Một số tính chất của nhóm luỹ linh tổng quát tôpô

Chơng I:Tổng quan về nhóm luỹ linh trừu tợng , nhóm luỹ linh tôpô , nhóm compact và nhóm hữu hạn địa phơng tôpô...4.. Luận văn đợc chia làm hai chơng : Chơng 1 Trình bày một cách tổng q

Mục lục Nội dung Trang

Mục lục 1

Lời mở đầu 2

Chơng I:Tổng quan về nhóm luỹ linh trừu tợng , nhóm luỹ linh tôpô , nhóm compact và nhóm hữu hạn địa phơng tôpô 4

1.1.Nhóm trừu tợng luỹ linh 4

1.2 Nhóm tôpô luỹ linh 7

1.3.Nhóm compact và nhóm hữu hạn địa phơng tôpô 8

Chơng II : Một số tính chất của nhóm luỹ linh tổng quát 14 2.1 Tính luỹ linh của nhóm luỹ linh tổng quát liên thông 15

2.2 Tính luỹ linh địa phơng của nhóm luỹ linh tổng quát 20

2.3 Tính compact của nhóm luỹ linh tổng quát 22

2.4 Phần tử compact của nhóm luỹ linh tổng quát 25

2.5 Tính đầy đủ của nhóm luỹ linh tổng quát 28

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

Lời mở đầu

Trong lý thuyết nhóm, nhóm tôpô luỹ linh và nhóm trừu tợng luỹ linh là một trong những lý thuyết phong phú, có một vị trí quan trọng và đợc phát triển hết sức mạnh mẽ Nó đợc ứng dụng trong nhiều ngành và đặc biệt là để nghiên cứu nhóm Lie Vì vậy lớp nhóm này đã đợc rất nhiều tác giả trong và

ngoài nớc quan tâm nh : Platonov V.P [4]; Nguyễn Quốc Thi [8]; Lê QuốcHán [1],[2], [3] nghiên cứu rất cụ thể Lớp nhóm này cũng đã đợc biên soạn

và dạy cho sinh viên ngành toán trờng Đại học Vinh, cũng nh cho học viêncao học chuyên ngành đại số và lý thuyết số

Một trong những hớng để nghiên cứu vấn đề này là nghiên cứu cáctính chất của “Nhóm luỹ linh tổng quát tôpô’’

Đề tài mà chúng tôi chọn nhằm mục đích giới thiệu một số kháiniệm cũng nh một số tính chất cơ bản của nhóm luỹ linh tổng quát Đồngthời chúng tôi cũng chỉ ra mối quan hệ giữa các tính chất này

Luận văn đợc chia làm hai chơng :

Chơng 1 Trình bày một cách tổng quan về nhóm luỹ linh trừu tợng,nhóm luỹ linh tôpô, nhóm compact và nhóm hữu hạn địa phơng tôpô

Chơng 2: Một số tính chất của nhóm luỹ linh tổng quát nh tính chấtluỹ linh của nhóm luỹ linh tổng quát liên thông , tính luỹ linh địa phơng, tínhcompact, phần tử compact và tính đầy đủ

Luận văn đợc bắt đầu thực hiện từ tháng 3 năm 2006 và đợc hoànthành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn chỉ bảo nhiệt tình của thầygiáo GS.TS Nguyễn Quốc Thi

Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắctới thầy giáo hớng dẫn, ngời thầy đã dìu dắt tận tình, chu đáo đặc biệt là sự

động viên chỉ bảo nhiệt tình trong suốt quá trình học tập cũng nh nghiêncứu

Trong suốt quá trình học tập và viết luận văn tác giả đã nhận đợcnhững ý kiến đóng góp quý báu, những bài giảng bổ ích và sự chỉ bảo tậntình của GS.TS Nguyễn Quốc Thi, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS NguyễnQuý Dy, PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Mai văn

T, TS Chu Trọng Thanh, TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin trân trọngcảm ơn tới các thầy giáo và cô giáo Cũng nhân dịp này, tác giả xin đợc cảm

ơn các thầy giáo và cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Đào tạo sau Đại học –Trờng Đại học Vinh và tất cả bạn bè, đồng nghiệp, gia đình đã động viêngiúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn đúng kếhoạch Cuối cùng tác giả rất mong đợc sự góp ý kiến của các thầy giáo côgiáo cùng tất cả các bạn

Vinh, th¸ng 11 n¨m 2006

Vò ThÞ T©m

Chơng I Tổng quan về nhóm luỹ linh trừu tợng, nhóm luỹ linh tôpô, nhóm compact và nhóm hữu hạn địa phơng tôpô.

Chúng ta đã đợc học về nhóm trừu tợng và nhóm tôpô từ khi chúng tahọc đại học Vấn đề đó lại đợc tiếp tục học sâu hơn, nghiên cứu kỹ hơn trongchơng trình cao học

Tuy nhiên trong luận văn này chúng tôi chỉ trình bày ba lớp nhóm.Lớp thứ nhất: Nhóm trừu tợng lũy linh

Lớp thứ hai : Nhóm tôpô luỹ linh

Lớp thứ ba: Nhóm compact và nhóm hữu hạn địa phơng tôpô

Sở dĩ chúng tôi chọn trình bày ba lớp nhóm này vì ba lớp nhóm này cóliên quan trực tiếp đến chơng II và cũng là nội dung chủ yếu của luận văn

1.1 Nhóm trừu tợng lũy linh.

1.1.1 Định nghĩa Nhóm G đợc gọi là nhóm lũy linh nếu nó có dãy bất biến

1.1.3 Định nghĩa Giả sử G là nhóm, ta có dãy nhóm con bất biến:

{e} = Z o  Z 1  Z 2 ……… Z n … Với Z i+1 đợc xác định bởi điều kiện Z i 1 Z ilà tâm của nhóm G Z i đợc gọi là

dãy tâm trên của nhóm G.

1.1.4 Định nghĩa Nhóm lũy linh G có dãy tâm trên và dãy tâm dới có cùng

độ dài hữu hạn C đợc gọi là nhóm lũy linh lớp C.

1.1.5 Định lý Nhóm con và nhóm thơng của nhóm lũy linh lớp C là nhóm

lũy linh lớp C.

Chứng minh Trớc hết ta chứng minh nhóm con của nhóm lũy linh là nhóm

lũy linh

Giả sử H là nhóm con của nhóm lũy linh G

Vì G là nhóm lũy linh nên G có dãy tâm dới là:

Vậy theo định nghĩa nhóm luỹ linh suy ra H là nhóm lũy linh

Bây giờ ta chứng minh H là nhóm luỹ linh lớp C

Vì G là nhóm có tính chất lũy linh lớp C nên :

1.2 Nhóm tôpô lũy linh.

1.2.1 Định nghĩa Nhóm tô pô G là nhóm lũy linh nếu nhóm trừu tợng G là

nhóm lũy linh.

1.2.2 Bổ đề Cho G là nhóm tô pô, H và K là hai nhóm con của nhóm tôpô

G sao cho H’ K  H trong đó H là đạo nhóm của H thì :’

1.2.3 Định lý Cho G là nhóm tô pô  là nhóm con lũy linh của G Khi đó bao đóng H là nhóm lũy linh

Chứng minh Vì H là nhóm lũy linh của G nên trong H tồn tại dãy tâm dới

1.3 Nhóm compact và nhóm hữu hạn địa phơng tôpô.

1.3.1 Định nghĩa Nhóm tôpô G đợc gọi là compact (compact địa phơng)

nếu không gian tô pô G là không gian compact (compact địa phơng).

Nhóm compact địa phơng G đợc gọi là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô nếu bao đóng của nhóm con hữu hạn sinh bất kỳ H của G là compact.

1.3.2 Định lý Giả sử G là nhóm tôpô và H là ớc chuẩn của nó

Khi đó:

a Nếu G compact thì G H compact.

b Nếu G compact địa phơng thì G H compact địa phơng.

Chứng minh a Giả sử G là compact.

Xét phép chiếu tự nhiên.

compact (ảnh của một tập compact qua ánh xạ liên tục mở là tập compact)

b Giả sử G là nhóm compact địa phơng và a  G, A = p(a) và U là lân cận

U trùng với p(U), U* = p( U) Do đó U * compact Vậy G* = G H là nhóm

compact địa phơng 

1.2.3 Định lý Giả sử G là nhóm compact địa phơng, hữu hạn địa phơng tô

pô Khi đó G compact khi và chỉ khi G là nhóm compact sinh ra.

Khi đó tồn tại lân cận đối xứng compact V của đơn vị e của G

Giả sử G là compact sinh ra Khi đó theo bổ đề trên tồn tại lân cận đối xứngcompact V của đơn vị e sao cho

Thật vậy vì A là nhóm con của G nên

sinh nên A là nhóm compact và do đó G compact 

1.3.4 Định lý Giả sử G là nhóm compact địa phơng,  là nhóm con hữu hạn địa phơng tôpô của G Khi đó bao đóng H của nhóm con –

compact sinh ra – là nhóm compact.

Chứng minh Không mất tổng quát, ta giả thiết H = G Ta chứng minh G

là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô Thật vậy, vì G là nhóm compact địa phơng,

compact

Theo chứng minh trên, T compact sinh ra nên tồn tại lân cận đối xứng Vcủa e - đơn vị của T sao cho T = {V} Ta có T = LV Thật vậy, với t  T thì

tV là lân cận của t sao cho tV  L   (vì L trù mật trong T) Khi đó tồn tại

Khi đó A  H và A compact, hơn nữu V2  AV Bằng qui nạp theo n, ta

ph-ơng hữu hạn tôpô 

1.2.5 Định lý Giả sử G là nhóm compact địa phơng, compact sinh ra và

G = R.H trong đó H là ớc chuẩn địa phơng hữu hạn tô pô và R là nhóm con compact Khi đó G compact.

Chứng minh Giả sử B là tập compact của ớc chuẩn H

Từ đó suy ra RH = G là compact địa phơng và địa phơng hữu hạn tôpô Theo

định lý 1.2.3 ta có G = RH compact 

1.3.6 Định lý Giả sử G là nhóm Aben compact sinh ra và có tập con trù

mật H gồm các phần tử compact Khi đó G compact.

Chứng minh Vì G là nhóm compact sinh ra nên tồn tại lân cận đối xứng V

.g

1.3.7 Định lý Giả sử G là nhóm compact địa phơng, mở rộng của nhóm hữu

hạn địa phơng tô pô H bởi nhóm hữu hạn địa phơng tô pô K Khi đó G là nhóm hữu hạn địa phơng tô pô.

Chứng minh Nhóm compact địa phơng hoàn toàn không liên thông

nhóm compact tối đại của L Khi đó A := B.(LH) là nhóm hữu hạn địa

H compact nên L compact

Ta chứng minh:

H

M

1

tổng quát, ta có thể giả thiết các phần tử đại diện của lớp ghép của  theo P

n

i 1

hạn địa phơng tô pô.

b Nhóm lũy linh tổng quát Nhóm G đợc gọi là nhóm lũy linh tổng quát

nếu trong G có dãy tâm:

{e}  Z 1  Z 2  …………  Z  = G trong đó: Zi  Zi+1 và nhóm thơng Z i 1 Z i thuộc vào tâm của nhóm thơng

2.1 Tính Luỹ linh của nhóm lũy linh tổng quát liên thông.

2.1.1 Bổ đề 1 Chứng minh rằng ảnh đồng cấu của một nhóm lũy linh tổng

quát, liên thông là nhóm lũy linh tổng quát liên thông.

Chứng minh Giả sử G là nhóm lũy linh tổng quát, liên thông và G’ là nhóm

tôpô bất kỳ

Xét f: G  G’ là đồng cấu của nhóm tô pô

Ta sÏ chøng minh f(G) lµ nhãm t« p«, lòy linh tæng qu¸t, liªn th«ng Tríc hÕt ta chøng minh f(G) lµ nhãm t« p«.

Gi¶ sö a’ b’ lµ hai phÇn tö bÊt kú thuéc f(G)

Suy ra,tån t¹i a vµ b thuéc G sao cho:

a’ = f(a)b’ = f(b)

Ta cã: a’.b’ = f(a).f(b) = f(a.b)

Do G lµ nhãm, a  G, b  G nªn a.b  G

 f(a.b)  f(G)

 a’ b’  f(G)

VËy f(G) lµ nhãm t«p« víi t«p« c¶m sinh cña G’ trªn f(G) 

B©y giê ta chøng minh f(G) lµ nhãm lòy linh tæng qu¸t

V× G lµ nhãm lòy linh tæng qu¸t nªn trong G cã d·y t©m

b’ = f(b)  a b a-1 b-1 Z Zi  Z i 1 Z i  G Z i

Tức là H i 1 H i thuộc vào tâm của H H i, i.

Vậy f(G) là nhóm lũy linh tổng quát

Cuối cùng ta chứng minh f(G) là liên thông

Giả sử ngợc lại f(G) không liên thông

 tồn tại hai tập mở A’và B’  f(G) sao cho

A’  B’ = {e’} và A’  B’ = f(G)

A A f a f

) ( ) (

) ( ) (

 f(a)  A’B’ = {e’}

Mà f là đồng cấu khác đơn vị nên f(a) khác e’

) ( '

B f A f c B f c

A f c B c

A c B A

' ) ( : )

( '

) ( '

c c f B c

c c f A c B

f c

A f c

Vậy trong G có hai tập mở A và B

A  B = G và A  B = {e}

Từ đó suy ra G không liên thông, mâu thuẩn với giả thiết G liên thông

Vậy giả sử sai, suy ra f(G) liên thông

Vậy ta đã chứng minh f(G) là nhóm lũy linh tổng quát, liên thông

Do đó : ảnh đồng cấu của nhóm tôpô liên thông, lũy linh tổng quát là nhómtôpô liên thông, lũy linh tổng quát.

2.1.2 Bổ đề 2 G là một nhóm K là ớc chuẩn thuộc tâm của G, để G K là

nhóm lũy linh Khi đó G là nhóm lũy linh.

Chứng minh Vì G K là nhóm lũy linh nên trong G K có dãy tâm

Do đó ta có trong G có dãy tâm có độ dài hữu hạn là n+1

Vậy theo định nghĩa G là nhóm lũy linh 

2.1.3 Định lý Giả sử G là nhóm tôpô lũy linh tổng quát, liên thông Khi đó

G là nhóm tôpô lũy linh.

Chứng minh Theo bổ đề 1: ảnh đồng cấu của nhóm liên thông, lũy linh

tổng quát là nhóm liên thông, lũy linh tổng quát

Trớc hết ta chứng minh định lý cho trờng hợp G là nhóm tôpô lũy linh tổngquát, liên thông và là nhóm Lie

Vì G là nhóm Lie liên thông nên dim G là hữu hạn và mỗi nhóm con đóngcủa G có số chiều lớn hơn 1, nên dãy tâm

Cuối cùng ta chứng minh định lý cho trờng hợp tổng quát

Vì G là nhóm lũy linh tổng quát, compact địa phơng nên theo định lý

là nhóm lũy linh

liên thông, lũy linh thì thuộc tâm của G)

Ta có G F là lũy linh nên (G F0) (F F0) là lũy linh mà F F0 là lũy

rộng trung tâm của nhóm lũy linh là nhóm luỹ linh)

Do đó theo bổ đề 2 ta có : G là nhóm lũy linh.

2.2 Tính luỹ linh địa phơng của nhóm luỹ linh tổng quát.

2.2.1 Định nghĩa Nhóm G đợc gọi là nhóm tôpô lũy linh địa phơng nếu nh

bao đóng của mọi nhóm con hữu hạn sinh là nhóm lũy linh.

2.2.2 Định lý Cho G là nhóm tôpô lũy linh tổng quát Chứng minh rằng G

là nhóm tôpô lũy linh địa phơng.

Chứng minh Theo định lý 1.2.3 chơng I: Bao đóng của nhóm con lũy linh là

nhóm lũy linh nên ta chỉ cần chứng minh nhóm con trừu tợng hữu hạn sinh lànhóm lũy linh

Vì G là nhóm lũy linh tổng quát nên trong G có dãy tâm tăng

Từ đó suy ra G là nhóm lũy linh địa phơng (mọi nhóm con của nhóm lũy linh

là nhóm lũy linh địa phơng)

Giả sử định lý đúng cho những nhóm tôpô lũy linh tổng quát có độ dài nhỏhơn  Ta chứng minh định lý đúng cho nhóm tôpô lũy linh tổng quát có độdài 

Trờng hợp 1 Nếu  là số giới hạn thì khi đó:

G = 

 1

với  nhỏ hơn  Theo giả thiết qui nạp định lý đúng

Suy ra, G là nhóm lũy linh địa phơng tô pô

Trờng hợp 2 Nếu  không là số giới hạn, khi đó tồn tại số tự nhiên k và sốgiới hạn  sao cho  =  + k

Lấy k + 1 là phần tử khác nhau của hệ (2) Do số phần tử của hệ (2) là hữu

Ta xây dựng dãy tâm của H nh sau:

trên ta thu đợc dãy tâm tăng có độ dài không lớn hơn  +  Bởì  là số giớihạn và < nên  +k<< 

Khi đó, theo qui nạp suy ra G là nhóm lũy linh địa phơng 

2.2.3 Định nghĩa Nhóm tô pô G đợc gọi là nhóm hữu hạn địa phơng

tôpô nếu nh bao đóng của mọi nhóm con hữu hạn sinh là nhóm compact.

2.2.4 Định lý Giả sử G là nhóm lũy linh tổng quát, xoắn tôpô Khi đó G là

nhóm lũy linh hữu hạn địa phơng tôpô.

Chứng minh Vì G là nhóm tô pô lũy linh tổng quát nên theo định lý 2.2.2

chơng II thì G là nhóm tô pô lũy linh địa phơng

Theo định lý 2.2.2 chơng II thì A là nhóm lũy linh Khi đó trong A có dãy

(vì A n 1 A n thuộc vào tâm của A A n), do G là nhóm xoắn tô pô nên An-1 là

nhóm con aben xoắn tô pô

nhóm hữu hạn địa phơng tôpô Bởi vì mở rộng của nhóm hữu hạn địa phơng

phơng tôpô

Bằng phơng pháp qui nạp ta chứng minh đợc A là nhóm hữu hạn địa

Vậy G là nhóm lũy linh hữu hạn địa phơng tô pô.

2.3 Tính chất compact của nhóm lũy linh tổng quát.

2.3.1 Định lý Giả sử G là nhóm compact địa phơng, hữu hạn địa phơng

tôpô Khi đó G compact khi và chỉ khi G là nhóm compact sinh ra.

Chứng minh

Điều kiện cần: Nếu G là nhóm compact thì hiển nhiên G là nhóm compact

sinh ra

Điều kiện đủ: Trớc hết ta chứng minh bổ đề: G là nhóm compact địa phơng

và nhóm compact sinh ra Khi đó trong G tồn tại lân cận đối xứng compactcủa đơn vị e sinh ra toàn bộ nhóm G, giả sử đó là V

Theo giả thiết G là nhóm compact sinh ra nên tồn tại tập con H compact sao

Khi đó V2  AV Bằng phơng pháp qui nạp theo n ta chứng minh đợc

sinh nên A là nhóm compact và do đó G compact.

2.3.2 Định lý Giả sử G là nhóm lũy linh tổng quát, xoắn tôpô G là nhóm

compact khi và chỉ khi G là bao đóng của nhóm sinh bởi tập compact M

G ={ M }.

Chứng minh Nếu G là nhóm compact thì hiển nhiên G là bao đóng của

nhóm sinh bởi tập compact

lân cận compact đối xứng V của đơn vị e  G để

 1

iVi

G = AV

Bây giờ ta chứng minh G là nhóm compact Trớc hết, ta xét trờng hợp G

nhóm compact Định lý đợc chứng minh trong trờng hợp G là nhóm Aben.Bây giờ ta chứng minh cho trờng hợp tổng quát Vì G là nhóm tôpô lũylinh tổng quát nên G là nhóm lũy linh địa phơng, suy ra nhóm

Bởi vì mở rộng của nhóm hữu hạn địa phơng tôpô bởi nhóm hữu hạn địa

Hệ quả1 Trong nhóm xoắn tôpô, lũy linh tổng quát khái niệm compact và

sinh ra bởi tập compact trùng nhau.

Hệ quả 2 Giả sử G là nhóm xoắn tôpô, lũy linh tổng quát tôpô để G G0 là

nhóm compact, trong đó G o là thành phần liên thông của đơn vị e  G Khi

Chứng minh Giả sử g1……… gk  G , nhóm con A = {g1 g k }

là nhóm con xoắn tôpô, lũy linh nên theo chứng minh trên A là nhómcompact Vậy G là nhóm hữu hạn địa phơng tôpô.

2.3.3 Định lý Giả sử G là nhóm compact địa phơng xoắn tôpô và

G = { M }, trong đó M là tập compact, và trong G có nhóm con H trù mật lũy linh địa phơng tôpô, xoắn tôpô Khi đó G là nhóm compact.

Chứng minh Vì G là nhóm compact địa phơng và G = { M }, trong đó M làtập compact, nên trong G có lân cận V đối xứng compact của đơn vị

e  G để G = {V} Tơng tự chứng minh định lý 1 ta có G = AV, trong đó