Chiều đồng điều gorenstein luận văn thạc sĩ toán học

LỜI NÓI ĐẦUMột động cơ quan trọng cho sự nghiên cứu chiều đồng điều trở lại vàonăm 1956 là Auslander, Buchsbaum và Serre chứng minh định lý: Một vànhđịa phương giao hoán Noether R là chí

NGUYỄN ĐÌNH HÀ

CHIỀU ĐỒNG ĐIỀU GORENSTEIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2012

NGUYỄN ĐÌNH HÀ

CHIỀU ĐỒNG ĐIỀU GORENSTEIN

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS ĐÀO THỊ THANH HÀ

Nghệ An - 2012

Mục lục 1

1.1 Phạm trù và hàm tử 31.2 Hàm tử Tor và hàm tử Ext 71.3 Chiều đồng điều 10

2.1 G - lớp 122.2 G - chiều của môđun hữu hạn sinh 202.3 Chiều Gorenstein của môđun thương 31

LỜI NÓI ĐẦU

Một động cơ quan trọng cho sự nghiên cứu chiều đồng điều trở lại vàonăm 1956 là Auslander, Buchsbaum và Serre chứng minh định lý: Một vànhđịa phương giao hoán Noether R là chính quy nếu trường thặng dư k cóchiều xạ ảnh hữu hạn và chỉ nếu mọi R - môđun có chiều xạ ảnh hữu hạn.Năm 1967, Auslander và Bridger [2] đưa ra một bất biến mới cho môđunhữu hạn sinh trên vành Noether được gọi là chiều đồng điều Gorenstein

Họ đã chứng minh được bất đẳng thức G − dimRM ≤ pdRM , và dấu "="xảy ra khi pdRM hữu hạn Hơn nữa, họ còn chứng minh được công thứctổng quát Auslander - Buchsbaum (thỉnh thoảng còn được biết đến như làcông thức Auslander - Bridger) đối với chiều Gorenstein

Chiều đồng điều Gorenstein là sự cải tiến của chiều đồng điều cổ điển.Chúng ta có thể nói rằng chiều Gorenstein "làm mịn" chiều xạ ảnh củamôđun hữu hạn sinh, và nó cũng có nhiều tính chất đẹp giống như chiều xạảnh, chẳng hạn: Một vành địa phương giao hoán Noether là Gorenstein nếutrường thặng dư có chiều Gorenstein hữu hạn và chỉ nếu mọi R - môđun

có chiều Gorenstein hữu hạn

Trong suốt luận văn R kí hiệu là vành giao hoán không tầm thường, cóđơn vị là 1

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của đại

số đồng điều

Chương 2 Chiều đồng điều Gorenstein.

Trong chương này chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết lại một sốkết quả về chiều đồng điều Gorenstein trong [4]

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới người hướng dẫnkhoa học của mình là TS Đào Thị Thanh Hà

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán học

và Phòng Đào tạo Sau Đại học, Trường Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện

để tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã quan tâm và động viêntôi trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn

Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sựgóp ý tận tình của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoànchỉnh hơn

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Định nghĩa Một phạm trù C gồm lớp các vật, kí hiệu là Obj (C )

và tập các cấu xạ HomC (A, B) với A, B ∈ Obj (C ) và phép hợp thành

HomC (A, B) × HomC (B, C) → HomC (A, C)

(f, g) 7→ gf,thỏa mãn các điều kiện sau

(i) Với mọi A ∈ Obj (C ) tồn tại cấu xạ đồng nhất, kí hiệu là 1A sao cho

f 1A = f , với mọi f ∈ HomC (A, B) và 1Ag, với mọi g ∈ HomC (C, A).(ii) Hợp thành các cấu xạ có tính chất kết hợp

1.1.2 Ví dụ (a) Phạm trù các tập hợp Set bao gồm mỗi vật là một tậphợp và mỗi cấu xạ là một ánh xạ giữa hai tập hợp

(b) Phạm trù các môđun trên R, kí hiệu là µR bao gồm mỗi vật là một

R - môđun và mỗi cấu xạ là một R - đồng cấu

1.1.3 Định nghĩa Cho C , D là các phạm trù Hàm tử hiệp biến F : C →

D là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau đây

(i) Nếu A ∈ C thì F A ∈ D

(ii) Nếu f : A → B là một cấu xạ trong C thì tồn tại một cấu xạ tươngứng trong D là F f : F A → F B

(iii) Nếu f : A → B và g : B → C là các cấu xạ trong C thì

F (gf ) = F (g) F (f ) (iv) F1A = 1F A, với mọi A ∈ C

1.1.4 Định nghĩa Cho C , D là các phạm trù Hàm tử phản biến F : C →

D là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau đây

1.1.5 Ví dụ (a) Hàm tử Hom (A, −)

Cho một phạm trù C và cố định A ∈ C Ánh xạ F : C → Set xác địnhbởi

B 7→ Hom (A, B) ,

và với mỗi cấu xạ ϕ : B → C thì

F ϕ : Hom (A, B) → Hom (A, C)

f 7→ ϕfKhi đó, hàm tử Hom (A, −) là hàm tử hiệp biến

(b) Hàm tử Hom (−, B)

Cho một phạm trù C và cố định B ∈ C Ánh xạ F : C → Set xác địnhbởi

A 7→ Hom (A, B) ,

và với mỗi cấu xạ ϕ : A → A0 thì

F ϕ : Hom (A0, B) → Hom (A, B)

f 7→ f ϕKhi đó, hàm tử Hom (A, −) là hàm tử phản biến

1.1.6 Định nghĩa (i) Hàm tử hiệp biến F được gọi là khớp trái nếu từdãy khớp

(ii) Hàm tử tenxơ khớp phải.

1.1.9 Định nghĩa (i) Phạm trù C được gọi là cộng tính nếu Hom (A, B)

là một nhóm Aben thỏa mãn

f (g + h) = f g + f h,trong đó, f, g, h là các cấu xạ trong C

(ii) Hàm tử F : C → D được gọi là hàm tử cộng tính nếu C , D là cácphạm trù cộng tính và

F (f + g) = F f + F g

1.1.10 Bổ đề (Bổ đề con rắn) Xét biểu đồ giao hoán với các hàng là khớp:

0 → Kerψ0 → Kerψ → Kerψ00 → Cokerψ0 → Cokerψ → Cokerψ00 → 0.1.1.11 Bổ đề (Bổ đề Nakayama) Cho (R,m, k) là vành địa phương và M

là một R - môđun hữu hạn sinh Nếu M 6= 0 và mM 6= M thì M/aM 6= 0với mọi a là iđêan thực sự của R Đặc biệt M ⊗Rk 6= 0

1.2.1 Hàm tử đồng điều Cho dãy phức A các R - môđun và các đồngcấu các R - môđun

A : · · · //Mn+1dn+1 //Mn dn //Mn−1dn−1 //· · ·Môđun Zn(A ) = Kerdn được gọi là môđun các chu trình thứ n

Môđun Bn(A ) = Imdn+1 được gọi là môđun các biên thứ n

Khi đó Hn(A ) = Zn(A ) /Bn(A ) là một R - môđun và được gọi làmôđun đồng điều thứ n của A

Cho A , B là các dãy phức R - môđun và f : A → B là chuỗi đồng cấu.Tương ứng

1.2.4 Giải nội xạ Cho M là một R - môđun Dãy khớp

0 → M → E0 → E1 → · · · → En → · · ·trong đó Ei là các môđun nội xạ, được gọi là giải nội xạ của M

1.2.5 Hàm tử Ext Cho A, B là các R - môđun và EB là giải nội xạ củaB

EB : 0 → E0 → E1 → · · ·Tác động hàm tử Hom (A, −) vào giải nội xạ của B ta được dãy mới, kíhiệu là Hom (A, EB)

0 → Hom A, E0
→ Hom A, E1

→ · · ·

Kí hiệu Ext (A, B) := HnHom (A, EB)

1.2.6 Mệnh đề (i) Hàm tử Ext không phụ thuộc vào sự lựa chọn vào giảinội xạ (giải xạ ảnh).

(ii) Extn(A, B) = 0, ∀n < 0

(iii) Ext0(A, B) ∼= Hom (A, B)

1.2.7 Định lý Từ dãy khớp ngắn các môđun

0 → B0 → B → B00 → 0,

ta được dãy khớp dài

0 → Hom (A, B0) → Hom (A, B) → Hom (A, B00) →

→ Ext1(A, B0) → Ext1(A, B) → Ext1(A, B00) → · · ·1.2.8 Mệnh đề (i) Nếu A là môđun xạ ảnh thì

Extn(A, B) = 0,với mọi số nguyên dương n và mọi môđun B

(i) Nếu B là môđun nội xạ thì

Extn(A, B) = 0,với mọi số nguyên dương n và mọi môđun A

1.2.9 Hàm tử Tor Cho A, B là các R - môđun và PB là giải xạ ảnh củaB

PB : · · · → Pn → Pn−1 → · · · → P1 → P0 → 0,Tác động hàm tử A⊗R− vào giải xạ ảnh của B ta được dãy mới, kí hiệu

là A⊗RPB

· · · → A⊗RPn → A⊗RPn−1 → · · · → A⊗RP1 → A⊗RP0 → 0

Kí hiệu TorRn (A, B) := Hn(A⊗RPB)

1.2.10 Mệnh đề (i) TorRn (A, B) = 0, ∀n < 0,

(ii) TorR0 (A, −) ∼= A⊗R−,

(iii) TorR0 (−, B) ∼= −⊗RB

1.2.11 Định lý Từ dãy khớp ngắn các môđun

0 → B0 → B → B00 → 0,

ta được dãy khớp dài

· · · → TorR1 (A, B0) → TorR1 (A, B) → TorR1 (A, B00) →

→ A⊗RB0 → A⊗RB → A⊗RB00 → 0

1.2.12 Mệnh đề (i) Nếu A là môđun xạ ảnh thì TorRn (A, B) = 0 với mọi

n ≥ 1 và với mọi môđun B

(ii) Nếu B là môđun xạ ảnh thì TorRn (A, B) = 0 với mọi n ≥ 1 và vớimọi môđun A

1.3.1 Định nghĩa Giải xạ ảnh 0 → Pn → · · · → P0 → M → 0 của R môđun M được gọi là có độ dài n Số n nhỏ nhất để M có giải xạ ảnh độ dài

-n được gọi là chiều xạ ả-nh của M , ký hiệu bởi pdRM Nếu M không có giải

xạ ảnh hữu hạn thì ta nói M có chiều xạ ảnh vô hạn và viết pdRM = ∞.1.3.2 Định nghĩa Chiều global của vành R, ký hiệu bởi gldimR, là cậntrên của pdRM với mọi R - môđun M

1.3.3 Mệnh đề Cho M là một R - môđun và n là một số nguyên dương.Các điều sau đây là tương đương

(i) pdRM ≤ n;

(ii) ExtiR(M, N ) = 0 với mọi i > n và mọi R - môđun N

(iii) Extn+1R (M, N ) = 0 với mọi R - môđun N

(iv) Nếu 0 → Kn → Pn−1 → · · · → P0 → M → 0 là một dãy khớp với mọi

-(i) idRM ≤ n;

(ii) ExtiR(M, N ) = 0 với mọi i > n và mọi R - môđun M

(iii) Extn+1R (M, N ) = 0 với mọi R - môđun M

(iv) Nếu 0 → N → X0 → · · · → Xn−1 → Kn → 0 là một dãy khớp với mọi

Xi là môđun nội xạ, thì Kn cũng là môđun nội xạ

1.3.7 Hệ quả Chiều global của vành R là cận trên của idRN với mọi R môđun N

là một đồng cấu của các R - môđun và tự nhiên trong M

Ánh xạ song đối ngẫu δM có liên quan chặt chẽ đến đồng cấu đánh giá

θM RR bởi biểu đồ giao hoán

Trong đó, đồng cấu đánh giá

θM RR : M ⊗RHomR(R, R) −→ HomR(HomR(M, R), R)

được cho bởi

θM RR(p ⊗ ψ) (ϕ) = ψϕ (p) 2.1.2 Định nghĩa Một R - môđun M hữu hạn sinh được gọi là thuộc G

- lớp G(R) nếu

(1) ExtmR(M, R) = 0 với m > 0;

(2) ExtmR(HomR(M, R), R) = 0 với m > 0 và

(3) Ánh xạ song đối ngẫu δM : M −→ HomR(HomR(M, R), R) là mộtđẳng cấu

2.1.3 Chú ý Một R - môđun L tự do hữu hạn sinh hiển nhiên thỏa mãnhai điều kiện đầu của Định nghĩa 2.1.2, và δL rõ ràng là đẳng cấu Do đó,môđun tự do hữu hạn thuộc về G - lớp

Thực tế thì không biết được rằng nếu cả ba điều kiện trong Định nghĩa2.1.2 đều thỏa mãn thì nó có phải là đặc trưng của G - lớp hay không Lớpcác môđun thỏa mãn điều kiện đầu tiên được nghiên cứu riêng trong một

số tài liệu tham khảo

2.1.4 Đối ngẫu Với một R - môđun M , đặt

M∗ = HomR(M, R) , M∗∗ = (M∗)∗.Môđun M∗ và M∗∗ lần lượt được gọi là đối ngẫu và song đối ngẫu của

M , và hàm tử −∗ = HomR(−, R) được gọi là hàm tử đối ngẫu

2.1.5 Xoắn Với mỗi R - môđun M môđun con xoắn, MT, được xác địnhbởi

MT = {x ∈ M |r ∈ R\zR : rx = 0} ,trong đó zR = {r ∈ R|∃0 6= s ∈ R : rs = 0}

Môđun M được gọi là môđun xoắn nếu MT = M và xoắn tự do nếumôđun con xoắn là môđun không Chú ý rằng M là R - môđun xoắn tự donếu và chỉ nếu mọi ước của không với M cũng là ước của không trong R,nghĩa là

MT = 0 ⇐⇒ zRM ⊆ zR (2.1.1.5)

2.1.6 Chú ý Môđun tự do là xoắn tự do và môđun con của xoắn tự docũng là xoắn tự do Áp dụng hàm tử đối ngẫu vào dãy

Rβ −→ M −→ 0

ta thấy rằng đối ngẫu của R - môđun tự do hữu hạn sinh có thể được nhúngvào một R - môđun tự do hữu hạn sinh và dẫn đến nó cũng là môđun xoắn

tự do Nói riêng, mọi môđun trong G (R) là xoắn tự do

2.1.7 Chú ý Nếu một R - môđun M thuộc vào G - lớp thì đối ngẫu của

nó cũng thế, tức là

M ∈ G (R) ⇒ M∗ ∈ G (R) Điều này là hiển nhiên được suy ra từ định nghĩa, và mặt khác, điềungược lại rõ ràng là không đúng: Giả sử G ∈ G (R) và M 6= 0 là xoắn thì

(G ⊕ M )∗ ∼= G∗ ∈ G (R) ,nhưng môđun G ⊕ M /∈ G (R), thật vậy nó không xoắn tự do

2.1.8 Bổ đề Cho M là một R - môđun hữu hạn sinh và xét ba điều kiệnsau đây:

(i) Ánh xạ song đối ngẫu δM là đơn cấu,

(ii) M có thể được nhúng vào một môđun tự do hữu hạn sinh,

(iii) M là xoắn tự do

Các điều kiện (i) và (ii) là tương đương và kéo theo (iii) Hơn nữa, khi

R là một miền thì ba điều kiện đó tương đương

Chứng minh Rõ ràng rằng (ii) kéo theo (iii), và theo Chú ý 2.1.6 đối ngẫu

và song đối ngẫu của một môđun hữu hạn sinh có thể được nhúng trongmột môđun tự do hữu hạn sinh Vì vậy (i) kéo theo (ii)

Giả sử rằng M có thể được nhúng vào một môđun tự do hữu hạn sinh

2.1.9 Mệnh đề Những điều sau đây là tương đương với mọi R - môđun

đủ để chứng minh được δM có một section Giả sử rằng có một đẳng cấu

ϕ : M −→ N∗, với N là một R - môđun hữu hạn sinh Điều này trực tiếp

suy ra rằng (δN)∗δN ∗ = 1N ∗ , và cho thấy rằng δM cũng có một section, đặt

- môđun hữu hạn sinh Khi đó,

(a) Nếu M ∈ G (R) thì các dãy

0 −→ M∗ −→ N∗ −→ K∗ −→ 0và

0 −→ K∗∗ −→ N∗∗ −→ M∗ −→ 0đều là dãy khớp Hơn nữa, K thuộc vào G - lớp khi và chỉ khi N cũngthuộc vào G - lớp, nghĩa là

K ∈ G (R) ⇐⇒ N ∈ G (R) (b) Nếu N ∈ G (R) thì có các đẳng cấu

ExtmR (K, R) ∼= Extm+1R (M, R) ,với m > 0

(c) Nếu dãy 0 −→ K −→ N −→ M −→ 0 là chẻ ra thì N thuộc vào G lớp khi và chỉ khi cả K và M đều thuộc vào G - lớp, nghĩa là

-N ∈ G (R) ⇐⇒ M, K ∈ G (R)

Chứng minh Áp dụng hàm tử đối ngẫu vào dãy khớp

0 −→ K −→ N −→ M −→ 0cho ta một dãy khớp dài

0 −→ M∗ −→ N∗ −→ K∗ −→ Ext1R(M, R) −→ · · · −→ ExtmR (M, R) −→

−→ ExtmR (N, R) −→ ExtmR (K, R) −→ · · · (2.1.10.1)(a) Giả sử M ∈ G (R) thì nói riêng Ext1R(M, R) = 0 và dãy đầu tiêntrong (a) khớp là hiển nhiên từ dãy (2.1.10.1) Ta có biểu đồ sau giao hoánvới các hàng là khớp

0 −→ K∗∗ −→ N∗∗ −→ M∗∗ −→ 0cũng là khớp

Áp dụng Bổ đề con rắn ta có

0 → KerδK → KerδN → KerδM → CokerδK → CokerδN → CokerδM → 0

Vì δM là đẳng cấu nên KerδM = 0 và CokerδM = 0 Do đó, δN là đẳngcấu nếu và chỉ nếu δK là đẳng cấu Vì M ∈ G (R) và ExtmR (M, R) = 0 với

m > 0 nên dựa vào dãy khớp (2.1.10.1) ta có

ExtmR (N, R) ∼= ExtmR (K, R) ,với m > 0 Tương tự từ dãy khớp dài

0 −→ K∗∗ −→ N∗∗ −→ M∗∗ −→ Ext1R(K∗, R) −→

−→ · · · −→ ExtmR (K∗, R) −→ ExtmR (N∗, R) −→ ExtmR (M∗, R) −→ · · ·

ta có

ExtmR (N∗, R) ∼= ExtmR (K∗, R) ,với m > 0 Vậy

K ∈ G (R) ⇐⇒ N ∈ G (R)

(b) Nếu N ∈ G (R) thì ExtmR (N, R) = 0 với m > 0, và từ (2.1.10.1) hiểnnhiên ta có đẳng cấu như mong muốn

(c) Giả sử rằng 0 −→ K −→ N −→ M −→ 0 là chẻ ra Khi đó dãy đốingẫu

0 −→ M∗ −→ N∗ −→ K∗ −→ 0và

là chẻ ra Do đó, δN là đẳng cấu khi và chỉ khi δM và δK là đẳng cấu Hàm

tử ExtmR (−, R) là cộng tính nên với m > 0 ta có các đẳng cấu

ExtmR (N, R) ∼= ExtmR (K, R) ⊕ ExtmR (M, R) ,và

ExtmR (N∗, R) ∼= ExtmR (K∗, R) ⊕ ExtmR (M∗, R)

2.1.11 Mệnh đề Mọi R môđun xạ ảnh hữu hạn sinh đều thuộc vào G lớp

-Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng: nếu P là môđun xạ ảnh hữuhạn sinh thì P∗ = HomR(P, R) cũng là môđun xạ ảnh và ExtmR (P, R) =

0, ExtmR (P∗, R) = 0 với m > 0 Thật vậy, vì P là môđun xạ ảnh nên P làhạng tử trực tiếp của môđun tự do hữu hạn sinh

nên F∗ cũng là môđun xạ ảnh Suy ra P∗ cũng là môđun xạ ảnh

Hơn nữa đồng cấu θP RR là khả nghịch Do đó ánh xạ song đối ngẫu δP

cũng là đẳng cấu, xem biểu đồ (2.1.1.1)

2.1.12 Chú ý Cho (R,m, k) là vành địa phương Đối ngẫu của trườngthặng dư k∗ = HomR(k, R) là một k - không gian vectơ với kích thước µ0R(k∗ đẳng cấu với linh hóa tử của m và cũng được gọi là nền của R) Do đó

2.1.13 Ví dụ Cho k là một trường Vành R = k [[X]] / X2
là tự nội xạ(Theo tiêu chuẩn Baer) Do đó,

ExtmR (k, R) = 0

ExtmR (k∗, R) = 0,với m > 0 Linh hóa tử của iđêan cực đại trong R được sinh bởi lớp thặng

dư của X Theo Chú ý 2.1.12 ta có µ0R = 1 và δK khả nghịch Do đó, R môđun k thuộc vào G - lớp, nhưng nó không xạ ảnh (pdRK = ∞) hay Rkhông chính quy

2.2.1 Định nghĩa Một G - giải của một R - môđun M là dãy các môđuntrong G (R)

· · · −→ Gl −→ Gl−1 −→ · · · −→ G1 −→ G0 −→ 0,khớp tại Gl với mọi l > 0 và có

G0/Im (G1 → G0) ∼= M,nghĩa là, có một dãy khớp

· · · −→ Gl −→ Gl−1 −→ · · · −→ G1 −→ G0 −→ M −→ 0

Giải này được gọi là có độ dài n nếu Gn 6= 0 và Gl = 0 với ∀l > n.2.2.2 Chú ý Mọi R - môđun hữu hạn sinh đều có một giải gồm các môđun

tự do hữu hạn sinh và đó là một G - giải

2.2.3 Định nghĩa Một R - môđun M được gọi là có G - chiều hữu hạn,

và viết G − dimRM < ∞, nếu nó có một G - giải có độ dài hữu hạn Taquy ước G − dimR0 = −∞ và với M 6= 0 ta định nghĩa G - chiều của

M như sau: Với n ∈ N0 ta nói rằng M có G - chiều lớn nhất là n và viết

G − dimRM ≤ n nếu và chỉ nếu M có một G - giải có độ dài n Nếu Mkhông có G - giải nào có độ dài hữu hạn thì ta nói rằng M có G - chiều vôhạn và viết G − dimRM = ∞

2.2.4 Chú ý Chú ý rằng môđun không cũng được gọi là có G - chiều hữuhạn và

G − dimRM ∈ {−∞} ∪N0 ∪ {∞} ,với mọi R - môđun M Nếu G − dimR ≤ n, thì M có G - giải có độ dài mvới mọi m ≥ n; ta có được điều này bằng cách thêm các hạng tử tự do vàogiải có độ dài n Nếu M 6= 0, thì G - chiều của M là độ dài của G - giảingắn nhất có thể của M

M ∈ G (R) ⇐⇒ G − dimRM = 0 ∨ M = 0 (2.2.4.1)2.2.5 Nhận xét Cho M là một R - môđun hữu hạn sinh và xét dãy khớp

· · · −→ Gl −→ Gl−1 −→ · · · −→ G1 −→ G0 −→ M −→ 0,

trong đó Gl ∈ G (R) Ta đặt

K1 = M, K0 = Ker (G0 → M ) ,

Kl = Ker (Gl−1 → Gl−2) , với l ≥ 2 (2.2.5.1)Với mỗi l ∈ N ta có dãy khớp ngắn

0 −→ Kl −→ Gl−1 −→ Kl−1 −→ 0 (2.2.5.2)

Áp dụng Bổ đề 2.1.10(b) cho (2.2.5.3) ta có các đẳng cấu

ExtmR (Kl, R) ∼= Extm+1R (Kl−1, R) ,ExtmR (Kl, R) ∼= Extm+lR (M, R) ,với m > 0

Giả sử rằng Kn ∈ G (R), nghĩa là G − dimRM ≤ n Với l > n ta có dãykhớp

0 −→ Kn −→ Gn−1 −→ · · · −→ Gl −→ Kl −→ 0,cho thấy rằng G − dimRM ≤ n − l, và ta chú ý rằng đẳng thức này luônđúng nếu G − dimRM = n