Nhóm với các lớp liên hợp hữu hạn và nhóm có một số hữu hạn lớp liên hợp

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu các tính chất cơ bản của quan hệ liên hợp trong nhóm,sau đó vận dụng kết quả đã thu đợc vào nghiên cứu hai lớp nhóm.. Đó là nhóm với các lớp liên

Lời nói đầu

Khái niệm liên hợp trong một nhóm đợc ứng dụng rất rộng rãi, nó đợc xem nh một công cụ quan trọng khi nghiên cứu những lớp nhóm cụ thể, cũng nh nghiên cứu tính chất tổng quát của một nhóm

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu các tính chất cơ bản của quan hệ liên hợp trong nhóm,sau đó vận dụng kết quả đã thu đợc vào nghiên cứu hai lớp nhóm Đó là nhóm với các lớp liên hợp của các phần tử hữu hạn

và lớp nhóm có một số hữu hạn các lớp liên hợp

Hai lớp nhóm nói trên dự vị trí quan trọng trong lý thuyết nhóm vì nó bao gồm các nhóm hữu hạn và lớp nhóm Aben

Nội dung luận văn gồm hai chơng

Chơng I: Quan hệ liên hợp trong nhóm.

Đ1 Lớp các phần tử liên hợp Các nhóm con liên hợp

Đ2 Các phần tử liên hợp của nhóm đối xứng bậc n

Đ3 Phơng trình xn = c trên lớp liên hợp của một nhóm

Chơng II: Nhóm các lớp liên hợp hữu hạn và nhóm hữu hạn lớp liên

hợp

Đ1 Nhóm với các lớp liên hợp hữu hạn

Đ2.Nhóm hữu hạn liên hợp

Kết quả chính của luận văn:

chúng có cùng một số vòng xích và mỗi vòng xích có cùng độ dài

Định lý 3.1: Nếu G là một nhóm hữu hạn cấp m và C là lớp liên hợp

có lực lợng bằng h thì số nghiệm của phơng trình xn=c (với c là phần tử thuộc C) là bội của (h.n, m) Trong đó (h.n, m) là UCLN của h.n và m

(của chơng I)

Định lý 1.2 Bất kỳ nhóm xoắn với lớp liên hợp hữu hạn là nhóm

chuẩn địa phơng và ngợc lại

Định lý 1.3 Giả sử G là một p-nhóm với các lớp liên hợp hữu hạn

khác e khi đó tâm Z của G khác đơn vị e

(Của chơng II)

Luận văn đợc hoàn thành nhờ sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Quốc Thơ Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy, và các thầy cô giáo trong ngành Đại số đã giúp tôi hoàn thành luận văn này

Do thời gian có hạn và trình độ còn nhiều hạn chế nên luận văn còn nhiều sai sót Mong đợc sự góp ý của thầy cô, cùng tất cả các bạn

Xin chân thành cảm ơn!

Vinh, ngày 2 tháng 5 năm 2002

Ngời thực hiện

Nguyễn Quốc Năm

Chơng I Quan hệ liên hợp trong nhóm

Trong lý thuyết nhóm mối quan hệ giữa các phần tử, các nhóm con giữa các tập con bất kỳ của một nhóm có vai trò hết sức quan trọng, nó đợc ứng dụng rộng rãi trong khi nghiên cứu lý thuyết nhóm Quan hệ đó là quan

hệ liên hợp, sau đây chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của quan hệ

đó

Đ1 Lớp các phần tử liên hợp, các nhóm con liên hợp

Định nghĩa 1.1: Cho G là một nhóm, g1, g2 là hai phần tử của nhóm

G Phần tử g2 đợc gọi là liên hợp với phần tử g1 trong G Nếu trong G tồn tại một phần tử g thuộc G để g g 1g1 g

2

−

Ta cũng định nghĩa tơng tự cho hai nhóm con A1, A2 của nhóm G Nhóm con A2 đợc gọi là nhóm con liên hợp với nhóm con A1 trong G nếu

nh tồn tại một phần tử g thuộc G để cho A g 1 A1g

2

−

Chú ý: Nếu nh phần tử g thuộc nhóm con H nào đó của G thì ta nói

nhóm con A2 liên hợp với nhóm con A1đối với nhóm con H cũng có khi ta chỉ xét A1, A2 không phải là nhóm con mà là tập con bất kỳ của G

Mệnh đề 1.1: Quan hệ liên hợp là quan hệ tơng đơng.

Chứng minh:

+ Tính phản xạ: Với mọi phần tử a thuộc G ta có a=e− 1ae (với e là phần tử đơn vị của G) Vậy phần tử a liên hợp với chính nó

+ Tính đối xứng: Giả sử phần tử g2 liên hợp với phần tử g1 khi đó tồn tại phần tử g thuộc G để g g 1g1 g

2

−

2

1 1 1

−

−

−

Do phần tử g thuộc G nên phần tử g− 1 cũng thuộc G Vậy phần tử g1 liên hợp với phần tử g2

+ Tính bắc cầu: Giả sử phần tử g2liên hợp với phần tử g1, phần tử g1 liên hợp với phần tử g0 Ta phải chứng minh phần tử g2 liên hợp với phần tử g0

Thật vậy, do phần tử g2 liên hợp với phần tử g1 nên tồn tại phần tử g thuộc G để: 1 1 (1)

2 g g g

g = −   Cũng do phần tử g1liên hợp với phần tử g0 nên tồn tại phần tử g’ thuộc G để: ' 1 0 ' (2)

1 g g g

g = −   Thế (2) vào (1)

ta đợc: ' ' ( ' ) 1 0 ( ' )

0 1 1

2 g g g g g g g g g g

g = −  −    =  −    Do các phần tử g’, g thuộc G nên phần tử g ' g thuộc G Vậy phần tử g2 liên hợp với phần tử g0

Định nghĩa 1.2: Tập hợp tất cả các phần tử (nhóm con) liên hợp với

phần tử g (nhóm con A) trong G đợc gọi là lớp các phần tử liên hợp (lớp các nhóm con liên hợp)

Do quan hệ liên hợp là quan hệ tơng đơng cho nên nhóm G có thể phân tích đợc: G = C1+ C2+…+ Cn+…Trong đó Ci là lớp các phần tử liên hợp,

i = 1,2…,n,…

Mệnh đề 1.2: Giả sử Ci là lớp liên hợp của phần tử xi, lực lợng Ci

( )C bằng 1 Khi và chỉ khi phần tử xi thuộc tâm Z của G i

Chứng minh: Nếu phần tử xi thuộc Ci và Ci =1 Có nghĩa là chỉ có duy nhất một phần tử xi thuộc lớp Ci Vậy khi đó với mọi phần tử g thuộc nhóm G ta đều có: g− 1 xi g=xi Hay gxi =xig Suy ra xi thuộc tâm Z của G

Ngợc lại: Nếu phần tử xi thuộc tâm Z của nhóm g, khi đó phần tử g bất kỳ thuộc nhóm G ta có: g− 1 xi g=xi Từ đó suy ra Ci =1

Mệnh đề 1.3: Số phần tử liên hợp với phần tử g (nhóm con A) trong G

sẽ bằng chỉ số [G:NG(g)] [ ( G:NG(A)] ) Trong đó NG(g), NG(A) là chuẩn tập của phần tử g (nhóm con A)

Chứng minh: Ta đặt D=NG(g) Khi đó D là nhóm con của nhóm G và

D g D

g

D

G = + 1  + + n  Giả sử x− 1 gx=y− 1gy suy ra

) (

)

1

g         Vậy yx− 1 thuộc NG(g) và ngợc lại và ngợc lại nếu phần tử x thuộc NG(g) thì x− 1 gx=g Vậy số phần tử liên hợp với phần tử g (nhóm con A) trong G bằng [G:NG(g)]

cũng là nhóm con của G (với g là phần tử thuộc G)

Chứng minh: Giả sử các phần tử *

2

*

1, x

x thuộc A Khi đó sẽ tồn tại* các phần tử x1, x2 thuộc A sao cho x* g 1 x1 g

1

−

2

−

ta có ( ) (x g x g) 1 g 1 x1 g

1 1 1

*

1

−

−

−

−

=

= Do A là nhóm con nên phần tử x− 1 thuộc A hay * 1

1

−

x thuộc A* Mặt khác ta có: x x g x gg x g g 1 x1 x2 g

2

1 1

1

* 2

* 1

−

−

A là nhóm con nên phần tử x 1 x2 thuộc A Vậy phần tử *

2

*

1 x

x  thuộcA Từ*

đó ta suy ra A là nhóm con của nhóm G *

Định nghĩa 1.3: Tập con K của nhóm G đợc gọi là tập bất biến nếu

chỉ có nó liên hợp với chính nó

biến

Chứng minh: Giả sử phần tử k 1 k2 thuộc K 1 K2 Trong đó phần tử k1 thuộc K1, phần tử k2 thuộc K2 và bất kỳ phần tử g thuộc G ta có:

g k g g k g g k

k

1

1 2

1

nên ta có phần tử g− 1k1 g thuộc K1, phần tử g− 1 k2 g thuộc K2 nên phần tử g− 1 k1 k2 g thuộc K 1 K2 Vậy K 1 K2 là tập con bất biến

đảo của K) cũng là tập con bất biến

Chứng minh: Lấy phần tử k thuộc − 1 K , với phần tử g thuộc nhóm G− 1

ta có: −1 −1 ( −1 )− 1

g k

g     (trong đó k thuộc K) Vì K là tập con bất biến nên phần tử g− 1kg thuộc K Vậy phần tử g− 1 k− 1g thuộc K-1 tức

là K-1 là tập con bất biến

đó K1∪K2 cũng là tập con bất biến của nhóm G

Chứng minh: Giả sử phần tử k1 thuộc K1∪K2, khi đó hoặc phần tử k1 thuộc K1 hoặc phần tử k1 thuộc K2

Nếu k1 thuộc K1 thì phần tử g− 1 k1g thuộc K1 (với mọi phần tử g thuộc nhóm G) Suy ra phần tử g− 1k1g thuộc K1∪K2 Tơng tự đối với trờng hợp phần tử k1 thuộc K2

Nhận xét: Từ chứng minh trên ta thấy rằng hợp tuỳ ý các tập con bất

biến của G cũng là tập con bất biến của nhóm đó

O(A1) = O(A2) (với O(A) là cấp của nhóm A)

Chứng minh: Với mỗi phần tử g thuộc G Ta xét ánh xạ:

: 1 2 1

g

A A

g a g a

−  



Ta thấy rằng ϕg là một ánh xạ đẳng cấu Thật vậy:

+ϕg là một đồng cấu: Với phần tử a1, a2 thuộc A1 suy ra

) ( ) ( )

1

1 2

1

1 2

1 a g a a g g a g g a g a a

+ϕg là đơn ánh: Với phần tử a1khác phần tử a2, phần tử a1, a2 thuộc A1 Khi đó phần tử g− 1a1gkhác phần tử g− 1a2 g và các phần tử g− 1a1g , g− 1 a2 g đều thuộc A2

+ϕglà toàn ánh: Vì với mọi phần tử a2 thuộc A2 luôn tồn tại phần tử g thuộc nhóm G và phần tử a1thuộc A1 sao cho g− 1 a1g=a2 (vì A1 và A2liên hợp với nhau)

Vậy O(A1) = O(A2)

Mệnh đề 1.8: Nhóm con sinh bởi tập con bất biến là nhóm con bất

biến (ớc chuẩn)

Chứng minh: Giả sử H là nhóm con sinh bởi tập con bất biến M

H= Đặt V=M∪M− 1 Khi đó V là tập con bất biến (theo mệnh đề 1.5

và 1.6) và H=V∪V2 ∪ ∪Vn ∪

Theo mệnh đề 1.4 các tập Vi là các tập con bất biến, theo mệnh đề 1.6

H là tập con bất biến, H là nhóm con suy ra H là ớc chuẩn

Mệnh đề 1.9: Giả sử cấp của nhóm hữu hạn G là n, cấp của phần tử x

thuộc nhóm G là m và k là số phần tử liên hợp với phần tử x trong G Khi đó

k là ớc số của số nguyên

m

n . Chứng minh: Ta ký hiệu X ={ }x là nhóm con sinh bởi phần tử x Theo mệnh đề 1.3 k =[G:NG( )X ] nhng X là nhóm con thuộc nhóm NG( )X nên ta

có k =[G:NG( )X ] [= G:X] [: NG(X):X] Đặt t=[NG(X):X] Vậy suy ra

t

m

n

k= : hay kt

m

n =

Mệnh đề 1.10: Giả sử cấp của nhóm G = n, cấp của tâm Z của G =m

và k là số phần tử liên hợp với phần tử x trong G Khi đó k là ớc của số

nguyên

m

n

Chứng minh: Ta ký hiệu X={ }x là nhóm con sinh bởi phần tử x thuộc nhóm G Vì tâm Z của nhóm G thuộc vào NG(X) nên ta có

( )

m

n X X N Z G Z N

G

k = : G = : : G( ): = : (với t=[NG(X):X]) Suy ra

m

n

kt = Vậy

m

n chia hết cho k Hay k là ớc của số nguyên

m

n .

đó tâm Z của nhóm G khác đơn vị e

Chứng minh: Giả sử nhóm G phân tích đợc: G=C1+C2 + +Ck, với

Ci là các lớp liên hợp, i = 1,2, ,k

Cấp của G là pr, khi đó lực lợng |Ci| hoặc bằng 1 hoặc là ớc của pr vì lớp C1 chỉ có một phần tử e thuộc C1nên |C1| =1 Do cấp của G chia hết cho p

nên ∑

=

k

i

i

C

1

cũng chia hết cho p Theo trên ta có C i hoặc bằng 1 hoặc chia hết cho p Trong đó có lực lợng của C1=1 nên số lớp liên hợp có lực lợng bằng 1 không chỉ có lớp C1 mà còn phải có một số lớp khác nữa, mà theo

mệnh đề 1.2 phần tử xi thuộc lớp liên hợp Ci mà có lực lợng C i = 1 thì Ci thuộc tâm Z của G Vậy tâm Z của G khác đơn vị e

Đ2 Phần tử liên hợp của nhóm đối xứng Sn

Trong tiết này ta xét điều kiện để hai phép thế π1, π2 thuộc Sn liên hợp với nhau

Định nghĩa 2.1: Một phép thế đợc gọi là vòng xích nếu nó có dạng

π

= α

α

α , , , )

( 1 2 k với π(αi)=αi+1(i=0, ,k−2) và π(αk)=α1

Số k đợc gọi là độ dài của vòng xích Nếu k=2 thì π đợc gọi là phép chuyển trị

Hai vòng xích (a1, a2, …, ak) và (b1, b2,…,br) đợc gọi là độc lập nếu nh

ai khác bi, với i = 1,…k; j = 1,…,r Hay a1, ,ak ∩ b1, ,bk =φ

các vòng xích độc lập

Chứng minh: Với mọi xi thuộc {1,2 ,n} Nếu π(xi)=xi thì (xi) là một vòng xích của π Trái lại nếu π (x i) ≠x i thì ta đặt x2 =π(x1) Giả sử x1,

)

( 1

2 x

x =π , x3 =π(x2), xk =π(xk−1)là những phần tử đôi một khác nhau, còn π (x k) thì trùng với 1 trong các phần tử x1, x2,…,xk Ta khẳng định

1

)

(x k =x

π Thật vậy, giả sử π(xk)≠x1 hay π(xk)=xi (với i>1) Theo cách lấy trên ta có: π(xk)=π( )xi−1 Do đó xk = xi-1 điều này mâu thuẫn với x1, x2,…,xk

là các phần tử đôi một khác nhau Nh thế (x1, x2,…,xk) là một vòng xích của

π

Mệnh đề 2.2: Giả sử T = (a11,…,a1r) (a21,…,a2s)…(am1,…,amt) và

















=

mt s

r

mt s

r

b b

b b

b b

b

a a

a a

a a

a S

m

m

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

1

1

2 21 1 12 11

2 21 1 12 11

thì ta có:

) , , ) (

, , )(

, ,

1

mt m

s

b b

S T

Chứng minh:

+ + →

→



→

−

jk

S jk

T jk

S

thế S− 1TSchuyển bjk thành bjk+1 hay

) , , ) (

, , )(

, ,

1

mt m

s

b b

S T

Định lý 2.1: Hai phép thế của Sn liên hợp với nhau khi và chỉ khi

chúng có cùng một số vòng xích và mỗi vòng xích có cùng độ dài

Chứng minh: Từ mệnh đề 2.1 ta có điều kiện cần Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử T = (a11,…,a1r) (a21,…,a2s)…(am1,…,amt);

) , , ) (

, , )(

, ,

(b11 b1r b21 b2s bm1 bmt

vòng xích có cùng độ dài, trong đó có thể có vòng xích có độ dài bằng 1 nên











=

mt s

r

mt s

r

b b

b b

b b

b

a a

a a

a a

a Q

m

m

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

1

1

2 21 1 12 11

2 21 1 12 11

Khi đó

S Q

T

Q− 1   = Vậy T và S liên hợp với nhau

1) (1,2 (1,3 (2,3) =C2 2) (1,2,3 (1,3,2) =C3 3) e =C1

Còn nhóm đối xứng bậc hai chỉ có hai lớp liên hợp C1 = e , )

2

,

1

(

2 =

Nhóm con của S3 sinh bởi C1 bằng e

C2 = S3 C3 = A3

Từ đó ta suy ra A3 là ớc chuẩn thực sự của S3

Đ3 Phơng trình xn = c trong một nhóm.

Trong phần này ta nghiên cứu số nghiệm của phơng trình xn = c trên lớp liên hợp của một nhóm

Định lý 3.1: Nếu G là một nhóm hữu hạn cấp m và C là lớp liên hợp

có lực lợng bằng h thì số nghiệm của phơng trình xn=c (với c là phần tử thuộc C) là bội của (h.n, m) Trong đó (h.n, m) là UCLN của h.n và m

Chứng minh: Ta ký hiệu A(K, n) là tập hợp tất cả các phần tử g thuộc

G để sao cho gn thuộc K và a(K, n) là lực lợng của A(K, n) Để chứng minh

định lý ta sẽ chứng minh quy nạp

Nếu m=1, khi đó ta có G = e và (h.n, 1) =1 nên định lý đúng với bất

kỳ điều kiện gì

Bây giờ ta chứng minh quy nạp theo cấp của T hoặc theo bậc của

ph-ơng trình xn=c Ta coi định lý đúng với m’<m hoặc n’<n

Trớc hết ta chú ý: Giả sử phơng trình xn=c thoả mãn và c’ thuộc C khi

đó c'=u− 1 cu, ta có c'=u−1 xn u=(u−1 xu)n Vậy có sự tơng ứng

1-1 giữa tập nghiệm của phơng trình xn=c và tập nghiệm của phơng trình xn = c’(với c’ liên hợp với c) Hay hai số liên hợp với nhau thì tập nghiệm của chúng bằng nhau Nh vậy a(C, n) = h.a(c, n)

Nếu xn=c thoả mãn thì phần tử x thuộc NG(c) là chuẩn tập của c Ta có

c x x x

x

c

x− 1   = − 1  n  = Vậy phần tử x thuộc NG(c) cũng thoả mãn Theo

định lý Lagrang lực lợng của NG(c) sẽ bằng

h

m Vì theo mệnh đề 1.3 thì h

= [G:NG(c)]

Vậy, nếu h>1 thì định lý đúng với NG(c) và số phần tử a(C,n) là bội

của (n,

h

m ) Từ chứng minh có sự tơng ứng 1-1 giữa tập nghiệm xn =c và

xn=c’ (với c’ liên hợp với c) ta có a(C,n) =h.a (c,n) bội của h(n,

h

m ) = (h.n, m) Vậy định lý đúng

Giả sử h=1 và n=n1.n2 với (n1,n2)=1 và n1>1, n2>1 ta ký hiệu D=A(C,n2) Khi đó ta có A(c,n)=A(c,n1) và D bao gồm một số lớp các phần

tử liên hợp Theo quy nạp số (n1,m) là ớc của a(c,n), tơng tự (n2,m) là ớc của a(c,n) nhng khi đó vì (n1,m) và (n2,m) là nguyên tố cùng nhau thì tích của chúng (n1,m).(n2,m)=(n1.n2,m) là ớc của a(c,n) Vậy định lý đúng Ta đã chứng minh định lý đúng với n là hợp số

Ta giả thiết m = pe (với p là số nguyên tố) và (m, u) = 1 với u là cấp của phần tử c Vì h = 1 nên ta suy ra c thuộc tâm của G Các phần tử thuộc tâm cấp của chúng không chia hết cho p tạo thành nhóm con aben Bvà b là cấp của B cũng không chia hết cho b

Giả sử c1, c2 là hai phần tử thuộc P, vì b không chia hết cho p, phơng trình c1 = c2 yn có ở trong B nghiệm duy nhất là y, nhng khi đó nếu xn = c1 và (x.y)n = c2 Do đó số a(c, n) bằng nhau đối với c với c thuộc B Cuối cùng theo công thức:

∑

=

B c

a c ba n C a

m ( , ) ( , ).

Đợc tính đối với m phần tử của B, các số hạng đầu là các phần tử không thuộc vào B, sau là các phần tử thuộc vào B Số (n, m) là ớc của mỗi lớp đợc tính b lần hoặc theo quy nạp hoặc theo từng phần riêng đã đợc chứng minh Mặt khác (n, m) là ớc của m và số nguyên tố b, (n, m) ớc của a(c,n) Vậy định lý hoàn toàn đợc chứng minh

phần tử x thuộc G và xn=e Do đó nếu c=(n,m) thì từ xn=e suy ra xm=e

Hệ quả 2: Nếu n là ớc cấp của G Tức là m chia hết cho n thì số

nghiệm của phơng trình xn=e trong nhóm G sẽ là bội của n

Chứng minh: Vì a(e,m) là bội của (h.n,m) vì m chia hết cho n nên h.n chia hết cho m Vậy a(e,n) là bội của n

Chơng II Nhóm với các lớp liên hợp hữu hạn và

nhóm có một số hữu hạn lớp liên hợp

Đ1 Nhóm với các lớp liên hợp hữu hạn Giả sử G là nhóm Aben Khi đó với phần tử g thuộc G và phần tử a thuộc G ta có g− 1 ag=ag− 1g=a Vì vậy ta thấy rằng nhóm Aben mỗi lớp liên hợp chỉ có một phần tử Nhóm Aben thuộc lớp nhóm với các lớp liên hợp hữu hạn Thế thì có nhóm nào khác nhóm Aben mà với các lớp liên hợp hữu hạn Trong phần này chúng tôi xét lớp nhóm với các lớp liên hợp hữu hạn