Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh

Vì nhóm luỹ linh là lớp nhóm gần với lớp nhóm Aben nhất, nên một ý tởngnảy ra khá tự nhiên là chuyển kết quả trên sang mô tả các cấu trúc của nhóm luỹlinh hữu hạn sinh.. Việc làm này khá

Trờng đại học vinh

Khoa toán

Phạm khắc quý

Nhóm luỹ linh hữu hạn sinh

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Ngành cử nhân khoa học toán

Vinh - 2005

Vinh - 2005

Trờng đại học vinh

Giáo viên hớng dẫn: pgs.ts lê quốc hán

Sinh viên thực hiện: phạm khắc quý

Lớp: 41e2 - toán

Vinh - 2005

Vinh - 2005

Môc lôc

Trang.

§2 Nhãm luü linh 15

§3 Nhãm luü linh h÷u h¹n sinh 21

KÕt luËn 33

Tµi liÖu tham kh¶o 34

lời nói đầu:

Trong lý thuyết nhóm, lớp nhóm Aben có nhiều tính chất tốt và do đó cónhiều ứng dụng trong đại số nói riêng và trong toán học nói chung Do đó việckhảo sát các nhóm Aben đợc đặc biệt quan tâm và nghiên cứu từ rất sớm và nhiềukết quả thu đợc đã trở thành kinh điển Một trong các kết quả đó là sự mô tả vềcấu trúc các nhóm Aben hữu hạn sinh(xem định lý 1.9 và 1.10)

Vì nhóm luỹ linh là lớp nhóm gần với lớp nhóm Aben nhất, nên một ý tởngnảy ra khá tự nhiên là chuyển kết quả trên sang mô tả các cấu trúc của nhóm luỹlinh hữu hạn sinh Việc làm này khá thuận lợi khi G là nhóm luỹ linh hữu hạn sinhkhông xoắn(định lý 3.8) nhng trong trờng hợp nhóm luỹ linh bất kỳ còn phải đavào một cơ sở chuẩn của nhóm G mới thu đợc kết quả bớc đầu(xem định lý 3.12

và các hệ quả của nó)

Luận văn gồm 3 tiết

Tiết 1: Nhắc lại một số kết quả đã biết về nhóm Aben hữu hạn sinh

Tiết 2: Nhắc lại các kết quả đã biết về nhóm luỹ linh

Tiết 3: Đây là phần chủ yếu của luận văn nhằm khảo sát các nhóm luỹ linhhữu hạn sinh với các kết quả đợc nêu lên trong các định lý 3.8, định lý 3.12 và các

hệ quả của nó

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS - TS Lê QuốcHán, nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đối với thầy về những sựgiúp đỡ tận tình chu đáo và những góp ý thiết thực

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy, các cô trong tổ đại số và các bạn học trong lớp đã

động viên giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này,

Vì thời gian và trình độ có hạn bản luận văn không thể tránh khỏi nhng thiếusót Rất mong nhận đợc sự góp ý của bạn đọc để hoàn thiện trong quá trình họctập và nghiên cứu sau này

Tác giả.

chỉ dẫn ký hiệu

[a, b] Hoán tử của a và b

[A,B] Nhóm con sinh bởi các hoán tử dạng [a,b]

với a ∈ A, b ∈ B[G, G] Hoán tập hay đạo nhóm của nhóm G

A Lực lợng của tập hợp A

Kết thúc chứng minh

Đ1 Nhóm aben hữu hạn sinh.

Các nhóm Aben hữu hạn sinh đáng đợc quan tâm đặc biệt vì chúng đóng vaitrò quan trọng trong nhiều ứng dụng Trong tiết này chúng ta sẽ nghiên cứu về lớpnhóm này

1.1 Định nghĩa: Một nhóm X đợc gọi là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu có một tập

hợp hữu hạn S những phần tử của X sinh ra X.

1.2 Bổ đề: Mọi nhóm Aben đều đẳng cấu với một nhóm thơng của nhóm Aben tự

đó h là một toàn cấu Giả sử K là hạt nhân của h Thế thì X đẳng cấu với nhóm th

-ơng F/K của nhóm tự do F Vậy bổ đề đợc chứng minh

Từ chứng minh bổ đề 1.2, ta suy ra: Mọi nhóm Aben với n phần tử sinh đều

đẳng cấu với một nhóm thơng của nhóm Aben tự do hạng n Từ đó, để mô tả các

nhóm Aben hữu hạn sinh, trớc hết ta cần khảo sát các nhóm con của nhóm Aben

Giả sử n > 0, và giả sử bổ đề 1.3 đúng khi thay thế n bởi n - 1

Nếu G = {0} thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh Vì vậy ta sẽ giả thiết

G không tầm thờng

Giả sử ξ = {x1, x2, , xn} là một cơ sở tuỳ ý của F Thế thì mọi phần tử g ∈ F

có thể biểu thị một cách duy nhất dới dạng tuyến tính

g = k1x1 + k2x2 + + knxn

qua x1, x2, , xn với các hệ số nguyên k1, k2, , kn

Giả sử λ(ξ) là số nguyên dơng nhỏ nhất xuất hiện nh là một hệ số trong cácdạng tuyến tính đó Số λ(ξ) đó phụ thuộc vào cơ sở ξ Ta hãy giả thiết rằng cơ sở ξ

đã đợc lựa chọn sao cho λ(ξ) có giá trị nhỏ nhất có thể đợc

Đặt t1 = λ(ξ) Theo định nghĩa của số dơng λ(ξ), có một phần tử v1 sao cho t1

xuất hiện nh là một hệ số trong dạng tuyến tính của v1 Bằng cách hoán vị cácphần tử của cơ sở x1, x2, , xn, nếu cần Ta có

v1 = t1x1 + k2x2 + + knxn trong đó k1, k2, , kn là những số nguyên

Chia các số nguyên k2, k3, , kn cho số nguyên dơng t1, ta đợc ki = qi t1 + ri với

0 ≤ ri < t1, ∀ i = 2, 3, , n

Nếu ta kí hiệu u1 = x1 + q2x2 + + qnxn thì ta đợc một cơ sở mới η

= {u1, x2, , xn} của F sao cho

Vì H là một nhóm Aben tự do hạng n - 1 và K là một nhóm con của H nên từgiả thiết quy nạp ta suy ra rằng K là một nhóm Aben tự do hạng không lớn hơn

n - 1 Giả sử hạng của K là m - 1 Thế thì ta có m ≤ n Theo giả thiết quy nạp, cómột cơ sở {u2, , un} của H và một cơ sở {v2, , vm} của K sao cho vi = tiui,

∀ i = 2, 3, , m

Trong đó t2, , tm là những số nguyên dơng thoả mãn ti + 1 chia hết cho ti, với mọi i

= 2, , m - 1

Để chứng minh rằng G là nhóm Aben tự do, giả sử J là nhóm xyclic vô hạncủa F sinh bởi phần tử v1 Vì v1 ∈ G, nên ta có J ⊂ G.

y = d2v2 + + dmvm

của các phần tử v2, , vm trong đó d2, , dm là những số nguyên Nh vậy ta đãchứng minh đợc g có thể biểu thị duy nhất dới dạng tuyến tính

g = d1v1 + d2v2 + + dmvm

Từ đó ta suy ra β = {v1, v2, , vm} là một cơ sở của G Còn phải chứng minh t2

chia hết cho t1 Muốn vậy, ta chia t2 cho t1 ta đợc t2 = q0t1 + r0, 0≤ r0< t1

Xét phần tử w1 = u1 - q0u2 Thế thì {w1, u2, , un} là một cơ sở của F Đối vớicơ sở này ta có

v2 - v1 = (- t1)w1 + r0u2

trong đó 0 ≤ r0< t1, nên từ sự lựa chọn của số nguyên dơng t1 ta suy ra rằng r0 = 0

Do đó t2 chia hết cho t1 Bổ đề đợc chứng minh

1.4 Bổ đề: Mọi nhóm Aben với n phần tử sinh đều đẳng cấu với một tổng trực

tiếp của n nhóm xyclic cấp t 1 , t 2 , , t n với

1≤ t 1 ≤ t 2 ≤ ≤ t n ≤ ∞ trong đó t i + 1 chia hết cho t i , trong trờng hợp t i + 1 hữu hạn.

Chứng minh.

Giả sử X là nhóm Aben tuỳ ý cho trớc với một tập S ={x1, x2, , xn} nhữngphần tử sinh Khi đó X đẳng cấu với nhóm thơng F/G của nhóm Aben tự do Fhạng n sinh bởi S trên nhóm con G Theo bổ đề 1.2, G là nhóm Aben tự do hạng

m ≤ n Ngoài ra, có một cơ sở α = {u1, u2, , un} của F và một cơ sở β

= {v1, v2, , vm} của G thoả mãn vi = tiui, ∀ i = 1, 2, , m Trong đó t1, t2, , tm lànhững số nguyên dơng với ti + 1 chia hết cho ti , ∀ i = 1, 2, , m - 1

Định nghĩa n nhóm xyclic C1, C2, , Cn nh sau: Nếu i ≤ m thì Ci là nhómxyclic cấp ti sinh ra bởi một phần tử ξi Gọi Φ là tổng trực tiếp của n nhóm xyclic

C1, C2, , Cn đó Ta sẽ xhứng minh F/G ≅ Φ.

Muốn thế, trớc hết ta nhắc lại rằng các phần tử của Φ chính là các ánh xạ

ϕ : M → C từ tập hợp M = {1, 2, , n} vào tập hợp C là tổng của n tập C1, C2, , Cn

sao cho ϕ(i) ∈ Ci, ∀ i = 1, 2, , n

Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ h : F → Φ nh sau Giả sử x là một phần tử tuỳ ýcho trớc của F Vì α = {u1, u2, , un} là một cơ sở của F, nên có thể biểu thị mộtcách duy nhất dới dạng x = k1u1 + k2u2 + + knun, trong đó k1, k2, , kn là những

số nguyên Ta cho x ứng với ánh xạ h(x): M → C xác định bởi

[h(x)](i) = k iξi ∈ C i, với ∀ i ∈ M.

Khi đó h là toàn cấu và ker(h) = G, do đó theo định lý đồng cấu ta có F/G ≅ Φ Bổ

đề đợc chứng minh

Chú ý: Một nhóm Aben đợc gọi là không phân tích đợc nếu và chỉ nếu nó không

thể phân tích đợc thành tổng trực tiếp của hai nhóm con không tầm thờng

1.5 Bổ đề: nhóm cộng các số nguyên ℤ là không phân tích đợc.

Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng Giả sử ℤ là phân tích đợcthành tổng trực tiếp của hai nhóm con không tầm thờng A và B của ℤ Vì A và Bkhông tầm thờng, nên tồn tại những số nguyên 0 ≠ a ∈ A và 0 ≠ b ∈ B

Chứng minh Ta chứng minh bổ đề bằng phản chứng Giả sử ℤn là phân tích

đợc thành tổng trực tiếp của hai nhóm con không tầm thờng A và B của ℤn, khi đótồn tai hai số nguyên α và β, cả hai đều nhỏ hơn m sao cho A và B là những nhómcon xyclic của Zn sinh bởi các phần tử pα và pβ theo thứ tự Ta suy ra rằng mộttrong hai nhóm con A và B đó chứa nhóm con kia Vì A và B không tầm thờng nênmâu thuẫn với điều kiện A ∩ B = {0} Vậy ℤn không phân tích đợc Bổ đề đợcchứng minh

1.7 Bổ đề: Giả sử n = pq, trong đó p và q là hai số nguyên dơng nguyên tố cùng

nhau Khi đó

Z n ≅ Z p ⊕ Z q

Chứng minh: Số nguyên q trong nhóm Zn các số nguyên mod n sinh ra nhómxyclic

1.8 Bổ đề: Giả sử số tự nhiên n đợc phân tích thành tích các luỹ thừa của các số

Chứng minh Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp.

Khi r = 1 bổ đề trở nên tầm thờng Vì vậy ta giả sử r > 1và ta thừa nhận kếtluận của bổ đề đúng đến r -1

Chú ý: Một nhóm xyclic hữu hạn đợc gọi là nhóm xyclic nguyên sơ, nếu và chỉ

nếu cấp của nó là một luỹ thừa pm của một số nguyên tố p nào đó

Từ các bổ đề trên ta suy ra hệ quả:

Hệ quả 1: (i) Một nhóm xyclic không tầm thờng là không phân tích đợc khi và chỉ

khi nó là vô hạn hoặc nguyên sơ.

(ii) Mọi nhóm xyclic hữu hạn không tầm thờng đều phân tích đợc thành tổng trực tiếp của những nhóm xyclic nguyên sơ.

Từ hệ quả 1và bổ đề 1.4 ta có định lý sau:

1.9 Định lý về sự phân tích.

Mọi nhóm Aben hữu hạn sinh đều phân tích đợc thành tổng trực tiếp của một

số hữu hạn nhóm xyclic vô hạn hoặc nguyên sơ

Bây giờ ta hãy xét một sự phân tích tuỳ ý cho trớc

X = X1⊕ X2⊕ ⊕ Xn

của một nhóm Aben thành tổng trực tiếp của n nhóm con xyclic không phân tích

đợc X1, X2, , Xn của X Theo hệ quả trên ta có một số trong các nhóm xyclic đó

là hữu hạn và nguyên sơ, còn lại các nhóm con khác là vô hạn Dễ dàng thửnghiệm đợc rằng tổng các hạng tử hữu hạn của sự phân tích đó là nhóm con xoắn

τ(X) của X và số các hạng tử vô hạn của sự phân tích đó bằng hạng của nhómAben tự do X/τ(X) Hơn nữa, tổng các hạng tử hữu hạn mà cấp là những luỹ thừacủa một số nguyên tố p chính là thành phần p - nguyên sơ Cp(X) của X

Theo định nghĩa, tổng trực tiếp X1 ⊕ X2 ⊕ ⊕ Xn không phụ thuộc vào sựxắp xếp của các hạng tử X1, X2, , Xn Do đó ta có thể sắp xếp các hạng tử theothứ tự sau:

Ta xuất phát từ nhóm xyclic nguyên sơ, mà cấp là luỹ thừa cao nhất của sốnguyên tố nhỏ nhất p, rồi tiếp theo là nhóm con xyclic nguyên sơ mà cấp là luỹthừa cao nhất còn lại của p, và cứ nh thế cho tới khi thành phần p - nguyên sơ

Cp(X) bị vét cạn Rồi ta liệt kê các thành phần nguyên sơ cho số nguyên tố nhỏnhất còn lại nh đã làm với p Ta tiếp tục làm theo cách ấy cho tới khi ta đã liệt kêtất cả các hạng tử có cấp hữu hạn Cuối cùng ta viết các hạng tử vô hạn Trong tr-ờng hợp các hạng tử X1, X2, , Xn đã đợc sắp xếp theo cách ấy, sự phân tích X =

X1⊕ ⊕ Xn gọi là sự phân tích tiêu chuẩn của X

Chứng minh Giả sử h : X → Y là đẳng cấu Vì ảnh h(x) ∈ Y của một phần tử

x ∈ X có cấp hữu hạn cũng có cấp hữu hạn, nên suy ra rằng h chuyển nhóm conxoắn τ(X) của X một cách đẳng cấu lên nhóm con xoắn τ(Y) của Y do đó h cảm

ứng ra một đẳng cấu:

h * : X/τ(X) → Y/τ(Y).

Điều này kéo theo số hạng tử xyclic vô hạn trong sự phân tích tiêu chuẩn làbằng nhau

Vì h chuyển τ(X) một cách đẳng cấu lên τ(Y), nên bây giờ ta có thể giả thiết

rằng X và Y là những nhóm xoắn, tức X = τ(X) và Y = τ(Y) Nh vậy, tất cả các

hạng tử Xi, Yj đều là những nhóm xyclic nguyên sơ

Vì ảnh h(x)∈ Y phải có cùng cấp nh phần tử x ∈ X, nên ta suy ra rằng với mỗi

số nguyên tố p, h chuyển thành phần p - nguyên sơ Cp(X) của X một cách đẳngcấu lên thành phần p - nguyên sơ của Y Nhờ đó, ta có thể giả thiết rằng X và Y lànhững nhóm p - nguyên sơ, tức X = Cp(X) và Y = Cp(Y) Thế thì cấp của các nhómcon xyclic Xi và Yj là những luỹ thừa của p, pαivà pβj theo thứ tự chẳng hạn Hơnnữa ta có

α1≥α2 ≥ ≥αn ≥ 1

β1≥β2 ≥ ≥βq≥ 1còn phải chứng minh n = q và αi = βi, ∀ i = 1, 2, , n

Thật vậy, trớc hết ta xét nhóm con A ⊂ X và B ⊂ Y sinh bởi phần tử cấp p.Thế thì A có cấp pα và B có cấp pβ Vì đẳng cấu h rõ ràng chuyển A lên B, nên suy

ra pn = pq và do đó n = q

Ta chứng minh αi = βi, ∀ i = 1, 2, , n bằng phản chứng Giả sử rằng, với một

số nguyên k nào đó với 1 ≤ k ≤ n, ta có αk ≠ βk, trong lúc đó αi = βi,∀ i < k.Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng αi < βi

Xét các nhóm con C ⊂ X và D ⊂ Y gồm các phần tử chia hết cho số nguyên

m = pαk

Nếu ξ1, , ξn là các phần tử sinh của các nhóm con xyclic X1, , Xn thì C đợcsinh ra bởi các phần tử {mξ1, mξ2, , mξn }

Tơng tự nếu η1, η2, , ηn là các phần tử sinh của các nhóm con xyclic Y1,

Y2, , Yn thì D đợc sinh ra bởi các phần tử {mη1,mη2, , mηn}

Vì: αk - 1 = βk - 1 ≥ βk > αk Ta suy ra rằng nhóm C có cấp là γ =∏−

=

1 1

Vậy định lý đợc chứng minh

Khi X = Y ta có hệ quả sau:

Hệ quả 2: Mọi nhóm Aben hữu hạn sinh đều có một sự phân tích chủ yếu duy

s đợc gọi là độ dài của dãy tâm (1).

Nhóm có dãy tâm đợc gọi là nhóm luỹ linh và độ dài nhỏ nhất của các dãy tâm đợc gọi là bậc luỹ linh của nó

2.2 Bổ đề Giả sử Z là tâm của G sao cho Z ≠ G Khi đó, nhóm thơng G/Z không

Vậy G/Z không là nhóm xyclic Bổ đề đợc chứng minh

2.3 Bổ đề Giả sử G là nhóm luỹ linh cấp s ≥ 2 Khi đó nhóm con tuỳ ý của G đợc

sinh bởi hoán tập và một phần tử có bậc luỹ linh không vợt quá s - 1

Chứng minh: Giả sử a ∈ H, H = < a, [G,G] >

Do [G,G] ⊆ (ξs - 1 G ) ∩ H = ξs - 1H nên nhóm thơng H/ξs - 1H là xyclic

Vì nhóm thơng theo tâm không thể là nhóm xyclic khác đơn vị, nên ta có ξs

- 1H = H, từ đó ta có bổ đề đợc chứng minh

2,4 Bổ đề Giả sử A, B, C là các nhóm con, H là nhóm con chuẩn tắc của

G Nếu hai trong ba hoán tập [A, B, C], [B, C, A], [C, A, B] nằm trong H thì hoán tập còn lại cũng nằm trong H Nếu A, B, C là nhóm con chuẩn tắc của G thì [AB, C] = [A, C].[B, C].

Chứng minh: Ta nhận thấy bổ đề này suy ra hoán tử

[a, b]- 1 = [b, a], [ab, c] = [a, c] b [b, c], [a- 1, b] = [b, a]a− 1

Giả sử G là nhóm luỹ linh, H ∆ G, H ≠ {1}; Zi = ξiG Nếu H ⊆n Z1 thì điềukhẳng định là tầm thờng.

Giả sử H không phải là ớc chuẩn của Z1 Khi đó sử dụng giả thiết quy nạp đốivới G/Z1, ta có giao HZ1∩ Z2 chứa phần tử a ∉ Z1 Vì

Chứng minh:

Ký hiệu H = CG(A) Giả sử ta đã chứng minh đợc H ∩ Z1

n

⊆ A và giả sử x

∈ H ∩ Zi + 1 nhóm con <x, A> là nhóm con chuẩn tắc của G và chứa A

Theo tính chất tối đại, ta có <x, A> = A do đó H ∩ Zi + 1

Giả sử định lý đúng với mọi nhóm luỹ linh mà bậc luỹ linh nhỏ hơn hoặcbằng s - 1.

Ta chứng minh định lý cũng đúng với mọi nhóm luỹ linh G có bậc bằng s Thật vậy, giả sử a, b ∈ G và a, b ∈τ(G)

Đặt: A = a, [G, G]

B = b, [G, G]

Khi đó A, B là nhóm luỹ linh có bậc ≤ s - 1

Theo giả thiết quy nạp ta có τ(A) và τ(B) tơng ứng là những nhóm con của A và B Giả sử x ∈ τ(A) thì x ∈ A và ∃ số nguyên n, n ≠ 0 sao cho xn = e Vì A ∆ G

nên g- 1xg ∈ A, ∀ g ∈ G và (g- 1xg)n =           

n

xg) (g

xg) xg).(g

= g- 1eg = e

(xy).(xy)

=  

) (

-1 ) (xyx

(B)

-n

n yx ) (x τ

⇒ (xy)n∈τ(B) ⇒ xy ∈ B và ∃ số nguyên m ≠ 0 sao cho [(xy)n] = e

⇒ (xy)n.m = e với n.m là số nguyên , n.m ≠ 0

τ ⇒ a có cấp hữu hạn

⇒ a ∈ τ(A) Tơng tự ta cũng chỉ ra đợc b ∈ τ(B) ⇒ ab ∈ τ(G) theo chứng minhtrên vì a ∈τ(A) và τ(A) ⊆n A ⇒ a- 1 ∈τ(A) mà e ∈ τ(B) nên theo chứng minh trên

ta có a- 1 = a- 1e ∈τ(G) Vậy τ(G) ⊆n G Định lý đợc chứng minh