Nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu

Trong các tài liệu nói về nhóm chúng ta đãbiết, các tác giả chủ yếu xét nhóm Aben và các tự đẳng cấu của nhóm Aben.. Dựatrên những kết quả đã biết đó, chúng tôi khảo sát nhóm luỹ linh và

Mục lục

Trang

Chỉ dẫn kí hiệu 2

Lời nói đầu 3

Đ 1.Nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm 5

Đ 2.Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm Aben 10

Đ 3.Nhóm luỹ linh 15

Đ 4.Nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu 21

Kết luận 26

Tài liệu tham khảo 27

Chỉ dẫn ký hiệu

A ⊂ B A là tập con của B

< S > Nhóm sinh bởi tập S

Lời nói đầu

Nhóm luỹ linh đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm nói riêng vàtrong các ngành toán học nói chung Trong các tài liệu nói về nhóm chúng ta đãbiết, các tác giả chủ yếu xét nhóm Aben và các tự đẳng cấu của nhóm Aben Dựatrên những kết quả đã biết đó, chúng tôi khảo sát nhóm luỹ linh và các tự đẳngcấu của nhóm luỹ linh và đã thu đợc những kết quả đáng quan tâm mà chúng tôitrình bày trong khoá luận này

Khoá luận đợc trình bày thành bốn phần:

Đ 1 Nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm.Trong tiết này,chúng tôi nhắc lại

các khái niệm cơ bản nh nhóm các song ánh của một tập,nhóm phép thế,nhómcác tự đẳng cấu của một nhóm cho trớc và các tính chất quen thuộc của chúng(đ-

ợc trình bày ở các mệnh đề 1.1;1.4;1.8;1.10)

Đ 2 Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm Aben.Trong tiết này chúng tôi đi sâu

vào khảo sát các tính chất của các tự đẳng cấu của lớp nhóm Aben quen thuộc,đó

là lớp nhóm Aben.Các kết quả chính của tiết này nêu ở các mệnh đề 2.2;2.5;2.6

và các hệ quả của chúng

Đ 3 Nhóm luỹ linh.Trong tiết này,chúng tôi nhắc lại định nghĩa nhóm luỹ

linh và các tính chất của nhóm luỹ linh(mệnh đề 3.5;3.6;3.7;3.8;3.9;3.11)

Đ 4.Nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu Đây là phần chính của luận văn.Trớc

hết chúng tôi xây dựng nhóm toàn hình của nhóm cho trớc với các kết quả đángchú ý đợc trình bày trong mệnh đề 4.1.4 và mệnh đề 4.1.5.Sau đó chúng tôi trìnhbày nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu với các kết quả đang quan tâm đợc trình bàytrong định lý 4.2.1 và 4.2.3

Khoá luận này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS LêQuốc Hán Nhân dịp này chúng tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đối với thầy vềnhững sự giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực cho chúng tôi trong quátrình hoàn thành khoá luận Chúng tôi cũng xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáotrong tổ Đại số và các bạn đã động viên, giúp đỡ chúng tôi hoàn thành khoá luậnnày

Vì trình độ và thời gian có hạn nên khoá luận chắc chắn còn nhiều thiếu sót,rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khoá luận này đợc hoànthiện hơn

T¸c gi¶:

ánh.Hơn nữa, tích của hai đồng cấu nhóm là một đồng cấu nhóm và nghịch đảocủa một đẳng cấu nhóm là một đẳng cấu nhóm, nên ∀ f, g ∈ M, ta lại có f.g ∈

+) Mặt khác, nếu fa(x)=fa(y)⇒ xa=ya⇒ a-1xa=a-1ya

⇒ x=y (vì G là nhóm nếu có luật giản ớc) ⇒ fa đơn ánh và do đó fa đơncấu

+) Để chứng minh fa là toàn ánh ta lấy phần tử g ∈ G Khi đó, do G lànhóm và a ∈ G nên phần tử x =aga-1∈ G và fa(x) =xa=a-1xa=(a-1(aga-1)a)=g

⇒ fa toàn ánh và do đó fa toàn cấu

Vậy: fa là đẳng cấu của G

+) Trớc hết ta nhận xét rằng ∀a,b,x ∈ G ta có (xa)b=xab;

(xa)a-1=x

Thật vậy: (xa)b=(a-1xa)b=b-1(a-1xa)b=(ab)-1xab=xab

(xa)a-1=(a-1)-1 (a-1xa)a-1=a.a-1x.a.a-1=x

Từ đó sinh ra: a).b=ab và a).a) − 1= 1G

Khi đó ϕ(ab)= ab = a ˆˆ.b=ϕ(a) ϕ(b)

(Vì ab(x)=xab=(ab)-1xab=b-1a-1xab

a ˆˆb(x)=(b ˆ.ˆa)(x)=b ˆ(a(x))=bˆ(xa)=(xa)b=

⇔ {a ∈ G|ax=x,∀x ∈ G}={a ∈ G| a-1xa=x,∀x ∈ G}

= {a ∈ G|xa=ax,∀x ∈ G}={a ∈ G|xa=ax,∀x ∈ G}=C(G)

Int(Sn) ≅ Sn/{e} hay Int(Sn) ≅ Sn

ii) Với n≥4 thì An cũng là nhóm không tâm hay C(An)={e}

Theo mệnh đề 1.10 thì Int(An) ≅ An/C(An)

Suy ra: Int(An) ≅ An/{e} hay Int(An) ≅ An

Đ2 Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm ABEn2.1 Đặt vấn đề:

Giả sử G là một nhóm tuỳ ý Khi đó tập hợp các song ánh từ G lên chính

nó cùng với phép nhân ánh xạ lập thành một nhóm, ký hiệu là S(G) Nếu không

sợ nhầm lẫn, ngời ta cũng gọi S(G) là nhóm các phép thế của G, cả khi G khôngphải là nhóm hữu hạn

Tập hợp các đồng cấu từ G vào chính nó cùng với phép nhân ánh xạ làmột vị nhóm với phần tử đơn vị là phép đồng nhất, kí hiệu End(G)

Nói chung, End(G) không phải là một nhóm Tập hợp các tự đẳng cấucủa nhóm G cùng với phép nhân ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm các tự đẳngcấu của nhóm G và đợc kí hiệu là Aut(G)

Ta có Aut(G) là nhóm con của S(G) và là nhóm con của vị nhómEnd(G).Trong trờng hợp G là nhóm Aben và phép toán trong G đợc kí hiệu theolối cộng, ta đa vào End(G) phép toán cộng nh sau:

(- ϕ ): G → G

g  -[ ϕ(g)]

Mặt khác, End(G) là vị nhóm nhân theo lập luận trên, và luật phân phốicủa phép cộng đối với phép nhân đợc thử trực tiếp, nên End(G) trởthành một vành có đơn vị

Nói chung vành End(G) này không giao hoán

Ký hiệu (End(G))* là tập hợp các phần tử khả nghịch của End(G) thì xét

về lý thuyết tập hợp, ta có: Aut(G) = (End(G))*

Dựa vào kết quả này, ta có thể mô tả đợc nhóm tự đẳng cấu của nhiều lớpnhóm Aben quen thuộc

là một đồng cấu của vành Z và φ(ϕm)=ϕm(1)=m.1=m nên φ là toàn ánh

Vậy φ đẳng cấu hay End Z ≅ Z

(ii) Phép chứng minh End Zm≅ Zm đợc chứng minh tơng tự

(iii) Để chứng minh End Q ≅ Q cũng lập ánh xạ:

x  mx

là đồng cấu của Q và φ(ϕm)=ϕm(1)=m.1

nên φ toàn ánh⇒φ là toàn cấu

Hơn nữa, nếu ϕ ∈ Ker(φ) thì ϕ(m)=0, ∀ m ∈ Z Nếu x ∈ Q, x ≠ 0

(ϕ+ψ) (x)=ϕ(x)+ψ(x), ∀ x ∈ A Khi đó ϕ+ψ ∈ Hom(A,B) và Hom(A,B)trở thành một nhóm Aben với phần tử không là ánh xạ không:

0: A → B

- Chứng minh φ toàn cấu: Giả sử x là phần tử tuỳ ý của X Vì Z là nhómAben tự do sinh bởi 1, nên một đồng cấu duy nhất ϕ: Z → X sao cho

Điều này chứng tỏ Im(φ) ⊂ Tm(X)

Đảo lại, giả sử x ∈ Tm(X) vì mx=0 nên có một đồng cấu ϕ: Zm→ X

n đợc gọi là độ dài của dãy tâm (1)

Nhóm có dãy tâm đợc gọi là nhóm luỹ linh, và độ dài nhỏ nhất của các dãy

tâm đợc gọi là bậc luỹ linh của nó.

Nhận xét:

i) Vì tâm của nhóm luôn luôn là dãy Aben và nhóm con của dãy Aben cũng là nhóm Aben nên từ (2) suy ra Gi+1/Gi cũng là nhóm Aben ∀i=0,n− 1 Vì vậy, nhóm luỹ linh là giải đợc

ii) Vì nhóm Aben có tâm trùng với nó, do đó mọi nhóm Aben đều có dãy tâm độ dài bằng 1 Nói cách khác, nhóm Aben là nhóm luỹ linh với bậc luỹ linh bằng 1

[AB,C]=[A,C].[B,C].

Chứng minh:

Bổ đề này suy ra từ các công thức hoán tử.

[a,b]-1=[b,a]; [ab,c]=[a,c]b.[b,c]; [a-1,b]=[b,a]x−1

Quy nạp theo bậc luỹ linh:

Giả sử G là nhóm luỹ linh, H∆G; H ≠ 1; Zi= ξiG

Nếu H n

⊆ Z1 thì điều khẳng định là tầm thờng

Giả sử H không phải là ớc chuẩn của Z1 Khi đó sử dụng giả thiết qui nạp

đối với G/Z1, ta có giao HZ1 ∩Z2 chứa phần tử a ∉Z1, vì a=h.z, h ∈ H, z∈Z1, nênh∈H∩Z2, h ∈ Z1 Giả sử phần tử g ∈ G thoả mãn điều kiện [h,g] ≠ 1, khi đó[h,g] ∈ H ∩ [Z2,G] ⊆n H ∩ Z1⇒ H ∩ Z1 không tầm thờng

Chứng minh:

Ký hiệu H=CG(A) Giả sử đã chứng minh đợc H∩Z1

n

⊆A và giả sử

x∈H∩Zi+1 nhóm con <x, A> là nhóm con chuẩn tắc của G và chứa A

Theo tính chất tối đại, ta có <x,A>=A Do đó H ∩ Zi+1

n

⊆A vì Zn=G nênH=A ⇒ điều phải chứng minh

3.8 Mệnh đề:

Trong nhóm luỹ linh G bất kỳ, tập hợp T(G) các phần tử có cấp hữu hạn của G là một nhóm con của G.

Chứng minh:

Quy nạp theo bậc luỹ linh của nhóm

Nếu G là nhóm luỹ linh theo bậc luỹ linh bằng 1 thì G là nhóm Aben do

Khi đó a, b là nhóm luỹ linh với bậc luỹ linh ≤ S-1

Theo giả thiết quy nạp T(A); T(B) là nhóm của A; B tơng ứng

⇒ (x.y)n ∈T(B) ⇒ (x.y)n ∈B và ∃ m ∈ Z, m ≠ 0 sao cho [(x,y)n]m=e

⇒ (x.y)n.m=e với m,n ∈ Z, m.n ≠ 0 ⇒ (x.y) ∈ T(B) ⇒ x.y ∈ T(G) vì

A a

Giả sử G là nhóm luỹ linh phi xoắn và a, b ∈ G thoả mãn an=bn với n là

số nguyên dơng Ta cần chứng minh a=b

Ta sẽ chứng minh bằng phơng pháp quy nạp theo bậc luỹ linh của nhóm Giả sử bậc luỹ linh của nhóm G bằng 1, khi đó G là nhóm Aben

nên a.b=b.a⇒a.b-1=b-1.a ⇒ (a.b-1)n=an(b-1)n= anb-n=bnb-n=e vì (ab-1)n=e và G phixoắn nên ab-1=e ⇒ a=b

Giả sử kết luận của mệnh đề đúng với mọi nhóm luỹ linh bậc ≤ s-1 và G

Giả sử G là nhóm luỹ linh phi xoắn và a m b n =b n a m với a, b ∈ G và m, n

là các số nguyên dơng Khi đó a.b=b.a.

Chứng minh:

Ta có (b-na.bn)m=b-n.a.bn.b-n.a.bn… b-na.b=b-nambn

nên từ am.bn=bnam ⇒ am=b-n.am.bn=(b-n.a.bn)m ⇒ a=b-n.a.bn (theo mệnh đề3.9) ⇒ bn=a-1bna=(a-1b.a)n ⇒ b=a-1b.a (theo mệnh đề 3.9) ⇒ ab = ba

⊆ Gn-1

Tơng tự x2=g-1x-1g.g-1x-1g=g-1x-2g ⇒ x4=g-1x-2gx2 ∈ [Gn-1,Gn-2] ⊆n Gn-2

Do đó tồn tại số tự nhiên m sao cho x2m∈ Go=, vì G không phi xoắn nênx=1

Đ4 Nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu4.1 Nhóm toàn hình.

4.1.1 Xây dựng nhóm toàn hình của một nhóm cho tr ớc

Giả sử G là một nhóm tuỳ ý Bài toán đặt ra trong tiết này là hãy nhúngchìm G vào một nhóm G* nào đó sao cho mỗi tự đẳng cấu của G là một tự đẳngcấu trong của G*

Ký hiệu: φ := Aut(G) là nhóm các tự đẳng cấu của G và G*=

là các đơn cấu Do đó có thể đồng nhất φ và G với các nhóm con tơng ứng của

G* Từ các qui tắc nhân ở (1) suy ra:

ϕ-1gϕ =gϕ với ϕ∈ φ, g ∈ G (3)

Thế thì G*=φG, G ∆ G*, φ ∩ G=1(4)

Và do (3), mỗi tự đẳng cấu của G là một tự đẳng cấu trong G*

Bài toán đợc giải quyết trọn vẹn

4.1.2 Định nghĩa:

Nhóm φ G đợc xây dựng ở trên đợc gọi là nhóm toàn hình của nhóm G.

Kí hiệu HolG

4.1.3 Chú ý:

Nếu thay thế φ=Aut(G) bởi φ n

⊆ Aut(G) thì trong φ G, các tính chất (3),(4) vẫn thoả mãn

Trong trờng hợp này, nhóm φ G đợc gọi là mở rộng của nhóm G bởi các

α

β

,

| 0

α

β

,

| 0

Mệnh đề đợc chứng minh

4.2 Nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu

Giả sử K là một trờng và n là số nguyên dơng cho trớc Khi đó, tập hợptất cả các ma trận vuông cấp n với phần tử trên K mà tất cả các phần tử trên đờngchéo chính đều bằng 1, cùng với phép nhân thông thờng là một nhóm và đợc gọi

là nhóm Unhita Ký hiệu UT(n;k)

Với mỗi số nguyên dơng m<n, xét các nhóm con của UT(n;k) nh sau:

UTm(n;k) là tập hợp tất cả các ma trận thuộc nhóm UT(n;k) với m-1 dãy phần tửbằng không ở góc trên đờng chéo chính

Khi đó UT(n;k) có dãy tâm.

UT(n;k)= UT1(n;k) UT2(n;k) … UTn(n;k)=1

nên UT(n;k) là nhóm luỹ linh

Nhng ta biết rằng, các ma trận không suy biến chính là các tự đẳng cấu củacác không gian véctơ với một cơ sở cố định, và các ma trận tam giác Unhita tơngứng với các tự đẳng cấu giữ nguyên vị trí của dãy các không gian con và tác

động đồng nhất trong không gian thơng của dãy đó Khảo sát các mệnh đề dới

đây, ta thấy nguyên nhân của các tính chất trên là do tính luỹ linh

4.2.1.Định lí:

Giả sử trong nhóm G đã cho dãy ớc chuẩn G=G o G 1 … G n =1 (1)

độ dài n và φ là nhóm tất cả các t đẳng cấu của G bất biển trên từng thành phần của dãy (1) và tác động đồng nhất trong các thơng G i /G i+1 (nghĩa là ổn

[[Gi, [φj,φ]] Gi+j+1 đối với tất cả các i, j Nhng điều này suy ra từ các hệ thức.[φj, [φ,Gi]] [φj, Gi+1] Gi+j+1 và [φ, [Gi,φj]] [φ,Gi+j] Gi+j+1

và theo bổ đề 3.4

ii) Nhóm [G,φ] là nhóm luỹ linh bậc nhỏ hơn n Thật vậy, ta có:

[G,[φ,Gi]] [G,Gi+1] Gi+1

[φ [Gi,G]] [φ,Gi] Gi+1

Do đó, theo bổ đề 3.4, ta có:[ Gi, [ ,φ]] Gi+1 đối với tất cả Gi Điều đó

có nghĩa là sự liên hợp các phần tử trong [G,φ] tác động đồng nhất trong nhóm

thơng của dãy G1 G2 … Gn=1 Nh đã chứng minh trong khẳng định i) nhómnày tự liên hợp, nghĩa là [G,φ]/C [G,φ] (G1) là nhóm luỹ linh bậc n-1 Mặt khác,[G,φ] G1, do đó C[G,φ] (G1) nằm trong tâm của [G,φ].

Từ đó suy ra ii)

Đinh lý 4.2.1 đợc chứng minh

Đến đây, một câu hỏi đặt ra là: có thể thay điều kiên "chuẩn tắc" trong dãy(1) bởi điều kiện "dãy nhóm con" Câu trả lời là khẳng định,nhng chứng minh rấtphức tạp

1

n

C − ,nghĩa là γ 1+Cn-12 ϕ A.

Ký hiệu A1=A, Ai+1=[Ai,A] Vì A ≤φ nên: A A1 A2…

Chúng ta chỉ cần chứng minh [G,Ar]=1 (4)

Để chứng minh đợc (4), chúng ta sẽ đa về chứng minh [G,Ai] Gi đối với tấtcả i

Đối với i=1, điều đó là hiển nhiên Ta chuyển từ i sang i+1

Giả sử g ∈ G, ai+1 ∈ Ai+1 cần chứng minh rằng [ai+1,g] ∈Gi+1 Nhng ai+1 là hoán

tử có dạng [ai,ϕ-1], trong đó ai∈Ai ϕ∈φ Phần tử g

i

a đó chính là phần tử thuộctích

[ai,ϕ]g=[ai,ϕ-1][ai,ϕ-1,g] (5)

Hơn nữa: [ai,ϕ-1,g] ∈ Gi+1 do đồng nhất thức Jacobi và do các hệ thức sau:[ϕ,g-1,ai] ∈ [φ,G,Ai] [Gi,A]=1

[g, 1

i

a− ,ϕ] ∈ [G,Ai,ϕ] [Gi,φ] Gi+1

Bởi vậy, trong tích (5) n phần tử bên trái thuộc A, còn nhân tử bên phải thuộc

Gi+1 Nhng A tâm hoá Gi Gi+1, và do đó g1

i

a+ ∈ ai+1 Gi+1 Từ đó [ai+1,g] ∈ Gi+1 và

định lý 4.2.3 đợc chứng minh

Kết luận

Khoá luận đã thu đợc kết quả sau:

-Tổng quan về nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm cho trớc

-Tổng quan lại về nhóm các tự đẳng cấu của nhóm Aben

- Nhắc lại định nghĩa và các tính chất của nhóm luỹ linh

- Xây dựng nhóm toàn hình của một nhóm cho trớc

-Khảo sát một số tính chất của nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu

Việc khảo sát các tính chất của nhóm luỹ linh các tự đẳng cấu là vấn đề củachúng tôi tiếp tục nghiên cứu

Tài liệu tham khảo

1 Lê Quốc Hán, Giáo trình lý thuyết nhóm, ĐHSP Vinh, 1997.

2 Bùi Huy Hiền, Bài tập Đại số đại cơng, NXBGD, 2001.

3 Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cơng, NXBGD, 2001.

4 Trần Văn Hạo, Hoàng Kỳ, Bài tập Đại số, NXB Đại học và Trung học

chuyên nghiệp, 1978