Chiều đều của môđun và môđun con nguyên tố luận văn thạc sĩ toán học

Smith dựa vào môđun bù giao của một môđun con, sự phân tích không rút gọn được của mộtmôđun con qua giao của các môđun con bù giao, ông đưa ra cách tính sốchiều của một môđun bất kỳ bằng

MỤC LỤC

Trang

Bảng ký hiệu 2

MỞ ĐẦU 3

Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

1.1 MÔĐUN ĐỀU, MÔĐUN CON CỐT YẾU, MÔĐUN NỘI XẠ, BAO NỘI XẠ

6 1.1.1 Môđun con cốt yếu 6

1.1.2 Môđun đều 6

1.1.4 Tính chất cơ bản 7

1.1.5 Môđun nội xạ 10

1.1.9 Bao nội xạ 13

1.2 MÔĐUN CON NGUYÊN SƠ VÀ MÔĐUN CON NGUYÊN TỐ

14 1.2.1 Môđun con con nguyên sơ 14

1.2.2 Sự phân tích nguyên sơ 15

1.2.3 Sự phân tích không rút gọn được của một môđun con 15

1.2.4 Sự phân tích chuẩn của một môđun con 15

1.2.7 Môđun con nguyên tố 16

1.2.8 Sự liên hệ giữa môđun con nguyên sơ và môđun con nguyên tố 16 1.2.9 Căn môđun con 16

1.2.10 Sự phân tích nguyên tố 16

1.2.11 Sự phân tích nguyên tố không rút gọn được của một môđun con 17 1 2.12 Sự phân tích nguyên tố chuẩn của một môđun con 17

Chương II CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN VÀ MÔĐUN CON NGUYÊN TỐ 18 2.1 Chiều đều của môđun 18

2.2 Môđun con nguyên tố 31

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

 là môđun con của

là môđun con cốt yếu của

E(M) bao nội xạ của môđun M

u(M) chiều đều của môđun M

*

MỞ ĐẦU

Từ năm 1958 khi Goldie công bố cấu trúc của vành nguyên tố dưới

chuỗi tăng có điều kiện và giới thiệu khái niệm chiều đều của môđun M (xem [5] và [6]) Chiều đều u(M) của môđun M là sự mở rộng khái niệm

chiều của không gian véctơ

Năm 1975, R N Roberts đưa ra chiều “Krull” cho một môđun tùy

ý Đến năm 2004, Roy L McCasland và Patric F Smith dựa vào môđun

bù giao của một môđun con, sự phân tích không rút gọn được của mộtmôđun con qua giao của các môđun con bù giao, ông đưa ra cách tính sốchiều của một môđun bất kỳ bằng tổng số chiều của các môđun thương.Không dừng lại ở đó, bằng cách phân tích một môđun bởi một sự phântích chuẩn các môđun nguyên sơ, các môđun con nguyên tố để tính chiềucủa một môđun thương có chiều hữu hạn, thông qua tổng các môđunthương nhỏ hơn, việc làm này cho ta tiện lợi hơn khi tính số chiều của mộtmôđun bất kỳ, từ những môđun thương đặc biệt

Từ khái niệm: Một môđun M được gọi là có chiều đều hữu hạn nếu không chứa các tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác 0 của M, luận văn trình bày chi tiết môđun M có chiều đều là n ký hiệu là u(M) = n, với n

là một số nguyên dương, nếu tồn tại hữu hạn các môđun đều U i với i (1 ≤ i ≤ n) độc lập sao cho cho U1 U2  U n M Hơn nữa, cũng

như khái niệm chiều của không gian véctơ thì chiều đều của môđun là bất

biến, vì nếu có các môđun V i (1 ≤ i ≤ k) là các môđun con đều độc lập của M sao cho V1  V k là môđun con cốt yếu của M thì n = k Như vậy, M là môđun đều thì có chiều đều u(M) = 1, Nếu M có chiều đều không hữu hạn ta nói u(M) = Nội dung chính của luận văn là trình bày

*

cách tính chiều đều của một môđun khi nó có chiều đều hữu hạn Cụ thể

chương II của luận văn, phần thứ nhất cho kết luận là khi môđun M có

chiều đều hữu hạn thì u(M) =

1

n

i i

u M K



 nếu và chỉ nếu 0 = K1 

Kn , ở đây K i ( 1≤ i ≤ n ) là các môđun con của M sao cho K i là một bù giao

của K1  K i–1 K i+1  K n trong M với mỗi 1 ≤ i ≤ n Hơn nữa nếu thêm điều kiện K i là bất khả quy với mọi i thì u(M) = n Trong phần thứ hai, luận văn trình bày chiều đều của một môđun thương: u(M / N) =

1

n

i u

 (L i / (L i  K i)),

trong đó L i = {K j : 1 ≤ j ≤ n và P j  P i } với mỗi i, nếu P ikhông là một

iđêan nguyên tố liên kết cực tiểu của N và L i = M nếu P i (1 ≤ i ≤ n) là một iđêan nguyên tố liên kết cực tiểu của N trong một sự phân tích chuẩn N = K1  K n , ở đây K i là môđun con P i -nguyên tố, với P i (1 ≤ i ≤ n)

là iđêan nguyên tố nào đó của R.

Ngoài phần mở đầu và kết luận,để giúp người đọc tiện theo dõi, nộidung chính của luận văn được chia làm hai chương:

+ Chương I: Chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản như:môđun đều, các tính chất cơ bản của môđun đều, môđun nội xạ, bao nội

xạ Do tránh quá dài trong nội dung chính mà các khái niệm sự phân tíchnguyên sơ của một môđun, sự phân tích chuẩn của một môđun, sự phântích nguyên tố của một môđun, và sự phân tích nguyên tố chuẩn của mộtmôđun, căn môđun con, chúng tôi xin đưa vào chương I

+ Chương II: gồm hai phần:

- Phần 1 là chiều đều của một môđun mà nội dung chính của nó là

đi tìm chiều đều của một môđun có chiều đều hữu hạn qua chiều đều củacác môđun thương con của nó

- Phần 2 có nội dung chính là tìm chiều đều của một môđun thươngkhi có chiều đều hữu hạn qua các môđun thương khác con của nó Nhưvậy, ta có quyền hy vọng trong một tương lai không xa, nó lại được conngười ứng dụng vào một môn khoa học ứng dụng khác.

Luận văn này được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tìnhcủa PGS TS Ngô Sỹ Tùng, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Đồngthời, tôi cũng chân thành cảm ơn những thầy cô, những đồng nghiệp đãđộng viên và khích lệ giúp tôi hoàn thành luận văn này

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

TÁC GIẢPhan Văn Vũ

1.1.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun, A  M được gọi là môđun con cốt

yếu (hay lớn) trong M Kí hiệu là A M hay A M, nếu  0  B  M thì A  B  0, hay với  B  M sao cho A  B = 0 thì B = 0 Ta quy ước

0 M khi và chỉ khi M = 0, và với mọi M thì M M.

uniform) nếu  0  A  U thì A U, hay  0  A, B  U thì A  B  0.

1.1.3 Ví dụ a) Xét -môđun  Lấy môđun con 0 A  thì A = k,

với k * và lấy 0 B  thì B = n, n * Khi đó 0 kn  A  B cho chúng ta A  Vậy  là môđun đều

b) Xét -môđun thì là môđun đều Thậy vậy lấy 0 A, B 

an = nb a

b cho an  A, và an = ak n

k cho an  B, nghĩa là an  A  B hay

A  B  0.

1.1.4 Tính chất cơ bản (của môđun con cốt yếu).

i) Cho A  RM, A M nếu và chỉ nếu  0  x  M có A  Rx  0

2i) Cho A  B  RM, A M nếu và chỉ nếu A B

Chú ý: Nếu i  I vô hạn thì 3i) không đúng.

4i) Cho M, N là R-môđun, đồng cấu f: M  N và B N thì f-1(B) M.

5i) Cho RM, A  K  M, nếu (K / A) (M / A) thì K M.

6i) Cho RM, Ai Mi  M, với  i  I là tập tùy ý, và nếu tồn tại i

7i) Cho RM,  A  M, khi đó tồn tại B  M sao cho A  B M.

Chứng minh 1i) Hiển nhiên A  M, A M thì với phần tử  0  x  M

2i) Với 0  C  B cho 0  C  M khi đó C  A  0 (vì A M), vì

thế chúng ta có A B và  0  X là M nên A  X 0 (vì A M) cho

chúng ta B  X  0 (do A  X  B  X) Nghĩa là B là môđun con của M.

Ngược lại với 0  Z  M, thì Z  B  0 do B M và Z  B là môđun con B, nên chúng ta có A  (Z  B)  0 (A B) cho A  Z  0.

Do đó A M.

3i) Cho A1 B1 và A2 B2 ta sẽ chứng minh A1 A2 B1 B2 Với

mọi môđun B con của B1 B2 sao cho A1 A2 B = 0 Vì A1 (A2 B) = 0 cho A2 B = 0 (vì A2  B  B1  B2  B1 và A1 B1) Do đó có B = 0 (B  B1 B2  B2 và A2 B2) Vậy A1  A2 B1 B2 Bằng quy nạp

ta chứng minh được nếu A i , B i  M, với A i Bi với mọi i (1 ≤ i ≤ n ) thì

f(X)  B = 0, do đó f(X) = 0 (do B N), điều này cho chúng ta X  Kerf

= f1(0) là môđun con của f1( )B Vậy X = X  1

( )

f B = 0 Nghĩa

là f1( )B là môđun con cốt yếu của M.

5i) Cho 0 X  M Nếu X  A cho X  K vì thế X  K = X  0 Do đó chúng

(K / A là môđun con cốt yếu của M / A) thế nên (X + A)  K  A, điều

này cho X  K  0 Do vậy K M.

6i) Trường hợp I có hạng I = n là tập hữu hạn Dùng quy nạp theo n chỉ

cần chứng minh với n = 2 Cho A1 M1, A2 M2 và tồn tại A1 A2

Theo Tính chất 3i), A1  A2 M1  M2 cho 0 M1  M2 Vậy

M1 M2 = 0 (do tồn tại A1 A2 nên A1 A2 = 0)

Xét hai phép chiếu f1: M1  M2  M1 và f2: M1  M2  M2, xác

định bởi f1(x1 + x2) = x1 và f2(x1 + x2) = x2 Do A1 M1 nên theo Tính

chất 4i) suy ra f11(A1) M1  M2 Do đó A1  M2 M1  M2 (1)

Tương tự ta chứng minh được M1  A2 M1  M2 (2) Từ (1), (2) ta

suy ra A1 A2 M1 M2, bởi Tính chất 3i)

Trường hợp: I là tập vô hạn Lấy 0  x i

Thật vậy do X  0 nên tồn tại 0  x  X có dạng x = x1 + + x n, và

tổng A + B là tổng trực tiếp A  B hơn nửa A  B M Thật vậy với

mọi 0 ≠ C  M Ta có hai trường hợp.

Trường hợp: Mọi 0 ≠ C  M sao cho C  A ≠ 0 cho C  (A  B) ≠ 0

do đó chúng ta có A  B là môđun con cốt yếu của M.

Trường hợp: Tồn tại C  M sao cho C  A = 0 khi đó C  B (Do B

là cực đại có tính chất B  A = 0) nên C  B ≠ 0 cho C  (A  B) ≠ 0 Vậy A  B M.

1.1.5 Định nghĩa Một R-môđun M được gọi là nội xạ nếu thỏa mãn tính

chất sau: với R-đồng cấu f: N  E và g: N  M, trong đó f là đơn ánh, luôn tồn tại ít nhất một R-đồng cấu h: E  M sao cho g = h  f, tức là

làm cho biểu đồ sau (với dòng trên khớp) là giao hoán

Khi đó ta nói h là một mở rộng của g.

1.1.6 Bổ đề Cho (E i)i  I là một họ các R-môđun Khi đó tích trực tiếp

E E , với mọi i  I ta ký hiệu P i : E  E i là một

toàn cấu chính tắc và j i : E i  E là một đơn cấu chính tắc xác định bởi tích

trực tiếp E Giả sử E là nội xạ Ta sẽ chứng minh rằng E i, i  I, là nội xạ.

Thật vậy, cho f: N  M là R-đơn cấu và g: N  E i là một R-đồng

cấu tùy ý Vì E là nội xạ và j i  g là một R-đồng cấu từ N vào E, nên tồn

tại mở rộng h: M  E của j i  g để j i  g = h  f Đặt k = p i  h: M  E i là

một R-đồng cấu, dễ thấy rằng ánh xạ p i  j i = 1Ei , do đó ta suy ra k  f = p i

 h  f = p i  j i  g = g Điều này chứng tỏ E i là môđun nội xạ

Ngược lại, giả sử E i là nội xạ với mọi i  I Cho f : N  M là

R-đơn cấu và  : N  E là một R-đồng cấu tùy ý Khi đó tồn tại một mở

rộng  i : M  E i cho R-đồng cấu p i   : N  E i, bây giờ ta xây dựng

một đồng cấu  : M  E xác định bởi:  (x) = ( i(x)) i  I,  x  M Rõ

ràng là một R-đồng cấu và với mọi y  N, ta có:   f(y) = (  i(f(y))) i  I

= (P i( (y))) i  I =  (y) Vậy E là nội xạ. 

1.1.7 Hệ quả Khi I là hữu hạn thì tích trực tiếp là tổng trực tiếp, như vậy

với n là số nguyên dương cho trước, thì E = E1   E n là nội xạ khi và chỉ khi Ei (1 ≤ i ≤ n) là R-môđun nội xạ.

1.1.8 Định lý Cho E là một R-môđun Khi đó các phát biểu sau đây là

tương đương:

(i) E là R-môđun nội xạ;

(ii) E không có mở rộng cốt yếu thực sự nào, tức là nếu E’ là một

mở rộng cốt yếu của E thì E = E’.

Chứng minh (i)  (ii) Giả sử E là nội xạ và E’ là một mở rộng thật sự của E Khi đó E là một hạng tử trực tiếp của E’, tức là tồn tại một môđun

con 0  N của E’ sao cho E’ = E + N và E  N = 0 Từ đây cho ta kết luận

E’ không là một mở rộng cốt yếu của E.

(ii)  (i) Ta cần chứng minh rằng, nếu f : E  F là một R-đơn cấu thì E đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của F Vì tính nội xạ của một

môđun không thay đổi qua đẳng cấu nên ta có thể giả thiết thêm mà không

làm mất tính tổng quát rằng f là phép nhúng tự nhiên, tức là E  F Ký

hiệu  là tập tất cả các R-môđun con 0  X của F mà X  E = 0 Rõ ràng

 0 do giả thiết (ii) Xét quan hệ thứ tự bao hàm trên ta thấy rằng tậpmọi xích trong  đều bị chặn Vậy theo Bổ đề Zorn tồn tại một phần tử cực

đại E’ Khi đó mệnh đề được chứng minh nếu ta chỉ ra E’ là một hạng tử trực tiếp của F, tức là E + E’ = F Thật vậy, giả sử ngược lại F  E + E’.

Theo định lý đẳng cấu môđun ta có:

F / E’  (E + E’) / E’  E / (E  E’) = E.

Suy ra F / E’  (E + E’) / E’ Theo giả thiết E không có mở rộng thực sự nên (E + E’) / E’ cũng không có mở thực sự nào Do đó tồn tại một môđun con Y của F sao cho Y  E’ và Y / E’  (E  E’) / E’ = 0.

Ta suy ra Y  (E + E’) = E’, tức là: Y  E  Y  (E + E’) = E’ Vậy Y  E  E  E’ = 0, tức là Y Điều này trái với giả thiết cực đạitrong  của E’ và định lý được chứng minh. 

1.1.9 Định nghĩa Cho M là R-môđun Một R-môđun E được gọi là bao

nội xạ của M, nếu E là R-môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M.

Ta ký hiệu bao nội xạ của môđun M là E(M).

Theo Định lý 1.2.8 cho ta:

1.1.10 Hệ quả Cho môđun M, khi đó E(M) là mở rộng cốt yếu cực đại

của M.

Một tính chất quan trọng của bao nội xạ là định lý sau đây:

1.1.11 Định lý Mỗi R-môđun M luôn có ít nhất một bao nội xạ và giả sử

E, E’ là những bao nội xạ của M, khi đó tồn tại một R-đẳng cấu f : E  E’

sao cho f(x) = x, với  x  M.

Chứng minh Do M là R-môđun nên luôn tồn tại mở rộng F của M và F là R-môđun nội xạ Hoàn toàn tương tự chứng minh Định lý 2.2.4, ta chỉ ra

được sự tồn tại một mở rộng E của M là phần tử cực đại (theo quan hệ bao

hàm) trong tập  tất cả các môđun con của F là mở rộng của M Ta chứng minh E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M (và khi đó E chính là

bao nội xạ của M nhờ vào Hệ quả 2.2.7) Thật vậy, cho E1 là mở rộng cốt

yếu của E Ký hiệu j : E  F và j1: E  E1 là phép nhúng tự nhiên Khi

đó, theo tính chất nâng phổ dụng của môđun nội xạ F tồn tại một mở rộng

h : E1  F của phép nhúng j Do đó E  Ker h = 0, vì E1 là mở rộng cốt

yếu của E nên Ker h = 0 Suy ra h(E1) là một mở rộng của E chứa trong F, tức là h(E1) = E, tức là E1 = E Điều này chứng tỏ E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M.

Bây giờ giả sử E và E’ là hai bao nội xạ của M với i: M  E và

i': M  E’ là các phép nhúng tự nhiên Khi đó theo chứng minh trên, tồn tại một R-đơn cấu g : E  E’ sao cho i' = g  i Vì g(E)  E, g(E) là môđun nội xạ, do đó tồn tại R-môđun con L của E’ sao cho E’ = g(E)  L Chú ý rằng E M và M  g(E) nên từ g(E)  L = 0 ta suy ra L = 0 Vậy g là

đẳng cấu và định lý được chứng minh hoàn toàn 

1.2 MÔĐUN CON NGUYÊN SƠ VÀ MÔĐUN CON NGUYÊN TỐ

1.2.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun, với mọi môđun con của M là N, L,

ta định nghĩa (N : L) = {r  R : rL  N} Chú ý (N : L) là iđêan của R Hơn nữa, (N : L) = R nếu và chỉ nếu L  N Cho trước iđêan nguyên tố P của R, K là môđun con thực sự của M thì K được gọi là P-nguyên sơ khi

thỏa mãn các điều kiện:

(i) (K : N)  P với mỗi N  M sao cho N  K ; và

(ii) P n  (K : M) với n là một số nguyên dương nào đó.

*

Chú ý rằng nếu K là P-nguyên sơ, thì P n  (K : M)  P, với n là một số nguyên dương nào đó Một môđun L  M được gọi là nguyên sơ nếu L là P-nguyên sơ, với P là một iđêan nguyên tố nào đó của R.

1.2.2 Định nghĩa Cho R-môđun M, H  M được gọi là có một sự phân

tích nguyên sơ nếu H là giao hữu hạn các môđun con nguyên sơ của M.

Hơn nữa, khi H có sự phân tích nguyên sơ thì H là môđun con thực sự của M.

là sự phân tích không rút gọn được của N khi và chỉ khi N  K1   K i–1

 K i+1   K n với mọi 1 ≤ i ≤ n.

1.2.4 Định nghĩa Cho R-môđun M, N  M sao cho N có sự phân tích

nguyên sơ Khi đó N được gọi là có sự phân tích chuẩn (trực giao) nếu và

chỉ nếu N có một sự phân tích không rút gọn được là N = K1  K n , với n

là số nguyên dương và các môđun K i là môđun P i -nguyên sơ (1 ≤ i ≤ n) ở đây P i là các iđêan nguyên tố phân biệt nào đó của R.

1.2.5 Bổ đề Cho R là một vành, P là iđêan nguyên tố của R, n là một số

nguyên dương và K i là các môđun con P-nguyên sơ của M với mỗi 1 ≤ i ≤ n Khi đó

1

n

i

iK

 cũng là môđun con P-nguyên sơ của M.

Chứng minh Với mỗi 1 ≤ i ≤ n thì Ki là P-nguyên sơ, do đó tồn tại một số nguyên dương ti sao cho P ti M  K i  PM  P t

M 

1

n i

iK

 là môđun con P-nguyên sơ của M.

1.2.6 Hệ quả Cho M là một R-môđun và N M sao cho N có sự phân

tích nguyên sơ Khi đó N có sự phân tích chuẩn.

Chứng minh Do N có sự phân tích nguyên sơ nên tồn tại Hi  M là

Pi -nguyên sơ với 1 ≤ i ≤ t sao cho N = H1  H t là một phân tích không

rút gọn được, nếu P i phân biệt với mọi i thì hệ quả được chứng minh Không mất tính tổng quát ta giả sử có H j (1 ≤ j ≤ r, r ≤ t) là P1-nguyên sơ

Đặt K1 =

1

r j

jH

 khi đó K1 là P1-nguyên sơ Lập lại lý luận này cho đến

hết ta có N = K1   K n là sự phân tích chuẩn 

1.2.7 Định nghĩa Cho M là R-môđun Một môđun K con của môđun M

được gọi là môđun con nguyên tố nếu K  M và (K : M) = (K : L) với mỗi L  M thực sự chứa K Nếu K là môđun con nguyên tố của M khi đó

P = (K : M) là một iđêan nguyên tố của vành R và trong trường hợp này,

chúng ta gọi K là P-nguyên tố.

1.2.8 Hệ quả Cho P là một iđêan nguyên tố của vành R Khi đó các phát

biểu sau cho K  M là tương đương:

(i) K là P-nguyên tố;

(ii) K là P-nguyên sơ và P  (K : M).

Chứng minh Hiển nhiên đúng do định nghĩa.

1.2.9 Định nghĩa Cho R-môđun M, N M được gọi là căn môđun con

của M khi và chỉ khi N là giao của những môđun con nguyên tố của M.

1.2.10 Định nghĩa Cho R-môđun M, N M được gọi là có một sự phân

tích nguyên tố khi và chỉ khi N = K1  K n với n là số nguyên dương,

Ki (1 ≤ i ≤ n) là những môđun con nguyên tố của M.

1.2.11 Định nghĩa Cho R-môđun M, N M được gọi là có một sự phân

tích nguyên tố không rút gọn được khi và chỉ khi N = K1  K n với n

là số nguyên dương, K i (1 ≤ i ≤ n) là các môđun con nguyên tố của M, và

N  K1  K i–1  K i+1   K n với mọi 1 ≤ i ≤ n.

1.2.12 Định nghĩa Cho R-môđun M, N M được gọi là có một sự phân

tích nguyên tố chuẩn khi và chỉ khi N = K1  K n với n là số nguyên dương, là một sự phân tích không rút gọn được và K i (1 ≤ i ≤ n) là những môđun con P i -nguyên tố với mỗi 1 ≤ i ≤ n và P1, , P n là các iđêan

nguyên tố phân biệt của vành R.

CHƯƠNG II

CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN VÀ MÔĐUN CON NGUYÊN TỐ

2.1 CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN

Giả sử M là R môđun, N  M Từ bổ đề Zorn ( N ) ≠ Ø gồm các môđun H là môđun con của M sao cho H  N = 0 luôn có phần tử cực đại.

Mỗi phần tử cực đại của ( N ) được gọi là một bù giao của N (trong M) Môđun K con của M được gọi là một bù giao (trong M) nếu tồn tại môđun con L của M sao cho K là một bù giao của L trong M.

2.1.1 Bổ đề Cho L, N là môđun con của M sao cho L  N = 0 Khi đó tồn

tại một bù giao K của N trong M sao cho L  K Hơn nữa K  N M.

Chứng minh Vì N  M và L  N = 0 nên theo bổ đề Zorn gồm các môđun con của M chứa L sao cho giao với N là môđun 0, khi đó tồn tại

một K  M là bù giao của N (trong M) sao cho K  N = 0 và L  K Với mọi 0 ≠ C  M Ta có hai trường hợp.

Trường hợp 1: Mọi 0 ≠ C  M sao cho C  N ≠ 0 điều này mang đến C  (K  N) ≠ 0 Vậy K  N M.

*

*

Trường hợp 2: Tồn tại C  M sao cho C  N = 0 Khi đó C  K (Do K là phần tử cực đại có tính chất K  N = 0), vì thế C  K ≠ 0 nên

C  (K  N) ≠ 0, do đó chúng ta có K  N M.

(Chứng minh bổ đề này có thể tham khảo [4, 1.10])

Một môđun K con của môđun M được gọi là đóng trong M nếu K không có sự mở rộng cốt yếu thật sự trong M, nghĩa là nếu L  M sao cho K L thì K = L Ở đây có nghĩa là mỗi bù giao trong M là đóng

trong M Định lý này được chứng minh qua kết quả sau:

2.1.2 Bổ đề Cho K  M Các phát biểu sau đây là tương đương:

i) K là một bù giao trong M;

ii) K là đóng trong M;

iii) Với mỗi L M và K  L thì L / K M / K.

Chứng minh i)  ii) K là một bù giao trong M nên tồn tại N  M sao cho

K là một bù giao của N trong M, nếu K tồn tại một mở rộng cốt yếu trong

M thì tồn tại môđun P con của M sao cho K P và thỏa mãn K  N = 0

và do P  N = 0 suy ra K = P (Do K là môđun con cực đại của M thỏa tính chất K  N = 0) Như thế K là đóng trong M.

ii) iii) Xét (L / K)  (X / K) = 0 Với K  X  M, suy ra L  X = K, gọi W là môđun con của X sao cho K  W = 0, khi đó L  X  W = 0 cho L

 (X  W) = 0 suy ra (X  W) = 0 (Do L là môđun con cốt yếu của M), do

đó W = 0 Vậy K X Lại do K đóng trong M nên K = X, điều này dẫn

iii) i) Cho A  M sao cho K  A = 0, khi đó theo Bổ đề 2.1.1 tồn tại N  M là một bù giao của K (trong M) thỏa mãn A  N và N  K là môđun con cốt yếu của M, theo giả thiết iii) suy ra (N + K) / K là môđun con cốt yếu của (M / K) Bây giờ ta chứng minh K là một bù giao trong M Giả

sử U là môđun con của M chứa K sao cho N  U = 0, x  (N + K)  U, khi

đó x = n + k = u với n  N, k  K, u  U, cho n = u – k  N U mà N  U = 0, nên n = 0, do đó x = k  K, nên (N + K) U = K hay (N + K) / K  (U / K) = 0 điều này cho chúng ta (U / K) = 0 (Do (N + K) / K là môđun con cốt yếu của (M / K)) hay U = K Nghĩa là K là một bù giao của N trong M.(Chứng minh bổ đề này có thể tham khảo [4, 1.10])

Cho M là một môđun tùy ý Chúng ta thấy từ Bổ đề 2.1.2 thì đối với một môđun M thì môđun bù giao là môđun đóng Do vậy hoàn toàn thông

thường khi chúng ta dùng là môđun bù giao hay là môđun đóng là do yêucầu cần xét đến để nó phù hợp với yêu cầu Chú ý xa hơn, một cách đơn

giản dùng bổ đề Zorn cho lý luận là mỗi môđun con của M là môđun con cốt yếu của một môđun con đóng của M Để nắm thêm thông tin về

môđun đóng và môđun bù giao ta có thể tham khảo thêm [4,1.10]

2.1.3 Bổ đề Cho N, K  M nếu K đóng trong M, K  N = 0 và K  N là môđun con cốt yếu của M thì K là một bù giao của N trong M.

Chứng minh Cho H  M chứa K thực sự thỏa mãn H  N = 0, Khi đó K không là môđun con cốt yếu của H (Do K đóng trong M), nên tồn tại 0 ≠ L

là môđun con của H (với H  M, nên L ≠ 0 trong M) sao cho K  L = 0.

Tiếp nửa L  (K  N) ≠ 0 (Do K  N M) nên tồn tại 0 ≠ x  L sao cho

x = y + z, ở đây y  K, z  N Chú ý rằng 0 ≠ z = x – y  L  N  H  N Như vậy ta có K là lớn nhất trong M có tính chất K  N = 0 Hay K là một

bù giao của N trong M.

2.1.4 Bổ đề Cho K, L  M sao cho K  L = 0, khi đó tồn tại K’, L’  M

sao cho K  K’ và L  L’, K’ L’= 0, K’ là một bù giao của L’ và L’

cũng là một bù giao của K’ trong M.

Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.1 thì tồn tại K’ là một bù giao của L trong M

sao cho K  K’ Cho L’ là môđun con đóng tùy ý của M thỏa L L’.

Chú ý rằng K’  L = 0 và L L’ nên K’  L’ = 0 (Vì K’ L’  L’, nếu

K’  L’ ≠ 0 thì (K’  L’)  L ≠ 0, do đó K’  L ≠ 0, điều này vô lý) Rõ ràng K’ là một bù giao của L’ Từ Bổ đề 2.1.1 cho K’ L’ M và 2.1.3,

cho L’ là mộ bù giao của K’.

2.1.5 Bổ đề Cho K, L  M sao cho K là một bù giao của L trong M, và

G, H  M bao hàm K, nếu G / K là một bù giao của H / K trong M / K thì

G là một bù giao của H  L trong M.

Chứng minh G / K là một bù giao của H / K, nên (G / K)  (H / K) = 0, hay

G  H = K, do đó G  (H  L) = (G  H)  L = K  L = 0 Bây giờ ta chứng minh G là cực đại Giả sử G’ môđun con của M sao cho G  G’ và

*

*

*

*

G’  (H  L) = 0 Khi đó K  G’  H và (G’  H)  L = 0 cho kết luận

G’  H = K (Vì K là một bù giao của L trong M nên K là môđun cực đại thỏa mãn K  L = 0) Do đó (G’/ K)  (H / K) = 0 mà G / K là một bù giao của H / K chỉ ra (G / K) = (G’/ K) nghĩa là G = G’.

Một môđun M được gọi là có chiều đều hữu hạn nếu M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác 0 Với n là số nguyên dương cho trước, các môđun con L i ( 1 ≤ i ≤ n) được gọi là độc lập nếu có tổng

L1+ L2+ + L n là tổng trực tiếp

2.1.6 Bổ đề Một môđun M ≠ 0 có chiều đều hữu hạn nếu và chỉ nếu tồn

tại số nguyên dương n và các môđun đều Ui (1 ≤ i ≤ n) con của M độc lập

sao cho U1  U n M Ngoài ra L M khi và chỉ khi L  U i ≠ 0

với mọi 1 ≤ i ≤ n Hơn nữa nếu k là số nguyên dương và Vi (1 ≤ i ≤ k) là

các môđun con đều độc lập của M sao cho V1  V k M thì n = k.

Chứng minh Nếu mọi môđun 0  X, Y  M sao cho X  Y  0 Khi đó

M là môđun đều nên M M Nếu có 0  A, B là hai môđun con của M thỏa mãn A  B = 0 Khi đó theo Bổ đề 2.1.4 tồn tại X, Y  M sao cho A

 X và B  Y và X là một bù giao của Y, Y là một bù giao của X trong M, theo Bổ đề 2.1.1 thì X  Y M.

Xét môđun X, giả sử X không là môđun đều, khi đó lập lại lý luận

trên phải tồn tại 0  X1, X2  X sao cho X1  X2 = 0, và hai môđun con

của X khác 0 là Z1,Z2 thỏa điều kiện: X1  Z1, X2  Z2, Z1 là một bù giao

*

*

*