Một số kết quả về biểu diễn nhóm hữu hạn luận văn tốt nghiệp đại học

Nó được mô tả bằng định nghĩa nhóm, mô tả bằng ánh xạđẳng cấu, mô tả bằng một tập sinh và quan hệ giữa chúng, biểu diễn của nhóm.. KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM Nội dung chương này là nhắc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

********************

LÊ THỊ LƯƠNG TRANG

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN

KHÓA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC

NGÀNH TOÁN HỌC

Vinh – 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

********************

LÊ THỊ LƯƠNG TRANG

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS NGUYỄN QUỐC THƠ

Vinh – 2011

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu 1

Chương 1 KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM 3

§ 1: Định nghĩa biểu diễn 3

§ 2: Đặc trưng của biểu diễn 4

§ 3: Vành biểu diễn 6

Chương 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN .9

§ 1: Biểu diễn của nhóm Aben 9

§ 2: Biểu diễn bởi nhóm đối xứng 15

§ 3: Biểu diễn bởi nhóm đối xứng tổng quát 26

§ 4: Biểu diễn chính quy tổng quát bởi ma trận 29

Kết luận 36

Tài liệu tham khảo 37

LỜI NÓI ĐẦU

Như chúng ta đã biết nhóm là một trong những đối tượng cơ bản, cổ điểnnhất của toán học Nó được mô tả bằng định nghĩa nhóm, mô tả bằng ánh xạđẳng cấu, mô tả bằng một tập sinh và quan hệ giữa chúng, biểu diễn của nhóm

Lý thuyết biểu diễn nhóm là một lý thuyết có rất nhiều ứng dụng không chỉtrong toán học mà còn trong nhiều ngành khoa học khác

Nội dung của khoá luận hệ thống lại và chứng minh một số kết quả vềbiểu diễn nhóm hữu hạn Khoá luận được chia làm hai chương

CHƯƠNG I KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM

Nội dung chương này là nhắc lại các khái niệm cơ bản của một biểu diễnnhóm hữu hạn, từ đó đưa ra các tính chất đặc trưng của một biểu diễn…Các kháiniệm này là các khái niệm cơ bản cần thiết phục vụ cho chương II Cụ thể đượcthể hiện qua các mục sau

§ 1: Định nghĩa biểu diễn

§ 2: Đặc trưng của biểu diễn

§ 1: Biểu diễn của nhóm Aben

§ 2: Biểu diễn bởi nhóm đối xứng

§ 3: Biểu diễn bởi nhóm đối xứng tổng quát

§ 4: Biểu diễn chính quy tổng quát bởi ma trận

Khoá luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáoTh.S Nguyễn Quốc Thơ và các thầy cô giáo trong khoa toán Nhân dịp này tácgiả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo Th.S Nguyễn Quốc Thơ cùng các thầy côgiáo trong khoa toán, đặc biệt là tổ đại số đã giúp đỡ tác giả hoàn thành khoáluận này cũng như trong suốt bốn năm học vừa qua Nhân đây tác giả xin cảm

ơn gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ tác giả trong thời gian vừa qua

Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhưng chắc không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, cùng cácbạn sinh viên để khoá luận này được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 5 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG I KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM

§ 1 ĐỊNH NGHĨA VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN

:G→GL V

ϕ , từ G vào nhóm GL(V) các tự đẳng cấu tuyến tính của V.

Ký hiệu ϕ(s)bởi ϕs với s∈G Ta có:

ϕ =st ϕsϕt,

ϕe =id v,

ϕs− 1 = ( ϕs) − 1,

Với s, t∈ G và e là đơn vị của nhóm G.

V được gọi là một không gian biểu diễn của G (hay là một G - khônggian) Số chiều của V trên K được gọi là cấp của biểu diễn Nếu K =¤ ¡ £, ,hoặc £ thì ta nói ϕ là một biểu diễn hữu tỉ, thực hoặc phức (tương ứng ) của G.

Biểu diễn ϕ :G→GL(V) được gọi là biểu diễn trung thành nếu ϕ là một

đơn cấu R*nhóm; ϕ được gọi là tầm thường nếu ϕe =id v với mọi s∈G.

1.2 Ví dụ

Mỗi biểu diễn cấp một của G là một đồng cấu ϕ :G→GL(K) ≡ K∗ = K\{ }0

Đặt g = G , ta có s g =e với mọi s∈G, do đó g = 1

s

ϕ trong K∗ Như vậy ϕs

là một căn bậc g của đơn vị 1 trong K∗ với mọi s∈G Từ đây ta có thể thấy rằngcác biểu diễn phức là phong phú hơn biểu diễn thực, bởi vì trong £ có đúng g*

căn bậc g của 1, trong khi đó ¡ chỉ chứa nhiều nhất là hai căn bậc g của 1 (tùy*

theo chẵn hay lẻ)

§ 2 ĐẶC TRƯNG CỦA BIỀU DIỄN

Trong mục này trở đi chúng ta chỉ xét các biểu diễn phức

Giả sử V là một trường không gian vectơ phức n chiều và a: V →V là mộtphép biến đổi tuyến tính có ma trận A= (A ij) trong cơ sở {e1,e2, ,e n}của V Số

Tr

1 )

( được gọi là vết của a

2.1 Định nghĩa

Giả sử ϕ :G→GL(V) là một biểu diễn tuyến tính của nhóm G trong không

gian vectơ V Hàm số χϕ :G→C được định nghĩa bởi công thức:

) ( )

(ii) χ (s− 1 ) = χ (s), với mọi s∈G,

(iii)χ (tst− 1 ) = χ (s), với mọi s,t∈G

Chọn một cơ sở của C[ ]G là (t)(t)t∈G, khi đó Trên cơ sở đó ánh xạ ϕs tác

động như sau: ϕs(t) =st Như vậy, nếu s≠e thì st ≠t với mọi t∈G Ta biểudiễn ϕsdưới dạng ma trận, ta được ma trận Aϕs =[ ]a ij n, suy ra các phần tử trên

đường chéo Aϕsđối với cơ sở trên đều bằng 0 Tức là

,

0 ) ( )

r G = ϕs = ∀ ≠ (trong đó Tr( ϕs)là vết của ϕ).

Vậy theo Mệnh đề 2.2, ta có

[ ]G G C

Hàm f :G→C được gọi là hàm lớp trên G nếu, f(tst− 1 ) = f(t), ∀s,t∈G.

Ký hiệu bởi R C (G)là không gian vectơ con của F(G,C) gồm tất cả cáchàm lớp trên G

khác dim(R C(G)) bằng số các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu củaG

§ 3 VÀNH BIỂU DIỄN

Tập hợp các biểu diễn của nhóm G được trang bị hai phép toán ⊗ , ⊕ Nó

có nhiều tính chất của một vành, nhưng không phải là một vành, bởi vì ta khôngbiết thế nào là “hiệu” của hai biểu diễn (tương ứng với tổng là ⊕)

Để khắc phục điều đó ta mở rộng tập các biểu diễn thành tập các biểu diễnsuy rộng, bằng cách sau đây

Giả sử ϕ 1 , ϕ 2 , , ϕp là tất cả các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳngcấu của G Khi đó, mỗi biểu diễn ϕ của G có thể phân tích thành tổng

p p

p n m n

hai biểu diễn suy rộng ϕ và ψ cũng được xác định bởi cùng công thức đã nêu ở

trên cho trường hợp ϕ và ψ là các biểu diễn.

Ta thấy rằng R(G) lập thành một vành (giao hoán) đối với hai phép toán⊕

và ⊗ Nó được gọi là vành biểu diễn của nhóm G

Giả sử χi là đặc trưng của biểu diễn ϕi Khi đó, R(G) có thể đồng nhấtvới tập các hàm là tổ hợp tuyến tính của χ 1 , , χp.

(∑m iχi) ( + ∑n iχi) =∑(m i+n i) χi,

(∑m iχi)(∑n jχj) =∑m n i j( χ χi j)

Vì thế R(G) cũng được gọi là vành đặc trưng của G.

Đối với phép cộng, R(G) là một nhóm Abel tự do trên tập hợp

Các đặc trưng suy rộng của G lập thành một vành giao hoán R(G) với đơn

vị là đặc trưng χ 1của biểu diễn đơn vị.

Phép nhân trong vành R(G) được hoàn toàn xác định thông qua các hệ số cấu trúc, tức là các số nguyên không âm k

Nếu ϕilà một biểu diễn bất khả quy cấp một và ϕjlà một biểu diễn bấtkhả quy cấp tuỳ ý, thì ϕi⊗ ϕjcũng là một biểu diễn bất khả quy.

CHƯƠNG II BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN

§ 1 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM ABEN

Trong mục này tác giả sẽ sử dụng lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn

để xét biểu diễn của một số nhóm đặc biệt đó là: nhóm Aben, nhóm xyclic,nhóm đối xứng Sn (n = 1, 2, 3)

Theo định nghĩa của biểu diễn một nhóm, ta giả sử f : G→GL(V) là mộtbiểu diễn bất khả quy của G, khi đó ta xét hạn chế fH : H→GL(V) của f trên H.

Bây giờ ta giả sử W ⊂ V là một không gian biểu diễn con bất khả quy của

fH,

Theo Định lý 1.1 thì dimW = 1 Đặt

V w f W

G S

Si-1 =[a , i b i]-1 = (a i− 1b i− 1a i b i)-1 = b i− 1a i− 1b i a i = [b , i a i]

Nên H = [G, G] = {s1s2 s n s i =[a i,b i] },

[G G]

a G

g∈ , ∀ ∈ ,

∀ có a = s1s2 sn trong đó si = [a , i b i]

Khi đó ta có ag = (s1.s2 sn)g = n

g n g

s1 2 = 1 2

Trong đó ti = s [a b] a b a b g g a i b i a i b i g

i i i i i

g i i

g i

i s a b a b

⇒

⇒a g∈[G,G] hay a g ∈A

Mà A =[G, G] nhóm con của G nên A = [G,G]∆G.

Vậy A là nhóm con chuẩn tắc của G

+ Chứng minh A = [G, G] là nhóm giáo hoán từ đó suy ra G/[G, G] là nhómAbel

Ta phải chứng minh ∀x,y∈G có xA yA = yA xA

G y

x ∈

∀

⇔ , có xAy = yxA

G y

x ∈

∀

⇔ , có ( ) ( )xy − 1 yx ∈A

G y

x ∈

∀

G y

x ∈

∀

⇔ , có[ ]y,x ∈A đúng

⇒xA yA = yA đúng.

Vậy A là nhóm Abel ⇒G/A=G/[G,G] là nhóm Abel.

Từ định lý trên ta có các kết quả sau

1.4 Định lý

Cho G là một nhóm, khi đó có sự tương ứng một một giữa biểu diễn cấp 1 của G và các biểu diễn bất khả quy của nhóm Abel G/[G, G] Số các biểu diễn cấp 1 không đẳng cấu với nhau của G bằng chỉ số [G, G] trong G.

Chứng minh

Giả sử f là một biểu diễn cấp một của G, có nghĩa chọn f : G→GL(C) VìGL(C) là nhóm Abel và Imf là nhóm con của GL(C), nên Imf cũng là nhómAbel

Như ta đã biết [G,G]∆G và kerf ∆G, nhưng [G,G]⊂ ker f.

Vì lấy m ∈[G,G]⇒m=x− 1y− 1xy⇒ f(m) = f(x− 1y− 1xy) =e(e là đơn vị củaGL(C))

[ , ] ker , ker

)

giao hoán tử của G

Bây giờ ta xây dựng một biểu diễn của G/ [G, G] sinh bởi f như sau:

[ , ] ( ) /

:G G G GL C

Được xác định bởi f(s[G,G] )= f(s), ∀s∈G

Ta dễ dàng chứng minh được rằng ánh xạ f không phụ thuộc vào phần

tử đại diện là lớp ghép s[G, G] Bây giờ ta chứng minh f là cấp một (theo định

lý 1.1)

Suy ra f bất khả quy

Ngược lại, giả sử ta có một biểu diễn bất khả quy ϕ của nhóm thương

Abel G/[G, G] ⇒ ϕ cấp một (theo định lý 1.1) Từ biểu diễn ϕ của G/[G, G] , tathấyϕ cảm sinh một biểu diễn ϕ của G là ϕ:G→GL(C), được xác định bởi

, ),

(

.

)

(s = ϕ π s ∀s∈G

ϕ trong đó π :G→G/[G,G] là phép chiếu tự nhiên.

Tóm lại: Nếu có một biểu diễn f của G, ta xây dựng được biểu diễn ϕ của

G Do vậy, tương ứng ϕ → ϕ là ngược của tương ứng f  f (chứng minh đượcđây là tương ứng một - một)

Do tương ứng một - một vừa thiết lập ở trên và do G/[G, G] là nhóm Abel

⇒ số biểu diễn cấp một không đẳng cấu với nhau của G bằng ord(

[G G]

G/ , ) = [G:[G,G] ].

1.5 Ví dụ

Ví dụ 1:

Cho G ={a n n∈Z} là nhóm xyclic cấp n sinh bởi phần tử a Mô tả các biểu

diễn bất khả quy của G

Chứng minh

Vì nhóm xyclic là nhóm Abel, khi đó theo định lý 1.1 thì mọi biểu diễnbất khả quy của G đều là cấp một Theo lý thuyết đặc trưng của biểu diễn thìmột biểu diễn bất khả quy cấp một f của G, được đồng nhất với đặc trưng của

nó, đó là đồng cấu f :G→C\{ }0 với a∈G, ta đặt w = f(a)⇒ f(a ) =[f(a)]m =w m.

Mặt khác vì ord(G) = n (có nghĩa a n =e⇒w n =[f(a)]= f(a n) = f(e) = 1) (vìđồng cấu nhóm bảo tồn phần tử đơn vị).

1

=

⇒w n có nghĩa là w là giá trị căn bậc n của 1

n ik

m

k(a ) e2π /

α = ,(k = 1,2, ,n).

Theo dạng lượng giác của số phức ta có: αk αk' = αk+k'(cộng theo chỉ số k

được lấy theo mod n )

n sign ab sign a sign b A S A

(

n n

n n

S A

x sign a sign x sign xax

sign S

x A

1 1

n

A b

c n

n S A

Như ta đã biết, với n ≥ 2 thì An là nhóm con sinh bởi các vòng xích có độdài 3.Mặt khác:

Với n=1: biểu diễn của nhóm đơn vị S1 = { }e

Với n=2: biểu diễn của S2 ≅ C2 (xét ở ví dụ 1.5).

Với n=3: xét biểu diễn của nhóm S3.

Ta có S3. có 3 lớp liên hợp, được đại diện {(e), ( 1 2 ), ( 1 2 3 )} Vậy S3. có

3 biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau Hai trong số các biểudiễn đó có biểu diễn cấp một đó là χ 1 và một biểu diễn χ 2 được xác định

§ 2 BIỂU DIỄN BỞI NHÓM ĐỐI XỨNG

2.1 Nhóm đối xứng

Giả sử tập A = {a , ,1 a n} là tập hữu hạn Ký hiệu

S(A) = { f A: →A f song ánh} Khi đó S(A) cùng với phép hợp thànhcác ánh xạ là một nhóm

Nhóm S(A) được gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp A Mỗi nhóm concủa S(A) được gọi là nhóm các phép thế trên A

2.2 Nhóm phép thế bậc n

Nếu A = {1, 2, , n} thì S(A) được ký hiệu đơn giản là Sn và được gọi lànhóm đối xứng trên n phần tử (hay còn gọi là nhóm phép thế bậc n) Mỗi songánh f∈Sn được gọi là một phép bậc n.

2.3 Phép thế liên hợp

2.3.1 Định nghĩa

Hai phép thế α , β thuộc nhóm phép thế G được gọi là phép thế liên hợp

nếu trong G tồn tại một phép thế γ sao cho: β = γαγ − 1

+ Điều kiện cần: α , β liên hợp trong nhóm đối xứng

Giả sử α =(a11,a12, ,a1r) ( a m1,a m2, ,a mt) khi đó tồn tại γ sao cho β = γαγ − 1

mt m r

b b b b

a a a a

1 1 11

Khi đó β =γαγ − 1 =(b11, ,b1r) ( b m1, ,b mt) ⇒ α , β có cùng sốvòng xích và mỗi vòng xích có độ dài như nhau.

r

mt m

r

b b

b b

a a

a a

11

1 1

1 x x j i x j x

i− = ⇒ αα − = αα

Giả sử S ={s1,s2, ,s k} là miền bắc cầu của nhóm G Gọi H là tập hợp tất

cả các phép thế của G giữ nguyên tại chỗ s1 Với mỗi s i∈S , ta chọn ∈G sao choαi( )s1 =s i Khi đó H là một nhóm con của G và G = α1H + α2H + + αk H

Chứng minh

Ta có H = { h ∈ G h ( s1) = s1}

+ Chứng minh: H nhóm con của G ?

• H≠ φ do id ∈H , với id là đơn vị của G

1 1

1 1

1 1

1 (s ) f(g (s ) ) f(s ) s g

H g

Nhưng f h(s1) = f(s1) ⇒h(s1) =s1 ⇒h∈H.

H h

f ∈ ⇒ ⊂

⇒ (2)

Từ (1) và (2) ta có G = A ⇒Đpcm

2.5 Biểu diễn nhóm bởi nhóm đối xứng

Cho G1 và G2 là hai nhóm bất kỳ, một đồng cấu ϕ :G1 →G2 được gọi là

một biểu diễn nhóm G1 bởi nhóm G2.

- Biểu diễn ϕ được gọi là biểu diễn thực sự nếu ϕ là đơn cấu.

( ( )) ( ( ) ' ( ' )

Biểu diễn λở trong Định lý 2.5.1 gọi là biểu diễn chính quy trái của nhóm G.

2.5.3 Ví dụ

Xét biểu diễn nhóm Dihedral D3 vào nhóm S6

Khi đó D3 = {e,a,a2 ,ab,a2b,b} Các phần tử của D3 có tính chất a3 = e,b2 =e,(ab)2 = e

Trước hết ta đánh số các phần tử D3 bởi song ánh

b b a ab a a e

2 2

2 2

b b a ab a a e

2 2

2 2

b b a ab a a e

2 2

2 2

b b a ab a a e

2 2

2 2

2 2

a e a b ab b a

b b a ab a a e

b b a ab a a e

2 2

2 2

Biểu diễn chính quy trái λ :D3 →S6.

6 5 4 3 2

6 5 4 3 2

6 5 4 3 2

1 =(132)(465)

6 5 4 3 2

6 5 4 3 2

6 5 4 3 2

1 =(16)(25)(34)

Tương tự biểu diễn chính quy trái, ta có biểu diễn chính quy phải nhưsau:

G G

τ

⇒ gg' g  g' không phải là đồng cấu

2.5.4 Định lý

Biểu diễn chính quy trái λtương đương với biểu diễn chính quy phải ρ

Khi và chỉ khi G là nhóm giao hoán.

Chứng minh

+ Giả sử biểu diễn chính quy trái λtương đương với biểu diễn chínhquy phải ρ, có nghĩa làλ (g) = ρ (g),∀g∈G hay ∀x,g∈G⇒ gx=xg⇒G là nhómgiao hoán

+ Giả sử G là nhóm giao hoán

G g

2.6 Tính chất ảnh của biểu diễn λ trong nhóm đối xứng S(G)

2.6.1 Định nghĩa

Cho G là một nhóm và S là tập con của G Khi đó tập hợp

CG(S) ={g∈G\g− 1sg=s, ∀s∈S} gọi là tâm tập của S trong G và tập hợp

NG(S) ={g∈G\g− 1sg∈S, ∀s∈S} gọi là chuẩn tập của S trong G.

2.6.2 Định lý

Cho G là nhóm hữu hạn, khi đó ảnh biểu diễn chính quy phải Imp là tâm tập của ảnh biểu diễn chính quy trái Imλ trong nhóm đối xứng S(G) và ngược lại Imλ cũng là tâm tập của Imp trong S(G).

g ∈ ∀ ∈

'

) (

' ) ( '

'

G x gxg x

G x gxg x

g

g

g g





A p A

x) = ' ∀ ∈

(

Hay α = τg' ⇒ α = Imp⇒A⊂ Imp (2)

Từ (1) và (2) suy ra A=Imp suy ra điều phải chứng minh

+ Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được Imλlà tâm tập của Imp trongS(G)

2.6.3 Định lý

Nếu G là nhóm Abel thì Imp = Imλ và chúng là nhóm con giao hoán cực đại trong S(G).

Chứng minh

+ Rõ ràng với G là nhóm Abel thì Imp = Imλ

+ Chứng minh Imλlà nhóm con cực đại trong S(G)

Thật vậy:

Giả sử A là nhóm con giao hoán trong S(G) và Imλ ⊂ A ta có:

Với α ∈A⇒ α  δg = δg  α , ∀ δg ∈ Im λ

α

⇒ thuộc vào tâm tập của Imλ ⇒ α ∈ Imphay α ∈ Im λ ⇒ A⊂ Im λ Hay

Imλlà nhóm con cực đại trong S(G)

Sau đây ta xét ví dụ:

2.6.4 Ví dụ

Tìm biểu diễn chính quy phải ρ :D3 →S6 Khi đó Imρ là tâm tập của Im

λ, thật vậy Ta có D3 = {e,a,a2 ,ab,a2b,b} Từ bảng nhân của D3 ta có:

6 5 4 3 2

6 5 4 3 2

6 5 4 3 2

6 5 4 3 2

6 5 4 3 2

6 5 4 3 2

1 = (16)(24)(35)

(Nói chung τ ≠g δg).

Ta chứng minh Imp là tâm tập của Imλ

6 5 4 3 2 1

=( )132 ( )456

a ab

a δ τ

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

δ α λ δ

x) = g ( ) = g ( ), ∀ ∈

) ( ) ( ) (

1e eg g g

Đặt g = g1 = g2.

G x x x

G x x x

⇒

Ta lại có λ là một biểu diễn thự sự của G nên G ≅ Imλ

Từ giả thiết ⇒ ∀tự đẳng cấu của Imλ đều là tự đẳng cấu trong, do đó:

λ δ

1 1

g i

g i g

g

i a x a

p a

x i 1 ∈ Im

⇒  − (do Imp là tâm tập của Imλ)

Đặt y i =x i a− 1 ∈ Imp ta có:

λ λ

i i

§ 3 BIỂU DIỄN NHÓM BỞI NHÓM ĐỐI XỨNG TỔNG QUÁT

Trong mục này ta luôn giả thiết nhóm G là nhóm hữu hạn, ngoài biểu diễnchính quy ta còn có thể có các biểu diễn khác bởi nhóm phép thế

3.1 Biểu diễn nhóm qua nhóm đối xứng của nhóm thương

⇒ do G H là nhóm ⇒ ∃ !x∈G:gx= y (tính chất nghiệm củaphương trình ax = b trong nhóm)

yH xH

H G xH yH