Một vài vấn đề về không gian gf đếm được

Gắn liền với khái niệm này ta có các lớp không gian tôpô hết sức quan trọng như không gian gf -đếm được, gs-đếm được, g-mêtric hóa,..Các lớp không gian này đã thu hút được nhiều nhà toán

MỤC LỤC

1 Mối quan hệ giữa các không gian với cơ sở yếu 5

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản 5

1.2 Mối quan hệ giữa các không gian với cơ sở yếu 10

2 Các phủ đếm được theo điểm trong không gian gf -đếm được232.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản 23

2.2 Mối quan hệ giữa các phủ đếm được theo điểm trong không gian gf -đếm được

25

Tài liệu tham khảo 39

LỜI NÓI ĐẦU

Cơ sở yếu là một khái niệm quan trọng của tôpô, nó được giới thiệubởi Arhangel’ski trong [1] Gắn liền với khái niệm này ta có các lớp

không gian tôpô hết sức quan trọng như không gian gf -đếm được,

gs-đếm được, g-mêtric hóa, Các lớp không gian này đã thu hút được

nhiều nhà toán học trong và ngoài nước chú ý Những hướng nghiêncứu được đặc biệt quan tâm là mối quan hệ giữa các không gian, mốiquan hệ giữa các phủ với các đặc trưng khác nhau trong các không

gian, tính mêtric hóa và g-mêtric hóa của các không gian, Các nhà

toán học như Arhangel’ski, F Siwiec, L.Fored, Y Tanaka, S Lin, C.Liu, đã đạt được nhiều kết quả đặc sắc trong lĩnh vực này

Tiếp cận hướng nghiên cứu trên và được sự hướng dẫn của thầygiáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng mục đích của chúng tôi là nghiên cứumối quan giữa các phủ đếm được với các các tính chất nào đó trong

không gian gf -đếm được và nghiên cứu mối quan hệ giữa không với

cơ sở yếu và một số không gian tôpô đặc biệt

Với mục đích trên, luận văn được chia làm 2 chương

Chương 1 Mối quan hệ giữa các không gian với cơ sở yếu.Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày lại các khái niệm,tính chất cơ bản về lưới, về các không gian tôpô đặc biệt cần dùngtrong luận văn Trong phần tiếp theo, chúng tôi chứng minh chi tiếtmột số mối quan hệ giữa các không gian với cơ sở đã có trong các tài

liệu tham khảo nhưng chưa chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt.Bên cạnh đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh mối quan hệ giữa không

gian gf -đếm được và không gian đối xứng, điều kiện để không gian

gf -đếm được là không gian đối xứng.

Chương 2 Mối quan hệ giữa các phủ đếm được theo điểm

trong không gian gf -đếm được.

Phần đầu của chương này, chúng tôi dành để nhắc lại các khái niệm

về phủ có tính chất (A), phủ có tính chất (B), họ HCP , họ W HCP và

chứng minh một số tính chất của chúng Trong phần tiếp theo, chúngtôi đưa ra và chứng minh một số mối quan hệ giữa các phủ với các

tính chất nào đó trong không gian gf -đếm được và các tính chất của

không gian với cơ sở yếu mà chúng có liên quan tới các phủ đếm được.Sau đây một số kí hiệu được dùng trong luận văn

Giả sử P là họ các tập con của X Khi đó ∪P = ∪{P : P ∈ P};

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo PGS TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy Nhân dịp này, tác giả xinchân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoaSau Đại học, các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tác giả trongsuốt quá trình công tác và học tập tại trường Đặc biệt, tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích, khoaToán, trường Đại học Vinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập

và hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn các bạn học viên Cao học

13 Giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm

vụ trong suốt thời gian học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp củacác thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn ngày được hoàn thiệnhơn.

Vinh, tháng 12 năm 2007

Tác giả

CHƯƠNG 1MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC KHÔNG GIAN VỚI

CƠ SỞ YẾU

Chương này chúng ta nghiên cứu mối quan hệ giữa không gian với

cơ sở yếu và một số không gian tôpô đặc biệt

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản

Mục này chúng tôi trình bày các khái niệm và một số tính chất cơbản đã được trình bày ở một số tài liệu cần dùng trong Chương 1

1.1.1 Định nghĩa Giả sử P là họ các tập con của không gian tôpô

X

(1) P là họ đếm được theo điểm (point-countable) [11] [tương ứng,

hữu hạn theo điểm (point-finite)], nếu mỗi x ∈ X thuộc đếm được

[tương ứng, thuộc hữu hạn] phần tử của P.

(2) P là họ sao-đếm được (star-countable) [11] [tương ứng, sao-hữu

hạn (star-finite)], nếu mỗi P ∈ P giao với đếm được [tương ứng, hữu

hạn] phần tử của P.

(3) P là họ đếm được hữu hạn địa phương (locally countable)[11] [tương ứng, hữu hạn địa phương (locally finite)], nếu với mọi x ∈ X, tồn tại lân cận V của x giao với không quá đếm được phần tử của P (4) P là họ σ-(P ) [12], nếu P = S∞

n=1

P n , trong đó P n là họ có tính

chất (P ) và P n ⊂ P n+1 , với mọi n ∈ N.

1.1.2 Định nghĩa [11] Giả sử P là họ các tập con của không gian tôpô X.

(1) P là lưới (network), nếu với mọi x ∈ X và U là lân cận bất kỳ của x, tồn tại P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U.

(2) P là k-lưới (k-network), nếu với mọi tập con K compact và với mọi U là lân cận của K trong X, tồn tại họ con hữu hạn F ⊂ P sao cho K ⊂ ∪F ⊂ U.

(3) P là cs*-lưới (cs*-network), nếu với mọi dãy {x n } hội tụ đến

x ∈ X và U là lân cận bất kỳ của x, tồn tại dãy con {x ni : i ∈ N} của

{x n } và P ∈ P sao cho {x} ∪ {x ni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ U.

(4) P là wcs*-lưới (wcs*-network), nếu với mọi dãy {x n } hội tụ đến

x ∈ X và U là lân cận bất kỳ của x, tồn tại dãy con {x ni : i ∈ N} của

{x n } và P ∈ P sao cho {x ni : i ∈ N} ⊂ P ⊂ U.

(5) P là cs-lưới (cs-network), nếu mọi dãy {x n } hội tụ đến x và U

là lân cận bất kỳ của x, tồn tại n ∈ N và P ∈ P sao cho {x} ∪ {x m :

m ≥ n} ⊂ P ⊂ U.

1.1.3 Định nghĩa Giả sử X là một không gian tôpô, x ∈ P ⊂ X Ta nói P là lân cận dãy (sequential neighborhood) [11] của X nếu với mọi dãy {x n } hội tụ đến x, tồn tại m ∈ N sao cho x n ∈ P , với mọi n ≥ m.

1.1.4 Định nghĩa [11] Giả sử P = S

x∈X

P x là phủ của không gian X

và với mọi x ∈ X, P thoả mãn hai điều kiện sau đây

(i) P x là lưới của x, nghĩa là với U là lân cận của x, tồn tại P ∈ P x sao cho x ∈ P ⊂ U;

(ii) Nếu P1, P2, ∈ P x , tồn tại P ∈ P x sao cho P ⊂ P1 ∩ P2

(1) P được gọi là cơ sở yếu (weak base) của X, nếu tập G ⊂ X là

mở khi và chỉ khi với mọi x ∈ G, tồn tại P ∈ P x sao cho P ⊂ G Khi

đó P x được gọi là cơ sở lân cận yếu tại x và mỗi P ∈ P x gọi là lân cận

x = {P ∩ A : P ∈ P x } là cơ sở yếu của không gian con A.

Chứng minh Trong không gian A ta dễ dàng kiểm tra được họ P 0 thoảmãn điều kiện (i) và (ii) trong định nghĩa cơ sở yếu Bây giờ ta chứngminh nó thoả mãn điều kiện còn lại

Giả sử B là tập mở trong A Khi đó B = U ∩ A, trong đó U là tập

mở trong X Lấy x bất kỳ trong B, ta suy ra x ∈ U Do U mở trong

X nên tồn tại P x ∈ P x sao cho P x ⊂ U Từ đó suy ra P x ∩ A ⊂ B.

đó suy ra, tồn tại P y B ∈ P y sao cho P y B ⊂ U.

Nếu y ∈ X \A thì do X \A mở, nên tồn tại P y ∈ P y sao cho P y ⊂ U.

Mà P = S

x∈X

P x là cơ sở yếu nên ta suy ra U là tập mở trong X Mặt khác ta dễ thấy, U ∩ A = B Do đó B là tập mở trong A.

1.1.6 Định nghĩa Cho không gian tôpô X và P là phủ gồm các tập con của X

(1) Ta nói không gian tôpô X được xác định bởi phủ P (X is

deter-mined by P) [3], hoặc P xác định X (P deterdeter-mined X), nếu U ⊂ X

là mở (tương ứng, đóng) trong X khi và chỉ khi U ∩ P là mở (tương ứng, đóng) trong P với mọi P ∈ P.

(2) Không gian tôpô X là không gian Fréchet [3], nếu với mọi A ⊂ X

và với mọi x ∈ A, tồn tại dãy trong A hội tụ đến x.

(3) Không gian tôpô X là không gian dãy (sequential) [3], nếu với mọi A ⊂ X, A đóng trong X khi và chỉ khi không có dãy nào trong

A hội tụ đến điểm nằm ngoài A, một cách tương đương, X được xác

định bởi phủ gồm các tập con compact mêtric

(4) Không gian tôpô X là k-không gian (k-space) [3], nếu X được xác định bởi phủ gồm các tập con compact của X.

(5) Không gian tôpô X là σ-không gian (σ-space) [10], nếu X có lưới σ-hữu hạn địa phương.

(6) Không gian tôpô X là cs-σ-không gian [10], nếu X có cs-lưới

σ-hữu hạn địa phương.

(7) Không gian tôpô X được gọi là snf -đếm được [11] nếu X có một sn-lưới P = ∪{P x : x ∈ X}, trong đó mỗi P x là tập đếm được

(8) Không gian tôpô X được gọi là gf -đếm được (gf -countable) [tương ứng, snf -đếm được (snf -countable)] [11] nếu X có cơ sở yếu [tương ứng, sn-lưới] P = S

(11) Cho X là một không gian tôpô Tập con M của X được gọi là

một cái quạt [11] tại x của X, nếu M có thể biểu diễn dưới dạng:

M = {x} ∪ {∪{x n,m : m ∈ N} : n ∈ N}, trong đó {x n,m : m ∈ N} là vô hạn đếm được dãy rời nhau của X mà mỗi dãy đều hội tụ về x.

Tập con C của quạt M tại x được gọi là một đường chéo của M nếu C có giao với vô hạn dãy của quạt M và đồng thời C là một dãy hội tụ về một điểm trong quạt M

Không gian tôpô X được gọi là một α4-không gian nếu với mỗi điểm

x trong X, mọi cái quạt tại x đều có đường chéo hội tụ về x.

(12) Không gian chính qui X được gọi là không gian đối xứng [11] nếu tồn tại hàm số d : X × X → R thoả mãn:

(13) Không gian chính qui X được gọi là nửa-mêtric [11] nếu thay

điều kiện (iii) của Định nghĩa (12) bằng điều kiện

(iii’) Với mọi A ⊂ X, x ∈ A khi và chỉ khi d(x, A) = 0, trong đó

d(x, A) = inf

a∈A d(x, a)

1.1.7 Nhận xét (1) Cơ sở ⇒ cơ sở yếu ⇒ sn-lưới ⇒ cs-lưới Vì thế, không gian đếm được thứ nhất ⇒ gf -đếm được ⇒ snf -đếm được (2) Không gian đếm được thứ hai ⇒ gs-đếm được ⇒ gf -đếm được.

1.2 Mối quan hệ giữa các không gian với cơ sở yếu

Trong mục này các không gian nói tới được giả thiết là T2 nếu không

có giải thích gì thêm

Sơ đồ 1 sẽ nêu lên mối quan hệ giữa các không gian với cơ sở yếu

và một số không gian tôpô đặc biệt

Các mối quan hệ thể hiện trong Sơ đồ 1, một số đã được nêu ra vàchứng minh chi tiết trong các tài liệu tham khảo Do đó ở đây chúngtôi chỉ chứng minh các quan hệ còn lại

A = X Lại vì X là không gian mêtric nên với mỗi x ∈ X, họ {B(x, 1

N} là cơ sở yếu đếm được, trong đó P x = {P ∈ P : x ∈ P }.

Thật vậy, ta sẽ chứng minh P lần lượt thỏa mãn các điều kiện trong

m ) Vậy ta đã chỉ ra được tồn tại B(w,

Bây giờ ta sẽ chứng minh P thỏa mãn điều kiện còn lại trong Định

nghĩa cơ sở yếu

Giả sử G mở trong X Khi đó, do A = X nên U ∩ A 6= ∅, giả sử

y ∈ U ∩ A Vì U mở nên tồn tại n o ∈ N sao cho B(y, 1

1.2.2 Mệnh đề ([10]) Mọi không gian chính qui, gs-đếm được là

không gian g-mêtric hóa được.

Chứng minh Giả sử X là không gian gs-đếm được Khi đó X có cơ

sở yếu đếm được, B = {B1, B2, } Với mỗi n ∈ N ta đặt B n = {B n }

Chứng minh Vì X là không gian g-mêtric hóa được nên X có cơ sở

yếu σ-hữu hạn địa phương C = ∪{C x : x ∈ X} = ∪{B n : n ∈ N}, trong

đó mỗi B n là hữu hạn địa phương Khi đó, với mỗi n ∈ N, với mọi

x ∈ X chỉ có hữu hạn phần tử của B n chứa x Vì thế B n ∩ C x = {C :

C ∈ B n và C ∈ C x } là họ hữu hạn, với mọi x ∈ X, n ∈ N Cho nên

C x = ∪{C x ∩ B n : n ∈ N} là họ đếm được, với mọi x ∈ X Vậy X là không gian gf -đếm được.

1.2.4 Bổ đề ([9]) Nếu X là không gian chính qui và là σ-không gian

thì X có một lưới σ-rời rạc.

1.2.5 Bổ đề ([1], Định lý 2.8) Một không gian gf -đếm được với một

lưới σ-rời rạc là không gian đối xứng.

1.2.6 Mệnh đề ([10]) Mọi không gian g-mêtric hóa được là không

gian đối xứng.

Chứng minh Từ định nghĩa của không gian g-mêtric hóa được và

σ-không gian ta dễ dàng suy ra được một σ-không gian g-mêtric hóa được

là σ-không gian Từ đó kết hợp với Bổ đề 1.2.3, Bổ đề 1.2.4 và Bổ đề 1.2.5 ta suy ra X là không gian đối xứng.

1.2.7 Mệnh đề Không gian snf -đếm được là α4-không gian.

Chứng minh Giả sử X là một không gian snf -đếm được thì X có một sn-lưới P = ∪{P x : x ∈ X}, trong đó mỗi P x là tập đếm được Không

mất tính tổng quát ta có thể giả sử P x = {P n (x) : n ∈ N}, trong đó

Từ giả thiết P là một sn-lưới của X suy ra mỗi P n (x) ∈ P x là một

lân cận dãy của x Do đó mỗi k ∈ N và mỗi P n (x) ∈ P x ắt tồn tại

m nk sao cho x km ∈ P n (x) với mọi m ≥ m nk Vì thế với mỗi k ∈ N và mỗi n ∈ N thì {x km : m ∈ N} ∩ P n (x) 6= ∅ Ta xây dựng đường chéo

C = {y n : n ∈ N} như sau:

Với mỗi n ∈ N chọn y n ∈ P n (x) ∩ {x nm : m ∈ N} Khi đó, với mỗi

n ∈ N thì C ∩ {x nm : m ∈ N} = {y n } 6= ∅ Do đó C là tập có giao với

vô hạn dãy của M

Nếu U là một lân cận của x thì tồn tại n o ∈ N sao cho P no (x) ⊂ U.

Do đó, ta có y n ∈ P n (x) ⊂ P no (x) ⊂ U với mọi n ≥ n o hay y n ∈ U với

mọi n ≥ n o Từ đó ta suy ra {y n } là một dãy hội tụ về x Như vậy, mọi

cái quạt tại x ∈ X đều có đường chéo hội tụ về x Vậy X là α4-khônggian

1.2.8 Mệnh đề ([10]) Không gian nửa-mêtric là không gian đếm được

thứ nhất.

Chứng minh Giả sử X là không gian nửa-mêtric Khi đó tồn tại hàm

số d : X × X → R thoả mãn ba điều kiện:

(i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;

Ta sẽ chứng minh P x là một cơ sở lân cận của x.

Trước hết ta chứng minh S n (x) là lân cận của x với mọi n ∈ N Đặt

E = X \ S n (x) Ta có d(x, E) ≥ 1

n nên x 6∈ E Từ đó suy ra x ∈ X \ E.

Mà X \ E là mở, nên tồn tại U mở sao cho x ∈ U ⊂ X \ E Ta có

U ⊆ S n (x) Thật vậy, lấy x ∈ U thế thì x ∈ X \ E, nên x 6∈ E Vì vậy

x 6∈ E, do đó x ∈ S n (x) Từ đó suy ra U ⊂ S n (x) Vậy S n (x) là lân cận của x.

Tiếp theo ta chứng minh, với U là lân cận mở bất kỳ của x, thì tồn tại m ∈ N sao cho S m (x) ⊂ U Thật vậy, giả sử S n (x) ∩ (X \ U) 6= ∅ với n = 1, 2, Khi đó, tồn tại {x n } ⊂ (X \ U) ∩ S n (x) Từ đó suy ra

0 ≤ d(x, X \ U) ≤ d(x, x n ) < 1

n → 0 khi n → ∞.

Do vậy d(x, X \ U) = 0 Từ đó ta có x ∈ X \ U = X \ U Điều này mẫu thuẫn với x ∈ U Như vậy tồn tại m sao cho S n (x) ⊂ U.

Do đó X là không gian đếm được thứ nhất.

1.2.9 Mệnh đề Giả sử X là không gian đối xứng Khi đó X là gf

-đếm được với cơ sở yếu P = S

x∈X

P x , trong đó P x = {P x,1 , P x,2 , }, thoả mãn:

(a) Nếu x n ∈ P x,n với mọi n thì x n → x;

(b) Nếu x ∈ P xn,n với mọi n thì x n → x.

Chứng minh Giả sử X là không gian đối xứng Khi đó mỗi x ∈ X đặt

P x = {P x,n : n = 1, 2, 3, }, trong đó P x,n = S n (x) = {y ∈ X : d(x, y) < 1

n } và P = ∪{P x : x ∈ X}.

Ta có P là một cơ sở yếu của X.

Thật vậy, giả sử U là lân cận của x Khi đó tồn tại V mở sao cho x ∈ V ⊂ U Do đó, tồn tại n ∈ N sao cho S n (x) ⊂ V ⊂ U hay tồn tại P = S n (x) ∈ P x sao cho P ⊂ U Vậy P x là một lưới

tại x Giả sử U, V ∈ P x với U = S n (x), V = S m (x), m ≤ n Ta có

U ∩ V = U = S n (x) ∈ P x Với G ⊂ X, theo điều kiện (iii) của Định nghĩa không gian đối xứng ta có G mở khi và chỉ khi với mỗi x ∈ G luôn tồn tại P = S n (x) ∈ P x sao cho P ⊂ G.

Như vậy P là một cơ sở yếu của X Mặt khác, với mỗi x thì P x là

tập đếm được Vậy X là gf -đếm được.

(a) Giả sử {x n } ⊂ X mà x n ∈ P x,n với mỗi n ∈ N và U là lân cận

mở bất kỳ của x Khi đó tồn tại m ∈ N sao cho P x,m ⊂ U Mặt khác,

với mọi n ≥ m thì P x,n ⊂ P x,m Do vậy, ta có x n ∈ P x,n ⊂ P x,m ⊂ U,

với mọi n ≥ m Từ đó suy ra x n → x.

(b) Giả sử {x n } ⊂ X mà x ∈ P xn ,n với mọi n ∈ N và U là lân cận

mở bất kỳ của x Khi đó tồn tại n o sao cho P x,no ⊂ U Từ x ∈ P xn ,n

1.2.10 Chú ý (1) Giả sử X là không gian đối xứng Khi đó P = ∪P x,

là cơ sở yếu của X, trong đó P x = {P x,n : n = 1, 2, } và P x,n = S n (x) (2) Giả sử X là không gian gf -đếm được với cơ sở yếu P = ∪P x,

trong đó mỗi P x là đếm được Khi đó ta có thể giả thiết

(1) Nếu X thoả mãn (b) trong Mệnh đề 1.2.9 (tức là, nếu x ∈ P x n ,n

với mọi n thì x n → x) thì X là không gian đối xứng.

(2) Nếu X thoả mãn (1) và thoả mãn thêm điều kiện P x,n là tập

mở với mọi x ∈ X, với mọi n ∈ N thì X là nửa-mêtric.

Chứng minh (1) Giả sử X là T1-không gian, gf -đếm được với cơ sở yếu P = ∪P x thoả mãn: nếu x ∈ P x n ,n với mọi n thì x n → x Khi đó

(i) Dễ thấy d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y ∈ X.

Và nếu x = y thì d(x, y) = 0 Ngược lại, nếu d(x, y) = 0 ta suy ra

inf {j : x 6∈ P y,j } = ∞ hoặc inf {j : y 6∈ P x,j } = ∞ Hay x ∈ P y,j, với

mọi j ∈ N hoặc y ∈ P x,j , với mọi j ∈ N Từ đó, theo giả thiết suy ra

x = y Như vậy d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

(ii) Dễ thấy d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X.

(iii) Giả sử U là tập mở của x Vì P là cơ sở yếu nên tồn tại n o ∈ N

sao cho P x,no ⊂ U Ta chứng minh S no (x) = {y : d(x, y) < 1

n o } ⊂ U.

Thật vậy, vì P x,no ⊂ U nên P x,no ∩(X\U) = ∅ Khi đó, với mọi y ∈ X\U

ta có y 6∈ P x,no , do đó inf {j : y 6∈ P x,j } ≤ n o Từ đó suy ra d(x, y) > 1

n o

với mọi y ∈ X \ U Vì thế S no (x) = {y ∈ X : d(x, y) < 1

n o } ⊂ U.

Giả sử U là tập mà với mọi x ∈ U, tồn tại n ∈ N để S n (x) ⊂ U.

Ta sẽ chứng minh U mở Thật vậy, lấy x ∈ U, khi đó tồn tại n ∈ N để

Như vậy với mỗi x ∈ U, tồn tại P x,n ⊂ U Kết hợp với P là cơ sở yếu

nên suy ra U là tập hợp mở Vậy X là không gian đối xứng.

(2) Giả sử A là tập con bất kỳ của X.

Nếu x ∈ A thì do P x,n mở, với mọi n ∈ N nên A ∩ P x,n 6= ∅, với mọi

n ∈ N Do đó ta xây dựng được dãy {y n } thỏa mãn với mỗi n ∈ N,

n ∈ N Từ đó suy ra x m ∈ S n (x) với mọi m ≥ n Mà {S n (x)} n∈N là cơ

sở yếu tại x Nên ta có x n → x Do vậy x ∈ A.

1.2.12 Mệnh đề ([10]) Mỗi không gian trong cột 2 của Sơ đồ 1, có

tính di truyền cho không gian con đóng (tức là, không gian đóng của một không gian nào đó cũng có tính chất như không gian đó).

Chứng minh Giả sử X là không gian tôpô và A là không gian con

đóng của không gian X.

(1) Với X là không gian dãy Ta sẽ chứng minh A là không gian

dãy

Vì A đóng trong X nên với mọi tập B ⊂ A, thì B là đóng trong A khi

và chỉ khi B đóng trong X Do đó B là đóng trong A khi và chỉ khi không có dãy {x n } nào trong B hội tụ về điểm x không thuộc B.

Vậy A là không gian dãy.

(2) Nếu X là gf -đếm được thì ta sẽ chứng minh A là gf - không

gian

Vì X là gf -đếm được nên X có cơ sở yếu P = S

x∈X

P x, trong đó mỗi

P x là đếm được Ta viết P x = {P x,1 , P x,2 , } Khi đó ta đặt P x 0 =

{P x,1 0 , P x,2 0 , }, trong đó P x,n 0 = P x,n ∩ A Theo Bổ đề 1.1.5, P x 0 là cơ sở

yếu của không gian A Từ đó suy ra A là không gian gf -đếm được (3) Với X là không gian đối xứng, ta sẽ chứng minh A là không

Điều này được suy ra từ Chú ý 1.2.10

Bây giờ ta phải chứng minh A là chính qui.

Vì X chính qui và A không gian con đóng của X nên A cũng là không gian chính qui Như vậy A là không gian đối xứng.

(4) Với X là không gian chính qui và gs-đếm được, ta sẽ chứng

minh A chính qui và A là gs-đếm được.

Ta có, vì X là chính qui và A là đóng trong X nên A là cũng là không gian chính qui Mặt khác X là gs-đếm được nên X có cơ sở yếu P là đếm được Đặt P 0 = S∞

n=1

P 0

n , trong đó P 0

n = P n ∩ A Khi đó theo Bổ

đề 1.1.5 ta có P 0 là cơ sở yếu của không gian A Và rõ ràng P 0 là đếm

được Vậy A là cơ sở yếu đếm được nên A là gs-không gian.

1.2.13 Bổ đề ([2]) Cho không gian tôpô X Khi đó nếu mọi không

gian con của X là k-không gian thì X là không gian Fréchet.

1.2.14 Bổ đề ([3]) Không gian tôpô X là mêtric hóa được khi và chỉ

khi X có cơ sở σ-hữu hạn địa phương.

1.2.15 Bổ đề Giả sử X là không gian tôpô với cơ sở yếu P = S

x∈X

P x Khi đó nếu X là không gian Fréchet thì B = S

x∈X

B x là một cơ sở của

X, trong đó B x = {intP : P ∈ P x }.

Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng, với mỗi x ∈ X và P ∈ P x

ta đều có x ∈ intP Thật vậy, giả sử ngược lại rằng, tồn tại x ∈ X

và P ∈ P x sao cho x 6∈ intP Suy ra x ∈ X \ P Vì X là không gian Fréchet nên tồn tại dãy {x n } ⊂ X \ P , x n → x Mặt khác,

vì mỗi P ∈ P x là lân cận dãy của x nên tồn tại n o ∈ N sao cho {x} ∪ {x n : n ≥ n o } ⊂ P Điều này mâu thuẫn với {x n } ⊂ X \ P Bây

giờ ta đặt

B x = {intP : P ∈ P x }, B = S

x∈X

B x

Vì P là lưới nên hiển nhiên rằng B là cơ sở của X.

1.2.16 Định lý ([10]) Nếu X là không gian tôpô thoả mãn một trong

hai điều kiện sau:

(a) X là một không gian trong cột 2 của Sơ đồ 1 và cũng là không gian Fréchet;

(b) X là một không gian trong cột 2 của Sơ đồ 1 và có tính di truyền cho không gian con;

thì X là không gian tương ứng trong cột thứ nhất.

Chứng minh (a) Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu không gian X là

gf -đếm được và Fréchet thì nó là đếm được thứ nhất Vì X là gf -đếm

được nên X có cơ sở yếu B = S

x∈X

B x , trong đó mỗi B x là đếm được

Lấy B là lân cận yếu của x, chúng ta sẽ chứng minh rằng B là lân cận của x Giả sử điều đó không đúng Khi đó với mọi lân cận U x của x thì U x 6⊂ B, hay U x ∩ X \ B 6= ∅ Từ đó ta suy ra x ∈ X \ B Bởi giả

thiết X là Fréchet, nên tồn tại một dãy {x n } trong X \ B hội tụ tới

x Khi đó tập U = X \ {x, x1, x2, } là mở Do đó với mỗi p ∈ U tồn

tại một B p ∈ B p mà B p ⊂ U Đặt U 0 = U ∪ {x}, khi đó mỗi p ∈ U 0 sẽ

tồn tại B p ∈ B p sao cho B p ⊂ U 0 , nếu p = x thì lấy B p = B ⊂ U 0 Bởi

B = S

p∈X

B p là cơ sở yếu nên suy ra U 0 là mở trong X Mà ta có x ∈ U 0

và x n → x, nên suy ra {x n } ⊂ U từ một n đủ lớn nào đó Điều này là

mẫu thuẩn Do đó x ∈ intB.

Vậy ta suy ra X là không gian đếm được thứ nhất.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng, một không gian X là không gian đối xứng và Fréchet thì nó là nửa-mêtric Vì X là không gian đối xứng nên tồn tại hàm d : X × X → R thoả mãn ba điều kiện: