Nhóm abel hữu hạn sinh

Kết quả chính ở trong tiết này là Định lý 1.9: Mọi nhóm Abel hữu hạn sinh và không xoắn đều là một nhóm Abel tự do, tức là đẳng cấu với tích của một số hữu hạn nhóm xyclic .. Dựa vào đị

Trờng Đại học Vinh

Nhóm abel hữu hạn sinh

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Ngành cử nhân khoa học toán

====Vinh, 2005===

Nhóm abel hữu hạn sinh

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Ngành cử nhân khoa học toán

Cán bộ hớng dẫn khoa học: Th.s Nguyễn Quốc thơ

Sinh viên thực hiện : Hồ thị thanh nga

Lớp: 41E 4 - Khoa Toán

====Vinh/2005===

Nội dung chính của khoá luận đợc chia thành hai chơng:

Chơng I: Khái niệm nhóm

Trong chơng này chúng tôi hệ thống lại các khái niệm đã biết về nhóm tự

do, và tích trực tiếp của các nhóm Cụ thể:

Đ 1 Khái niệm về nhóm

Đ 2 Môđun tự do

Đ 3 Nhóm tự do

Đ 4 Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của các nhóm

Chơng II: Nhóm Aben hữu hạn sinh

Nội dung của chơng này là chúng tôi xét một số tính chất của nhóm Abel hữu hạn sinh

Đ 1 Nhóm Abel hữu hạn sinh không xoắn

Trong tiết này chúng tôi đa ra định nghĩa nhóm không xoắn, nhóm Abel

tự do Kết quả chính ở trong tiết này là Định lý 1.9: Mọi nhóm Abel hữu hạn sinh và không xoắn đều là một nhóm Abel tự do, tức là đẳng cấu với tích của một số hữu hạn nhóm xyclic 

Đ 2 Nhóm Abel hữu hạn

Dựa vào định nghĩa cấp một phần tử của nhóm, chúng tôi định nghĩa nhóm tuần hoàn nếu nó trùng với nhóm con xoắn của nó, tức là mọi phần tử của

nó đều tuần hoàn Kết quả chính của tiết này đó là Định lý 2.3, nói lên một nhóm Abel với cấp hữu hạn là tích các lũy thừa của các số nguyên tố p i Khi

đó nó đợc phân tích thành tích trực tiếp của các nhóm con có cấp là lũy thừa của p i Từ đó ta chứng minh đợc Định lý 2.6 “ Mọi p - nhóm Abel đều đẳng cấu với một tích của các p - nhóm xyclic ” Cuối cùng cho ta một mô tả nhóm Abel hữu hạn sinh “Nếu G là nhóm Abel hữu hạn sinh và G t là một nhóm con xoắn gồm tất cả các phần tử có cấp hữu hạn trong G Khi đó, G t là nhóm hữu hạn

và G/G t là nhóm Abel tự do (Định lý 2.8).”

Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tâm, nhiệt tình của thầy giáo Th.S Nguyễn Quốc Thơ Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp

đỡ của thầy Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Đại

số nói riêng và khoa Toán nói chung đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ cho tác giả trong suốt thời gian học tập ở trờng

Mặc dù, đã rất nhiều cố gắng nhng khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót Do vậy, Tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý và chỉ bảo của các thầy cô, các bạn để khoá luận đợc hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 05 năm 2005

Tác giả

4

Chơng I : Khái niệm nhóm

Giả sử G là một tập hợp khác rỗng Mỗi ánh xạ o : G ìG → G,

(x,y)  o(x,y) đợc gọi là một luật hợp thành ( hay một phép toán hai ngôi) trên

G ảnh của phần tử (x, y) ∈ G ìG bởi ánh xạ o đợc ký hiệu là xoy , và đợc gọi

là tích (hay hợp thành) của x và y

1.1 Định nghĩa: Một nhóm là một cặp (G,o) trong đó G là một tập hợp khác rỗng và o là một luật hợp thành trên G, thỏa mãn 3 điều kiện sau đây: (G1) Luật hợp thành có tính chất kết hợp, tức là :

(xoy)oz = xo( yoz), với ∀ x, y, z ∈ G

( G2) Trong G tồn tại phần tử e sao cho: xoe = eox = x, với ∀ x ∈ G Khi đó

e đợc gọi là phần tử đơn vị của G

(G3) Với ∀ x ∈ G, tồn tại phần tử y ∈ G sao cho: xoy = yox = e Khi đó y

đ-ợc gọi là nghịch đảo của x và ký hiệu: y = x-1

Mệnh đề sau đâ là một hệ quả của định nghĩa trên.ÿ

1.2 Mệnh đề : Giả sử ( G, o) là một nhóm Khi đó :

(i) Phần tử đơn vị của G là duy nhất

(ii) Với ∀ x ∈ G , phần tử nghịch đảo x-1 của x là duy nhất

Chứng minh:

(i) Giả sử e1 , e2 là các phần tử đơn vị của G Khi đó

e1= e1 oe2 ( vì e2 là đơn vị ) = e2 ( vì e1 là đơn vị )

(ii) Giả sử x1, x2 là các phần tử nghịch đảo của x Ta có :

x1 = x1 oe = x1 o(xox2) = (x1 ox)ox2 ( Do tính chất kết hợp củao)

= eo x2 = x2

1.3 Định nghĩa: Cho G là một nhóm và φ≠A ⊂ G Tập con A đợc gọi là

nhóm con của G nếu A cùng với phép toán trên G lập thành một nhóm.

1.4 Mệnh đề: Tập con φ ≠ A ⊆ G là nhóm con của nhóm (G, o , e ) khi

và chỉ khi x.y-1∈A, với ∀ x, ÿ ∈A

Chứng minh:

- Điều kiện cần: Giả sử x,y ∈A Khi đó theo điều kiện 2 của định nghĩa

ta có ÿ-1 ∈A Theo điều kiện 1 thì xoÿ-1 ∈A

- Điều kiện đủ: Vì A ≠ φ nên có a ∈A Khi đó e = a.a-1 ∈A

Do đó ∀x ∈A ta có x-1 = e x-1∈A Điều kiện 2 đợc thoả mãn

Giả sử x,y ∈A đặt z = ÿ-1 ∈A ta có : x.y = x.(y-1)-1 = x z -1 ∈A Vậy điều kiện 1 đợc thoả mãn A là một nhóm con của nhóm (G, o, e ) (đpcm)

1.5 Định lý: Giao của một họ bất kì các nhóm con của một nhóm G

cũng là một nhóm con của G.

Chứng minh: Xét một họ bất kỳ (Aα)α∈ I các nhóm con của G và gọi A

là giao của chúng Trớc hết ta có A ≠φ, vì phần tử đơn vị e của G thuộc Aα, với ∀ α ∈ I, do đó e ∈ A Bây giờ ta lấy hai phần tử bất kỳ x,y ∈ A Vì x, y ∈

A, nên x, y ∈ Aα , với ∀α∈ I vì các Aα là những nhóm con nên xy-1∈ Aα, với ∀α∈ I, do đó xy-1∈ A Vậy A là nhóm con của G (đpcm)

1.6 Định nghĩa: Ta nói X là một tập sinh của G ( hay G đợc sinh bởi X)

nếu <X> = G, tức là G là nhóm con nhỏ nhất của G chứa X Khi đó nếu G không đợc sinh bởi một tập con thực sự nào của X thì ta nói X là một tập sinh cực tiểu của G.

1.7 Định nghĩa: Nhóm G đợc gọi là nhóm xyclic nếu G sinh bởi một

phần tử a ∈ G Phần tử a gọi là một phần tử sinh của G

1.9 Định nghĩa: Một nhóm con H của nhóm G mà thoả mãn gH = Hg

với ∀g ∈ G thì H đợc gọi là nhóm con chuẩn tắc( hay là ớc chuẩn) của nhóm G

1.10 Tiêu chuẩn nhóm con chuẩn tắc: Nhóm con H ⊂ G đợc gọi là

nhóm con chuẩn tắc ( hay là ớc chuẩn ) khi và chỉ khi với ∀g ∈ G,

với ∀ h ∈ H ta có : g-1hg ∈ H Kí hiệu : H ∆ G

1.11 Định nghĩa: Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc của G

Gọi G/H = {aH\∀ a∈ G} Ta định nghĩa phép toán trong G/H nh sau:

aH.bH = (ab)H, với ∀ aH, bH ∈ G/H Khi đó G/H trở thành một nhóm và đợc gọi là nhóm thơng của G theo ớc chuẩn H

1.12 Định nghĩa: Giả sử G và G' là các nhóm ( với luật hợp thành viết

theo phép nhân) Một ánh xạ φ : G → G' đợc gọi là một đồng cấu nhóm nếu :

φ (xy ) = φ (x)φ ( ), với ÿ ∀ x,y ∈ G

Mệnh đề sau đâ là một hệ quả trực tiếp từ định nghĩa.ÿ

1.13 Mệnh đề: Giả sử φ: G → G' là một đồng cấu nhóm khi đó :

(i) φ chuyển đơn vị của G thành đơn vị của G', tức là φ(e) = e'

(ii) φ chuyển nghịch đảo x-1 của phần tử x ∈ G thành nghịch đảo của phần tử φ(x) ∈ G', tức là: φ(x-1) = φ(x)-1

Chứng minh:

(i) Vì e e= e và φ là một đồng cấu nhóm, cho nên : φ(ee) = φ (e)φ(e)

= φ(e) = φ(e) e' Theo luật giản ớc, hệ thức nà kéo theo ÿ φ(e) = e'

(ii) Tác động đồng cấu φ vào các vế của hệ thức xx-1 = x-1x =e , ta thu đợc : φ(x)φ(x-1) = φ(x-1) φ(x) = φ(e) = e' Từ đó φ(x-1) = φ(x)-1

Đ2 mô đun tự do 2.1 Định nghĩa : Giả sử M là một R - môđun

(i) Tập con khác rỗng S ⊂ M đợc gọi là một cơ sở của M nếu mỗi phần tử của M đều có biểu thị tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S

(ii) Môdun M đợc gọi là tự do nếu nó có một cơ sở, hoặc nó là môđun 0

Mệnh đề sau đâ là một hệ quả trực tiếp của các định nghĩa.ÿ

2.2 Mệnh đề: Các khẳng định sau đâ là tÿ ơng đơng.

(i) S là một cơ sở của R – môđun M

(ii) S ≠ φ là một tập sinh độc lập tuyến tính của M

(iii) M = ⊕ RS và linh hoá tử của s là Ann(s) = { x sx = 0} = 0,

với ∀ s ∈S

Nhắc lại rằng , nếu Ann(s) = 0 thì RS≅ R

2.3 Mệnh đề: Mỗi không gian véc tơ V trên trờng K đều là một

K - môđun tự do

Chứng minh: Kết luận là tầm trờng với V = 0 Giả sử V ≠ 0, và S ⊂ S' là các tập con của V, trong đó S độc lập tuyến tính ( chẳng hạn, S là tập chỉ gồm các phần tử khác 0), còn S' sinh ra V ( chẳng hạn, S' =V) Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một cơ sở B của V sao cho S ⊂ B ⊂ S'

Gọi B là tập hợp mà mỗi phần tử của nó là tập hợp chứa S, đợc chứa trong S' và độc lập tuyến tính trong V Vì B chứa S nên B ≠φ Với thứ tự là quan hệ bao hàm, B đợc sắp quy nạp Thật vậy, nếu {C i}i∈Ilà một tập con đợc sắp toàn phần trong B, thì C = i

Gọi φ(B) là không gian véctơ con của V sinh ra bởi B Giả sử rằng có v∈

V/φ(B) Khi đó B ∪ } {v độc lập tuyến tính Thật vậy, nếu nh :

a = 0 (ax, b ∈ K),thì b = 0, nếu trái lại thì v = - ∑b − 1 axx ∈ ϕ(B) Do đó B độc lập tuyến tính nên b = 0 kéo theo ax= 0 với ∀ x ∈B Nh thế B ∪ {v} là một phần tử trong B lớn hơn phần tử cực đại B Mâu thuẫn nà chứng tỏ v= ÿ φ (B) Vậy B là một cơ

sở của V (đpcm)

2.4 Mệnh đề: ( tính phổ dụng của mô đun tự do)

8

Giả sử M là một môđun tự do với cơ sở S = {x i}i∈Ivà {y i}i∈Ilà họ các phần tử tuỳ ý của môđun N Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu môđun

φ : M → N sao cho φ(xi) = ÿi,với ∀ i ∈I

Chứng minh : Mọi phần tử x ∈M đều viết đợc duy nhất dới dạng một tổ hợp tuyến tính

Rõ ràng φ là một đồng cấu với φ(xi) = ÿi (i∈I)

Tính duy nhất của φ suy từ chỗ, nếu φ tồn tại thì :

ϕ(x) = ϕ(∑a i x i) = ∑a i ϕ(xi) = ∑a i y i (đpcm)

2.5 Hệ quả: Hai R – môđun tự do với các cơ sở có cùng lực lợng thì

đẳng cấu với nhau

Chứng minh : Giả sử M và N là các R - môđun tự do với các cơ sở tơng

ứng là {x i}i∈I và {y i}i∈I.Theo mệnh đề trên, tồn tại duy nhất các đồng cấu φ:

M → N , ψ : N → M với φ(xi) = ÿi , ψ (ÿi) = xi (i∈I)

Khi đó ψϕ = idM , φψ = idN Cho nên M ≅ N (đpcm)

2.6 Mệnh đề: Giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0 Khi đó

hai cơ sở bất kỳ của cùng một R - môđun tự do M đều có cùng lực lợng

Chứng minh: Chúng ta chứng minh mệnh đề nà dựa trên giả thiết là taÿ

đã biết mệnh đề tơng tự cho các không gian véctơ : Hai cơ sở của cùng một không gian vectơ có cùng lực lợng

Tập hợp các iđêan thực sự của R đợc sắp quy nạp theo quan hệ bao hàm Thật vậy, nếu {B i}i∈I là một họ đợc xắp tuyến tính các iđêan thực sự của R thì

Giả sử {x i}i∈I là một cơ sở của R - môđun tự do M

Khi đó M = i ⊕ ∈ IRxi Từ đó: M/AM ≅ i ⊕ ∈ IRxi/Axi≅ i ⊕ ∈ IK[xi], trong đó

[xi] = ( xi + AM ) Nh thế, M/AM là K - không gian vectơ với cơ sở { [ ]xi }i∈I.

Vì các cơ sở của không gian véctơ M/AM có cùng lực lợng, nên các cơ sở

a , trong đó as ∈ R với hầu hết

as = 0 trừ một số hữu hạn chỉ số s Tập hợp F(S) trang bị một cấu trúc

R - môđun với hai phép toán định nghĩa nh sau:

∑ass + ∑bss = ∑( as + bs) s ,a(∑ass) = ∑( aas) s ,

ở đây a, as, bs ∈ R Có thể xem S là một tập con của F(S) bằng phép tơng ứng s  1.s ∈ F(S) Dễ thấy rằng F(S) là một R - môđun tự do với cơ sở S

2.7 Định nghĩa: F(S) đợc gọi là môđun tự do trên tập S

2.8 Mệnh đề: Mỗi R - Môđun (hữu hạn sinh) đều là ảnh đồng cấu của

một R - môđun tự do (tơng ứng: hữu hạn sinh )

Chứng minh: Giả sử S là một tập sinh của R - môđun N Theo mệnh đề

2.4, tơng ứng φ(s) = s thác triển đợc duy nhất thành một đồng cấu môđun

φ: F(S) → N Vì S sinh ra N nên S ⊂ Imϕ = N, tức là φ là một toàn cấu môđun (đpcm)

Đ 3 nhóm tự do 3.1 Định nghĩa: Nhóm tự do trên S là một cặp ( f, F ) trong đó F là một

nhóm , f: S → F là một ánh xạ có tính chất sau : Với mỗi cặp ( g , G ), trong đó

G là một nhóm và g : S → G là một ánh xạ, tồn tại duy nhất một đồng cấu nhóm

φ : F → G làm giao hoán biểu đồ sau đâ ( tức là g = ÿ φ f )

Có khi ta nói F là nhóm tự do trên tập S.

Một nhóm đợc gọi là tự do nếu nó là nhóm tự do trên một tập hợp S nào

đó

3.2 Định lý: Với mỗi tập S khác rỗng, tồn tại một nhóm tự do trên S.

Chứng minh: Với mỗi s ∈S, ta viết s = s1 và gọi s-1 là một ký hiệu mới.Một từ trên S là một dã hữu hạn aÿ 1, , a… t, trong đó mỗi ai là một trong các ký tự s hay s-1 với s ∈S Dã đó có thể rỗng ( ứng với độ dài t = ÿ 0 ) Khi đó,

Từ h đợc gọi là nối đợc với từ h', nếu tồn tại dã hữu hạn các từ ÿ

h = h1, h2, , h… n= h' sao cho hi kề với hi+1 ( i = 1, ,n-1).…

Hai từ đợc gọi là tơng đơng nếu chúng cùng nối đợc với một từ thứ ba

Đâ thực sự là một quan hệ tÿ ơng đơng Lớp tơng đơng của từ h sẽ đợc viết là [h]

Trong mỗi lớp tơng đơng có một và một từ rút gọn Đó là từ có độ dài nhỏ nhất trong lớp

Gọi F(S) là tập hợp các lớp tơng đơng của các từ trên S Ta định nghĩa một phép nhân trên F(S) nh sau : [h][k] = [hk]

Dễ kiểm tra rằng định nghĩa nà không phụ thuộc vào phần tử đại diệnÿcủa F(S) và F(S) là một nhóm đối với phép nhân đó

Xét ánh xạ f : S → F(S) định nghĩa bởi f(s) = [s] Rõ ràng f là một đơn

ánh , f(s) sinh ra nhóm F(S) Hơn nữa, (f, F(S)) là một nhóm tự do trên S Thật vậy, giả sử G là một nhóm, g : S → G là một ánh xạ tuỳ ý Nếu có đồng cấu

φ : F(S) → G sao cho φf = g, thì : ϕf(sε) = ϕ[sε] = g(s)ε

Ngợc lại, ta định nghĩa φ bởi công thức: ϕ[sε] = g(s)ε (s ∈S, ε = ± 1) và thác triển nó thành một ánh xạ φ : F(S) → G bằng cách đặt:

φ[a1…at] = φ[a1] …φ[at] với ai = i

i

sε (i = 1 , t) Khi đó φ là một đồng cấu nhóm

và φf =g Vậy tính duy nhất của φ là hiển nhiên

Quy ớc: Nếu S = Φ , thì S(Φ) ={e}

3.3 Định lý: Mỗi nhóm đều đẳng cấu với nhóm thơng của nhóm tự do.

Chứng minh: Giả sử G là một nhóm và S là một tập sinh của G (có thể

lấy S = G) Giả sử ( f,F(S) ) là nhóm tự do trên S Đối với phép nhúng

i: S → G, i(s) = s, tồn tại đồng cấu φ : F(S) → G sao cho φf = i

Từ đó, S = i(S) ⊂ Imφ Vì S sinh ra nhóm G và φ là một đồng cấu nhóm, nên G

= Imφ

Theo định lý về đồng cấu nhóm G ≅ F(S)/Kesφ (đpcm)

Đ4 tích trực tiếp và tổng trực tiếp của các nhóm

Giả sử A và B là các nhóm ( với luật hợp thành viết theo phép nhân ) Trên tập hợp tích: G = A ì B = { (a,b) : a ∈ A, b ∈ B }

Ta định nghĩa một luật hợp thành nh sau : (a1,b1) (a2,b2) = (a1a2,b1b2)

Dễ dàng kiểm tra lại rằng G cùng với phép toán đó lập nên một nhóm, có phần

tử đơn vị là e = ( eA, eB) và phân tử nghịch đảo của (a, b) là ( a, b)-1

= ( a-1, b-1)

4.1 Định nghĩa: Nhóm G = A ìB xâ dựng nhÿ trên đợc gọi là tích trực tiếp của hai nhóm A và B

Sau đâ là các tính chất hiển nhiên đÿ ợc suy ngay từ định nghĩa của tích trực tiếp

(a) A ìB ≅ B ìA nhờ đẳng cấu ( a, b)  ( b, a)

(b) ( A ì B ) ìC ≅ A ì( B ì C ) nhờ đẳng cấu ((a,b), c)  (a, (b,c)) (c) Có thể đồng nhất A (tơng ứng B ) Với nhóm con A ì{eB} (Tơng ứng {eA}ìB ) của AìB nhờ đơn cấu sau:

A → AìB, a  ( a, eB), ( tơng ứng B → AìB, b  ( eA, b) )

12

(d) Với phép đồng nhất trên, mỗi phần tử của A giao hoán với mọi phần tử của B trong AìB : ab = ( a, eB)( eA, b) = ( a, b) = ( eA, b)( a, eB) = ba.

(e) A ∩ B = {e} trong A x B

π : A ìB → B, π 2 ( a, b) = b,

với chú ý rằng kerπ 1 = B, ker π 2= A

4.2 Nhận xét: Giả sử N là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Nói

bội của tích mn ( do m và n là nguyên tố cùng nhau) Nh thế ( a, b ) có cấp bằng

mn trong /(m) ì/(n) Nhóm nà có đúng mn phần tử, vậy nó là một nhómÿxyclic (sinh bởi (a,b)) (đpcm)

4.4 Định lý: Giả sử A và B là các nhóm con chuẩn tắc trong G sao cho A

∩ B = {e}, và G là nhóm sinh bởi A ∪ B Khi đó G ≅ A ì B

Chứng minh: Trớc hết ta chứng minh rằng: ab = ba, với ∀ a ∈A,

∀b ∈B

Xét giao hoán tử [a,b] = aba-1b-1 = (aba-1)b-1 = a(ba-1 b-1) Vì A là một nhóm con chuẩn tắc, nên ba-1b-1 ∈ A, từ đó a(ba-1 b-1) ∈A Tơng tự,

(aba-1)b-1 ∈B Hệ quả là [a,b] ∈A ∩ B = {e} Hay là [a,b] = e và ab = ba

Tiếp theo, ta đặt AB = {ab : a ∈A,b∈B } Do ab = ba, nên AB là một nhóm con của G chứa A và B Dễ thấy rằng AB là nhóm con nhỏ nhất chứa A và

B Theo giả thiết, G là nhóm sinh bởi A ∪ B, nên G = AB Nghĩa là mọi phần tử

g ∈G đều có thể viết dới dạng g = ab, trong đó a ∈A, với ∀b ∈B

Ta sẽ chứng minh rằng biểu diễn đó là duy nhất Giả sử g = a1b1 = a2b2 với

ai ∈A, bi ∈B ( i = 1,2) Suy ra a1-1a2 = b1b2-1∈A ∩ B = {e} Từ đó a1 = a2,

b1= b2

Hơn nữa, nếu g = ab, g' = a'b' thì gg' = (ab)(a'b') = (aa') (bb') Nh vậy,

ánh xạ G → A x B, g  (a,b) trong đó g = ab, là một song ánh bảo toàn phép toán nhân Vậy G ≅ A ì B (đpcm)

4.5 Định nghĩa: Tích trực tiếp A ìB của các nhóm A và B cũng đợc gọi

là tổng trực tiếp của hai nhóm nà , và ký hiệu là A ÿ ⊕ B

Các khái niệm tích trực tiếp và tổng trực tiếp chỉ khác nhau khi chúng đợc

áp dụng cho một họ vô hạn các nhóm

Giả sử mỗi Gi là một nhóm (nhân) với mỗi i ∈I Trên tập tích

∏

∈ I i i

G Tổng trực tiếp của họ nhóm đó, kí hiệu i ⊕ ∈ I

Gi là nhóm con của ∏

∈ I i i

G gồm tất cả các phần tử ( )a i i∈I sao cho ai = ei (đơn

vị ) đối với hầu hết, trừ ra một số hu hạn chỉ số i

14