Tương đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh

Thông qua việc mô tả tơng đẳng trên một lớp nửa nhóm nào đó chúng ta sẽ hiểu đợc sâu sắc cấu trúc của các lớp nửa nhóm đó.. Một số tơng đẳng trên các lớp nửa nhóm đã đợc khảo sát nh tơng

Mục lục

Trang

Lời nói đầu……… 2

Chơng I Các khái niệm cơ bản trên nửa nhóm……… 4

1.1 Nửa nhóm các quan hệ trên một tập……….4

1.2 Băng và nửa dàn……… 8

Chơng II Tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh…… 11

2.1 Một số kết quả về nửa nhóm giao hoán……… 11

2.2 Tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh………13

Kết luận ……… 27

Tài liệu tham khảo……….28

Lời nói đầu

Tơng đẳng là một trong những khái niệm cơ bản nhất của lý thuyết nửa nhóm Thông qua việc mô tả tơng đẳng trên một lớp nửa nhóm nào đó chúng ta sẽ hiểu đợc sâu sắc cấu trúc của các lớp nửa nhóm đó Một số tơng đẳng trên các lớp nửa nhóm

đã đợc khảo sát nh tơng đẳng trên nửa nhóm ngợc (Vagner & Preston), nửa nhóm chính quy (Pertric), nửa nhóm các phép biến đổi (Mantsev)…

Khóa luận của chúng tôi nhằm mô tả tơng đẳng trên lớp nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh thông qua việc chứng minh một cách chi tiết Định lý Rédéi nói rằng:

Nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh là nửa nhóm xác định hữu hạn

Khóa luận gồm hai chơng

Chơng I Các khái niệm cơ bản trên nửa nhóm.

Trong chơng này, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất liên quan đến nửa nhóm các quan hệ trên một tập, tơng đẳng và nửa nhóm thơng, băng và nửa dàn

để làm cơ sở cho việc trình bày chơng sau

1.1 Nửa nhóm các quan hệ trên một tập

1.2 Băng và nửa dàn

Chơng II Tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh.

Đây là phần chính của khóa luận Trong chơng này, trớc hết chúng tôi trình bày lại một số kết quả về nửa nhóm giao hoán để làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của khóa luận: Tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh

2.1 Một số kết quả về nửa nhóm giao hoán Trình bày một cách chi tiết các kết quả của T Tamura và N Kimura chứng tỏ rằng một nửa nhóm giao hoán biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng một dàn các nửa nhóm Archimede (Định lý 2.1.5)

2.2 Tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh Trong tiết này, trớc hết chúng tôi trình bày lại một cách tờng minh Định lý mô tả các tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh trên cơ sở đó chứng minh chi tiết Định lý của Rédéi: Nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh là nửa nhóm xác định hữu hạn (Định lý 2.2.22)

Việc xây dựng các tính chất của tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh là vấn đề chúng tôi đang tiếp tục nghiên cứu.

Khóa luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy vì đã có nhiều chỉ bảo, giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực cho tác giả trong quá trình hoàn thành khóa luận

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số; các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trờng Đại Học Vinh và tập thể lớp 47B – Toán đã

động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khoá luận này

Do trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận chắc chắn còn nhiều thiếu sót, tác giả mong nhận đợc sự góp ý, chỉ bảo của bạn đọc để khóa luận đợc hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 05 năm 2010

Tác giả

Chơng I

Các khái niệm cơ bản về tơng đẳng trên nửa nhóm

1.1 Nửa nhóm các quan hệ trên một tập

Trong chơng này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất mở đầu của

lý thuyết nửa nhóm các quan hệ trên một tập

1.1.1 Định nghĩa i) Giả sử là một tập hợp tuỳ ý khác rỗng Khi đó tập con của

tích Descartes đợc gọi là một quan hệ trên tập

Giả sử Nếu , trong đó là các phần tử thuộc tập

thì ta cũng sẽ viết và nói “ nằm trong quan hệ với ”

ii) Nếu và là các quan hệ trên , thì cái hợp thành của chúng đợc

định nghĩa nh sau: nếu tồn tại phần tử sao cho và

Phép toán hai ngôi ( ) là kết hợp Thật vậy, nếu và là các quan hệ trên , thì

đơng với điều khẳng định: tồn tại các phần tử sao cho:

và Do đó, tập x tất cả quan hệ hai ngôi trên

là một nửa nhóm đối với phép toán ( ) Nửa x đợc gọi là nửa nhóm các quan hệ trên

tập

1.1.2 Một số quan hệ hai ngôi đặc biệt.

1) Giả sử là một tập hợp tuỳ ý Quan hệ đợc gọi là quan hệ bằng nhau

(hay quan hệ đờng chéo) nếu khi và chỉ khi , với mọi

2) Quan hệ đợc gọi là quan hệ phổ dụng nếu với mọi

4) Giả sử x Khi đó nếu là tập con của , nghĩa là

kéo theo Vì x gồm tất cả các tập con của , nên ta có thể thực hiện trong

x các phép toán Boole: hợp, giao và phần bù

5) Giả sử là một quan hệ trên Khi đó đợc gọi là đối xứng nếu

(và do đó ; quan hệ đợc gọi là phản xạ nếu và đợc gọi là bắc cầu

nếu Một quan hệ trên đợc gọi là tơng đơng nếu là phản xạ, đối

xứng, bắc cầu Khi đó là một luỹ đẳng của nửa nhóm x

1.1.3 Phân hoạch một tập hợp Giả sử là một quan hệ tuỳ ý trên và Khi

Nh vậy, họ các tập , trong đó là một phân hoạch của tập , tức là các

tập đó không giao nhau và hợp của chúng bằng Ta ký hiệu họ đó là Ta gọi

là lớp tơng đơng của tập theo mod chứa Đảo lại, mọi phân hoạch của tập

xác định một quan hệ tơng đơng mà , cụ thể khi và chỉ khi và

thuộc cùng một tập của phân hoạch Ta gọi ánh xạ là ánh xạ tự nhiên

hay ánh xạ chính tắc từ tập lên tập và ký hiệu ánh xạ đó là

Chú ý rằng với mỗi

1.1.4 Bổ đề Nếu và là các quan hệ tơng đơng trên và = thì cũng là quan hệ tơng đơng trên và

1.1.5 Định nghĩa Giả sử là nửa nhóm và là một quan hệ trên Khi đó đợc

gọi là ổn định bên phải (trái) nếu kéo theo (hay , với

mọi

Quan hệ đợc gọi là tơng đẳng phải (trái) nếu là quan hệ tơng đơng và ổn

định phải (trái), nghĩa là với mọi thì (hay

Quan hệ đợc gọi là một tơng đẳng trên nếu vừa là tơng đẳng phải vừa là tơng đẳng trái

1.1.6 Bổ đề [5] Một quan hệ tơng đơng trên nửa nhóm là một tơng đẳng nếu

và chỉ nếu với mọi có:

.

1.1.7 Định nghĩa Giả sử là một tơng đẳng trên và giả sử là

tập hợp tất cả các lớp tơng đẳng của Khi đó tơng ứng là một

phép toán hai ngôi trên và với phép toán đó trở thành một nửa nhóm đợc gọi

là nửa nhóm thơng (của modun )

Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.7 hợp lý, chỉ cần chứng tỏ phép toán hai ngôi xác

định trong nh trên có tính chất kết hợp Thật vậy, với mọi :

1.1.8 Mệnh đề [5].

i) Nếu là một họ đẳng của , thì cũng là một tơng

đẳng của

ii) Giả sử là một quan hệ trên Thế thì là một tơng

đẳng trên là tơng đẳng bé nhất của chứa

1.1.9 Định nghĩa Giả sử là một tơng đẳng trên Khi đó ánh xạ

cho bởi là một toàn cấu và đợc gọi là toàn cấu chính

trong đó và đợc hình dung nh là tích các quan

hệ (thực hiện từ trái qua phải)

Chú ý là một tơng đẳng đợc suy trực tiếp từ đồng cấu nửa nhóm và

cách xác định Nếu là một tơng đẳng trên thì

1.1.11 Hệ quả Mỗi tơng đẳng là một hạt nhân của một đồng cấu nào đó.

1.1.12 Định lý Giả sử là một đồng cấu của nửa nhóm tuỳ ý Tồn tại

duy nhất phép nhúng sao cho biểu đồ sau giao hoán:

Hơn nữa, nếu là một đồng cấu thoả mãn thì

1.1.16 Định nghĩa Nửa nhóm gọi là ảnh đồng cấu của nửa nhóm nếu tồn tại

1.1.17 Hệ quả [2] Nếu là các tơng đẳng trên nửa nhóm sao cho

thì là ảnh đồng cấu của

1.2 Băng và nửa dàn

Trớc hết ta nhắc lại rằng quan hệ thứ tự trên một tập đợc gọi là một thứ tự

bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Ta sẽ dùng kí hiệu để chỉ

v à

1.2.1 Bổ đề [5] Giả sử là tập hợp tất cả các tơng đẳng của nửa nhóm Khi đó

quan hệ xác định trên bởi: (với E ) nếu

2.1.3 Định nghĩa Giả sử là một thứ tự bộ phận trên tập và là tập con của

i) Phần tử đợc gọi là cận trên của nếu với mọi ;

ii) Cận trên của đợc gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập , nếu

với mọi cận trên của (nếu có một hợp trong , thì rõ ràng hợp đó là duy nhất);

iii) Phần tử đợc gọi là cận dới của nếu với mọi ;

iv) Cận dới của đợc gọi là cận dới lớn nhất hay giao của nếu với

mọi cận dới của (nếu có một giao trong , thì rõ ràng giao đó là duy nhất);

v) Tập sắp thứ tự bộ phận đợc gọi là nửa dàn trên (hay dới), nếu mỗi tập

con gồm hai phần tử của có hợp (hay giao) trong ; trong trờng hợp đó mỗi

tập con hữu hạn của có hợp (hay giao) trong Hợp (giao) của sẽ đợc kí

hiệu là (hay );

vi) Một dàn là một tập sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn trên và nửa dàn dới;

vii) Dàn đợc gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con có một hợp và một giao

1.2.4 Định nghĩa Nửa nhóm đợc gọi là một băng nếu mọi phần tử của đều là

luỹ đẳng

Giả sử là một băng Khi đó, và đợc sắp thứ tự bộ phận tự nhiên (

1.2.5 Mệnh đề Một băng giao hoán là một nửa dàn dới đối với thứ tự bộ phận tự

nhiên trên Giao của hai phần tử và của trùng với tích của chúng

Đảo lại, một nửa dàn dới là một băng giao hoán đối với phép giao.

Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.1, quan hệ là một thứ tự bộ phận trên Ta

chứng tỏ rằng tích của hai phần tử trùng với cận dới lớn nhất của

1.2.6 Định nghĩa Nếu nửa nhóm đợc phân chia thành hợp của các nửa nhóm con

rời nhau ( là tập hợp các chỉ số nào đó) thì ta nói rằng phân tích đợc

thành các nửa nhóm con

Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con thuộc

vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn

Giả sử là sự phân tích của các nửa nhóm sao cho với mọi

cặp , tồn tại để cho Ta định nghĩa một phép toán đại số

trong bằng cách đặt nếu , khi đó trở thành một băng đối với

phép toán đó Ta nói rằng là hợp băng các nửa nhóm

ánh xạ xác định bởi nếu là một toàn cấu và các nửa

nhóm con là các lớp tơng đẳng hạt nhân Ker Đảo lại, nếu l một toàn cấu từà

một nửa nhóm lên một băng thì ảnh ngợc của mỗi phần tử là

một nửa nhóm con của và là hợp của nửa dàn các nửa nhóm

Chơng II Tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh

Đây là phần chính của khóa luận Trong chơng này, trớc hết chúng tôi trình bày một số kết quả của nửa nhóm giao hoán để làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của khóa luận: Tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh

2.1 Một số kết quả về nửa nhóm giao hoán

Ta nhắc lại rằng một nửa nhóm đợc gọi là nửa nhóm giao hoán, nếu phép

toán trên thoả mãn , mọi

2.1.1 Định nghĩa Giả sử là một nửa nhóm giao hoán Khi đó đợc gọi là nửa

nhóm Archimede nếu , tồn tại các số nguyên dơng v à sao cho

v à với n o đó thuộc à

2.1.2 Định nghĩa Giả sử là một tơng đẳng trên nửa nhóm Khi đó đợc gọi là

luỹ đẳng nếu là một băng

2.1.3 Định nghĩa Giả sử là nửa nhóm giao hoán tuỳ ý Ta xây dựng quan hệ

trên nh sau: nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dơng và

các phần tử sao cho

2.1.4 Định lý Quan hệ trên một nửa nhóm giao hoán là một tơng đẳng trên

và là ảnh đồng cấu của nửa nhóm tối đại

Chứng minh Rõ ràng quan hệ là phản xạ và đối xứng Thật vậy:

phản xạ

Để chứng minh bắc cầu, giả sử

Khi đó với là các số nguyên dơng và

hay Do đó hay có tính bắc cầu.

Tiếp theo ta cần chứng minh ổn định

Do đó Vì giao hoán nên Vậy là tơng đẳng trên

Ta có với mọi nên là luỹ đẳng và do giao hoán nên giao hoán

2.1.5 Định lý Một nửa nhóm giao hoán biểu diễn đợc một cách duy nhất thành

nửa dàn các nửa nhóm Archimede , Nửa dàn đẳng cấu với ảnh đồng

cấu nửa dàn tối đại của , và các là các lớp tơng đơng của theo modul

Chứng minh Giả sử là một nửa nhóm giao hoán và là quan hệ trên đợc xác

định nh sau: nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dơng và các

phần tử sao cho Theo Định lý 2.1.4, là một nửa dàn

và là ảnh đồng cấu của Ta sẽ chứng tỏ là nửa dàn các nửa nhóm Archimede

nếu ta chứng tỏ đợc rằng mỗi lớp tơng đơng của modul là một nửa nhóm con

Archimede của

Rõ ràng là một nửa nhóm con của vì là luỹ đẳng

Về tính duy nhất, giả sử là một nửa dàn các nửa nhóm con Archimede

Chứng minh kết thúc nếu chứng tỏ đợc rằng là các lớp tơng đơng

modul , vì đợc suy ra một cách trực tiếp

Giả sử Ta chứng tỏ rằng khi và chỉ khi cùng thuộc Nếu

cùng thuộc thì mỗi phần tử chia hết một luỹ thừa của phần tử kia vì là

Archimede, và do đó ta có và giả sử Vì nên ta có:

với nào đó thuộc và nguyên dơng nào đó

Nh vậy trong nửa dàn Do đối xứng, nên

2.2 Tơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh

2.2.1 Định nghĩa Một nửa nhóm giao hoán tự do trên là tập

hợp tất cả các từ trong đó là số nguyên không âm không đồng thời

bằng 0 Tích hai phần tử và là phần tử

Nửa nhóm này đẳng cấu với tập tất cả các dãy

, trong đó là số nguyên không âm không đồng thời bằng 0 và phép

Bây giờ ta xét nhóm tự do trên , đó là nửa nhóm giao hoán tự do trên ghép

thêm phần tử đơn vị (là các dãy ) Nó đẳng cấu với tích trực tiếp của các

nửa nhóm xyclic vô hạn ghép thêm đơn vị Nó cũng đẳng cấu với vị nhóm

nhóm giao hoán tự do hữu hạn sinh là nửa nhóm xác định hữu hạn Ta sẽ ký hiệu vị nhóm giao hoán tự do xác định hữu hạn này là

Rõ ràng đợc chứa trong một nhóm Abel tự do với phần tử hữu hạn sinh, gồm

tất cả các dãy hữu hạn các số nguyên độ dài Nhóm này sẽ đợc ký

Thứ tự bộ phận trên đợc mở rộng một cách tự nhiên lên , bằng cách đặt

trong khi và chỉ khi Khi đó là một dàn đối với thứ tự bộ phận

trong và thì Nh vậy là một nhóm Abel sắp thứ tự dàn

và là tập các phần tử dơng của nó

Ta sẽ dùng các ký hiệu sau đây Đối với , ta định nghĩa:

Thế thì Hơn nữa, với tuỳ ý, có:

.

Theo định nghĩa (1) của nhóm con tồn tại vì các phần tử sao cho

.Ngoài ra vì là một tơng đẳng nên kéo theo

với mọi Nh vậy, nếu

thì với mọi Chứng tỏ là một iđêan của

2.2.3 Bổ đề Giả sử một tơng đẳng trên , là một nhóm con xác định bởi (1),

là tập ánh xạ từ nhóm con vào tập các iđêan của xác định bởi (2) Thế thì:

với mọi

với mọi trong đó là ký hiệu của với mọi

Chứng minh Các tính chất và suy ra từ tính đối xứng và tính phản xạ của

quan hệ

(i) Giả sử là một nhóm con tuỳ ý của và là một ánh xạ từ vào tập các

iđêan của thoả mãn các tính chất (i) – (iii) của Bổ đề 2.2.3 Khi đó cặp

đ-ợc gọi là một cặp ánh xạ - nhóm trên

(ii) Một cặp ánh xạ - nhóm tuỳ ý xác định bởi quan hệ trên

2.2.5 Bổ đề Nếu là một cặp ánh xạ - nhóm thì quan hệ xác định bởi (3) là một tơng đẳng trên

có tính chất phản xạ

Tơng tự, tính chất (ii) bảo đảm tính đối xứng của Giả thiết rằng và

Để chứng minh tính chất bắc cầu của , giả sử và

xác định bởi (3).

Chứng minh Giả sử là một tơng đẳng trên Đặt Ta sẽ chứng minh

Vì mỗi một trong các điều kiện và

kéo theo nên ta chỉ cần chứng tỏ rằng đối với mỗi một phần tử

thì khi và chỉ khi , nghĩa là khi và chỉ

Đảo lại, giả sử là một cặp ánh xạ - nhóm tuỳ ý liên kết với Đặt

Ta chứng minh và

Trớc hết ta giả sử Khi đó theo (1) ta có đối với các phần tử

nào đó sao cho Nhng theo (3) từ suy ra

2.2.7.Định nghĩa Giả sử là một tập con của Khi đó đợc gọi là một phần tử

tối tiểu của nếu và đối với , từ suy ra hoặc

2.2.8 Định lý Giả sử là một tập con của Thế thì tập tất cả các phần tử tối

tiểu của là một tập hữu hạn Ngoài ra nếu thì tồn tại sao cho