Về môđun bất biến qua các tự đẳng cấu của bao nội xạ

Một tính chất quan trọng của môđun tựa nội xạ là nó bất biếnqua các tự đẳng cấu của bao nội xạ.. Vào năm 1969, Dickson-Fuller đã chứng minh rằng nếu R là một đại sốbất kỳ trên trường F v

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗    ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

LÊ THỊ KIỀU OANH

VỀ MÔĐUN BẤT BIẾN QUA CÁC

TỰ ĐẲNG CẤU CỦA BAO NỘI XẠ

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, luận văn này là công trình nghiên cứucủa tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo GS TS

Lê Văn Thuyết

Trong quá trình nghiên cứu đề tài luận văn, tôi đã kếthừa thành quả khoa học của các nhà Toán học và các nhàKhoa học với sự trân trọng và biết ơn

Tác giả

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo GS TS Lê VănThuyết, cảm ơn những lời động viên, nhắc nhở của thầy trong suốtquá trình hướng dẫn khoa học cho tôi Thầy đã giúp tôi vượt quanhững khó khăn để hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu củamình

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy - Cô giáo đã giảngdạy lớp cao học Toán Khóa 23 của trường ĐHSP Huế cũng như toànthể các thầy cô trong khoa Toán trường ĐHSP Huế vì sự giảng dạytận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐHSP Huế, PhòngSau Đại học trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện để tôi hoàn thànhcông việc học tập, nghiên cứu của mình

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quýthầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Cuối cùng, tôi xin chia sẻ niềm vui lớn này với bạn bè, người thân

và gia đình tôi, những người luôn sát cánh động viên giúp đỡ tôi hoànthành luận văn này

Xin trân trọng cảm ơn!

MỤC LỤC

1.1 Một số định nghĩa 5

1.2 Môđun con cốt yếu 8

1.3 Môđun A - nội xạ Tiêu chuẩn Baer 12

1.4 Môđun nội xạ và môđun tựa nội xạ 15

1.5 Bao nội xạ 22

2 Môđun bất biến qua tự đẳng cấu của bao nội xạ 27 2.1 Môđun giả nội xạ 27

2.2 Môđun tự đẳng cấu – bất biến 29

2.3 Môđun giả nội xạ và môđun tự đẳng cấu bất biến trùng nhau 37 2.4 Vành liên quan 38

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

N, Z, Q, R, C : Các tập số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực,

số phức (theo thứ tự)

A ≤ B(A < B) : A là môđun con (con thực sự) của B

M od − R(R − M od) : Phạm trù các R−môđun phải (trái, tương ứng)

⊕

MỞ ĐẦU

Lý thuyết môđun là một bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp, đã và đangđược nhiều nhà toán học quan tâm Việc nghiên cứu lý thuyết môđun chođến ngày nay được phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọngtrong nghiên cứu lý thuyết vành Một trong các hướng nghiên cứu vành làđặc trưng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trênchúng Vì thế ngày nay có khá nhiều lớp môđun được nghiên cứu Một trongcác hướng nghiên cứu của lý thuyết này là việc nghiên cứu môđun nội xạ, rồitựa nội xạ Một tính chất quan trọng của môđun tựa nội xạ là nó bất biếnqua các tự đẳng cấu của bao nội xạ

Cho MR và A, B ∈ M od − R, chúng ta xét giản đồ sau:

xạ Môđun MR được gọi là tựa nội xạ nếu nó là tự nội xạ, nghĩa là MR là

MR−nội xạ

Vào năm 1961, Johnson và Wong đã chứng minh rằng MR là tựa nội xạnếu với mọi f ∈ EndR(E (M )), M bất biến qua f , nghĩa là f (M ) ≤ M ,trong đó E (M ) là bao nội xạ của môđun M Phát triển tư tưởng này, cácnhà khoa học chuyển từ tự đồng cấu sang tự đẳng cấu

Vào năm 1969, Dickson-Fuller đã chứng minh rằng nếu R là một đại sốbất kỳ trên trường F với nhiều hơn 2 phần tử, thì môđun M không thể phântích được là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M là bất biến qua các tự đẳng cấu của

E (M ) Xét đến các lớp môđun bất biến dưới tự đẳng cấu của bao nội xạ, vàonăm 2013 tác giả Lee và Zhou đã xây dựng khái niệm về môđun tự đẳng cấubất biến Một môđun M được gọi là tự đẳng cấu bất biến nếu ϕ(M ) ≤ M

với mọi ϕ ∈ AutR(E (M )) Một vài đặc trưng của lớp môđun này đã đượcnghiên cứu và áp dụng Sau đó, Teply (1975) đã đưa ra khái niệm giả nội xạ.Một môđun M được gọi là giả nội xạ nếu mỗi đơn cấu từ môđun con của

M vào M có thể được mở rộng đến một tự đồng cấu của M Giả nội xạ và

tự đẳng cấu bất biến rất gần nhau Một câu hỏi được đặt ra là khi nào thìmôđun tự đẳng cấu bất biến trùng với môđun giả nội xạ Vào năm 2013, Er,Sing và Srivastava đã chứng minh rằng môđun tự đẳng cấu bất biến trùngvới môđun giả nội xạ Ngoài ra, Guil Asensio và Srivastava đã chứng minhrằng tự đồng cấu vành của mỗi môđun tự đẳng cấu bất biến là nửa chínhquy

Mục đích của luận văn này là đi tìm hiểu về môđun bất biến qua tự đẳngcấu, môđun giả nội xạ và cuối cùng là chứng minh hai lớp môđun này trùngnhau Theo sự định hướng của thầy hướng dẫn GS TS Lê Văn Thuyết, tôi

đã chọn đề tài "Về môđun bất biến qua các tự đẳng cấu của bao nội xạ" làm

đề tài nghiên cứu cho luận văn

Ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làmhai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa cơ bảncủa lý thuyết môđun có liên quan đến nội dung của đề tài Cụ thể tôi sẽ trìnhbày tóm tắt các khái niệm, kí hiệu và tính chất cấu trúc đại số của môđun

và khái niệm tính chất về môđun nội xạ, môđun con cốt yếu, bao nội xạ.Chương 2 Môđun bất biến qua tự đẳng cấu của bao nội xạ

Trong chương này chúng tôi đề cập đến bốn nội dung chính

Nội dung thứ nhất: trình bày chi tiết và hệ thống các khái niệm, chứngminh các tính chất của môđun giả nội xạ

Nội dung thứ hai: nghiên cứu khái niệm, tính chất của môđun tự đẳngcấu bất biến

Nội dung thứ ba: nghiên cứu môđun giả nội xạ và môđun tự đẳng cấu bấtbiến trùng nhau

Nội dung thứ tư: nghiên cứu về một số vành liên quan

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này nêu một số định nghĩa và tính chất cơ bản được dùng trongchương sau Trong luận văn này nếu không nói gì thêm thì môđun M đượcquy ước là một R môđun phải và R là vành kết hợp có đơn vị khác không

Định nghĩa 1.1.1 Môđun con B của môđun A được gọi là hạng tử trực tiếptrong A nếu có môđun C của A sao cho A = B ⊕ C Môđun A khác khôngđược gọi là không phân tích được nếu 0 và A là những hạng tử trực tiếp duynhất trong A

Định nghĩa 1.1.2 (Các điều kiện Ci của môđun)

(C1) Mọi môđun con của môđun M là cốt yếu trong một hạng tử trựctiếp của M

(C2) Mọi môđun con đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M thì nó cũng

(ii) M thỏa mãn (C1) và (C2) được gọi là môđun liên tục

(iii) M thỏa mãn (C1) và (C3) được gọi là môđun tựa liên tục

Định nghĩa 1.1.4 Dãy khớp các đồng cấu

→ A→ Bf → C → gđược gọi là chẻ ra tại môđun B, nếu Imf là một hạng tử trực tiếp của B, tứctồn tại môđun con sao cho: B = Imf ⊕ B1

Một dãy khớp được gọi là chẻ, nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian

Áp dụng định nghĩa trên cho trường hợp các dãy khớp ngắn ta có: dãykhớp ngắn 0 → A→ Bf → C → 0 là chẻ khi và chỉ khi dãy chẻ tại B Thậtgvậy, kiểm tra dãy là chẻ tại A và C là quá tầm thường:

p1j1 = 1A, p2j2 = 1Bthì ta có thể nhận xét rằng: trong cả hai dãy khớp ngắn chẻ trên đây, cácđồng cấu vào j1, j2 đều có nghịch đảo trái, còn các đồng cấu ra p1, p2, đều cónghịch đảo phải Điều này, như sẽ thấy dưới đây không chỉ đúng dưới nhữngdãy khớp ngắn được sinh bởi tổng trực tiếp, mà là đặc trưng chung cho mỗidãy khớp ngắn chẻ bất kỳ

Cụ thể, chúng ta có:

Định lí 1.1.5 Đối với dãy khớp ngắn

0 //A α //B β //C //0

các phát biểu sau tương đương:

(i) Dãy khớp ngắn trên là chẻ ra

(ii) Đồng câu α có nghịch đảo trái

(iii) Đồng cấu β có nghịch đảo phải

Chứng minh (ii) ⇒ (i) Nếu đồng cấu α có nghịch đảo trái, tức là tồn tạiđồng cấu p : B → A sao cho pα = 1A, thì tích hai đồng cấu:

A→ Bα → Ap

là đẳng cấu Vậy B = Imα ⊕ Kerp, do đó dãy chẻ ra (i) ⇒ (ii) Nếu dãy làchẻ ra, tức B = Imα ⊕ B1 thì tồn tại phép chiếu

p1 : B = Imα ⊕ B1 → Imα

α1(a) = α(a), ∀a ∈ A) có đồng cấu ngược α1−1 : Imα → A Chọn p = α1−1p1thì pα = 1A, tức α có nghịch đảo trái Vậy (i) tương đương (ii)

Một cách tương tự: (iii) ⇒ (i) Nếu β có nghịch đảo phải, tức tồn tại đồngcấu q mà βq = 1C thì tích của hai đồng cấu C→ Bq → C là đẳng cấu Vàβ

1 : B1 → C Bởi B1 ∩ Kerβ = 0 nên β1 là đơn cấu

β1 cũng là toàn cấu vì: ∀c ∈ C, do β1 là toàn cấu nên ∃b ∈ B mà β(b) = c

Vì B = Imα ⊕ B1 nên tồn tại a ∈ A, b1 ∈ B1 mà b = α(a) + b Hiển nhiên

β1(b) = c Vậy β1 : B1 → C là đẳng cấu, do đó tồn tại đẳng cấu ngược

β1−1 : C → B1 Chọn q = j2β1−1 với j2 : B1 → Imα ⊕ B1 là phép nhúngthành phần B1 vào tổng trực tiếp, ta có: βq = 1C, tức β có nghịch đảo phải.Vậy (i) tương đương (iii)

Định lí 1.1.6 Cho dãy khớp ngắn

0 //A α //B β //C //0.

Khi đó các dãy sau là khớp

1) 0 //Hom(M, A) α ∗ //Hom(M, B) β ∗ //Hom(M, C) //0

2) 0 //Hom(C, M ) α∗ //Hom(B, M ) β //Hom(A, M ) //0

trong đó M là R môđun tùy ý, α∗ = Hom(idM, α) và α∗ = Hom(α, idM).Tương tự với β∗ và β∗

Chứng minh Xem [1, Chương II, Định lý 1]

Định nghĩa 1.2.1 Môđun con N của R môđun M được gọi là môđun concốt yếu của M , kí hiệu N ≤eM , nếu với mọi môđun con khác không K của

M ta đều có K ∩ N 6= 0 Khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của N Nếu mọi môđun con của môđun M là cốt yếu thì M được gọi là môđun đều

Ví dụ 1 (1) Với mỗi môđun M , ta đều có M ≤eM

(2) Vành số nguyên Z xem như môđun trên chính nó Khi đó, mỗi iđêankhác không trong Z (tức là các môđun con khác không của Z) đều cốt yếutrong Z

Thật vậy, đối với hai iđêan khác không bất kỳ aZ và bZ ta đều có:

Hệ quả 1.2.3 Cho A là môđun con của môđun M trên R Khi đó

A≤eM ⇔ Rx ∩ A 6= 0, ∀x ∈ M, x 6= 0

Chứng minh (⇒) Hiển nhiên

(⇐) Lấy 0 6= X ≤ M Suy ra, tồn tại 0 6= x ∈ X sao cho A ∩ Rx 6= 0

mà Rx ≤ X nên A ∩ X 6= 0 Vậy A≤eM

Mệnh đề 1.2.4 Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A ≤ B ≤ C thìkhi đó ta có

Thật vậy, nếu f (X) = 0 thì f (X) ≤ A nên X ≤ f−1(A)

Nếu f (X) 6= 0, khi đó A≤eN nên f (X) ∩ A 6= 0 Suy ra ∃x ∈ X, x 6= 0sao cho f (x) = a với a ∈ A, a 6= 0 Do đó x ∈ f−1(A) tức là x ∈ X ∩ f−1(A),suy ra X ∩ f−1(A) 6= 0 Vậy f−1(A)≤eM

Mệnh đề 1.2.6 Cho B là môđun con khác không của môđun M , A≤eM thìkhi đó A ∩ B≤eB.

Chứng minh Giả sử X là môđun con khác không của môđun B, khi đó

X ≤ M Vì A≤eM nên tồn tại 0 6= a ∈ A ∩ X ⇒ a ∈ X và a ∈ A, do đó

a ∈ B Suy ra a ∈ (A ∩ B) ∩ X nên (A ∩ B) ∩ X 6= 0 Vậy A ∩ B≤eB.Mệnh đề 1.2.7 Cho A ≤ B ≤ M Nếu (B/A)≤e(M/A) thì B≤eM

Chứng minh Cho X là môđun con khác không của M

Nếu B ∩ X = 0 thì A ∩ X = 0 Do đó, tồn tại tổng trực tiếp A ≤ X ⊕ A

ra tồn tại c /∈ A mà c + A ∈ B/A ∩ (X ⊕ A)/A Nên ta có

Cho A1≤eM1, A2≤eM2 và tồn tại A1⊕ A2

1.3 Môđun A - nội xạ Tiêu chuẩn Baer

Định nghĩa 1.3.1 Môđun M trên R được gọi là A−nội xạ nếu mọi môđuncon X và mỗi đồng cấu f : X → M có thể mở rộng tới đồng cấu f∗ : A → Msao cho f = f∗ ◦ i, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán với i : X → A là phépnhúng

Bổ đề 1.3.2 Nếu môđun N là A−nội xạ thì mọi đơn cấu f : N → A là chẻ

ra Hơn nữa, nếu A không phân tích được thì f là đẳng cấu

Chứng minh Vì f : N → A là đơn cấu nên ta có thể xem N như là môđuncon của môđun A Do N là A−nội xạ nên tồn tại đồng cấu g : A → N saocho g ◦ f = 1N

Ta sẽ chứng minh A = Imf ⊕ Kerg Thật vậy, với a ∈ A, ta có g(n) ∈ N Đặt

g ◦ f (n) = 0 ⇒ n = 0

Nếu A không phân tích được thì theo định nghĩa Kerg = 0 Khi đó

A = Imf ⇒ f toàn cấu ⇒ f đẳng cấu

Mệnh đề 1.3.3 Cho N là A− nội xạ và B là môđun con của A Lúc đó:(i) N là B−nội xạ

Với X ≤ B mọi f : X → N là đồng cấu, i là phép nhúng đồng nhất Do N

là A−nội xạ Suy ra, tồn tại g : A → N là mở rộng của f , tức là g ◦ iB◦ i = f.Khi đó f∗ = g ◦ iB Vì f∗ ◦ i = g ◦ iB ◦ i = f nên N là B−nội xạ

(ii) Giả sử X/B là môđun con của A/B, ϕ : X/B → N là đồng cấu môđun.Gọi π : A → A/B là toàn cấu tự nhiên và π0 = π|X Khi đó, ϕ ◦ π0 : X → N làđồng cấu môđun Do N là môđun A−nội xạ nên tồn tại đồng cấu θ : A → N

mà θ ◦ i = ϕ ◦ π0 Vậy nên ta có B ≤ Kerθ

+ Xác định ψ : A/B → N với ψ(a + B) = θ(a) Dễ thấy ψ là ánh xạ, ψ

là đồng cấu, ψ|X/B = ϕ, do đó N là A/B−nội xạ

Mệnh đề 1.3.4 (Tiêu chuẩn Baer tổng quát) Môđun N là A−nội xạ khi vàchỉ khi N là Ra−nội xạ với mọi a ∈ A

Chứng minh Dùng bổ đề Zorn.

Xét S = {(Bi, ψi) |X ≤ Bi ≤ A, ψi là mở rộng ϕ, i ∈ I} Quan hệ thứ tự:(B1, ψ1) ≤0 (B2, ψ2) ⇔ B1 ≤0 B2 và ψ2 mở rộng ψ1 Theo bổ đề Zorn, suy

ra, tồn tại (B, ψ) tối đại

Kiểm tra χ đồng cấu Lúc đó χ biến phần tử 0 thành phần tử 0 Nếu b+ra = 0

Ai = ⊕Ai, X ≤ A và ϕ : X → N là đồng cấu môđun

Tương tự cách chứng minh Mệnh đề 1.3.4, bằng Bổ đề Zorn ta giả sử

ϕ không mở rộng thành một đồng cấu từ X0 vào N với bất kỳ môđun con

X0 ≤ A mà X0 chứa X Khi đó, X là môđun con cốt yếu của A

Do X 6= A nên tồn tại j ∈ I và a ∈ Aj sao cho a /∈ X, mà N là Aj−nội xạnên j ∈ I ⇒ N là aR−nội xạ, với mọi a ∈ A (Mệnh đề 1.3.4)

Tương tự Mệnh đề 1.3.4, ta có thể mở rộng đồng cấu ϕ thành đồng cấu

ψ : X + aR → N, điều này mâu thuẫn với tính tối đại của χ Vậy N là A−nội

xạ hay N là ⊕

I

Ai−nội xạ

Định nghĩa 1.4.1 Cho môđun M , M được gọi là nội xạ nếu M là A−nội

xạ với mọi môđun A Môđun M được gọi là tựa nội xạ nếu M là M −nội xạ

Ví dụ 2 (1) Mỗi không gian vectơ V trên một trường K là một K môđunnội xạ vì mỗi ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ con của W đến V đều

có thể mở rộng ra toàn không gian W

(2) Cho n > 1, khi đó ta có Zn là Zn−môđun nội xạ.

Để chứng minh tính nội xa, chúng ta sẽ dùng tiêu chuẩn Baer Giả sử I

là một iđêan của Zn, khi đó I có dạng I = dZn, trong đó d là ước của n vàgiả sử n = dm Xét α : I → Zn và giả sử α d
= k Khi đó, α(0) = α(n) =α(dm) = mα(d) = mk = 0

Suy ra mk .n hay mk = en = edm và do đó k = ed Bây giờ ta định nghĩa

β : Zn → Zn sao cho β(x) = xe Khi đó, β(d) = de = k = α(d)

(3) Ta có môđun Z−môđun Zp n với p là số nguyên tố là tựa nội xạ vì nóbất biến hoàn toàn trong bao nội xạ của nó là Zp ∞

Tổng quát hơn, ta có Z−môđun Zn là tựa nội xạ với mỗi n ∈ Z

Thật vây, ta có Zn = Zp 1 n1 ⊕ ⊕ Zp k nk với pi là các số nguyên tốkhác nhau, mặt khác, mỗi Z−môđun Zp i ni là tựa nội xạ (theo ví dụ trên) vàHomZ(Zp∞, Zq∞) = 0 nếu p và q là các số nguyên tố khác nhau

Định nghĩa 1.4.2 (xem [3], Định nghĩa 3.4.9) Một nhóm Aben X được gọi

là chia được nếu và chỉ nếu với mọi phần tử x của X và mọi số nguyên, tồntại một phần tử sao cho n.a = x

Ví dụ 3 (1) Q là Z môđun chia được vì phương trình n.a = x trên Q luôn

Chứng minh Trước hết, nếu Z môđun D là chia được thì D là môđun nội

xạ Cho ϕ : D → B là một đơn cấu của hai nhóm Aben, trong đó D là nhómchia được

Ta sẽ chứng minh rằng ϕ chẻ ra và do đó D là môđun nội xạ Thật vậy,

do ϕ đơn cấu nên D đẳng cấu với ảnh Im (ϕ) Bởi vậy, không mất tính tổngquát ta có thể xem D là nhóm con của B và ϕ là đơn cấu chính tắc Gọi U

là tập hợp tất cả các nhóm con A của B sao cho D ∩ A = 0

Tập U 6= φ, do A = 0 ∈ U Áp dụng bổ đề Zorn ta thấy trong U có phần

tử tối đại, chẳng hạn V Khi đó: D + V = D ⊕ V

Mặt khác, đối với phần tử tùy ý b ∈ B, ta xét iđêan: I = {x ∈ Z|bx ∈ D + V }

Do Z là vành chính nên I = mZ Hơn nữa I 6= 0, vì nếu I = 0 thì nhóm con Hsinh bởi b thỏa mãn điều kiện: H ∩(D + V ) = 0, từ đó suy ra: (H + V )∩D = 0trái với tính tối đại của V

Giả sử bm = d0+ V0 Do D chia được nên tồn tại d1 ∈ D sao cho md1 = d0.Khi đó, V0 = (b − d1) m, ta có: D ∩ (V + (b − d1) Z) ⇒ bx = d − v + d1x ∈

D + V suy ra x ∈ I ⇒ x = m.x1 ⇒ d = v + (b − d1) m.x1 Mà D ∩ V = 0nên d = 0 Từ tính tối đại của V suy ra: (b − d1) Z là môđun con của V, nên

b − d1 ∈ V ⇒ b ∈ D + V Như vậy B = D + V

Ngược lại, giả sử Z môđun D là nội xạ và giả sử d ∈ D, 0 6= m ∈ Z Xétcác biểu đồ các đồng cấu: trong đó, i là phép nhúng chính tắc, còn f đượcxác định bởi công thức f (m) = d Do tính nội xạ của D nên tồn tại đồngcấu h : Z → D sao cho f = h.i Ta có d = f (m) = h(m) = h(1.m) = h(1).m.Điều này chứng tỏ rằng D là nhóm chia được

Ví dụ 4 (1) Q là Z−nội xạ vì Q là Z môđun chia được

không chia được)

, điều này mâu thuẫn

Định lí 1.4.4 Cho M Lúc đó M là nội xạ khi và chỉ khi mọi iđêan phải Icủa R và mọi đồng cấu f : I → M đều tồn tại đồng cấu h : R → M sao cho

hi = f trong đó i là phép nhúng từ I vào R

Chứng minh Xem [2], Định lý 4.5

Mệnh đề 1.4.5 Một môđun A là nội xạ nếu và chỉ nếu A là một hạng tửtrực tiếp của mọi môđun chứa nó

Chứng minh Nếu A là nội xạ thì A là hạng tử trực tiếp của mọi môđun chứa

nó Thật vậy nếu A là nội xạ và A ≤ B, một ánh xạ đồng nhất trên A mởrộng thành đồng cấu f : B → A Khi đó

B = A ⊕ Kerf

Điều đó có nghĩa là A là hạng tử trực tiếp của môđun B chứa A

Ngược lại, giả sử ta có các môđun A và B sao cho B = A ⊕ Kerf Khi đó

A ≤ B và tồn tại đồng cấu f : B → A là mở rộng của phép đồng nhất idA.Vậy A là nội xạ

Mệnh đề 1.4.6 Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trên R là nộixạ

Chứng minh Giả sử X là tổng trực tiếp của U và V trên R, X nội xạ Đểchứng minh mệnh đề, ta chứng minh U cũng là nội xạ Cho đơn cấu g : A → B

và đồng cấu f : A → V gọi j : U → X là phép nhúng tự nhiên và h : X → U

là phép chiếu tự nhiên Khi đó vì X là nội xạ nên tồn tại đồng cấu k : B → Xsao cho k ◦ g = j ◦ f Xét đồng cấu hợp thành h ◦ k : B → U ta có

h ◦ k ◦ g = h ◦ j ◦ f = f

Suy ra U là nội xạ

Định lí 1.4.7 Với một môđun tùy ý X trên R và tự đồng cấu đồng nhất của

nó i : X → X, các phát biểu sau tương đương:

a) X nội xạ

b) Mọi dãy khớp ngắn 0 //X f //U g //V //0 chẻ ra.

c) X đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ trên R.d) Với mọi đơn cấu g : A → B ta có

g∗ = Hom(g, i) : Hom(B, X) → Hom(A, X)

là toàn cấu

e) 0 //A f //B g //C //0 là dãy khớp ngắn thì

0 //Hom(C, X) f∗ //Hom(B, X) g∗ //Hom(A, X) //0

cũng là dãy khớp ngắn, với f∗ = Hom(f, i), g∗ = Hom(g, i)

Chứng minh a) ⇒ b) : Giả sử X nội xạ và xét biểu đồ sau