Một số phương pháp tính toán và ước lượng lực lượng của các tập hữu hạn sinh bởi hàm số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCTÔ THỊ LAN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN VÀ ƯỚC LƯỢNG LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỮU HẠN SINH BỞI HÀM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019... TRƯỜNG ĐẠI HỌC K

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TÔ THỊ LAN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN VÀ ƯỚC LƯỢNG LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP

HỮU HẠN SINH BỞI HÀM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TÔ THỊ LAN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN VÀ ƯỚC LƯỢNG LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP

HỮU HẠN SINH BỞI HÀM SỐ

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2019

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với GS.TSKH Nguyễn VănMậu (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN), thầy đã trực tiếp hướng dẫntận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua

Xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp caohọc Toán K11, các bạn học viên, và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuậnlợi, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyếnkhích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này.Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót vàhạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và cácbạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019

Tác giả

Tô Thị Lan

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản liên quan đến tập hợp 2

1.1.1 Công thức tính lực lượng của tập hợp 3

1.1.2 Một số nguyên lý cơ bản của phép đếm 4

1.2 Các quy tắc đếm cơ bản 5

1.2.1 Quy tắc cộng 5

1.2.2 Quy tắc nhân 6

1.3 Hoán vị 6

1.4 Chỉnh hợp 7

1.5 Tổ hợp 7

1.6 Khai triển lũy thừa của nhị thức 8

Chương 2 ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP 9 2.1 Một số đẳng thức cơ bản trong tổ hợp 9

2.2 Một số bất đẳng thức thông dụng 11

2.3 Các bài toán cực trị rời rạc liên quan 13

Chương 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH LỰC LƯỢNG CỦA TẬP HỮU HẠN 30 3.1 Một số phương pháp đếm trong số học 30

3.1.1 Nguyên lý bao hàm và loại trừ 30

3.1.2 Phương pháp đếm số lần xuất hiện của mỗi phần tử trong tập hợp 38

3.1.3 Đếm theo phương pháp thiết lập hệ thức truy hồi 42

3.2 Một số bài toán đếm trong hình học tổ hợp 49

3.3 Một số tính toán khác trên tập rời rạc 58

Mở đầu

Toán học tổ hợp được nghiên cứu từ khá sớm Hiện nay trong giáo dục phổthông, toán học tổ hợp là một trong những nội dung quan trọng, thường xuyênxuất hiện trong các đề thi THPT Quốc Gia và đề thi chọn học sinh giỏi các cấp.Trong các bài toán tổ hợp có một lớp các bài toán đếm Bài toán đếm rất phongphú kể cả dạng phát biểu đến cách giải Độ khó của bài toán đếm được trải rấtrộng - từ những bài toán dễ với các số liệu cụ thể, có thể kiểm chứng bằng trựcgiác đến những bài toán khó hơn, với những dữ liệu đầu vào bằng chữ mà kết quảcủa nó được biểu diễn bằng một công thức toán học Có những công thức đượctìm ra qua một vài suy luận đơn giản nhưng cũng có những công thức mà việctìm thấy chúng phải kéo dài rất lâu Bài toán đếm giúp học sinh phát huy tốt khảnăng tư duy sáng tạo Nhằm đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng học sinh giỏi và pháttriển tư duy cho học sinh tôi chọn đề tài “Một số phương pháp tính toán và ướclượng lực lượng của các tập hữu hạn sinh bởi hàm số ” Luận văn tổng hợp một sốdạng bài tập đặc trưng góp phần nâng cao tư duy tổ hợp của học sinh cũng nhưgiúp học sinh lựa chọn kiến thức trong quá trình giải một bài toán tổ hợp Cấutrúc luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Một số tính chất của tập hợp hữu hạn

Chương 2 Đẳng thức, bất đẳng thức và một số bài toán cực trị tổ hợp

Chương 3 Một số phương pháp xác định lực lượng của tập hữu hạn

Chương 1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT

CỦA TẬP HỢP HỮU HẠN

Trong chương này, tác giả nhắc lại các khái niệm cơ bản liên quan đến tập hợp,các phép toán cơ bản của tập hợp, các công thức liên quan đến hoán vị chỉnhhợp và tổ hợp, công thức tính lực lượng của tập hợp và một số nguyên lý đếmnâng cao nhằm chuẩn bị cơ sở cho việc giải các bài toán trong chương 2 và chương 3.Các kết quả trong chương 1 được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [3]

1.1 Một số khái niệm cơ bản liên quan đến tập hợp

Định nghĩa 1.1 Tập B được gọi là tập con của tập A nếu mỗi phần tử của nóđều thuộc tập A Ký hiệu B ⊆ A

Định nghĩa 1.2 Khi B là tập con của tập A và B 6= A, thì B được gọi là tậpcon thực sự của tập A Ký hiệu B ⊂ A

Định nghĩa 1.3 Tập hợp không chứa một phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng

Định nghĩa 1.6 Cho các tập hợp A, B, tập hợp gồm các phần tử thuộc đồng thời

cả tập A và tập B được gọi là giao của tập A và tập B Kí hiệu là A ∩ B hoặc

A ∧ B

Định nghĩa 1.7 Tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B đượcgọi là hiệu của tập A và tập B Ký hiệu là A\B.

Định nghĩa 1.8 Giả sử tập B là tập con của tập A, tập gồm tất cả các phần tửthuộc A, nhưng không thuộc B được gọi là phần bù của tập B trong tập A và kýhiệu là CA(B)

1.1.1 Công thức tính lực lượng của tập hợp

• Cho hai tập A, B ta có |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Nm = |A1 ∩ A2 ∩ ∩ Am|Khi đó ta có

Ai, ta chứng minh a được đếm số lần như nhau

ở cả hai vế của công thức (1.1)

Vì a thuộc ít nhất một trong các tập A1, A2, Am, không mất tính tổng quát,giả sử a thuộc đúng k tập A1, A2, Ak trong các tập đã cho Ta thấy trong vếtrái của (1.1), a được đếm một lần Theo vế phải của (1.1), a cũng được đếm C1klần trong

Ai, ở cả vế trái và vế phải của (1.1) số lần a được đếm

là 0 lần Như vậy, với mọi phần tử a, số lần a được đếm ở vế trái và vế phải của(1.1) là như nhau Do đó ta có điều phải chứng minh

1.1.2 Một số nguyên lý cơ bản của phép đếm

Nếu Y là một tập con của một tập hữu hạn X thì |X \ Y | = |X| − |Y |

Nguyên lý bù trừ (công thức Sieve) Giả sử A1, A2, Am là các tập concủa một tập hữu hạn X, kí hiệu Ai là phần bù của Ai trong X, (i = 1; 2; m)thì

Nguyên lí Dirichlet cơ bản

Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có ít nhất một chuồngchứa ít nhất hai con thỏ, với n là số nguyên dương

Nguyên lí Dirichlet tổng quát

Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất

Ta chứng minh nguyên lí Dirichlet mở rộng như sau

Giả sử trái lại, mọi chuồng thỏ có không đến



n + m − 1m

+ 1

con thỏ, thì số thỏ trong mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng n−1m  con Suy ratổng số con thỏ không vượt quá

m ·



n − 1m



≤ n − 1

Điều này vô lí, vì có n con thỏ Vậy giả thiết phản chứng là sai

Nguyên lí Dirichlet mở rộng được chứng minh

Nguyên lí cực hạn

Nguyên lí cực hạn được phát biều đơn giản như sau

Nguyên lí 1: Trong một tập hữu hạn và khác rỗng các số thực luôn luôn có thểchọn được số bé nhất và số lớn nhất

Nguyên lí 2: Trong một tập khác rỗng hữu hạn các số tự nhiên luôn luôn có thểchọn được số bé nhất

1.2.1 Quy tắc cộng

Nội dung quy tắc Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1, m2 cách chọn đối tượng

a2, , mn cách chọn đối tượng an, trong đó cách chọn đối tượng ai (1 ≤ i ≤ n)không phụ thuộc vào bất kỳ cách chọn đối tượng aj nào (1 ≤ j ≤ n, i 6= j), thì

Phát biểu bằng ngôn ngữ tập hơp như sau.

Cho n tập Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak| = mk và ∀i, j (1 ≤ i, j ≤ n) Ai ∩ Aj = ∅,khi i 6= j Khi đó số cách chọn a1, hoặc a2, , hoặc an trong các tập tươngứng Ak (1 ≤ k ≤ n) sẽ bằng số cách chọn phần tử a thuộc

Phát biểu bằng ngôn ngữ tập hợp như sau

Giả sử có n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak| = mk Khi đó, số cách chọn bộgồm n phần tử (a1, a2, , an) với ai ∈ Ai (1 ≤ i ≤ n) sẽ là

Kí hiệu số hoán vị của n phần tử bằng Pn

Ta có công thức tính số hoán vị của n phần tử

Định nghĩa 1.11 Số hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau ký hiệu là(Qn) và được tính bằng công thức

Qn = (n − 1)!

Định nghĩa 1.12 Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp thứ tự cho k phần

tử (0 ≤ k ≤ n) của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tửthuộc A

Kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn

Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử

Akn = n(n − 1) (n − k + 1) = n!

(n − k)!·Định nghĩa 1.13 Cho tập hữu hạn X gồm n phần tử Mỗi dãy có độ dài k cácphần tử của tập X, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và được sắp xếp theomột thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử thuộctập X

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, kí hiệu là Ak

n, bằng số ánh xạ từ tập kphần tử đến tập n phần tử và bằng nk, do đó ta có công thức

tử, mà mỗi phần tử này là một trong những phần tử của A

Ta sử dụng Cm

n để kí hiệu số tổ hợp lặp chập m của n phần tử Khi đó

Cm

n = Cn+m−1m

1.6 Khai triển lũy thừa của nhị thức

Ta có công thức khai triển của (x + y)n

Cho mỗi số tự nhiên n > 1 ta có

Chương 2 ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP

Trong chương này, tác giả nhắc lại một số đẳng thức cơ bản trong tổ hợp vàmột số bất đẳng thức cơ bản trong đại số Trên cơ sở lý thuyết đó tiến hành giảiquyết các bài toán về cực trị tổ hợp liên quan đến việc ước lượng các phần tử củatập hữu hạn

Trong chương 2, tác giả sử dụng các tài liệu tham khảo [1], [2], [3] và [4]

2.1 Một số đẳng thức cơ bản trong tổ hợp

Tính chất 2.1 (Tính chất đối xứng) Với mọi số tự nhiên n, k ∈ N thỏa mãn

0 ≤ k ≤ n ta có

Cnk = Cnn−k.Tính chất 2.2 (Tính chất tam giác Pascal)

Cnk + Cnk+1 = Cn+1k+1.Tính chất 2.3 (Công thức tính tổng theo cột)

Tính chất 2.4 (Công thức tính tổng theo đường chéo chính).

= Fn−1 + Fn (sử dụng giả thiết quy nạp)

= Fn+1 (sử dụng công thức truy hồi của dãy Fibonacci)

Tính chất 2.6 (Quy tắc hút) Với n, k ∈ N thỏa mãn 0 < k ≤ n ta có:

Cnk = n

kC

k−1 n−1

Tính chất 2.7 (Công thức lùi cơ số) Với n, k ∈ N thỏa mãn 0 ≤ k < n ta có:

Cnk = n

n − kC

k n−1

Tính chất 2.8 (Tính đơn điệu (monotonicity)).

Định lý 2.1 (Định lí về các giá trị trung bình cộng và nhân, xem [2]) Giả sử

x1, x2, , xn là các số không âm Khi đó

x1 + x2 + · · · + xn

x1x2 · · · xn (2.1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi x1 = x2 = · · · = xn

Bất đẳng thức 2.1 còn gọi tắt là bất đẳng thức AM-GM Hệ quả trực tiếp của bấtđẳng thức AM-GM là bất đẳng thức giữa trung bình nhân và trung bình điều hòa(gọi tắt là bất đẳng thức GM-HM)

Hệ quả 2.1 (Bất đẳng thức GM-HM) Với mọi bộ số dương a1, a2, ···, an, ta đều có

Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức AM-GM đối với bộ số xk = 1

x3 + x42

n−1 , và giữ nguyên các biến xi khác ta thu được

Rút gọn biểu thức trên ta thu được

Định lý 2.2 (Bất đẳng thức AM - GM suy rộng, xem [2]) Giả sử cho trước haidãy số dương x1, x2, , xn; p1, p2, , pn Khi đó

Hệ quả 2.2 Giả sử cho trước hai cặp dãy số dương x1, x2, , xn; α1, α2, , αn;với

.Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ

xk = βkA

αkB.Định lý 2.3 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, xem [2])

Giả sử a1, a2, · · ·, an và b1, b2, · · · , bn là các số thực bất kì, khi đó ta có

(a1b1 + a2b2 + · · · + anbn)2 ≤ a21 + a22 + · · · + a2n
b21 + b22 + · · · + b2n
(2.4)Đẳng thức xảy ra khi tồn tại một số k sao cho ai = kbi với mọi i = 1, 2, · · · , n

Hệ quả 2.3 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel) Giả sử a1, a2, · · ·, an

b2

+ · · · + a

2 n

2.3 Các bài toán cực trị rời rạc liên quan

Bài toán cực trị trong tổ hợp là một trong những vấn đề khó, thường xuyênxuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi khu vực và quốc tế Các bài toán nàythường đòi hỏi năng lực sáng tạo tư duy ở mức độ cao của học sinh như khả năngphán đoán, liên kết các kiến thức liên quan Trong mục này tác giả lựa chọn cácbài toán ước lượng số phần tử của tập hợp từ các đề thi chọn đội tuyển học sinhgiỏi quốc gia, các đề thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế những năm gần đây

Bài toán 2.1 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG, vòng 1, Trường THPTChuyên - ĐHSP Hà Nội 2017-2018) Một lớp học có n học sinh Vào dịp Tết, một

số bạn học sinh của lớp có gọi điện chúc mừng nhau Biết rằng mỗi học sinh gọiđiện chúc mừng cho không quá ba bạn, với hai bạn bất kỳ thì có không quá mộtngười gọi điện chúc mừng cho người còn lại và với ba bạn bất kỳ thì luôn có haingười mà trong đó có một người gọi điện chúc mừng cho người còn lại Tìm giá trịlớn nhất có thể của n

Giả sử 14 bạn là B1, , B7 và G1, , G7 Khi đó theo vòng tròn Bi gọi cho

Bi+1, Bi+2, Bi+3 và Gi gọi cho Gi+1, Gi+2, Gi+3 với i = 1, , 7

Vậy giá trị lớn nhất có thể của n là 14

Bài toán 2.2 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG, Sở GD&ĐT Lâm Đồng2017-2018) Trường THPT A mở ra 7 câu lạc bộ Biết rằng mỗi học sinh trongtrường tham gia ít nhất một trong các câu lạc bộ này Số liệu sau khi thống kê của

7 câu lạc bộ cho thấy mỗi câu lạc bộ có số học sinh tham dự bằng nhau và bằng

40 Ngoài ra cứ hai câu lạc bộ bất kỳ thì có không quá 9 học sinh tham gia cả haicâu lạc bộ đó Chứng minh rằng trường THPT A có ít nhất 120 học sinh tham dựcác câu lạc bộ đó

Lời giải

Ký hiệu n là số học sinh tham dự các câu lạc bộ đó và với học sinh thứ j kýhiệu aj là số câu lạc bộ học sinh đó tham gia Ta lập bảng có 7 hàng và n cột Ô(i; j) của dòng i, cột j được đánh dấu × nếu học sinh j tham gia lớp i

Tổng số các dấu ×nếu tính theo cột là a1+ a2+ + an, và tổng này là 7.40 = 280nếu tính theo dòng (vì mỗi câu lạc bộ có đúng 40 học sinh tham gia)

Bây giờ ta tính S là số cặp (×, ×) theo cùng cột Trên cột j có Ca2

Bài toán 2.3 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG, vòng 2, Sở GD&ĐT Đà Nẵng2017-2018) Cho tập S = {1; 2; ; 2017} và A1, A2, , Ak là các tập con của Ssao cho với mọi 1 ≤ i < j ≤ k có đúng một trong các tập Ai ∩ Aj, A0i ∩ Aj, Ai ∩

A0j, A0j ∩ A0j là tập rỗng Tìm giá trị lớn nhất có thể có của k (Với A ⊂ S, A0 kíhiệu là phần bù của tập A trong S)

gồm 2n − 3 các tập con của S thỏa mãn điều kiện bài toán

Với n = 2, rõ ràng k = 1 Với n = 3 dễ dàng kiểm tra được rằng k ≤ 3 và cáctập {1}, {2}, {3} thỏa điều kiện đề bài, nên suy ra k = 3 Giả thiết quy nạp rằngkết quả đúng với n − 1 ≥ 3 (thì k = 2n − 5) Ta cần chứng minh kết quả cũngđúng với các tập S = {1; 2; ; n}

Theo nhận xét ban đầu suy ra k ≥ 2n − 3

Gọi M = {A1; A2; ; Ak} là tập có số phần tử nhiều nhất thỏa mãn điều kiệncủa bài toán Ta nhận xét rằng

• Tập ∅ và S đều không thuộc M

• Nếu tồn tại i sao cho 1 ≥ i ≥ n mà {i} hay {i}0 không thuộc M thì ta có thểthêm một trong các số này vào M để mở rộng tập M.

• Cả hai tập {i} và {i}0 không thể cùng thuộc tập M, do đó chỉ có đúng {i}hoặc {i}0 thuộc M Vì vậy ta có thể giả sử |Ai| ≤ n

S = {2; 3; ; n}

Theo giả thiết quy nạp ta có k − 2 ≤ 2n − 5 mà k ≥ 2n − 5 nên ta được

k = 2n − 3 Vậy khi n = 2017 thì giá trị lớn nhất cần tìm có thể có của k là

k = 2 · 2017 − 3 = 4031

Bài toán 2.4 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG, Sở GD&ĐT Thanh Hóa2017-2018) Có 2000 học sinh tham gia một cuộc thi trắc nghiệm gồm 5 câu hỏi;mỗi câu có 4phương án trả lời, mỗi học sinh chỉ được phép chọn 1 trong 4phương

án tương ứng để trả lời cho câu hỏi Tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho các họcsinh có thể làm bài thi theo cách nào đó mà cứ n học sinh thì tìm được bốn họcsinh (trong số n học sinh này) để hai hai học sinh nào trong số bốn học sinh đócũng có bài làm khác nhau ở ít nhất là hai câu hỏi

Lời giải

Trước tiên, ta chứng minh rằng nếu n ≤ 24 thì trong mọi trường hợp, yêu cầucủa bài toán đều không được thỏa mãn.

Xét I := {1; 2; 3; 4} Mỗi bài làm của một học sinh có thể được đặt tương ứngvới một bộ x = (x1; x2; x3; x4; x5) ∈ I5; trong đó, xi là thứ tự của phương án màhọc sinh đã chọn để trả lời cho câu hỏi thứ i (i ∈ Z, 1 ≤ i ≤ 5)

Nếu x ∈ I5 ta cũng chấp nhận cách viết x ≡ (x1; x0) với x0 := (x2; x3; x4; x5) ∈ I4.Bằng cách như vậy, dễ thấy I5 được phân hoạch thành 44 = 256 tập con (rờinhau); mỗi tập con gồm đúng 4 bộ chỉ khác nhau ở thành phần thứ nhất, tức làtập con có dạng

Ax := {(1; x0), (2; x0), (3; x0), (4; x0)} ⊂ I5, với x0 ∈ I4

Vì 2000 > 7 × 256 nên theo nguyên tắc Dirichlet có 8 học sinh (khác nhau)

A1, A2, , A8, mà bài làm của họ ứng với các bộ thuộc cùng một tập con A nào

đó (trong số 256 tập con nói trên) Nhưng 2000 − 8 = 1992 > 7 × 256 nên theonguyên tắc Dirichlet lại có 8 học sinh B1, B2, , B8 (khác nhau, trong số 1992 họcsinh còn lại), có bài làm ứng với các bộ thuộc cùng một tập con B nào đó (trong

số 256 tập con nói trên)

Cuối cùng, vẫn có 1992 − 8 = 1984 > 7 × 256 nên dùng nguyên tắc Dirichlet mộtlần nữa ta có 8 học sinh C1, C2, , C8 (khác nhau, trong số 1984 học sinh còn lại)

có bài làm ứng với các bộ thuộc cùng một tập con C nào đó (trong số 256 tập connói trên) Từ 4 học sinh bất kỳ trong số 24 học sinh A1, A2, , A8, B1, B2, , B8,

C1, C2, , C8 ta luôn chọn ra được hai học sinh có bài làm ứng với các bộ cùngthuộc một tập con (một trong 3 tập A, B hoặc C); giả sử, chẳng hạn, đó là cáchọc sinh Ai, Aj (i, j ∈ Z; 1 ≤ i < j ≤ 8) mà bài làm ứng với hai bộ trong A.Theo cách xây dựng các tập con ở trên, bài làm của hai học sinh này chỉ có thểkhác nhau ở tối đa một câu hỏi (chính là câu hỏi thứ nhất, nếu hai bài làm khônghoàn toàn giống nhau); yêu cầu của bài toán đã không được thỏa mãn

Bây giờ, ta chỉ ra tình huống mà n = 25 thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Muốn vậy, xét S =



x ∈ I5

Rõ ràng, S gồm đúng 4 × 4 × 4 × 4 × 1 = 256 bộ; hơn nữa, khi x, y ∈ S thì

x 6= y ⇒ ∃i, j ∈N∗, i < j ≤ 5, xi 6= yi, xj 6= yj

Lấy D là một tập con 250phần tử của S và xét tình huống mà: với mỗix ∈ D tồntại đúng 8 học sinh mà có bài làm ứng với bộ x(tình huống này hoàn toàn có thểxảy ra vì 2000 = 8 × 250) Khi ấy, do 25 > 3 × 8, nên theo nguyên tắc Dirichlet,

cứ 25 học sinh thì tìm được bốn học sinh (trong số 25 học sinh này) có bài làm

ứng với bốn bộ x, y, z, t ∈ D ⊂ S đôi một khác nhau và khi đó hai học sinh nàotrong số bốn học sinh đó cũng có bài làm khác nhau ở ít nhất là hai câu hỏi, đúngtheo yêu cầu của bài toán.

Vậy số tự nhiên bé nhất phải tìm là n = 25

Bài toán 2.5 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG, Sở GD&ĐT Đồng Nai2018-2019) Cho tập hợp X = {1, 2, 3, , 2018} gồm 2018 số nguyên dương đầutiên A là một tập con của tập X thỏa mãn với x, y, z ∈ A; x < y < z thì

x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giác Hỏi tập hợp A có nhiều nhất baonhiêu phần tử?

Lời giải

Giả sử A = {a1, a2, , ak} với a1 < a2 < · · · < ak Nếu ak < 2018, đặt

t = 2018 − ak và bi = ai + t với i = 1, 2, , k và tập {b1, b2, , bk} cũng thỏamãn bài toán và bk = 2018

Bài toán 2.6 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG, Sở GD&ĐT Hà Tĩnh2018-2019) Cô giáo có tất cả 2020 viên kẹo gồm 20 loại kẹo khác nhau, mỗi loại ítnhất có 2 viên kẹo Cô chia hết kẹo cho các học sinh của mình, mỗi người một sốviên kẹo và không có học sinh nào nhận được nhiều hơn một viên kẹo ở một loạikẹo Cô yêu cầu hai học sinh khác nhau bất kì so sánh các viên kẹo mình nhậnđược và viết số loại kẹo mà cả hai cùng có lên bảng Biết rằng mỗi cặp học sinhbất kì đều được lên bảng đúng một lần Gọi tổng các số được viết lên bảng là M.a) Xác định giá trị nhỏ nhất của M

b) Với giả thiết tương tự nhưng thay 20 loại kẹo khác nhau bởi 19 loại kẹo khácnhau, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M trong trường hợp tương ứng này

Lời giải

a) Gọi a1, a2, , a20 là số viên kẹo của loại kẹo thứ 1, 2, , 20 với ai ≥ 2 Vớiloại kẹo thứ i (1 ≤ i ≤ 20), ta đếm số bộ (A, B) mà hai học sinh A, B đều có loại

2 = 101000.

Dấu “=” xảy ra khi ai = 101, ∀ i = 1, 2, , 20

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 101000

Mở rộng tính chất này cho nhiều số ta suy ra (2.2) được chứng minh

Do đó M đạt giá trị nhỏ nhất khi có t số giá trị là k và 19 − t số có giá trị là k + 1với 0 ≤ t ≤ 19 và giá trị nhỏ nhất là M = 12htk2 + (19 − t)(k + 1)2 − 2020i

n, tìm giá trị nhỏ nhất của n

Lời giải

Ta gọi chung một nhóm “tình bạn” hoặc một nhóm “xa lạ” là một nhóm “đặcbiệt” Số nhóm 3 người mà không phải nhóm “đặc biệt” là C203 − n = 1140 − n.

Ta gọi T là số bộ (A, {B, C}) sao cho A quen cả B và C hoặc A không quen cả

Với mỗi bạn học sinhA, giả sử bạn A quen với x học sinh và không quen với yhọc sinh

Ta có x + y = 19 và số bộ (A, {B, C}) ứng với học sinh A này là

Suy ra T ≥ 81.20 = 1620 hay 1140 + 2n ≥ 1620 Vậy n ≥ 240

Để chỉ ra dấu bằng, ta đánh số các bạn học sinh là A1, , A20 và xây dựng một

mô hình như sau Ai và Aj quen nhau nếu i, j cùng tính chẵn lẻ Và Ai không quen

Aj nếu i, j khác chẵn lẻ Khi đó số bộ (A, {B, C}) ứng với một nhà toán học A sẽ

là C102 + C92 = 81, tức dấu bằng đã xảy ra

Bài toán 2.8 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG, Sở GD&ĐT Thành phố HồChí Minh 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, hai điểm nguyên(hoành độ và tung độ là các số nguyên) A, B được gọi là “thân thiết” với nhau nếu

a) Ta có điều kiện −1 ≤ 3x + 7y ≤ 1 nên có ba trường hợp

Trường hợp 1 Nếu 3x + 7y = 0 thì (x, y) = (−7t, 3t) với t ∈ Z thỏa mãn Xét

Trường hợp 2 Nếu 3x + 7y = 1 thì (x, y) = (−2 + 7t, 1 − 3t) với t ∈ Z thỏamãn Xét hệ ràng buộc

(

− 19 ≤ −2 + 7t ≤ 19

− 19 ≤ 1 − 3t ≤ 19 ⇔ −2 ≤ t ≤ 3nên có tất cả 6 điểm

Trường hợp 3 Nếu 3x + 7y = −1 thì (x, y) = (2 + 7t, −1 − 3t) với t ∈ Z thỏamãn Xét hệ ràng buộc

(

− 19 ≤ 2 + 7t ≤ 19

− 19 ≤ −1 − 3t ≤ 19 ⇔ −3 ≤ t ≤ 2nên cũng có tất cả 6 điểm

Vậy tổng số điểm nguyên thỏa mãn là 4 + 6 + 6 = 16 b) Gọi điểm đã cho là

Ai(ai; bi) với ai, bi ∈ Z, i = 1, n và a2i + b2i > 0

Ta có |aiak + bibk| ≤ 1 với mọi i 6= k

Ta thấy rằng

- Có tối đa hai điểm thuộc trục Ox là (1; 0) và (−1; 0)

- Có tối đa hai điểm thuộc trục Oy là (0; 1), (0; −1)

Ta sẽ chứng minh rằng có không quá 2 điểm không thuộc cả Ox, Oy

Giả sử rằng có ba điểm như thế thỏa mãn đề bài làA1(a1, b1), A2(a2, b2), A3(a3, b3)

Ta có hai trường hợp

Trường hợp 1 Nếu có hai điểm thuộc cùng một góc phần tư, giả sử là A1, A2thì các số a1, a2 cùng dấu, các số b1, b2 cũng cùng dấu nên a1a2 > 0, b1b2 > 0 Khi

đó a1a2 + b1b2 ≥ 2, loại

Trường hợp 2 Nếu không có điểm nào thuộc cùng một góc phần tư thì phải

có hai điểm thuộc hai góc phần tư đối nhau, giả sử là A1, A2 thì các số a1, a2 tráidấu, các số b1, b2 cũng trái dấu nên a1a2 < 0, b1b2 < 0 ⇒ a1a2+ b1b2 ≤ −2, khôngthỏa

Do đó, điều giả sử là sai, tức là tổng cộng có không quá 6 điểm thỏa mãn đề bài

Ta có A1(0; 1), A2(0; −1), A3(1; 0), A4(−1; 0), A5(1; 1), A6(−1; 1) đôi một “thânthiết”

Bài toán 2.9 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG, Sở GD&ĐT Lâm Đồng2018-2019) Tại một Hội khỏe Phù Đổng gồm có n vận động viên tham gia vào 12môn thi đấu, mỗi môn thi đấu có 24 vận động viên Biết rằng hai thành viên bất

kì tham gia chung không quá một môn thi Tìm giá trị nhỏ nhất của n

Lời giải.

Nhận xét Hai vận động viên bất kì tham gia chung không quá một môn thiđương đương với hai môn thi bất kì chung nhau không quá một vận động viên Tađưa về việc đếm bộ S có dạng (X; Y ; Z) với hai buổi X; Y có vận động viên Ztham gia chung

+ Đếm theo môn thi đấu, ta có S ≤ C122

+ Đếm theo vận động viên: ta gọi x1, x2, , xn lần lượt là số buổi mà vận độngviên 1, 2, , n tham gia Bằng cách đếm số lượt tham gia ta có

Để ý rằng với n ≥ 198 thì ước lượng được 288n  = 1, khi đó ta dự đoán cựctrị xảy ra khi các số xi nhận giá trị là 1 hoặc 2 Do vậy, với mỗi i ∈ {1; 2; ; n}

ta đánh giá (xi − 1)(xi − 2) ≥ 0 ⇔ x2

i ≥ 3xi − 2, ∀i = 1, n Đến đây, ta suy ra

420 ≥ x21 + x22 + + x2n ≥ (3x1 − 2) + (3x2 − 2) + + (3xn− 2) = 3(x1 + x2 + + xn) − 2n = 3.288 − 2n và thu được n ≥ 222 Vì bất đẳng thức xảy ra khi có

2 Tìm số nguyên dương k bé nhất sao cho tồn tại một cách điền các số vào các

ô vuông của bảng mà hiệu hai số ở hai ô vuông lân cận bất kì không lớn hơn

k

Lời giải

1 Xét bài toán tổng quát với bảng vuông với kích thước n × n(n ≥ 2).

Giả sử ngược lại, hai ô lân cận bất kì đều có hiệu nhỏ hơn hay bằng n − 1.Với mỗi i = 1, 2, , n2 − n, ta đặt

Ai = {1, 2, , i}, Bi = {i + 1, , i + n − 1}, Ci = {i + n, , n2},

ta nhận thấy trong số bất kì i ô vuông chứa các số thuộc Ai sẽ không kề vớicác ô chứa các số thuộc Ci

Vì |B| = n − 1 < n nên với mọi i cố định, tồn tại dòng và cột được ghi các

số hoặc thuộc Ai hoặc thuộc Ci

Với i = 1 thì tồn tại dòng và cột được ghi các số thuộc Ci, với i = n2− n tồntại dòng, cột được ghi các số thuộc An2 −n

Giao các dòng và cột trên thì được ít nhất 2 ô được ghi các số ở cùng Am và

Cm−1 Điều này mâu thuẫn do Am ∪ Cm−1 = ∅

Vậy luôn tồn tại hai số được điền vào hai ô lân cận có hiệu lớn hơn hay bằng

n = 2017

2 Theo câu a thì min k ≥ n = 2017

Xét cách đánh số vào các ô (i, j) các số ai,j = (i − 1)n + j, ∀i, j ∈ {1, 2, , n}với ai,j chỉ số nằm ở hàng i (từ trên xuống), cột j (từ trái sang) thì mỗi sốtrong các số 1, 2, , 20172 được điền vào các ô vuông của bảng đúng một lầnVới ô (i, j) bất kì thì các ô lân cận là (i − 1, j); (i + 1, j), (i, j + 1), (i, j − 1)nên các số được điền vào ô lân cận tương ứng là ai−1,j, ai+1,j, i, j − 1, i, j + 1

có hiệu không quá 2017

Vậy min k = n = 2017

Bài toán 2.11 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG, Sở GD&ĐT Hà Nội2016-2017) Xét các cách viết các số 12, 22, , 82 trên 8 đỉnh của một hình lậpphương, mỗi đỉnh viết một số và hai đỉnh khác nhau viết hai số khác nhau Trongmột cách viết, với mỗi cạnh của hình lập phương ta lập một số là tích hai số ở haiđầu mút của cạnh đó, gọi S là tổng của 12 số như vậy Tìm giá trị lớn nhất của S.Lời giải

Gọi các số viết trên đỉnh của hình lập phương là a, b, c, d, A, B, C, D Khi đó

S = (b + d + A + C)(a + c + B + D) − Tvới T = aA + bC + cC + dD

Ta sẽ chứng minh T ≥ 1282 + 2272 + 3262 + 4252

Vì tập các giá trị của T là hữu hạn nên nó đạt được giá trị nhỏ nhất là T0.

Với một cách viết nào đó ta có

T0 = a0A0 + b0B0 + c0C0 + d0D0.Không mất tính tổng quát, giả sử a0 = 82 Ta thấy A0 = 1, thật vậy nếu A0 > 1,

Vậy giá trị lớn nhất của S là 9420

Bài toán 2.12 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG, Sở GD&ĐT Ninh Bình2016-2017) Tìm số nguyên dương k lớn nhất sao cho ta có thể phân hoạch tậphợp các số nguyên dương thành k tập hợp A1, A2, , Ak thỏa mãn điều kiện vớimỗi số nguyên dương n lớn hơn 14, trong mỗi tập Ai(i = 1, 2, 3, , k) đều tồntại hai số có tổng bằng n

mãn đề bàiXét Bi = Ai ∩ {1; 2; 3; ; 23}, i ∈ {1; 2; 3; 4} Ta có, với mỗi số nthuộc tập X = {15; 16; ; 24} luôn tồn tại 2 số thuộc tập Bi có

tổng bằng n với mọi i ∈ {1; 2; 3; 4}.

Mà |X| = 10 suy ra C|Bi|2 ≥ 10 ⇔ |Bi| ≥ 5.Mặt khác|B1|+|B2|+|B3|+|B4| = 23, suy ra tồn tạii0 ∈ {1; 2; 3; 4}

để |Bi0| = 5.Giả sử Bi0 = {a1, a2, a3, a4, a5} Khi đó ta có

{ai + aj|1 ≤ i < j ≤ 5} = {15; 16; ; 24}

Do đó P

1≤i<j≤5

(ai+ aj) = 15 + 16 + + 24suy ra 4(a1 + a2 + + a5) = 195 Suy ra mâu thuẫn

Trường hợp 3 Với k > 4, giả sử tồn tại phân hoạch A1, A2, , Ak của N∗ thỏa

mãn đề bài

Xét A4 = A4∪A5∪ ∪Ak, suy raA1, A2, A3, A4 là một phần hoạchcủa N∗ thỏa mãn đề bài Theo trường hợp trên thì mâu thuẫn.Vậy max k = 3

Bài toán 2.13 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG, Sở GD&ĐT Thái Bình2016-2017) Cho n ≥ 3là số nguyên dương Các điểmA1, A2, · · · , An cùng thuộcmột đường tròn Có tối đa bao nhiêu tam giác nhọn có đỉnh là 3 trong số các đỉnhtrên

Lời giải

Với hai điểm Ai, Aj ta kí hiệu AiAj là cung bắt đầu từ Ai và kết thúc là Ajtheo chiều kim đồng hồ và kí hiệu m (AiAj) là số đo của cung đó Một cung đượcgọi là tù nếu m (AiAj) ≥ 180◦

Nhận thấy m (AiAj) + m (AjAi) = 360◦ nên có ít nhất 1 trong hai cung này tù

Kí hiệu xs là số cung tù mà giữa hai đầu mút có đúng s − 1 điểm

Theo bất đẳng thức trên ta thấy

N ≥

n−1 2

X

s=1

(s − 1) (xn−s+ xs) + n − 2

2 xn2.Suy ra

Nếu n ≤ 216 thì tập A1∪ A2∪ A3∪ A4 chứa một tập con có n phần tử mà tậpcon này không chứa 5 phần tử nào đôi một nguyên tố cùng nhau vậy n ≥ 217

Ta sẽ dùng nguyên lí Dirichlet để chứng minh mọi tập con chứa 217 phần tửcủa S đều có 5 phần tử nguyên tố cùng nhau từng đôi một

Gọi A là tập con của S mà |A| ≥ 217, và B1 là tập con chứa số 1 và tất cả các

Bài toán 2.15 (VMO 2007) Cho một đa giác đều 2007 đỉnh Tìm số nguyêndương k nhỏ nhất thỏa mãn tính chất: trong mỗi cách chọn k đỉnh của đa giácluôn tồn tại 4 đỉnh tạo thành một tứ giác lồi mà 3 trong số 4 cạnh của nó là bacạnh của đa giác đã cho

Lời giải

Gọi các đỉnh của đa giác đều đã cho là A1, A2, , A2007

Ta thấy tứ giác được tạo từ 4 đỉnh của đa giác đã cho có 3 cạnh là 3 cạnh liêntiếp của đa giác khi và chỉ khi 4 đỉnh của tứ giác đó là 4 đỉnh liên tiếp của đa giácđều đã cho

Gọi A là tập các đỉnh {A1, A2, A3, A5, , A2006} (tập các đỉnh của đa giác đãcho trừ đi các đỉnh A4i, i = 1, , 501, và A2007)

Số phần tử của tập Alà |A| = 1505 Mọi tập con của A đều không chứa 4 đỉnhliên tiếp của đa giác Do đó k ≥ 1506

Ta đi chứng minh với đa giác 1506 đỉnh bất kì luôn tồn tại 4 đỉnh liên tiếp của

đa giác trong 1506 đỉnh đó

Thật vậy, giả sử T là tập hợp gồm 1506 đỉnh nào đó của đa giác Phân hoạchtập các đỉnh của đa giác thành các tập hợp

B1 = {A1, A2, A3, A4} , B2 = {A5, A6, A7, A8} , , B502 = {A2005, A2006, A2007} Giả sử T không chứa 4 đỉnh liên tiếp của đa giác

Lúc đó, với mỗi i = 1, 2, , 501, tập Bi không thuộc T, tức là tập Bi có ít nhấtmột đỉnh không thuộc T Khi đó ta có |T | ≤ 3.502 = 1506

Vì |T | = 1506 nên B502 ⊂ T và mỗi tập Bi,i = 1, 2, , 501,có đúng 3 phần tửthuộc T

mũ cho b và b cũng không tặng mũ cho a

Lời giải

• Gọi X là tập tất cả 2017 người trong thị trấn

Một tập conA của X được gọi là “tốt” nếu không có người nào trong A nhận

• Đặt U = X\ (S ∪ T ) Với a ∈ U tùy ý, đặt B = S ∪ {a}

Do tính lớn nhất của S nên B không là tập “tốt”, nghĩa là tồn tại một phần

tử x ∈ B gửi mũ cho một phần tử cũng thuộc B Mà x /∈ S ⇒ x = a và agửi mũ cho một phần tử thuộc S

Do a ∈ U tùy ý nên mọi phần tử thuộc U đều gửi mũ cho một phần tử thuộc

S Như vậy U cũng là tập “tốt”, suy ra |U | ≤ |S|

⇒ |S| ≥ 2017 − |S ∪ T | = 2017 − |S| − |T | ≥ 2017 − 2 |S| ⇒ 3 |S| ≥ 2017Hay |S| ≥ 673 Do đó ta có điều phải chứng minh.

Chương 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH LỰC LƯỢNG CỦA TẬP HỮU HẠN

Trong chương này, tác giả phân loại các bài toán đếm theo các chủ đề như đếmtheo nguyên lý bù trừ, theo phương pháp truy hồi, đếm trực tiếp số lần xuất hiệncủa phần tử trong tập hợp và một số bài toán đếm liên quan đến hình học

Các kết quả trong chương 3 được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [1], [3],[5], [6], [7], [8] và một số diễn đàn toán học trên internet

3.1.1 Nguyên lý bao hàm và loại trừ

Ta sẽ sử dụng trực tiếp các định lý sau để giải các bài toán đếm theo nguyên

lý bao hàm và loại trừ

Định lý 3.1 Cho tập A1, A2, , An là các tập hữu hạn thì:

I⊆{1,2, ,n};I6=∅

(−1)|I|+1

... data-page="35">

Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH LỰC LƯỢNG CỦA TẬP HỮU HẠN

Trong chương này, tác giả phân loại toán đếm theo chủ đề đếmtheo nguyên lý bù trừ, theo phương pháp truy hồi, đếm trực tiếp số. .. Cho tập A hữu hạn, f hàm số từ A tới tập số thực Với tậpcon B A ta đặt f (B) =X

Bài toán 3.1 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSGQG, Sở GD&ĐT Hà Tĩnh2017-2018) Một lớp chuyên Toán. .. viết hai số khác Trongmột cách viết, với cạnh hình lập phương ta lập số tích hai số haiđầu mút cạnh đó, gọi S tổng 12 số Tìm giá trị lớn S.Lời giải

Gọi số viết đỉnh hình lập phương a,