Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP I.. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1... chứng minh hệ luôn có nghiệm.
Trang 1Bài 4:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Dạng: f(x,y) a
g(x,y) b
=
⎧
⎩ với f(tx,ty) t f(x,y)22
g(tx,ty) t g(x,y)
⎪
⎨
=
⎪⎩
2 Cách giải:
* Tìm nghiệm thỏa x = 0 (hay y = 0)
* với x 0≠ ( hay y 0≠ ), đặt y tx= (hay x ty= )
* Đối với hệ 22 2 2
ax bxy cy d 0
a x b xy c y d 0
⎪
⎨
⎪⎩
Ta có thể khử y2 (hay x2) rồi tính y theo x ( hay x theo y) rồi thay vào
một trong 2 phương trình của hệ
II CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Cho hệ phương trình: 3x22 2xy y22 11
x 2xy 3y 17 m
⎪
⎨
⎪⎩
1 Giải hệ phương trình với m = 0
2 Với những giá trị nào của m thì hệ có nghiệm ?
(ĐH Kinh Tế TPHCM năm 1998, Khối A) Giải
1 m = 0 : Hệ 2 2
3x 2xy y 11 (I)
x 2xy 3y 17
⎪
⎪⎩
Nhận xét x = 0 không là nghiệm của hệ
Đặt y = tx
Hệ (I) 3x22 2tx22 t x2 22 2 11
x 2tx 3t x 17
⎪
⇔ ⎨
⎪⎩
x (3 2t t ) 11 (1)
x (1 2t 3t ) 17 (2)
⎪
⇔ ⎨
⎪⎩
(1) chia (2): 3 2t t22 11
17
1 2t t
+ +
16t 12t 40 0 t 2 t
4
t 2 : (2)= ⇔x 11 112 = ⇔x2= ⇔ = ±1 x 1⇒ =y 2x= ± 2 t 5: (2) 3x2 16 x 4 3
⇒ = − = ∓ Tóm lại có 4 nghiệm: (1, 2), (-1, -2), 4 3, 5 3 , 4 3 5 3,
2 Đặt 17 + m = k Hệ 2 2
3x 2xy y 11
x 2xy 3y k
⎪
⇔ ⎨
⎪⎩
Đặt y = tx ⇒ Hệ: x (3 2t t ) 11 (4)22 22
x (1 2t 2t ) k (5)
⎪
⎨
⎪⎩
2
2 2
(4) 3 2t t: 11 (k 33)t 2(k 11)t 3k 11 (5) 1 2t 3t k
+ +
* k = 33: ⇒m 16,= phương trình (6) có nghiệm t = - 2
* k 33 : (6)≠ có nghiệm:
2 ' (k 11) (k 33)(3k 11) 0
⇔ ∆ = − − − − ≥ =k2−44k 121 0+ ≤
22 11 3 k 22 11 3
với k = m + 17
22 11 3 m 17 22 11 3
5 11 3 m 5 11 3
Ví dụ 2:
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm
2 2
xy y 12
x xy m 26
⎪
⎨
⎪⎩
Giải Hệ y(x y) 12 (1)
x(x y) m 26 (2)
− =
⎧
⎩
Trang 2(2) chia (1)
2
(m 26)y (m 26)y x
12 y(x y) 12 y (m 14) 144
+
⎧ +
Vậy hệ có nghiệm khi m 14 0+ > ⇔m> − 14
III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
4.1 Định m để phương trình sau có nghiệm: x22 mxy y2 m 2
x (m 1)xy my m
⎪
⎨
⎪⎩
4.2 Định m để hệ phương trình: 3 3 2
1
2
x mx y xy 1
⎪
⎨
⎩ Có nghiệm và mọi nghiệm đều thỏa: x + y = 0
4.3 Cho hệ phương trình: x22 4xy y2 m
y 3xy 4
⎪
⎨
⎪⎩
a Giải hệ khi m = 1
b chứng minh hệ luôn có nghiệm
Hướng Dẫn Và Giải Tóm Tắt
4.1 x22 mxy y2 m (1)2
x (m 1)xy my m (2)
⎪
⎨
⎪⎩
(1) – (2) : xy (1 m)y+ − 2= ⇔ = ∨ =0 y 0 x (m 1)y− Hệ phương trình: y 02 2 x (m 1)y2 2
2 2
2
x (m 1)y
y 0
m
x m(3)
2m 3m 2
⎧
=
=
Hệ đã cho có nghiệm (3)co ù nghiệm m 0
(4)co ù nghiệm
⎡
⎣ 4.2 Giả sử (x ,y ) là nghiệm Từ x + y = 0 ta có: 0 0 y0= − x0 Thế vào hệ :
0 3 0
1
x (m 1) (m 1) (1)
2
x (2 m) 1 (2)
⎪
⎨
⎩ Vế phải (2)khác 0 ⇒ vế trái của (2) cũng khác 0
2 (1) m 1 1: (m 1) m 0 m 1 (2) 2 m 2
− Thử lại:
a/ Với m = 0: hệ cho x và y không thỏa: x + y = 0 ⇒m 0= (loại) b/ Với m = - 1: Hệ đã cho trở thành: x33 y32 0 2
x x y xy 1
⎧ + =
⎪
⎨
⎪⎩
1 x
1
3 3
⎧ =
⎪
= −
⎪⎩
thỏa x + y = 0
Trang 3c/ Với m = 1 Hệ trở thành: x33 y32 2 2
x x y xy 1
⎧ − =
⎪
⎨
⎪⎩
Đặt y = tx x (1 t ) 233 2 3
x (t t 1) 1
⎪
⇒ ⎨
+ + =
⎪⎩ ⇒ − = − ⇔ = − ⇒ = − t 1 2 t 1 y x, 3
⇒ = ⇔ = ⇒ + = x y 0
Vậy m= ± nhận 1
4.3 y = 0 không thỏa phương trình: y2−3xy 4= Đặt x = ty
Hệ
2 2
2 2
2 2
2
y (t 4t 1) m
y (1 3t)
y (1 3t) 4
y (1 3t) 4
⎪
⎩
a Với m = 1: ta có hệ:
2 2
t 4t 1 1 (1)
1 3t 4
y (1 3t) 4 (2)
⎧ − + =
⎪
−
⎨
⎩ (1) cho t 3 t 1
4
= ∨ =
t 3 : (2)= ⇔ −8y2=4VN
t 1: (2) 1y2 4 y 4
x = ty = 1±
b Hệ
2
x 4xy 1 m x y 4
3y
y 4
x
=
(*) luôn có nghiệm ⇒ ĐPCM