Nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm và nhóm hoàn chỉnh

Luận văn này tập trung nghiên cứu lớp nhóm hoàn chỉnh, đó là lớp nhómvới tâm tầm thờng và mỗi tự đẳng cấu của nó đều là một tự đẳng cấu trong.. Nêu khái niệm nhóm hoàn chỉnh và các tính

Lời nói đầu

Lý thuyết nhóm ra đời đã đợc hơn một trăm năm và ngày càng tỏ ra cónhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học và vật lý hiện đại

Mặc dầu đã trải qua một quá trình phát triển lâu dài nhng việc khảo sát cáclớp nhóm cụ thể vẫn là một bài toán hấp dẫn nhiều ngời quan tâm đến toán học

Luận văn này tập trung nghiên cứu lớp nhóm hoàn chỉnh, đó là lớp nhómvới tâm tầm thờng và mỗi tự đẳng cấu của nó đều là một tự đẳng cấu trong

Tiết Đ3 Nêu khái niệm nhóm hoàn chỉnh và các tính chất đặc trng của nó.Kết quả chính của tiết này là chứng minh đợc rằng với n≠2, n≠6 nhóm đối xứng

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy, các cô trong tổ Đại số và các bạn học cùnglớp đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này

Đứng trớc một đề tài nghiên cứu không phải là mới nhng lại rất khó, tronglúc đó trình độ và thời gian có hạn nên sẽ không tránh khỏi những thiếu sót mong

đợc sự giúp đỡ của các thầy, các bạn bổ sung, sửa chữa góp ý những khiếm khuyết

để bản luận văn đợc hoàn thiện hơn

Tác giả

Đ1 Tâm của một nhóm.

Trong tiết này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm tâm tập, hoán tập củamột nhóm và chứng tỏ rằng với n≥ 3, nhóm các phép thế Sn có tâm tầm thờng.

⇒ Me = Mh−1 ⇒ M = M h−1

Do đó: Mh 1 h−1

= (Mh1)h−1= Mh−1 = MNên h1 h−21 ∈ NH (M) Vậy NH (M) là nhóm con của G

ii) Giả sử x ∈ CH (M), khi đó x∈ H và mx = m ∀ m ∈ M ⇒ x − 1 mx= m,

M m , xm xM

1.5 §Þnh nghÜa:

Nhóm G đợc gọi là nhóm không tâm, nếu tâm của G chỉ gồm một

Mặt khác, vì mỗi phép thế chẵn là tích của một số chẵn các chuyển trí và(ij)(ik) = (ijk); (ij) (kl) = (ilj) (jkl) nên nhóm thay phiên An đợc sinh bởi các phépthế bậc ba (ijk)

Ta lại có mỗi phép thế bậc n đều phân tích đợc thành tích của các vòng xích

độc lập, nên nó không giao hoán đợc với các chuyển trí khi n ≥ 3 Và không giaohoán đợc với các vòng xích độ dài bằng ba (jkl) với n ≥ 4 (ở đây các chữ khác nhau

kí hiệu với những số khác nhau) Nên Sn với n ≥ 3 và An với n ≥ 4 là nhóm khôngtâm

Chú ý rằng S2 và S3 là những nhóm Aben, nên tâm của nửa nhóm trùng vớichính nhóm ấy

Đảo lại, nếu A = [ ]aij nxn ∈ C ( G ), thì trớc hết ATij= TijA (trong đó

Tij = I + Iij , với Iij là ma trận vuông cấp n có phần tử aij = 1 còn tất cả các phần

tử còn lại bằng không), ta suy ra A là ma trận vô hớng, nghĩa là ∃ λ ∈ K sao cho

A = λ Ι

Vì A là ma trận không suy biến nên λ ≠ 0 Do đó:

{ I K *})

G (

C = λ λ ∈ ⇒C (G) ≠ I.Vậy tâm của G không tầm thờng

1.8 Định nghĩa:

Giả sử S là một tập và G là một nhóm với đơn vị là e, ta hiểu tác dụng

của G trên S (bên trái) là ánh xạ G x S → G, sao cho nếu kí hiệu xs là ảnh của cặp(x,s) đối với ánh xạ đó (x∈ G và s ∈ S) thì đối với mọi x,y∈G và s ∈S đều có:

(xy)s = x(ys) và es = sKhi đó ta nói rằng G tác dụng trên tập S (bên trái) và cũng nói rằng S là một

đảo của Tx Do đó Tx là một song ánh từ S lên chính nó

Chú ý rằng mỗi song ánh từ S lên chính nó đợc gọi là một phép thế của S kểcả khi S vô hạn hay hữu hạn và tập hợp tất cả các phép thế của S với phép nhân

ánh xạ lập thành một nhóm, nó đợc gọi là nhóm các phép thế của tập S và đợc kíhiệu là gs

Từ công thức Txy = T  x T y ta suy ra ánh xạ:

ϕ : G→ gs

x Tx

là một đồng cấu từ nhóm G vào nhóm các phép thế của S và ta nói rằng G biểu

= σ

∈

∀ a , b G có x( ab ) xabx-1 = xax-1 xbx-1 = σ x ( a ) σ x ( b ) n ê n σ x là một tự

đồng cấu của G Hơn nữa σ x−1 là nghịch đảo của σx nên σ x là một song ánh, và

do đó σ x là một tự đẳng cấu của G Vì vậy ta thấy ánh xạ x  σx là một đồng

cấu từ nhóm G vào nhóm các tự đẳng cấu của nó Hạt nhân của đồng cấu này là ớcchuẩn của G, gồm tất cả các phần tử x∈G sao cho σ x(g) = g, ∀ g ∈ G hay xgx-1 =

g, ∀ g ∈ G, nghĩa là xg = gx, ∀ g ∈ G và do đó x thuộc tâm của G

Nh vậy, hạt nhân đó chính là tâm của nhóm G

Chú ý rằng, nhờ các phép liên hợp, G cũng tác dụng trên tập các tập con của nó Thật vậy, giả sử S là tập tất cả các tập con của G và giả sử A∈ S Khi đóxAx-1 cũng là một tập con của G, và ta sẽ kí hiệu là σ x(A) Thế thì ánh xạ

(x , A) xAx-1 = Ax từ tích G x S vào S xác định tác dụng của G trên S

Hơn nữa, nếu A là nhóm con của G thì Ax cũng là nhóm con của G (Thật

1 1

1 1 1

1 1

Giả sử G tác dụng lên tập S và s là một phần tử cố định của S Khi đó,tập hợp Gs : {x∈Gxs = s} là một nhóm con của G và đợc gọi là nhóm đẳng hớng

của phần tử s trong G

1.13 Bổ đề:

Giả sử G tác dụng lên tập S Khi đó:

(i) Nếu s và s ' là hai phần tử của S sao cho gs = s ' với g nào đó thuộc G thì

G s và G s' liên hợp với nhau.

(ii) Cấp (hoặc độ dài) của quỹ đạo G s trùng với chỉ số (G : G s ).

Chứng minh:

(i) Trớc hết, ta kiểm tra lại rằng Gs là nhóm con của G Thật vậy, vì es = snên e∈G nếu x∈Gs thì xs = s nên x-1xs = x-1es hay es = x-1s ⇒x-1s = s ⇒ x−1 ∈

Gs Hơn nữa, nếu x,y∈ G s thì xs = s và ys = s nên xyz = xs = s ⇒xy∈ G s Vậy Gs

là nhóm con của G Bây giờ, giả sử gs = s' khi đó gGsg-1 giữ s' không đổi và gGsg-1

giữ s cố định nên gGsg-1 =Gs', hay Gs và Gs' liên hợp với nhau

(ii) Đặt H = Gs Khi đó xH = yH ⇔ x-1y∈H⇔x-1y∈Gs ⇔ (x-1y)s = s

⇔ ys = xs Vì vậy, tơng ứng f: GH→ S

xH xs

là một ánh xạ và nó cảm sinh một song ánh từ tập các lớp ghép bên trái G/H lênquỹ đạo Gs Do đó cấp (hoặc độ dài) của quỹ đạo Gs trùng với chỉ số (G: H) haytrùng với (G:Gs)

1.14 Mệnh đề:

Giả sử G là tác dụng lên tập S Khi đó:

i) Hai quĩ đạo phân biệt của nhóm G không giao nhau

ii) Nếu S hữu hạn và S = i IGs i

∈

∪ là một phân hoạch của S thì

Cadr (S) = ∑

∈Ii

(G : Gs i ) (1)

Chứng minh:

i) Giả sử hai quĩ đạo Gs1 và Gs2 có chung phần tử s thì tồn tại g ∈G sao cho

s = gs1 Khi đó Gs = Ggs1 = Gs1 Tơng tự Gs = Gs2 và do đó Gs1 = Gs2

ii) Công thức trên suy ra trực tiếp từ bổ đề 1.13 và định nghĩa phân hoạch(Nếu Gsi∩GsJ ≠ φ thì Gsi = GsJ) Chú ý rằng công thức (1) đợc gọi là công thức phân tích thành các quỹ đạo.

(G : 1) = ∑

∈ C

) G : G (

trong đó C là tập các đại diện của các lớp khác nhau của các phần tử liên hợp Hệquả đợc chứng minh

1.16 Định nghĩa:

Nhóm G đợc gọi là p - nhóm nếu G là nhóm hữu hạn mà cấp là luỹ

thừa của một số nguyên tố p

trong đó Z là tâm của G và hạng tử (Z:1) tơng ứng với các quỹ đạo gồm 1phần tử, nghĩa là các phần tử thuộc Z.

Tổng ở vế phải lấy theo tất cả các quỹ đạo khác, vì vậy mỗi chỉ số

(G : Gs) > 1 và chia hết cho p theo giả thiết (Vì G p n > 1)

Tập hợp các đồng cấu từ G vào chính nó cùng với phép nhân ánh xạ là một

vị nhóm với phần tử đơn vị là phép đồng nhất, kí hiệu End(G)

Nói chung End(G) không phải là một nhóm Tập hợp các tự đẳng cấu củanhóm G cùng với phép nhân ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm các tự đẳng cấu

của nhóm G và đợc kí hiệu là Aut(G)

Ta có Aut(G) là nhóm con của nhóm S(G), và là nhóm con của vị nhómEnd(G).

Trong trờng hợp G là nhóm Aben và phép toán trong G đợc kí hiệu theo lốicộng, ta đa vào End(G) phép toán cộng nh sau:

) G ( End , ψ ∈

ϕ

∀ ta có: ϕ + ψ : G → G x xác định bởi:

G g , ) g ( ) g ( ) g )(

( ϕ + ψ = ϕ + ψ ∀ ∈ Khi đó:

) g g ( ) g g ( ) g g )(

Nói chung vành End(G) này không giao hoán

Kí hiệu (End(G))* là tập hợp các phần tử khả nghịch của End(G), thì xét về

lý thuyết tập hợp, ta có:

Aut(G) = (End(G))*.Dựa vào kết quả này, ta có thể mô tả đợc nhóm tự đẳng cấu của nhiều lớpnhóm Aben quen thuộc

2.2 Mệnh đề:

Giả sử Z là vành các số nguyên , Z m là vành các số nguyên thu gọn theo mô đun m, Q là trờng các số hữu tỷ.

Thế thì: (i) End Z ≅ Z

= ϕ

Φ ( m) m( 1 ) m 1 m n ê n là toàn ánh và do đó Φ là đẳng cấu

Do đó End Z ≅ Z

(ii) Phép chứng minh EndZm ≅ Zm đợc chứng minh tơng tự

(iii) Để chứng minh End Q ≅ Q, ta cũng lập ánh xạ

:

Φ End Q → Q

ϕ  ϕ ( )1 , ∀ ϕ ∈ End QKhi đó: Φ ( ϕ + ψ ) = ( ϕ + ψ )( 1 ) = ϕ ( 1 ) + ψ ( 1 ) = Φ ( ϕ ) + Φ ( ψ ) n ê n Φ là đồng cấu Với ∀ m ∈Q, ánh xạ ϕm : Q → Q

1 0

q

1 q 0 q

0 0 p q

1

theo qui tắc : ( ϕ + ψ )( x ) = ϕ ( x ) + ψ ( x ), ∀ x ∈ A Khi đó ϕ + ψ ∈ Hom (A,B) và Hom(A,B) trở thành một nhóm Aben với phần tử không là ánh xạ không

- Chứng minh Φ toàn cấu: Giả sử x là phần tử tuỳ ý của X Vì Z là nhómAben tự do sinh bởi 1, nên có một đồng cấu duy nhất ϕ : Z → X sao cho:

Φ

= ϕ

1 ( ) 1

) ( ) ( )

1 ( ) 1 ( = ψ ⇔ Φ ϕ = Φ ψ ϕ

⇔ ψ

Điều này chứng tỏ Im(Φ) ⊂ Tm(X)

Đảo lại, giả sử x ∈Tm(X) vì mx = o nên có một đồng cấu ϕ: Zm →X saocho ϕ(1) = x.

Thế thì: Φ(ϕ) = x Điều này kéo theo Tm(X) ⊂ Im(Φ) và do đó

Để chứng mình fa là toàn ánh ta lấy phần tử g thuộc G Khi đó, do G lànhóm và a ∈ G nên phần tử x = a-1ga∈ G và fa(x) = xa = a-1xa = a-1 (aga-1) a = g

Vậy fa là toàn ánh và do đó fa là tự đẳng cấu của G

Thật vậy: (xa)b = (a-1xa)b = b-1(a-1xa)b = (ab)-1xab = xab

Ta lại có: ( x a ) a−1 = (a-1)-1(a-1xa)a-1 = aa-1xaa-1 = x

Từ đó suy ra:

1 a

a ˆ và ab

bˆ.

a ˆ = − = 1G ⇒ aˆ−1 = a-1

⇒ tập hợp các tự đẳng cấu trong của G là một nhóm con của Aut(G)

Mặt khác, ∀a, x∈G và ∀ ϕ ∈Aut(G) có:

[ ( x )] ( a ( x ) a ) )

aˆ ( ) x )(

i) Tập hợp các tự đẳng cấu trong của G với phép nhân ánh xạ là một nhóm

và đợc gọi là nhóm các tự đẳng cấu trong của G Kí hiệu Int(G)

ii) Nhóm thơng Aut(G)Int(G) đợc gọi là nhóm các tự đẳng cấu ngoài và kí

x , ) x )(

bˆaˆ (

) Im(

ii) Cũng theo 2.11, thì: Int(An) ≅ AnC(An)

Với n≥ 4 thì An là nhóm không tâm Từ đó ta suy ra Int(An) ≅ An

Nhóm G đợc gọi là nhóm hoàn chỉnh nếu G là nhóm không tâm và

mọi tự đẳng cấu của G đều là tự đẳng cấu trong

3.2 Hệ quả:

G là nhóm hoàn chỉnh khi và chỉ khi: C(G) = 1 và Aut(G)≅ G

Chứng minh:

Giả sử G là nhóm hoàn chỉnh Khi đó: C(G) = 1 và Aut(G) = Int(G)

mà GC(G)≅ Int(G) ⇒ G≅ Int(G) ⇒ Aut(G)≅ G

Đảo lại, nếu C(G) = 1 và Aut(G)≅ Gthì do GC(G)≅Int(G)

) G ( Int

để chứng minh Sn là nhóm hoàn chỉnh, ta cần chứng minh rằng mỗi tự đẳng cấu γ

của Sn là một tự đẳng cấu trong

Giả sử Bk là tập hợp tất cả các tích của k chuyển trí độc lập thuộc Sn , 1

đẳng cấu trong của nhóm Sn Điều này gợi ý cho chúng ta trớc hết chứng minh γ

chuyển B1 thành chính nó và sau đó chứng minh γ là tự đẳng cấu trong.

B

ớc 1: Chứng minh tự đẳng cấu γ chuyển B1 thành chính nó

Thật vậy, mọi tự đẳng cấu của một nhóm giữ nguyên cấp các phần tử, cònlớp các phần tử liên hợp chuyển thành lớp các phần tử liên hợp, do đó γ

n

C chuyển trí, bởi vậy có 2

i 2 n

1 k 0

i− C −

=

Π tập hợp gồm k chuyểntrí độc lập Bởi vì tích các chuyển trí độc lập không phụ thuộc vào thứ tự của cácnhân tử, nên:

) 1 k 2 n ) (

1 n (

n 2

! k

1 C

! k

1

i 2 n

1 k 0 k

=

Nh vậy đẳng thức B 1 = B k sẽ dẫn tới đẳng thức (n - 2) (n - 3) (n - 2k + 1) = k ! 2k-1 (*)

Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng đẳng thức (*) sẽ không xảy ra khi n≠ 6, k≠ 1.Thật vậy vế phải (*) là dơng nên n≥ 2 k Từ đó suy ra bất đẳng thức: vế trái (*): (n - 2) (n-3) (n-2k + 1)≥ ( 2 k − 2 )!.

Sử dụng phơng pháp quy nạp, ta chứng minh đợc (2k - 2)!≥ k! 2k-1, với k≥ 4

ớc 2: Chứng minh γ là tự đẳng cấu trong.

Để chứng minh điều đó, ta xây dựng bằng phơng pháp quy nạp theo r các tự

từ đây suy ra γ = γ n γ 2 là tự đẳng cấu trong của Sn.

Giử sử r = 2 Theo bớc 1, ta có ( 12 ) γ = (ij), ∀ i , j Giả sử γ 2 là tự đẳng cấutrong thoả mãn điều kiện ( 12 )γ2 = (ij) Khi đó 1

Sẽ dẫn tới vô lý: Vế trái của (***) là phép thế độ dài 3, còn về phải là phépthế độ dài 2

Có thể giả thiết rằng i = 1 hoặc i = 2 Trong mọi trờng hợp j > r, vì γ′ giữ

12 )(j 1)(

12(

1 i với

)ij(

)ij(

Lại xét trờng hợp r ≥ 3 Giao {1,3}∩ {i,j}≠ φ nghĩa là i = 1 Giả sử γ r + 1 là

phép liên hợp bởi phép thế (r + 1, j); ở đây chúng ta sẽ coi rằng (ss) = 1 Khi đó

1

r +

γ tác động lên (12), ,(1,r + 1) nh γ′ Bởi vậy 1

1 r

1 2

1 1

r

vị trí các chuyển trí (12), (1,r + 1)

Còn lại phải xét trờng hợp r = 2 Nếu giao {1,2}∩ {i,j} chứa một, thì lại bắt

đầu lập luận nh trên Trong trờng hợp ngợc lại, có thể coi rằng (ij) = (23) hay (ij) =(24), thì ( 12 ) γ′ = ( 12 ), ( 13 ) γ′ = ( 23 ) hay (24)

Kí hiệu γ 3 là phép liên hợp bởi phần tử (12) hay tơng ứng bởi phần tử (12) (34).

Rõ ràng γ 3 tác động lên (12), (13) nh γ′ và bởi vậy γ′ 1

3

1 2

3.5 Mệnh đề:

Giả sử H là nhóm con chuẩn tắc hoàn chỉnh của nhóm G Khi đó H

là nhân tử trực tiếp của G.

Đ4 Nhóm toàn hình

4.1 Xây dựng nhóm toàn hình của một nhóm cho trớc.

Giả sử G là một nhóm tuỳ ý Bài toán đặt ra trong tiết này là hãy nhúngchìm G vào một nhóm G* nào đó sao cho mỗi tự đẳng cấu của G là một tự đẳngcấu trong của G*

Kí hiệu Φ : = Aut ( G ) là nhóm các tự đẳng cấu của G và G* = {ϕgϕ ∈ Φ , g ∈ G} làcác cặp hình thức ϕg với ∀ ϕ ∈ Φ , ∀ g ∈ G

Xác định trên G* phép toán nhân theo quy tắc:

là các đơn cấu Do đó, có thể đồng nhất Φ và G với các nhóm con tơng ứng của

G* Từ các quy tắc nhân ở (1) suy ra:

G g , với

g g

Thế thì G* = Φ G , G ∆ G * , Φ ∩ G = 1 (4)

Và do (3), mỗi tự đẳng cấu của G là một tự đẳng cấu trong G*

Bài toán đợc giải quyết trọn vẹn

Trong trờng hợp này, nhóm ΦG đợc gọi là mở rộng của nhóm G bởi các

tự đẳng cấu Φ.

4.4 Mệnh đề:

Giả sử G là nhóm hoàn chỉnh Khi đó Hol G≅ G x G Nói riêng, nếu n

β

≅ K , K 0

β

≅ K , K 0

1 *

Mệnh đề đợc chứng minh

Phần Kết luận.

Trong luận văn này chúng tôi đã xây dựng các khái niệm: Tâm của mộtnhóm, nhóm các tự đẳng cấu và nhóm các tự đẳng cấu trong của một nhóm, nhómhoàn chỉnh và nêu lên những tính chất đặc trng của các lớp nhóm đó

Chúng tôi cũng đã chứng tỏ rằng nếu n≠ 2 , n ≠ 6 thì nhóm đối xứng Sn lànhóm không tâm, hơn nữa nó là nhóm hoàn chỉnh và nhóm toàn hình Hol Sn của

nó đẳng cấu với tích trực tiếp Sn x Sn

Chúng tôi cũng mô tả đợc khá tờng minh nhóm các tự đẳng cấu của các lớpnhóm quen thuộc Z, Zm và Q

Việc tìm các lớp nhóm hoàn chỉnh khác là một vấn đề mở cần tiếp tục giảiquyết trong thời gian tới

Tài liệu tham khảo

[1] Lê Quốc Hán, Giáo trình lý thuyết nhóm - Đại học Vinh - 1997

[2] STenHu, Đại số hiện đại, (Bản Tiếng Việt)

[3] SLang, Đại số, tập I (Bản dịch của Trần Văn Hạo - Hoàng Kỳ) NXB Đại học

và Trung Học chuyên nghiệp,H.1974

[4] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cơng NXB GD, H.1972

[5] A.G.Kurosh, Theory of groups (in Rusian), Nauk M.1958

[6] D.A Suprunhenko, Matrixgroups (in Rusian), Nauk M.1972

[7] M.Xoll, Theory of groups (in Rusian), Nauk M.1962

Môc lôc Trang