

4

3

y

+ thế vào PT(1) ta có:

2

2

3

y

y y

+

0

y

≥





⇔ = ⇒ = là nghiệm của HPT đã cho

2







Lời giải:

: ; 0

DK x y≥

PT ⇔ x y+ x y+ −xy − x y+ + x− y =

Thế vào PT(1) ta có: 2 3x+ +4 3 5x+ =9 x2 +6x+13

( )

2 3x 4 x 2 3 5x 9 x 3 x x

0

1

x y

x x

x y

= =



= = −

( )

2 2

3

2 3 4 1 (1)

( , )

x y



∈



Lời giải:

ĐK:

2 2

2 3 0

2 3 0

5

x y

x y

x y

x y





+ ≤





(*)

(1)⇔2 x +3y −4y= − − −x y x y

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

3

x y

−

2

2 2

3

4 x +3y − +x 3y =3x +3y −6xy=3 x−y ≥0

4 x 3y x 3y 0 2 x 3y x 3y x 3y

2 2

2 2

3

Do đó (3)⇔ − = ⇔ =x y 0 y x

Thế y=x vào (2) ta được ( )3

3x+ −3 5 2− x = −x 1 −13x+27

3 2

3x 3 3 1 5 2x x 3x 10x 24

3x 3 5 2x x 3x 10x 26

3 2

3x 3 3 1 5 2x x 3x 10x 24

Với 1 5

2

x

2

12 0

3x 3 3 1 5 2x x x

Do đó (4)⇔ − = ⇔ =x 2 0 x 2⇒ y=2 Thử lại x= =y 2 thỏa mãn hệ đã cho

Vậy hệ có nghiệm là ( ) ( )x y; = 2; 2

Bài 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình

2







y

Lời giải:

Điều kiện:

2 2

1 1







≥ −



 ≥ −



y

x

( )

(1)⇔ x +2y − + + + −x 1 y 1 y +2x+ =2 0

0

(do ,x y≥ −1)

Thay vào (2) ta được

0

2

2

2 1

x

x

3 1

2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 3

; 1;

2

Bài 8: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn

( ) 2 2

C x +y + x− y+ = và M( )0;1 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M là trung điểm của cạnh AB và A có hoành độ dương

Lời giải:

Gọi I là tâm đường tròn ( )C ta có: I(−1; 2 ;) IA=IB=IC= =R 2

Do tam giác ABI cân tại I nên ta có IM ⊥ AB Mặt khác IM(1; 1− )

Phương trình đường thẳng AB qua M và vuông góc với IM là:

AB x− + =y Khi đó toạ độ các điểm Avà B là nghiệm của HPT:

( )

2 2 2 4 1 0 1; 2 1; 2

0 1; 0

A

do x



Phương trình đường thẳng BC qua B và vuông góc với AI là:

( )

1

x



= − ⇒ 

Đ/s: A( ) (1; 2 ,B −1; 0 ,) (C −1; 4 )

Bài 9: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x: − − =y 3 0 và điểm A( )2; 6 Viết

phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết rằng hai điểm B, C thuộc đường thẳng d, tam giác ABC vuông tại A và có diện tích bằng 35

2

Lời giải:

Gọi H là chân đường cao hạ từ A Ta có: ( ) 7

;

2

AH =d A BC =

2AH BC = 2 ⇒BC= = R⇔ =R

Do ABC∆ vuông tại A nên tâm I thuộc đường thẳng BC

5

t

t

=



=

Với ( ) ( ) ( ) (2 )2

t = ⇒I ⇒ T x− + y− =

Với ( ) ( ) ( ) (2 )2

t = ⇒I ⇒ T x− + y− =

Bài 10: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD và A(−1; 2 ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và DC, E là giao điểm của BN và CM Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BME biết BN nằm trên đường thẳng 2 x+ − =y 8 0 và B có hoành độ lớn hơn 2

Lời giải:

Dễ thấy cos 2

5

NBC= Mặt khác NBC+ABN =900 do vậy

5

d A BN = AB ABN

⇔ = ⇔ = Gọi B t( ;8 2− t) (t>2) ta có: AB2 =16

3

5

t

t loai

=





 =



Ta có tanNBC=tanMCD⇒NBC=MCD⇒NBC+ECB=900hay BN⊥CM

Giả sử AI cắt BC tại F thì AMCF là hình bình hành⇒NB⊥ AI Ta có : AI x: −2y+ =5 0

Phương trình trung trực của AB là: ( ) ( ) 2 2

Do vậy ( ) ( ) (2 )2

T x− + −y =

Bài 11: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:x+ + =y 3 0, d2:x− + =y 1 0 và điểm M( )1; 2 Viết phương trình đường tròn đi qua M cắt d tại hai điểm A và B sao cho 1 AB=8 2 và đồng thời tiếp xúc với d 2

Lời giải Gọi I a b( ); là tâm của đường tròn, H là trung điểm của AB

Ta có M( )1; 2 ∈d2 , mà M∈( )C

M

⇒ là giao điểm của d2 và ( )C

2 ; 1

2

MH = AB=

( ) (2 )2 ( )2

( )

5 5; 6



⇒ 

Bài 12: [ĐVH] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm

( )4; 0

I và phương trình hai đường thẳng lần lượt chứa đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A

của tam giác là d1:x+ − =y 2 0 và d2:x+2y− =3 0 Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh của tam

giác ABC biết B có tung độ dương

Lời giải

Gọi M là trung điễm của BC , H là chân đường cao kẻ

từ A

Ta có A= AH∩AM ⇒A( )1;1

Đường thẳng IM qua I và song song với AH

IM x y

Ta có M =IM ∩AM ⇒M(5; 1− )

Đường thẳng BC qua M và vuông góc với AH

BC x y

Đường tròn ngoại tiếp ABC∆ có tâm I( )4; 0 bán kinh

10

IA= là ( ) ( )2 2

C x− + y = ,

B C là giao điểm của ( )C với BC nên tọa độ , B C thỏa

mãn hệ phương trình

( )2 2

− − =



⇒

Giả sử B( )7;1 , C(3; 3− )

Đường thẳng AB qua A( )1;1 và B( )7;1 ⇒ AB y: =1

Đường thẳng AC qua A( )1;1 và C(3; 3− )⇒ AC: 2x+ − =y 3 0

Thầy Đặng Việt Hùng