Nhóm liên tục các phép biến đổi

Trớc hết, ngời ta xét nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập hợp tuỳ ý, từ đó khảo sát lớp nhóm đối xứng trên tập hợp đó nghĩa là nhóm các song ánh từ một tập hợp X tuỳ ý - không nhất t

mục lục

trang

Lời nói đầu 2

Đ1.Nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập 4

Đ2.Nhóm liên tục các phép biến đổi trên một tập 12

Đ3 Tổng quan về nhóm tô pô 18

Đ4.Nhóm liên tục các phép biến đổi 25

kết luận 30

tài liệu tham khảo 31

lời nói đầu

Nhóm các phép thế bậc hữu hạn là một lớp nhóm đã đợc khảo sát từ giai

đoạn đầu tiên khi lý thuyết nhóm ra đời, và đã tỏ ra có nhiều ứng dụng quan trọng trong Đại số nói riêng và Toán học nói chung Có thể mở rộng khái niệm nhóm phép thế bậc hữu hạn theo nhiều hớng khác nhau Trớc hết, ngời ta xét nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập hợp tuỳ ý, từ đó khảo sát lớp nhóm đối xứng trên tập hợp đó (nghĩa là nhóm các song ánh từ một tập hợp X tuỳ ý - không nhất thiết hữu hạn - lên chính nó với phép toán là phép hợp thành các ánh xạ) Từ đó, xét lớp nhóm đặc biệt hơn: Nhóm liên tục các phép biến đổi của một không gian tôpô

Khoá luận của chúng tôi đi theo hớng thứ hai này

Khoá luận gồm bốn phần

Đ1 Nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập.Trong tiết này, trớc hết chúng tôi xét nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên một tập hợp tuỳ ý và đi sâu vào nửa nhóm ngợc các phép biến đổi bộ phận một - một của tập hợp đó Các kết quả cần chú ý là mệnh đề 1.2.5 và định lý 1.3.14

Đ 2 Nhóm các phép biến đổi trên một tập Trong tiết này, chúng tôi xét nhóm

các song ánh từ một tập X lên chính nó với X là một tập tuỳ ý Sau đó, xét lớp nhóm đó trong trờng hợp bản thân X là một nhóm Các kết quả cần chú ý là mệnh

đề 2.1.5, mệnh đề 2.2.8

Đ3 Tổng quan về nhóm tôpô.Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm

và tính chất cơ bản của nhóm tôpô để làm cơ sở cho việc trình bày tiết sau

Đ 4: Nhóm liên tục các phép biến đổi Đây là phần chính của luận văn Dựa trên

các kết quả đã trình bày trong tiết 2 và tiết 3, chúng tôi xét nhóm liên tục các phép biến đổi của không gian tôpô, đặc biệt đi sâu vào khảo sát nhóm liên tục và bắc cầu của không gian tôpô đó và đã thu đợc kết quả bớc đầu (mệnh đề 4.2, mệnh đề 4.3) Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này tác giả bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đối với thầy về những sự giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực cho tác giả trong quá trình hoàn thành khoá luận

Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy giáo,cô giáo trong tổ đại số; các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán Đại Học Vinh và tập thể bạn bè lớp 44B-toán đã động viên,giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận này.

Vì trình độ và thời gian có hạn nên khoá luận chắc chắn còn nhiều thiếu sót,rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khoá luận này đợc hoàn thiện hơn

Tác giả:

Đ1 Nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập.

Tiết này trình bày một số khái niệm của lí thuyết nửa nhóm và bớc đầu đi sâu vào khảo sát lớp nửa nhóm các phép biến đổi trên một tập

1.1.Các khái niệm cơ bản.

1.1.1.Định nghĩa: i) Giả sử S là một tập hợp tuỳ ý Khi đó một ánh xạ từ SìS vào

S gọi là một phép toán hai ngôi trên S Nếu ánh xạ đó đợc kí hiệu là (.) thì ảnh của phần tử (a,b) ∈S ìS trong S đợc kí hiệu là a.b hay đơn giản hơn : ab.

ii) Tập hợp S khác rỗng cùng với một phép toán hai ngôi trên nó đợc gọi là một

phỏng nhóm.

iii) Phỏng nhóm S đợc gọi là nửa nhóm nếu phép toán hai ngôi trên S có tính chất

kết hợp, nghĩa là (ab)c = a(bc), ∀a,b,c∈S.

1.1.2 Định nghĩa: Giả sử S là một phỏng nhóm Khi đó, phần tử e∈S đợc gọi là

1.1.3 Chú ý : Phần tử đơn vị của phỏng nhóm S, nếu có, sẽ duy nhất.Thật vậy,

nếu e và e, là các phần tử đơn vị của S thì ee’ = e’(do e là đơn vị ) và ee’ = e ( do e’ là đơn

Nên (αβ )γ = α (βγ )

Do đó tập ℑX tất cả các phép biến đổi của tập X là một nửa nhóm đối với phép hợp thành

Ta gọi ℑX là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên X.

• ánh xạ α : X → Y là ánh xạ lên (hay còn gọi là toàn ánh) nếu mỗi phần tử thuộc

Y là ảnh của ít nhất một phần tử thuộc X

• ánh xạ α : X → Y là ánh xạ một - một ( hay là đơn ánh ) nếu các phần tử khác

nhau thuộc X có ảnh qua α là các phần tử khác nhau thuộc Y.

• ánh xạ một - một từ tập X lên chính nó đợc gọi là một phép thế của tập X, ngay cả khi X vô hạn

• Tập GX tất cả các phép thế của tập X với phép nhân ánh xạ lập thành một nhóm

và đợc gọi là nhóm đối xứng trên X.

1.1.5 Định nghĩa:

• Tập con T ≠ φ của một phỏng nhóm đợc gọi là phỏng nhóm con của nó nếu từ a

∈T,b∈T ⇒ ab∈T.

Giao của một họ tuỳ ý các phỏng nhóm con hoặc là φ hoặc là phỏng nhóm con

• Nếu A ≠ φ, A⊂S thì giao của tất cả các phỏng nhóm con của S chứa A là một phỏng nhóm con <A> của phỏng nhóm S chứa A và đợc chứa trong mọi phỏng nhóm con của S chứa A và nói <A> là phỏng nhóm con của phỏng nhóm S sinh bởi A.

Nếu <A> = S thì ta gọi A là tập sinh của phỏng nhóm S

Nếu S là nửa nhóm thì phỏng nhóm con của S cũng là nửa nhóm và dùng từ nửa nhóm con thay cho từ phỏng nhóm con

Nếu S là phỏng nhóm,thì lực lợng |S | của tập S đợc gọi là cấp của S

1.1.6 Định nghĩa : Phần tử e thuộc phỏng nhóm S đợc gọi là đơn vị trái(phải) nếu

ea = a (ae = a) ∀a∈S.

• Phần tử e thuộc phỏng nhóm S đợc gọi là đơn vị hai phía ( hay đơn vị ) nếu e

vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải

Nếu S chứa đơn vị trái e và đơn vị phải f thì e = f

• Phần tử z thuộc phỏng nhóm S đợc gọi là phần tử không bên trái (phải) nếu za = z

phần tử không bên trái, vừa là phần tử không bên phải nếu z1 là phần tử không bên trái, z2 là phần tử không bên phải thì z1=z2

1.2 Phần tử khả nghịch của nửa nhóm các phép biến đổi.

1.2.1 Định nghĩa: Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị 1 Nếu p và q là

các phần tử thuộc S sao cho pq =1, thì ta gọi p là nghịch đảo bên trái của q,còn q

gọi là nghịch đảo bên phải của p.

1.2.2 Định nghĩa: Phần tử khả nghịch bên phải (trái) thuộc S đợc định nghĩa là

phần tử thuộc S có một nghịch đảo bên phải (trái) thuộc S Vậy nếu pq = 1 thì p

khả nghịch bên phải, còn q khả nghịch bên trái.

1.2.3 Định nghĩa: Phần tử khả nghịch thuộc S là một phần tử vừa khả nghịch bên

trái vừa khả nghịch bên phải

1.2.4 Mệnh đề[1]: Giả sử S là một nửa nhóm với phần tử đơn vị là 1 Khi đó ta có:

(i) Tập P[Q] tất cả các phần tử khả nghịch bên phải (trái) của S là một nửa nhóm con với luật giản ớc phải (trái) và chứa 1.

không có nghịch đảo bên trái và bên phải nào thuộc tập đó.

(iii) Mỗi nhóm con của S chứa 1 đều đợc chứa trong U.

Từ các định nghĩa và định lý ta có các mệnh đề sau:

1.2.5.Mệnh đề: Giả sử ℑX là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên tập X thì nửa

một ) từ X vào X.

Chứng minh Giả sử f: X → X khả nghịch phải.Khi đó tồn tại ánh xạ

(

a X

f

y

x x

1.2.6 Mệnh đề: Giả sử ℑX là nửa nhóm đầy đủ các phép biến đổi trên tập hợp X

Ngợc lại f toàn ánh,ta chứng minh f khả nghịch trái.

Do f : X → X toàn ánh nên với mỗi y ∈ X luôn tồn tại f-1(y).Với mỗi tập f-1(y) ta

1.2.7 Hệ quả : Nhóm tất cả các phần tử khả nghịch trong ℑX trùng với nhóm đối xứngGX

1.3 Nửa nhóm ngợc các phép biến đổi bộ phận một - một

Tiết này dành cho việc khảo sát nửa nhóm ngợc các phép biến đổi bộ phận một - một của một tập hợp X cho trớc.Trớc hết, ta nhắc lại các định nghĩa và tính chất đơn giản của nửa nhóm chính quy và nửa nhóm ngợc

1.3.1 Định nghĩa: Giả sử S là một nửa nhóm.

i) Phần tử a thuộc S đợc gọi là phần tử chính qui nếu tồn tại phần tử x thuộc S sao

cho axa = a.

ii) Nửa nhóm S đợc gọi là nửa nhóm chính qui nếu mọi phần tử của S đều là phần

tử chính qui

1.3.2 Chú ý: Nếu axa = a thì e = ax là một luỹ đẳng Hơn nữa ea = a

Thật vậy, e 2 = ( ax)( ax) = ( axa)x = ax= e và ea = axa= a Tơng tự f = xa cũng là một

luỹ đẳng của S và af = a Ta cũng chú ý rằng nếu a là phần tử chính qui của nửa

nhóm S thì iđêan chính phải aS 1 = a ∪aS sinh bởi a bằng aS , vì a = af kéo theo a

∈ aS.Tơng tự, S1a = Sa Về sau ta sẽ dùng hai chú ý đó mà không nói thêm gì

1.3.3 Bổ đề : Phần tử a thuộc nửa nhóm S là phần tử chính qui khi và chỉ khi

iđêan chính phải (trái) của nửa nhóm S sinh bởi a đợc sinh bởi một luỹ đẳng e nào

đó, nghĩa là aS1 = eS1 (hay S1a =S1e).

Chứng minh: Nếu a là phần tử chính qui thì axa = a với x nào đó thuộc S Khi đó

e = ax là phần tử luỹ đẳng của S và ea = a Khi đó eS1 = aS1

Đảo lại, giả sử rằng aS1 = eS1 và e2 = e.Khi đó a = ex với x nào đó thuộc S1 Vì

vậy ea = e2x = ex = a; e = ay với y là một phần tử nào đó của S1 Nếu y = 1 thì e = a

Chứng minh: Vì a là phần tử chính qui của S nên trong S tồn tại phần tử x sao

Tơng tự, có bab = (xax)a(xax) = x(axa) xax = xa(xax) = (xax)ax = xax = b.

1.3.6.Bổ đề: Hai phần tử thuộc cùng một nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau

trong một nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ngợc nhau và giao hoán

đ-ợc với nhau.

Chứng minh: Giả sử a và b là các phần tử ngợc nhau và giao hoán đợc với nhau

thuộc một nửa nhóm S và e = ab Khi đó e là luỹ đẳng và ba = e, nên ea = aba = a

eSe và thuộc nhóm con tối đại He của S chứa e nh một đơn vị của nó Vì

ab = ba = e nên a và b là nghịch đảo của nhau trong S.

1.3.7 Định nghĩa: Nửa nhóm ngợc là nửa nhóm trong đó mỗi phần tử có một phần

tử ngợc duy nhất

1.3.8.Bổ đề Nếu e,f,ef và fe là các luỹ đẳng thuộc nửa nhóm S thì ef và fe ngợc

nhau.

Chứng minh: Ta có (ef)(fe)(ef) = ef2e2f = ef.ef = (ef)2 = ef.

Tơng tự ta có (fe)(ef)(fe) =fe ⇒ ef và fe ngợc nhau.

1.3.9.Định lý Ba điều kiện sau đối vơí một nửa nhóm là tơng đơng:

i) S chính quy và hai luỹ đẳng bất kì của nó giao hoán với nhau.

ii) Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử sinh luỹ

đẳng duy nhất

(iii) S là nửa nhóm ngợc (tức là mỗi phần tử thuộc S có một phần tử ngợc duy nhất).

eS = fS ⇒ ef = f và fe = e.

Nhng theo (i) ta có: ef = fe nên e = f.

(ii)⇒ (iii) : Ta có phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính qui khi và chỉ khi iđêan

chính phải (trái) của nửa nhóm S sinh bởi một luỹ đẳng e nào đó, tức aS1 = eS1

[S1a = S1e] nên suy ra nửa nhóm S chính quy.

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh duy nhất của phần tử ngợc

Thật vậy, giả sử b và c ngợc với a Khi đó ta có

aba = a; bab = b; cac = c

Từ đó abS = aS = acS và Sba = Sa = Sca, nên ab = ac và ba = ca.

Do đó b = bab = bac = cac = a.

(iii) ⇒(i) Rõ ràng một nửa nhóm ngợc là chính qui.

Ta chỉ cần chứng minh hai luỹ đẳng bất kì giao hoán với nhau

Trớc hết ta chứng minh tích ef của hai luỹ đẳng e và f là một luỹ đẳng Thật

vậy,giả sử a là phần tử ngợc (duy nhất) của ef Khi đó ta có :

(ef)a(ef) = ef ; a(ef)a = a.

Đặt b = ae ⇒ (ef)b(ef) = (ef)ae(ef) = efae2f = efaef = ef;

b(ef)b = ae2fae =aefae = ae = b

⇒ b là phần tử ngợc của ef , theo (iii) ae = b = a.

Nhng một luỹ đẳng là phần tử ngợc với chính nó và theo (iii) ta suy ra a = ef ⇒

ef là luỹ đẳng.

Bây giờ giả sử e và f là hai luỹ đẳng bất kì

Theo trên ta có ef và fe là luỹ đẳng, nên theo bổ đề 1.3.8 ta có chúng ngợc

nhau.Vậy ef và fe đều ngợc với ef, do đó ef = fe (đpcm).

1.3.10 Định nghĩa: Ta gọi phép biến đổi bộ phận một -một của tập X là một ánh

xạ một - một, α từ một tập con Y của X lên tập con Y’ = Yα của X:

Ký hiệu α -1: Yα → Y

y’ α -1 = y (y∈Y;y’ ∈ Yα ) ⇔ y ’= yα .

Giả sử ℑX là tập tất cả các phép biến đổi bộ phận một - một của tập X,bao gồm cả

ánh xạ từ tập rỗng lên chính nó.“Phép biến đổi rỗng’’ đó ta sẽ kí hiệu là 0

1.3.11 Bổ đề Tích αβ của hai phần tử α ,β ∈ℑX đợc định nghĩa nh sau:

Giả sử Y và Z là các miền xác định tơng ứng của α vàβ Nếu Yα ∩ Z = φ thì ta

đặt αβ = 0.

Ngợc lại, giả sử W =( Yα∩ Z )α -1 ⇒αβ là cái hợp thành của các phép biến đổi α

| W và β| Wα theo nghĩa thông thờng Khi đó ta có αβ là ánh xạ một -một từ tập con W lên Wα β Do đó αβ thuộc ℑX nên ℑX là một nửa nhóm gọi là nửa nhóm ng-

ợc đối xứng trên tập X.

Hai bổ đề sau rút trong[1]

1.3.12 Bổ đề: Đối với các phần tử a, b tuỳ ý thuộc một nửa nhóm ngợc S có các hệ

1.3.14.Định lý: Mỗi nửa nhóm ngợc tuỳ ý S đẳng cấu với một nửa nhóm con ngợc

* Bây giờ ta phải chứng tỏ rằng a ∈ ρa là đẳng cấu từ S →ℑs.

Thật vậy,giả thiết rằng ρa = ρb (a,b ∈S).

Khi đó Saa-1= Sbb-1; nên aa-1= bb-1 (theo định lý 1.3.9 ii ) và x ∈ Saa-1

⇒ xa = xρa = xρb = xb Vì a ∈ Saa-1,nên a-1a = a-1b.

Do đó a = aa-1a = aa-1b = bb-1b = b.

Vậy ánh xạ a → ρa là một - một

* Cuối cùng ta phải chứng minh ρaρb = ρab (a,b ∈S).

Vì (xa)b = x(ab) với x bất kì thuộc S,nên ta chỉ cần chứng tỏ ρa ρb và ρab có cùng một miền xác định

ρa ρb

Ta có miền xác định của ánh xạρab là tập S(ab)(ab)-1

Còn miền xác định của ánh xạ ρaρb là tập (Sa-1a ∩ Sbb-1) ρa− 1 Theo 1.3.13 ta có (Sa-1a ∩ Sbb-1) ρa− 1 = Sa-1abb-1 = Sabb-1

Theo 1.3.12 ta có (Sa-1a ∩ Sbb-1) ρa− 1 = Sabb-1a-1 = S(ab)(ab)-1(đpcm)

Đ2 Nhóm các phép biến đổi của một tập.

Trong tiết này, chúng ta xét nhóm G các phép biến đổi của một tập hợp X cho trớc Thực chất G là nhóm con nào đó của nhóm đối xứng GX

2.1: Nhóm các phép biến đổi của 1 tập.

2.1.1: Định nghĩa:

Giả sử X là tập hợp tuỳ ý, GX là nhóm đối xứng của X, GX ={f: X→X/ f là song ánh}

Khi đó mỗi nhóm con G của GX đợc gọi là một nhóm các phép biến đổi của X.

Saa

Sbb-1 Sb-1b

Nh vậy, ánh xạ đồng nhất 1x của GX thuộc G, và nếu f , g ∈G thì g f và f -1 (ánh xạ ngợc của f) cũng thuộc G.

2.1.2: Định nghĩa: Giả sử G là 1 nhóm các phép biến đổi của tập hợp X Khi đó G

đợc gọi là bắc cầu, nếu với mọi x,y ∈X, tồn tại f ∈G sao cho f (x) = y.

Nói riêng, GX là một nhóm các phép biến đổi bắc cầu của X

2.1.3 Ví dụ: Giả sử Gn là nhóm tất cả các phép biến đổi của tập hữu hạn Xn gồm n phần tử, chẳng hạn Xn = {1,2, ,n} Khi đó Gn chính là nhóm tất cả các phép thế bậc n, Gn = Sn và S n = n!.Mỗi phép thế đợc phân tích một cách duy nhất thành tích các vòng xích độc lập Khi n ≥ 3, Gn không giao hoán

2.1.4 Định nghĩa: i) Nhóm G đợc gọi là nhóm các phép biến đổi của tập hợp

Γ,nếu với mỗi phần tử x ∈G đặt tơng ứng đợc với một phép biến đổi x*, x* = τ(x)

của Γ sao cho τ(xy) = τ(x).τ(y) với mọi x,y ∈G Khi đó G* là nhóm các phép biến đổi của tập hợp X theo ý nghĩa của định nghĩa 2.1.1, còn τ: G→G*là một ánh xạ đồng cấu từ G lên G*

ii) Hạt nhân của τ đợc gọi là hạt nhân không hữu hiệu của nhóm các phép biến đổi

G Nếu τ là đẳng cấu, thì nhóm G đợc gọi là nhóm các phép biến đổi hữu hiệu

Trong trờng hợp này, G có thể đợc đồng nhất với G* bằng cách đặt x = x* và xem

rằng mỗi phần tử thuộc G là một phép biến đổi của tập hợp Γ

iii) Nhóm G các phép biến đổi của tập hợp Γđợc gọi là bắc cầu nếu G* bắc cầu,

nghĩa là nếu với hai phần tử ξ, η ∈ Γtìm đợc một phần tử x ∈G sao cho x* (ξ) = η.iv) Giả sử G là nhóm các phép biến đổi của tập hợp Γvà G’ là nhóm các phép biến

đổi của tập hợp Γ’ Khi đó cặp ánh xạ ϕ,ψ đợc gọi là đồng dạng từ cặp (G, Γ) lên cặp (G’, Γ’) nếu ϕ: G→G’ là ánh xạ đẳng cấu từ nhóm G lên nhóm G’ và

ψ : Γ→Γ’ là ánh xạ một - một từ Γlên Γ’ sao cho nếu x’ = ϕ(x), ξ’ = ψ (ξ) thì

x’* (ξ’) = ψ (x* (ξ)).

Cặp (G,Γ) và (G’,Γ’) đợc gọi là đồng dạng với nhau, nếu tồn tại một cặp đồng

dạng từ (G,Γ) lên (G’,Γ’)

2.1.5 Mệnh đề: Giả sử G là một nhóm bắc cầu các phép biến đổi của tập hợp Γvà

Giả sửϕ: G→G là ánh xạ đồng nhất của G Khi đó (ϕ,ψ ) là đồng dạng từ (G,Γ) lên

(G, G Hα ) Hơn nữa, nếu β ∈Γ và x ∈G sao cho x*(α ) =β thì Hβ = x Hα x -1

Giả sử x,y ∈ψ (ξ) Khi đó x*(α ) = y*(α ) nên (x-1y)* (α ) =α Trong trờng hợp ξ

= α , hệ thức đó kéo theo H-1 αHα ⊆ Hα, nghĩa là Hα là nhóm con của G Với ξ tuỳ ý, suy ra rằng x,y thuộc cùng một lớp ghép trái của G theo Hα Nếu y ∈ψ (ξ)

và x,y thuộc cùng một lớp ghép trái của G theo Hα ,thì (x-1y)* (α ) =α , nghĩa là x*(

α ) = y*(α );và do đó x ∈ψ (ξ) Bởi vậy, ψ (ξ) là một lớp ghép trái của nhóm G theo nhóm con Hα

Rõ ràng, nếu ξ và η là hai phần tử khác nhau của tập hợp Γ,thì các tập hợp

ψ (ξ) và ψ (η) không giao nhau và bởi vậy ψ (ξ) ≠ ψ (η) Hơn nữa, nếu x Hα là một lớp ghép trái tuỳ ý, thì ψ (x*(α )) = xHα Bởi vậy, ψ : Γ→

α

H

G là ánh xạ một - một lên Phần tử x ∈G đặt tơng ứng với phép biến đổi x* của tập hợp Γ và

các phép biến đổi của tập hợp

Nếu trong hệ thức này thay thế x*(α ) bởi ξ, chúng ta nhận đợcy*(ψ (ξ)) = ψ (y*(ξ)),

và điều đó có nghĩa là cặp ánh xạ ϕ,ψ là đồng dạng của cặp (G, Γ) lên cặp (G,

α

H

G ), với ϕ = 1G là ánh xạ đồng nhất của G.

Nếu x*(α ) = β thì tất cả các phép biến đổi mà các phần tử tơng ứng của tập hợp xHα x-1

sẽ giữ β nguyên vị trí, nên x Hα x-1 ⊆ Hβ Tơng tự, có x-1Hβ x⊆ Hα Bởi vậy Hβ = x Hα

x-1

2.2 Phép chuyển dịch và biểu diễn chính quy.

2.2.1 Định nghĩa:

i) Giả sử S và S' là các phỏng nhóm ánh xạ ϕ: S→S’ đợc gọi là đồng cấu nếu (ab)

ϕ = (aϕ)(bϕ), ∀a, b ∈S ánh xạ ϕ: S→S’ gọi là một phản đồng cấu nếu (ab)ϕ =

đẳng cấu) nếu ϕ là song ánh.

ii) Phép biến đổi x→x* của phỏng nhóm S đợc gọi là phản đẳng cấu đối hợp nếu (x*)* = x và (xy)*= y*x*.

2.2.2 Định nghĩa: i) Giả sử S là một phỏng nhóm X là một tập hợp tuỳ ý và ℑX là nửa nhóm các phép biến đổi trên tập X Đồng cấu (phản đồng cấu) ϕ: S → ℑX đ-

ợc gọi là biểu diễn (phản biểu diễn) của phỏng nhóm S bởi các phép biến đổỉ của

tập X Biểu diễn ϕ (phản biểu diễn) của phỏng nhóm S đợc gọi là trung thành nếu

ϕ là ánh xạ một - một.

ii) Giả sử ϕ là một biểu diễn của S và T là phỏng nhóm con của S; Khi đó ϕ|T (cái thu hẹp của ϕ trên T) là biểu diễn của T và ϕ|T gọi là đợc cảm sinh bởi ϕ.

2.2.3 Định nghĩa: Với mỗi phần tử a ∈S, ánh xạ λa: S→S xác định bởi xλa =ax

đợc gọi là phép chuyển dịch bên trong trái (hay tịnh tiến trái) của S bởi a

Định nghĩa tơng tự : S→S, xρa = xa cho phép chuyển dịch trong bên phải.

2.2.4 Nhận xét: Từ các đẳng thức xρab = x(ab) và xρaρb = (xρa)ρb = (xa)ρb

diễn của phỏng nhóm S bởi các phép biến đổi của tập S Một kết luận tơng tự cho

iii) Giả sử ψ là một biểu diễn của S và ϕ là cảm sinh của ψ trên S Khi đó ϕ gọi

bao giờ cũng trung thành!)

2.2.6 Bổ đề[1]: Giả sử S là nửa nhóm Khi đó:

nếu biểu diễn chính quy của S trung thành.

ii) S rút gọn đợc bên phải nếu và chỉ nếu phản biểu diễn chính quy của S trung thành.

iii) Nếu S có đơn vị thì biểu diễn và phản biểu diễn của S là trung thành.

2.2.7 Mệnh đề: Nửa nhóm S đợc biểu diễn trung thành bởi các ánh xạ một - một

từ một tập nào đó vào chính nó nếu và chỉ nếu S là nửa nhóm với luật giản ớc phải

và không có luỹ đẳng khác 1 Trong trờng hợp đó:

iii) Biểu diễn chính quy mở rộng của nửa nhóm S là biểu diễn trung thành bởi các

Chứng minh: Giả sử S là một nửa nhóm các ánh xạ một - một từ tập X vào

chính nó, vàα ,β ,γ là các phần tử thuộc S sao cho αγ = βγ .

Khi đó, ∀x, có: xαγ = xβγ hay (xα )(γ ) = (xβ)γ nên xα = xβ, vì γ là ánh xạ một - một Do đó α =β , nên S là nửa nhóm với luật giản ớc phải

Nếuε là một luỹ đẳng của S thì xε ε = xε , ∀x S∈ nên xε = x, ∀x S∈ (vì ε là một - một) Do đó ε = 1X..

Đảo lại, giả sử S là nửa nhóm với luật giản ớc phải và không chứa luỹ đẳng khác 1 Ta sẽ chứng minh các khẳng định (i), (ii), (iii); đặc biệt từ (iii) suy ra điều kiện đủ của phần đầu mệnh đề 2.2.7

Để chứng minh (i), ta lấy các phần tử a,b ∈S mà ab = b Thế thì a 2 b = ab do đó

a 2 = a vì S giản ớc phải Vì S không chứa luỹ đẳng khác 1 nên a = 1 và do đó S1 = S Khẳng định (ii) là tầm thờng khi S1 = S, nên ta có thể giả thiết S1 ≠ S Giả sử trái lại, tồn tại các phần tử a, b,c ∈S1 sao cho ac = bc nhng a ≠b Thế thì c ≠1 nên c ∈

S Vì S giản ớc phải nên a,b không thể đồng thời thuộcS Nếu a ∈S và b = 1 chẳng