Biểu Thức Đại Số

TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI1... b Tìm giá trị nhỏ nhất của M và giá trị của a tương ứng... Tìm g.trị NN đó.

A BIỂU THỨC SỐ - BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

I Biểu Thức Số :

Bài 1 : a ) Chứng minh căn phức tạp :

A± B = + − ± − − trong đó : A >0 , B >0 , A2 >B

( Dấu + đi với dấu + , dấu – đi với dấu - )

b ) Áp dụng : Biến đổi U = 11 2 30 ;+ V = 8 4 3−

( Lưu ý : A = 11 , B = 2 30 ⇒ =B 4.30 )

Bài 2 : Số 4+ 7 − 4− 7 − 2 và 0 số nào lớn hơn ? ( áp dụng căn phức tạp )

Bài 3 : Cho hỗn số 2

1

n n

n − có nhận xét gì về 2 1

n n

Gợi ý :

3

2 1 2 1

n

− +

=

− − do đó : 2 1 2 1

( ví dụ : 22 2 22 2 2

3 = 2 1 = 3

Bài 4 : Trục căn thức ở mẫu :

a ) 2 3

2 + 3 + 5 b )

2 30

5 + 6 + 7 c )

6

3 + 2 − 3 d ) 2 2 3 6

a

Gợi ý :

a ) ( 2+ 3) − 5 

  b ) ( 5+ 6) − 7 

  c ) (3 + 2 + 3) d )

Bài 5 : Rút gọn các biểu thức sau :

a ) 5− 3− 29 12 5− b ) 13 30 2 + + 9 4 2 + c )

4 + 5 3 5 48 10 7 4 3 + − +

d ) Chứng tỏ rằng : 3 70 − 4901 + 3 70 + 4901 5 = ( Đặt x0 = 3 70 − 4901 + 3 70 + 4901

)

e ) 3 9 4 5 + + 3 9 4 5 − ( Đặt a = 3 9 4 5 + + 3 9 4 5 − Tính a3 = ? )

9 4 5 9 4 5

17 12 2 17 12 2

Bài 6 : 1) Chứng minh rằng ∀ >n 0 , luôn có :

(n 1) n n n1 1 = 1n − n1 1

+ + + + ( gợi ý : trục căn thức ở mẫu ) 2) Tính tổng :

1 1 1 1

2 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100

TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI

Bài 7 : Chứng minh rằng : n= 2( 3 1 2 + ) − 3 là số hữu tỉ

Bài 8 : Cho

2

2 1 1 2 1 1

x=

−

Tính giá trị biểu thức : ( 4 3 2 )2003

2 1

A= x − − +x x x− Bài 9 : Thu gọn biểu thức : 2 3 6 8 4

Bài 10 : Tính giá trị biểu thức :

a) (2003 2013 31.2004 1 2003.2008 4 2 ) ( )

2004.2005.2006.2007.2008

b)

1 3 19

2 4 20

Q

 +  +   + 

=

 +  +   + 

(1) gợi ý : + nhân tử và mẫu cho 2 4

+ n4 + = 4 (n4 + 4n2 + − 4) 4n2

2

= − +   + +  Thay n = 2 , 4 , 6 , 8 ,……, 40 vào (1)

Bài 11 : Thu gọn biểu thức :

1 3 2 2 3

2 3 3 2 2 3

Bài 12 : 1) Tính giá trị biểu thức :

P x= +y − x y+ + , biết rằng :

3 3 2 2 3 3 2 2 , 3 17 12 2 3 17 12 2

2) Rút gọn biểu thức sau : 1 1 1 1

Bài 13 : Chứng minh rằng số tự nhiên :

1.2.3 2003.2004 1 1 1 1 1

2 3 2003 2004

Gợi ý : kết hợp từng cặp : 1 1 1 1

2004 2 2003

 +  + + +

II BIỂU THỨC ĐẠI SỐ : Bài 1 : Cho biểu thức :

2 2 2( 1)

x

P

−

a ) Rút gọn P

b ) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

c ) Tìm x để biểu thức Q 2 x

P

= nhận giá trị là số nguyên Bài 2 : Cho biểu thức :

1

M

x

−

a ) Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa , sau đó rút gọn M

b ) Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M ?

Bài 3 : Rút gọn các biểu thức sau :

a ) P m n m n 2 mn

− + Với m≥0 ,n≥0 và m n≠

b )

:

Q

=

+ với a >0 , b>0 Bài 4 : Cho biểu thức :

2

2

P

a ) Rút gọn P

b ) Tìm x để P 2

x >

Bài 5 : Cho biểu thức :

P x x 1 x x 1 x 1

a ) Rút gọn P

b ) Tìm x để 9

2

Bài 6 : Cho biểu thức :

a M

+

1 ) Tìm điều kiện xác định của a để M có nghĩa

2 ) Rút gọn M

Bài 7 : Cho biểu thức : a ) Với giá trị nào của x thì P được xác định

4

P

x

−

− + b ) Rút gọn P c ) Tìm x để P = 2

III TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA B.THỨC

( MAX – MIN )

TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI

1 Biểu thức một biến số :

Bài 1: Cho biểu thức : A x= 2 + 2x+ 3

a) Tìm x để A min ; b ) Tính A min đó

Giải :

2

x

= + + = + + +

= + + vì ( )2

x+ ≥ nên A≥ 2 và A = 2 ⇔ x + 1 = 0 Vậy A min = 2 ⇔ = −x 1

Bài 2: Cho biểu thức : B= − +x2 6x− 4

a ) Tìm x để B Max ; b ) Tính giá trị B Max đó

Giải :

2 2

x

= − + − = − + − +

= − − + +

= − − +

vì ( )2

− − ≤ ∀ nên B≤ 5 và B = 5 ⇔ x =

3

Vậy giá trị lớn nhất của B = 5 khi x = 3 hay B max = 5 ⇔ =x 3

Bài 3: Cho biểu thức :B = 2 1

2 3

a ) Tìm x để B max ; b ) Tính B max đó

gợi ý : B max khi mẫu ( )2

x

 + + 

Mẫu Min khi ( )2

Bài 4: Cho biểu thức : P = 2 1

6 4

− + −

a ) Tìm x để P min ; b ) Tính P min đó

Bài 5: Cho biểu thức : 3 2 1

x B

+

=

a ) Rút gọn B Gợi ý : p.tích mẫu làm xuất hiện nhân tử chung ( x + 1 )

b ) Tìm x để B max Tính B max đó

Bài 6: Cho biểu thức : 2 2( 2 )

2 4 4 2

1

B

=

a ) Tìm a để B Max ; b ) Tính giá trị B Max đó

gợi ý : + ab2 +b b2( 2 − + =a) 1 ab2 + −b4 ab2 + 1 rút gọn

+ p.tích a b2 4 + 2b4 + +a2 2 làm xuất hiện nhân tử chung (b4 + 1)

Bài 7: Cho biểu thức : B x x= ( + 1) (x+ 2) (x+ 3)

a ) Tìm x để B Min ; b ) Tính B Min đó

gợi ý : + nhân từng cặp : x ( x + 1 ) ; ( x + 2 )( x + 3 )

Phương pháp : Muốn tìm giá trị cực đại hoặc cực tiểu của một biểu thức , ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng : Hằng số ±A2 hoặc A2 ± hằng số

+ Lấy kết quả thứ 1 nhân kết quả thứ 2 : ( 2 )2 ( 2 )

B= x + x + x + x + 1 – 1 Bài 8: Cho biểu thức : 22 1

1

x B x

−

= +

a ) Tìm x để B Min ; b ) Tính giá trị B Min đó

Bài 9: Cho biểu thức :

2 2

1

2 1

B

+ +

= + + với x≠ −1

a ) Tìm x để B Min ; b ) Tính giá trị B Min đó

Gợi ý : + Tách hạng tử : x2 + + =x 1 x2 + 2x+ − 1 x

+ Thêm bớt hạng tử : x = ( x + 1 ) – 1 để được :

1

B

+ + đưa về bình phương của 1 hiệu

2 Biểu thức 2 biến số trở lên :

Bài 1: Cho biểu thức : A x= 2 + 2y2 − 2xy+ 2x− 10y với x , y là các số thực

a ) Tìm x và y để A Min ; b ) Tính A Min đó

Gợi ý : + Viết ( ) (2 )2

Bài 2: Cho biểu thức : B x= 2 + 6y2 + 14z2 − 8yz+ 6zx− 4xy

a ) Tìm x và y và z để B Min ; b ) Tính B Min đó

Gợi ý : Viết ( )2 ( 2 2) 2

Bài 3: Cho biểu thức : B= 1677 − −x2 y2 + 36x+ 4y

a ) Tìm x và y để B đạt giá trị lớn nhất ; b ) Tính B Max đó

Gợi ý : Có thể viết ( ) (2 )2

Bài 4: Cho hai số thực thỏa mãn điều kiện : x2 + y2 = 1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y

Hướng dẫn :

Ta có : ( )2 ( 2 2) 2

Bài 5: Cho hai số dương x và y có tổng bằng 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của B 1 12 1 12

= − ÷ − ÷

  Hướng dẫn : + Biến đổi : B 1 2

xy

= + ( nhân phá bỏ ngoặc , quy đồng , thu gọn )

+ ( )2 2

xy

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của : ( )2 ( ) 2 2

( với x , y , a là các số nguyên )

Hướng dẫn :

TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI

( )

3 0 1 0

4 1 0 2

x ay min y

− + =





Bài 7: Cho M = a+ −3 4 a− +1 a+ −15 8 a−1

a ) Tìm điều kiện xác định của a để M được xác định

b ) Tìm giá trị nhỏ nhất của M và giá trị của a tương ứng

Hướng dẫn :

a ) M xác định với mọi a≥ 1

b ) Ta có : ( )

2 2

⇒ M = a− − + − 1 2 4 a− 1 ( vận dụng : a + ≥ +b a b )

Vậy : min M = 2 khi 2 ≤ a− ≤ 1 4 suy ra giá trị của a

Bài 8: Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn : 1 1 1 2

1 x+ 1 y+ 1 z ≥

Tìm giá trị lớn nhất của tích : P = x.y.z

Hướng dẫn :

11 1 11 1 11 1 1 2 (1 ) (1 )

≥ − ÷+ − ÷= + ≥

Tương tự : 11 2 (1 ) (1 ) 11 2 (1 ) (1 )

;

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )2 ( )2

Hướng dẫn : vận dụng cách làm bài 7

Bài 10 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :B a= 3 + +b3 ab ; cho biết a và b thỏa mãn a + b = 1 Hướng dẫn :

+ B=(a b a+ ) ( 2 −ab b+ 2) +ab a= 2 −ab b+ + 2 ab a= 2 +b2

+ Ta có : ( 2 2) ( )2 2 2 1

2

Vậy : min B = 1 1

2 khi a b= = 2 Bài 11 :

Cho biểu thức : 4 33 4 31 5 4 31 2

P

Chứng minh rằng : 0 32

9

P

< < với mọi giá trị của x≠ ± 1 Hướng dẫn :

p.tích : x4 − + − =x3 x 1 (x− 1) (x+ 1) (x2 − +x 1)

x4 + − − = −x3 x 1 (x 1) (x+ 1) (x2 + +x 1)

x5 − + − + − = −x4 x3 x2 x 1 (x 1) (x2 + +x 1) (x2 − +x 1)

Do đó P có thể rút gọn thành :

( 2 ) ( 2 ) 4 2 2

2

0 1

x

+ +

Xét hiệu : 32

9 −P nếu hiệu này dương , ta có kết luận Bài 12 : Cho biểu thức 1 1 1 1

2

P

Với giá trị nào của các số nguyên dương x , y , z thì P đạt giá trị dương bé nhất

Hướng dẫn :

2 ì

v P

> ⇔ + + <

2 ì

Do đó P min ⇔ Q max ⇔ x nhỏ nhất

x< ⇔ > ⇔ ≥ do đó x nhỏ nhất khi x = 3

+ khi x = 3 1 1 1 1

Q

1 1 1 1 1

3 y 3 y z 2 3 6

Vì : 1

3 không đổi nên Q Max ⇔ y nhỏ nhất

3 y < 6 ⇔ + >y ⇒ + ≥y ⇔ y≥

7 z 6 7 42

⇔ < − =

Vì : 1 1 1

3 7 7

Q

z

= + +

+ nên Q Max ⇔ z nhỏ nhất ( LL tương tự : z = 36 ) Tóm lại : min 1 1 1 1

2 3 7 43

P= − − −

Bài 13 : Cho x , y , z là các số thực không âm thỏa mãn : ( )

( )

+ + =





Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x + 3y – 4z

Hướng dẫn

Cộng vế theo vế (1) và (2) : 5x + 5y = 10 ⇔ y = 2 – x

Thế vào (1) : 2x + 2 – x + 3z = 6 ⇔ z= −4 x

TRƯỜNG THCS HƯNG LỢI

Khi đó : 2 3 2( ) 4 4 2

vì x > 0 2 2

⇒ ≥ ⇒ = khi x = … , y = … , z = … Bài 14 :

Tìm giá trị của x để biểu thức y x= − x− 1993 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm g.trị NN đó

Hướng dẫn + TXĐ : ?

+ thêm bớt hạng tử ( - 1993 ) vào y để SD được HĐT

Bài 15 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 2 1

1

y

− với 0 < x < 1 Hướng dẫn

+ Viết : 2 1 2 2 2 1

y

− − ( với 0 < x < 1 ) + thu gọn y , sử dụng BĐT cau chy

Bài 16 :

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A x= 2 + y2

Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn : x2 + y2 −xy = 4

Hướng dẫn

Từ : x2 +y2 −xy= 4 ⇔ 2x2 + 2y2 − 2xy= 8

( 2 2) ( 2 2) ( )2

Max A = ?

Mặt khác : 2x2 + 2y2 = + 8 2xy ⇔ 3(x2 +y2) = + 8 (x2 + 2xy y+ 2)

( )2

3A 8 x y 8

⇔ = + + ≥ Tìm min A = ? Bài 17 :

Cho x , y , z là các số thỏa mãn : x + y + z = 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = xy + yz + zx

Hướng dẫn

M = xy + z ( x + y ) = xy + ( 3 – x – y )( x + y ) = ( ) ( )2

3

= 3 2 3( )2

y

− + ÷ − − ≤

Bài 18 :

Cho x , y là hai số thỏa mãn x + 2y = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : E=x2 + 2y2

Hướng dẫn Biểu diễn x theo y rồi thế vào E

Bài 19 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A x= 2 + 2y2 + 3z2 − 2xy+ 2xz− 2x− 2y− + 8z 2000

Hướng dẫn Biểu diễn : ( ) (2 ) (2 )2

Bài 20 :

Cho x y là hai số dương thay đổi luôn luôn thỏa mãn điều kiện xy = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 4 x 2 2 y 4

Hướng dẫn

Từ : ( 2 )2 4 2 2

1

+ + để ý : Max A = 1 khi

2 2

1

xy

 =

 =



 =

 Bài 21 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) (2 ) (2 )2

B= x a− + −x b + −x c với a , b , c cho trước Hướng dẫn

2 2

2 2 2

2

2 2 2

3

3

a b c

a b c

a b c

+ + + +

+ +

Bài 22 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức :

a ) P x= 2 − 2xy+ 6y2 − 12x+ 2y+ 45

b ) Q x= 2 − 2xy+ 3y2 − 2x− 10y+ 20

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

c ) E= − +x2 2xy− 4y2 + 2x+ 10y− 3

Hướng dẫn : Biểu diễn : a ) ( )2 ( )2

b ) ( )2 ( )2

c ) ( )2 ( )2

E = − − −x y − y−